402 空間向量的坐標表示法

本單元中，我們將建立空間坐標系，將空間中的每一個點賦予坐標，作為連 結代數與空間幾何的工具。 有了坐標系後，再仿照平面向量，引進坐標表示法來描述空間向量，並介紹 其加減法與係數積。

甲 空間坐標系

如圖 1，在空間中任取一點 O 作為原點，過原點 O 作兩兩互相垂直的三條直 線，並在這三條直線上取適當長度為單位長，接著任選其中二條直線，分別稱為 x 軸與 y 軸，並指定其正負方向；剩下的一條直線稱為 z 軸。最後採用「右手系」 規定 z 軸的正負方向，說明如下：將右手拇指以外的四指併攏，指向 x 軸正向， 然後往 y 軸正向握拳，此時拇指所指的方向就是 z 軸的正向。 ▲ 圖 1

我們將 x 軸、y 軸與 z 軸統稱為坐標軸，原點 O、x 軸、y 軸與 z 軸組成了空 間坐標系。

空間坐標系的任兩個坐標軸都可以決定一個平面，其中由 x 軸與 y 軸所決定 的平面稱為 xy 平面；由 y 軸與 z 軸 所決定的平面稱為 yz 平面；由 z 軸與 x 軸所決定的平面稱為 zx 平面，如圖 2 所 示。 ▲ 圖 2 我們將 xy 平面、yz 平面與 zx 平面統稱為坐標平面；三坐標平面把空間分成 八個部分，每一個部分稱為一個卦限；由三個坐標軸的正向所決定的卦限，稱為 第一卦限，其餘 7 個卦限沒有特別編號。 根據之前學過的二面角定義，可以得知：xy 平面、yz 平面與 zx 平面兩兩互 相垂直。

（一）點的坐標

建立空間坐標系之後，該如何賦予這空間中一點 P 的坐標呢？如圖 3，過 P 點分別向 x 軸、y 軸、z 軸作垂線，垂足（投影點）分別為

A B C

, ,

三點。當

A B C

, ,

三點在 x 軸、y 軸、z 軸上的坐標分別為

a b c

, ,

時，稱



a b c

, ,



為 P 點的坐標，記 作

P a b c



, ,



，其中

a b c

, ,

分別稱為 P 點的 x 坐標、y 坐標、z 坐標。延續上述各點 的假設，底下我們分別來探討

P

點在三個坐標平面上的投影點（之坐標）及其在 三個坐標軸上的投影點（即 A, B, C）之坐標。

▲ 圖 3 如圖 4 (a)，過

P

點向

xy

平面作垂線，垂足為

Q

點。再過

Q

點分別對

x

軸、

y

軸作垂線，令垂足分別為

A

點、

B

點。由三垂線定理，得知直線

PA

垂直

x

軸， 即

A

點與

A

點同為

P

點在

x

軸的垂足，於是

A

點就是

A

點。因為

A

點在

x

軸上的 坐標為

a

，所以

_Q

點的

x

坐標為

a

；同理可知，

B

點就是

B

點，即

_Q

點在

y

軸的 垂足為

B

點，因此

Q

點的

_y

坐標為

b

；又因為

z

軸垂直

_xy

平面於原點

O

，所以直 線

OQ

垂直

z

軸，即

Q

點在

z

軸的垂足為

O

，因此

Q

點的

z

坐標為

0

。故

Q

點的坐 標為



a b

, ,0



。 (a) (b) ▲圖 4 如圖 4 (b)，過

P

點分別向

zx

平面、

yz

平面作垂線，垂足分別為

R

點、

S

點。 同理可知，

R

點在

x

軸、

y

軸、

z

軸的垂足分別為

A

點、原點

O

、

C

點，因此

R

點 的坐標為

( ,0, )

a c

；

S

點在

x

軸、

y

軸、

z

軸的垂足分別為原點

O

、

B

點、

C

點， 因此

S

點的坐標為

(0, , )

b c

。 另一方面，因為

A

點在

x

軸的垂足是

A

本身，且在

y

軸、

z

軸的垂足都是原 點

_O

，所以其坐標為

_{( ,0,0)}

_a

。同理可知，

B

點的坐標為

_{(0, ,0)}

_b

，

_C

點的坐標為

(0,0, )

c

。而且

_OAQBCRPS

_-

是一個長方體。

根據上述，我們將點

P a b c



, ,



分別在三個坐標軸及三個坐標平面上的投影點 之坐標整理如下。 坐標軸 x 軸 y 軸 z 軸 P 點的投影點坐標



a

, 0, 0





0, , 0

b





0, 0, c



坐標平面 xy 平面 yz 平面 zx 平面 P 點的投影點坐標



a b

, , 0





0, ,

b c





a

, 0,

c



利用上表，作一個練習。 【例题 1】 下圖是空間中的一個長方體，頂點 O 為原點，且

A B C

, ,

分別在 x 軸、y 軸、 z 軸上。已知頂點 P 的坐標為



2, 3, 4



，求頂點

A B C Q S R

, , , , ,

的坐標。 Ans： 【詳解】 由坐標軸與坐標平面上的投影點坐標，得知



2, 0, 0 ,

 

0,3, 0 ,

 

0, 0, 4 ,



A

B

C



2, 3, 0 ,

 

0, 3, 4 ,

 

2, 0, 4



Q

S

R

。

【隨堂練習 1】 下圖是空間中的一個長方體，頂點 O 為原點，且

A B C

, ,

分別在 x 軸、y 軸、 z 軸上。已知頂點

D



3, 4, 0 ,



 

F

0, 4, 2





， 求頂點

A B C E G

, , , ,

的坐標。 Ans： 【詳解】 根據空間坐標的定義，得



3, 0, 0 ,

 

0, 4, 0 ,

 

0, 0, 2 ,

 

3, 0, 2 ,

 

3, 4, 2



A

B



C

E

G



。

（二）兩點的距離公式

當空間中的點被賦予坐標之後，就可以利用畢氏定理計算出任意兩點的距離， 推導如下。 設

P x y z Q x y z



₁

, ,

_{1 1}

 

,

₂

, ,

_{2 2}



為空間中兩點，其中

x

₁



x y

₂

,

₁



y z

₂

,

₁



z

₂。過 P 與 Q 兩點，分別作與坐標平面平行的平面，則此六個平面構成一個長方體，它的 三邊長分別為

RS x x QS y

 

_{2 1}

,

 

₂

y PR z

₁

,

 

₂

z

₁ ，如圖 5 所示：

▲圖 5 因為△PQR 與△RSQ 均為直角三角形，所以利用畢氏定理，得





2 2 2 2 2

PQ



QR PR





RS



QS



PR



 

2

 

2



2 2 1 2 1 2 1

x x

y

y

z

z





 

 

。 至於當

x

₁



x

₂或

y

₁



y

₂或

z

₁



z

₂時，上式仍成立。因此，有以下的公式。 空間中兩點的距離公式 空間中，

P x y z Q x y z



₁

, ,

_{1 1}

 

,

₂

, ,

_{2 2}



兩點的距離為



 

2

 

2



2 2 1 2 1 2 1

PQ



x x



 

y

y

 

z

z

。 有了距離公式後，只要給定兩點的坐標，就可求出此兩點的距離。

【例题 2】 設

A



1, 1, 0 ,



 

B

2,1, 2



是空間中一正立方體的兩個頂點， 如下圖所示。 (1) 求

AB

的長。 (2) 若(6，0，1)是正立方體的一個頂點， 則(6，0，1)是圖中的哪一個頂點？ Ans： 【詳解】 (1) 利用空間中兩點的距離公式，得





2



 



2





2

2 1

1

1

2 0

3

AB

      

。 (2) 計算 2 2 _{2 2}

3 3

3 2,

AC



AB BC





 

 

2 2 2 ₂

3 2

3

3 3

AG



AC CG





 

。 得知，除A 點外的 7 個頂點與 A 點的距離 有

3, 3 2

與

3 3

三種。 又因為點



6, 0,1



與A 點的距離為





2



 



2





2

6 1

      

0

1

1 0

3 3

， 所以點



6, 0,1



是距離A 點最遠的頂點 G。

【隨堂練習 2】 已知

A



2,3, 6 ,

 

B



1,5, 0 ,

 

C

4, 3,3





為空間中三點， 求△ABC 的三邊長，並說明此三角形為等腰直角三角形。 Ans： 【詳解】 利用兩點的距離公式，得





2



 

2



2

 

2 ₂

 

2

1 2

5 3

0 6

3

2

6

49 7,

AB  

         



 





2



 

2



2 ₂

 

2 ₂

4

1

3 5

3 0

5

8

3

98 7 2,

BC

       

   







2



 

2



2 ₂

   

2 2

4 2

3 3

3 6

2

6

3

49 7

AC

      

    



。 因為

_{AB AC}



且

BC

2



AB

2



AC

2，所以△ABC 為等腰直角三角形。 根據點坐標的定義，位置在坐標軸或坐標平面上的點，其坐標的形式如下表。 點位置 x 軸 y 軸 z 軸 xy 平面 yz 平面 zx 平面 點坐標



x

, 0, 0





0, , 0

y





0, 0, z





x y

, , 0





0, ,

y z





x

, 0,

z



利用上表，作一個練習。 【例题 3】 空間中，已知

A



1, 2, 1 ,



 

B

2,1,3



，且 z 軸上一點 P 滿足

AP BP



， 求 P 點的坐標。 Ans： 【詳解】 因為 P 是 z 軸上一點，所以可設 P 點的坐標為



0, 0, z



。 又因為

AP BP



，所以



 

2



2



 



2



 

2

 

2



2

0 1

     

0 2

z

1



0 2

    

0 1

z

3

， 將兩邊平方，得



2





2



1 4

        

z

2 1 4 1

z

z

6

z

9

， 整理得

8

z

8

，解得

z 

1

。 故 P 點的坐標為



0, 0,1



。 【隨堂練習 3】 空間中，已知正三角形 PQR 的兩個頂點為

P



3, 0,1 ,

 

Q

1,1, 2



， 且另一頂點

R x



, 2,

z



在 xy 平面上，求實數

x z

,

的值。 Ans：x＝2，z＝0 【詳解】 因為

R x



, 2,

z



在 xy 平面上，所以

z

0

。 又因為△PQR 為正三角形，所以

PR PQ QR





， 即



x

      

3



2

4 1

4 1 1



x

  

1



2

1 4

。 因此



x

3



2



1

且



x

1



2



1

，解得

x

2

。 故

x



2,

z



0

。

（三）中點坐標公式

如圖 6，設

P x y z Q x y z



₁

, ,

_{1 1}

 

,

₂

, ,

_{2 2}



為空間中相異的兩點，

M x y z



, ,



為

PQ

的中點。過

P M Q

, ,

三點分別作 xy 平面的垂線，垂足分別為

P M Q

  

,

,

。 ▲圖 6

在梯形

PP QQ

 

中，因為 M 為

PQ

的中點，且

PP MM QQ



//



//



，所以

M

為

PQ

 

的中點。又因為

P x y





₁

, , 0 ,

₁

 

Q x y



₂

, , 0 ,

₂



M x y





, , 0



三點同在 xy 平面上，所 以由平面的中點公式，得 1 2

2

x x

x





， 1 2

2

y

y

y





。 同理，過

P Q M

, ,

三點分別作 yz 平面的垂線，可得 1 2

2

z z

z





，故 M 的坐標 為 1 2

_,

1 2

_,

1 2

2

2

2

x x y y z z



















。 一般而言，我們有空間中相異兩點的中點坐標公式，敘述如下。 中點坐標公式 若

P x y z Q x y z



₁

, ,

_{1 1}

 

,

₂

, ,

_{2 2}



為空間中相異的兩點，則

PQ

的中點坐標為 1 2

_,

1 2

_,

1 2

2

2

2

x x y y z z



















。 練習使用中點坐標公式。 【例题 4】 已知△ABC 的三頂點坐標為

A



2,3,5 ,

 

B



3,9,8 ,

 

C



5,3, 6



， 求

BC

邊上的中線長。 Ans： 【詳解】 利用中點坐標公式，得

BC

的中點 M 的坐標為

 

_

_

3

5 9 3 8 6

_,

_,

_{4, 6, 7}

2

2

2

  



_{  }









。 再利用兩點的距離公式，得

 





2



 

2



2

2

4

3 6

5 7

36 9 4 7

AM

      

  

。 故

BC

邊上的中線長

AM

7

。

【隨堂練習 4】 已知平行四邊形 ABCD 的三頂點坐標為

A



1,1, 4 ,

 

B

2, 4,3 ,

 

C

3,5, 6



，求 (1)

AC

的中點坐標。 (2) D 點坐標。 Ans：(1) (2，3，5)，(2) (2，2，7) 【詳解】 (1) 由中點坐標公式，得

_AC

的中點坐標為





1 3 1 5 4 6

_,

_,

_2,3,5

2

2

2









_









。 (2) 設D 點坐標為



x y z

, ,



。 因為平行四邊形的兩對角線互相平分， 所以

AC

的中點也是

BD

的中點， 即



2,3,5



2

,

4

,

3

2

2

2

x



y



z









_



_

， 解得

x



2,

y



2,

z



7

。 故D 點坐標為



2, 2, 7



。

乙 空間向量的坐標表示法

建立空間坐標系之後，我們也可以像平面向量一樣，將空間中的向量坐標化。 在空間中，每一點 A 都可和原點 O 連結形成向量

OA

，稱為 A 點的位置向量。 對於任意一個向量

a

，都可以將其平移，使其始點落在原點 O 上。若平移後其 終點為 A，則

a OA



，如圖 7 所示： ▲圖 7 這樣一來，空間中的每一個

a

都可由空間中的一點 A 決定，且

a

和 A 點的位置 向量

OA

相等。因此，向量

a

可以用 A 點的坐標



a a a

1

, ,

2 3



唯一表示，記作



1

, ,

2 3



a



a a a

，其中

a a a

₁

, ,

_{2 3}分別稱為向量

a

的 x 分量、y 分量與 z 分量。並 且由兩點距離公式，得向量

a

的長度為 2 2 2 1 2 3

a

 

OA

a

 

a

a

。

【隨堂練習】 下圖是空間中的一個長方體。已知

P



3,8, 5



，求 (1) 向量

OP

與

OQ

的坐標表示法。 (2)

OP

與

OQ

的值。 Ans： 【詳解】 (1) 因為

P



3,8,5 ,

 

Q

3,8,0



， 所以

OP





3,8,5 ,



OQ





3,8,0



。 (2)

OP



3 8 5

2

  

2 2

7 2,

OQ



3 8 0

2

  

2 2

73

。 空間中，給定兩點

A a a a B b b b



₁

, ,

_{2 3}

 

,

₁

, ,

_{2 3}



，該如何將向量

AB

用 A 與 B 的 坐標來表示呢？根據前面定義，先將

AB

平移到它的位置向量

OP

（A 與 O 重合）， 並找出 P 點的坐標



x y z

, ,



，如圖 8 所示。 ▲ 圖 8

因為四邊形 OABP 為平行四邊形，所以兩對角線的交點 M，同時是

_AP

與

OB

的中點。利用中點坐標公式，得 M 點的坐標為 1

_,

2

_,

3 1

0

_,

2

0

_,

3

0

2

2

2

2

2

2

x a y a z a







b



b



b





 

_





 





 



。 因此，P 點的坐標為



x y z

, ,



 



b a b a b a

1 1

,

2



2

,

3



3



。故



1 1

,

2 2

,

3 3



AB OP b a b a b a

  





。 因此，我們有以下的結論。 向量的坐標表示 若

A a a a B b b b



₁

, ,

_{2 3}

 

,

₁

, ,

_{2 3}



為空間中兩點，則



1 1

,

2 2

,

3 3



AB b a b a b a

 





， 且

AB





b a

₁



₁

 

2

 

b a

_{2 2}



2

 



b a

_{3 3}



2。 練習向量的坐標表示。 【例题 5】 空間中，已知

A



1, 2, 3 ,

 

B

4, 3,1 ,

 

C

5, 4, 3



為 平行四邊形 ABCD 的三個頂點，求 (1) 向量

BC

。 (2) D 點的坐標。 Ans： 【詳解】

(1) 由向量的坐標表示，得



5 4, 4 3,3 1



BC 

 



1,1, 2





。 (2) 設D 點的坐標為



x y z

, ,



。 因為ABCD 為平行四邊形，所以

AD BC



。 由向量的坐標表示，得



x



1,

y



2,

z

 

3

 

1,1, 2



， 即

_x

     

_{1 1,}

_y

_{2 1,}

_z

_{3 2}

， 解得

_x



_2,

_y

 

_3,

_z

₅

。 故D 點的坐標為



2,3,5



。 【隨堂練習 5】 設

A



1, 2, 3 ,

 

B 

1, 4, 2



為空間中兩點。 (1) 求

AB

與

AB

。 (2) 已知

AC



2,1, 2





，求 C 點的坐標。 Ans：(1) (2，2，1)，3，(2) (3，3，1) 【詳解】 (1) 利用空間向量的坐標表示法， 得

AB

      



1 1, 4 2, 2 3

 

2, 2, 1 ,





AB

。

 

2 ₂

 

2

2

2

1

3

AB  

   

(2) 設C 點的坐標為(x，y，z)。因為



1,

2,

3

 

2,1, 2



AC

    

x

y

z



_， 所以

_x



_3,

_y

 

_3,

_z

₁

。 故C 點的坐標為)3，3，1)。

丙 空間向量的加減法與係數積

空間向量的加法、減法與係數積的幾何意義與平面向量相同，它們的坐標表 示法也與平面向量類似，討論如下： （一）加法 如圖 9，設

a OA a a a

 



₁

, ,

_{2 3}



,

b OB b b b

 



₁

, ,

_{2 3}



。以

OA

與

OB

為鄰邊作 一平行四邊形 OACB，此時

OA OB OC

 

。 設 C 的坐標為



x y z

, ,



。因為

AC OB



，所以



x a y a z a



1

,



2

,

 

3

 

b b b

1

, ,

2 3



， 得

x a b y a b z a b

 

_{1 1}

,

 

_{2 2}

,

 

_{3 3}。於是



1 1

,

2 2

,

3 3



a b OC a b a b a b

 

 





。 ▲ 圖 9

（二）減法 設

a





a a a

₁

, ,

_{2 3}



,

b





b b b

₁

, ,

_{2 3}



。我們稱向量



  

b

₁

,

b

₂

,

b

₃



為

b

的反向量， 記作



b

；並將

a



b

定義為

a

 

 

b

，即

 

a b

   

a

b



a a a

1

, ,

2 3

 

b

1

,

b

2

,

b

3





   



a b a b a b

1 1

,

2 2

,

3 3



 





。 ▲ 圖 10 （三）係數積 設

a OA a a a r

 



₁

, ,

_{2 3}



,

為實數。仿照平面向量係數積的坐標表示法，可得



1

,

2

,

3



r a



ra ra ra

。 ▲ 圖 11 因此，我們有以下的結論。

向量加法、減法與係數積的坐標表示 若

a





a a a

₁

, ,

_{2 3}



,

b





b b b

₁

, ,

_{2 3}



為空間中兩向量，r 為實數，則 (1) 加法：

a

  

b



a b a b a b

_{1 1}

,

₂



₂

,

₃



₃



。 (2) 減法：

a

  

b



a b a b a b

_{1 1}

,

₂



₂

,

₃



₃



。 (3) 係數積：

r a





ra ra ra

₁

,

₂

,

₃



。 練習向量加法、減法與係數積的坐標表示。 【例题 6】 已知向量

a



 

2,1,1 ,

b

  



3,3, 1 ,



c

  



5,5, 1



，求 (1) 向量

3 a



b

及其長度。 (2) 向量

a



3

b



2

c

及其長度。 Ans： 【詳解】 由向量加法、減法與係數積的坐標表示，得 (1)

3

a

 

b

3 2,1,1

  

   

3,3, 1

 

6,3,3

 

   

3,3, 1

 

3,6,2



。 2 2 2

3

a

 

b

3 6

  

2

49 7



。 (2)

a



3

b



2

c



  

2,1,1 3 3,3, 1 2 5,5, 1

     

 





2,1,1

 

9,9, 3

 

10,10, 2





 

  





1, 2, 2





_。 2 2 2

3

2

1 2

2

9 3

a



b



c



   

。 【隨堂練習 6】 已知向量

a





2,1, 2 ,





b

  



3, 1, 6



，求

3 a



b

及

3 a



b

。 Ans： 【詳解】 由向量加法、減法與係數積的坐標表示， 得

3

a b

 

3 2,1, 2



    

 

3, 1, 6

 

6,3, 6

    

 

3, 1, 6

 

3, 4,0 ,



2 2 2

3

a

 

b

3 4 0

  

25 5



。 我們知道：當兩個非零向量

a

與

b

滿足

a r b



（r 為實數）時，

a

與

b

平行。利用向量的平行可以判斷給定的三點是否共線，舉例如下。 【例题 7】 已知

A



9,3,1 ,

 

B

6, 4,3



與

C



0, 6, 7



為空間中三點。 (1) 求向量

AB

及

AC

。 (2) 判斷

A B C

, ,

三點是否共線？ Ans： 【詳解】

(1) 由向量的坐標表示，得



6 9, 4 3,3 1

 

3,1, 2



AB 

   

_；



0 9,6 3,7 1

 

9,3,6



AC 

   

_。 (2) 因為

AC



3

AB

，所以

AC

與

AB

平行。 又因為

AC

與

AB

有共同的始點A， 所以

A B C

, ,

三點共線。 【隨堂練習 7】 已知空間中

A



3, 2,5 ,

 

B

5,3,1 ,

 

C



1, ,

y z



三點共線，求

y z

,

的值。 Ans： 【詳解】 因為

_{A B C}

_{, ,}

三點共線，所以

AB AC

//

。 又因為

AB





2,1, 4 ,





AC

   



4,

y

2,

z

5



， 所以

2

1

4

4

y

2

z

5













，解得

y

 

0,

z

13

。

丁 空間向量的線性組合與分點公式

（一）線性組合 在第三冊的平面向量中，我們知道形如

xOA yOB



（其中

x y

,

為實數）的向 量，稱為

OA

與

OB

的線性組合。如圖 12 所示，因為空間中不共線的

O A B

, ,

三點 決定一個平面，所以

OA

與

OB

的任何線性組合都會落在這個平面上，而且此平面 上的每一個向量都可以唯一表示成

xOA yOB



的形式。 ▲ 圖 12 利用這個觀念作一個練習。 【例题 8】 已知空間中的一點

P



1, 5,

k



落在

O



0, 0, 0 ,

 

A



2, 2, 0 ,

 

B

3, 6, 3





三點決定的平面上，且

OP xOA yOB





，求

_{x y k}

_{, ,}

的值。 Ans：

【詳解】 因為

OP xOA yOB





，所以



1, 5,

k

 

 

x

2, 2, 0

 



y

3, 6, 3







2

x

3 , 2

y x

6 , 3

y

y



  





， 得聯立方程式

2

3

1

2

6

5

3

x

y

x

y

y k

  



  



 



，

由 解得

1

,

2

2

3

x



y



，代入 ，再得

_{k }

₂

。 【隨堂練習 8】 已知空間中的一點

P



4, 1, 7

 



落在

O



0, 0, 0 ,

 

A

1, 0, 3 ,



 

B



2,1,1



三點決定的平面上，且

OP xOA yOB





，求

x y

,

的值。 Ans： 【詳解】 因為

OP xOA yOB





， 所以



4, 1, 7

  

 

x

1, 0, 3

  

 

y

2,1,1

 

 

x

2 , , 3

y y

 

x y



， 得聯立方程式

2

4

1

3

7

x

y

y

x y

 



 



  



由 解得

x



2,

y



1

，代入 符合。 利用向量的線性組合，可以表示空間中的線段或平行四邊形區域，舉例如下。

【例题 9】 設

OA

與

OB

為空間中兩個不平行的非零向量，且令

OP xOA yOB





。 試依下列各指定範圍標出所有 P 點所形成的區域： (1)

x

 

1,

y

1

。 (2)

_x

  

_1,0

_y

₁

。 (3)

₀

   

_x

_1,0

_y

₁

。 Ans： 【詳解】 設

OA

與

OB

決定的平行四邊形為 OAQB。 (1) 當

_x

 

_1,

_y

₁

，即

OP OA OB

 

時， P 點恰為平行四邊形 OAQB 的頂點 Q， 如下圖(1)所示。 (2) 先以

1,

1

3

x



y



為例來說明： 當

1

3

OP OA

 

OB

時， P 點恰為

_AO

上滿足

AR RQ

:

1: 2

的R 點。 同理，當

x

  

1,0

y

1

時，可推得， P 點構成平行四邊形 OAQB 的一邊

AQ

， 如下圖(2)所示。 (3) 當

₀

   

_x

_1,0

_y

₁

時， P 點所形成的區域為平行四邊形 OAQB 所圍成的區域 （含邊界），如下圖(3)所示。 (1) (2) (3)

【隨堂練習 9】 承例題 9，若指定範圍為

1

1, 1

1

2

    

x

y

2

，則所有 P 點所形成區域的面 積是

OA

與

OB

決定的平行四邊形面積之多少倍？ Ans： 【詳解】 當

1

1, 1

1

2

    

x

y

2

時， P 點所形成的區域為圖中鋪色的平行四邊形區域（含邊界）。 其面積為

OA

與

OB

決定的平行四邊形面積之

3

4

倍。 （二）分點公式 如圖 13，設 O 為原點，

A x y z



₁

, ,

_{1 1}



與

B x y z



₂

, ,

_{2 2}



為空間中的兩點，點



, ,



P x y z

在線段 AB 上，且

AP PB m n

:



:

。因為 OAPB 四點共平面，所以由平 面向量的分點公式，得

n

m

OP

OA

OB

m n

m n



_



_

。

用坐標表示，得



, ,





1

, ,

1 1





2

, ,

2 2



n

m

x y z

x y z

x y z

m n

m n



_



_

1 2

_,

1 2

_,

1 2

nx mx ny my nz mz

m n

m n

m n













_

_

_

_



_

， ▲ 圖 13 因此，我們有以下的公式。 坐標的分點公式 設

A x y z



₁

, ,

_{1 1}



與

B x y z



₂

, ,

_{2 2}



為空間中兩點。若點

P x y z



, ,



在線段 AB 上，且

:

:

AP PB m n



，則 P 點的坐標為 1 2

_,

1 2

_,

1 2

nx mx ny my nz mz

m n

m n

m n













_

_

_







。 特別地，當 P 為線段 AB 的中點，即

AP PB

:

1: 1

時，P 點的坐標為 1 2

_,

1 2

_,

1 2 1 2

_,

1 2

_,

1 2

1 1

1 1

1 1

2

2

2

x x y y z z







x x y y z z









 

_





 



 



  



。 此與中點坐標公式的結果相同。 【例题 10】 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩 顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天 樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成 一個坐標空間，其中天璇的坐標為



9, 8,1



及天樞的坐標為



7,11, 2



。依上述 資訊求北極星的坐標。 Ans：(3，26，7)

【詳解】 設北極星的坐標為



x y z

, ,



。利用分點公式，得



_{7,11, 2}



1

5 9 1

_,

5 8 1

_,

5 1

1 5

1 5

1 5

x

y

z

        







_

_

_

_



_

， 即

7

45

,11

40

, 2

5

6

6

6

x



y



z









。 解得

x

 

3,

y

26,

z



7

。 故北極星的坐標為





3, 26, 7



。 【隨堂練習 10】 公園立體模型的斜坡是平坦的面，斜坡上標有

A B C

, ,

三點，預計在這三點各 種一棵櫻花樹；在

BC

的中點放一張石椅；在△ABC 的重心立一石碑。現在 景觀設計師將此立體模型設定一個坐標空間，其中

A B C

, ,

三點的坐標如下：



0, 0, 0 ,

 

5, 0, 2 ,

 

7, 6, 4



A

B

C

。求 (1)石椅的坐標。 (2)石碑的坐標。 Ans： 【詳解】 (1) 利用中點坐標公式， 得

_BC

的中點M 之坐標為





5 7 0 6 2 4

,

,

6,3,3

2

2

2









_









。

故石椅的坐標為



6,3,3



。 (2) 設G 為△ABC 的重心。 因為

AG GM 

:

2 : 1

， 所以利用分點公式， 得G 的坐標為





1 0 2 6 1 0 2 3 1 0 2 3

,

,

4, 2, 2

1 2

1 2

1 2

        



_















。 故石碑的坐標為



4, 2, 2



。

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 點

P



1, 2, 3



在 z 軸的投影點為



0, 0, 3



。 (2) 點

P



1, 2, 3



與點

Q 



1, 2, 3



在 yz 平面的投影點相同。 (3) 若點

A



5, 4, 3 ,

 

B

3, 4, 5



，則

AB



2,0, 2





。 (4) 向量

a 

 

1,1, 2

與

b 

 

2,1,1

平行。 (5) 若

OA

與

OB

不平行，且

OP OA tOB

 

，其中

₀

 

_t

₁

， 則所有 P 點所成的圖形為一平行四邊形。 Ans： 【詳解】 (1) ○。 (2) ○：點

P



1, 2,3



與點

Q 



1, 2,3



在 yz 平面的投影點同為點



0, 2,3



。 (3) ╳：

AB 



3 5, 4 4,5 3

   

 

2,0, 2



。 (4) ╳：因為

1 1 2

2 1 1

 

不成立，所以

a

與

b

不平行。 (5) ╳：所有P 點所成的圖形為一線段。

一、基礎題

1. 右圖是空間中的一個長方體，其三邊長分別為

6,

2,

4

OC



CB



BF



，求 A，B，G，F 的坐標。

Ans： 【詳解】 根據空間坐標的定義，得



2, 0, 0 ,

 

2, 6, 0 ,

 

0, 6, 4 ,

 

2, 6, 4



A



B



G

F



。 2. 已知

P



5, 4,3





在 x 軸上的投影點為 Q，求

PQ

的長。 Ans：5 【詳解】 因為

Q



5, 0, 0



，所以





2



 



2





2

5 5

0

4

0 3

25 5

PQ

      



。 3. 空間中，已知

A



2, 0, 2 ,



 

B

3, 1, 2





，且 y 軸上一點 P 滿足

2

AP



AB

，求 P 點的坐標（兩解）。 Ans：(0，8，0)或(0，8，0) 【詳解】 設 P 點的坐標為



0, , 0

y



。 因為

AP



2

AB

，所以

 

2 _{2 2 2}

 

2 ₂

2

y

2

2 1

1

4

   

  

， 兩邊平方，得

y  

2

8 72

，解得

y

8

。 故 P 點的坐標為



0,8, 0



或



0, 8, 0





。

4. 已知

A

  

1,1,1 ,

B

2,3,

z



為空間中兩點，且

AB 

3

，求向量

AB

（兩解）。 Ans：(1，2，2)或(1，2，2) 【詳解】 向量

AB





1, 2,

z



1



。 因為

AB 

3

，所以

1 2

2

   

2



z

1



2

3

， 即



z

1



2



4

，解得

_z

₃

或



1

。 故

AB



1, 2, 2



或



1, 2, 2





。 5. 已知

a





1, 2, 1 ,





b





6,0, 4





為空間中二向量，求

2 a



b

及

2 a



b

。 Ans：(4，4，2)；6 【詳解】 由向量加法、減法與係數積的坐標表示，得



 





 







2

2 1, 2, 1

6,0, 4

2, 4, 2

6,0, 4

4, 4, 2 ,

a

 

b

 





 



 

 

2 _{2 2}

2

a

     

b

4

4 2

36 6



。 6. 已知

A



6, 2, 4 ,



 

B



3, 5,8



與 C 點三點共線，且 C 點在 xz 平面上，求 C 點的坐標。 Ans：(12，0，12)

【詳解】 設 C 點的坐標為



x

, 0,

z



。因為

A B C

, ,

三點共線， 所以

AB AC

//

。 又因為

AB

 



9,3,12 ,



AC

   



x

6, 2,

z

4



， 所以

9

3

12

6

2

4

x

  





z



， 解得

x



12,

z



12

。 故 C 點的坐標為



12, 0, 12





。 7. 若

OA

與決定的平行四邊形面積為 3，且

OP xOA yOB





， 其中

    

1

x

2,2

y

4

，則所有 P 點所形成區域的面積為何？ Ans： 【詳解】 當

    

1

x

2,2

y

4

時， P 點所形成的區域為圖中鋪色的平行四邊形區域（含邊界）。 其面積為

OA

與

OB

決定的平行四邊形面積之 6 倍， 即

_{6 3 18}

 

。 8. 已知

A



1, 3, 5 ,



 

B

5, 5,1



為空間中兩點，P 為直線 AB 上一點， 且

AP PB

:

3 : 1

，求 P 點坐標（兩解）。 Ans： 【詳解】

(1) 當P 點在線段

AB

上時，利用分點坐標公式， 得P 點坐標為

 

_

_

1 1 3 5 1

3 3 5 1 5 3 1

,

,

4,3, 2

4

4

4

           









。 (2) 當P 點不在線段

AB

上時，因為

AP PB

:

3 : 1

， 所以

PB AB

:

1: 2

。 設P 點坐標為



x y z

, ,



。利用分點坐標公式， 得



5,5,1



2 1 2

,

 

3 2

,

5

3

3

3

x

y

z

B



 

_

 

 



_

， 即

2

1

5,

2

3

5,

2

5

1

3

3

3

x



_

y



_

z



_

。 解得

x

  

7,

y

9,

z

1

， 即點坐標為



7,9, 1





。 綜合(1)(2)，得P 點坐標為(4，3，2)或(7，9，1)。 9. 已知

A



1, 2, 3 ,

 

B

5, 3,1 ,

 

C 

3, 4, 2



為空間中三點， 求△ABC 的重心坐標。 Ans：(1，3，2) 【詳解】 設 G 為△ABC 的重心，M 為

BC

的中點。 由中點公式，得

5

 

3 3 4 1 2

,

,

1, ,

7 3

2

2

2

2 2

M

  



_



  

 

_{ }







_

。 因為

AG GM 

:

2 : 1

，所以由坐標的分點公式，得





7

3

2

1 2 2

1 3

2 1 1 1

_,

₂

_,

₂

_{1,3, 2}

2 1

2 1

2 1

G



_{  }

_{  }





  



_















。

二、進階題

10. 已知向量

a 



3, 4,12





，求與

a

方向相反且長度為 5 的向量。 Ans： 【詳解】 因為

_{a }

₃

2

  

 

₄

2

₁₂

2



₁₃

_， 所以所求向量為





5

5

15 20

60

3, 4,12

,

,

13

a

13

13 13

13











 

_

_



_

_

。 11. 下圖是空間中的一個長方體，原點 O 及

P



2, 3, 4



為長方體 的二個頂點。已知 C 點在對角線

_AB

上，且

AC CB

:

3 : 2

， 求 C 點的坐標。 Ans： 【詳解】 根據空間坐標的定義，得



0, 0, 4 ,

 

2,3, 0



A

B

。

利用分點坐標公式，得

2 0 3 2 2 0 3 3 2 4 3 0

6 9 8

,

,

, ,

2 3

2 3

2 3

5 5 5

  

  

  



 

_





_

_

_

 





 



。 12. 已知空間中三點

A



1, 2, 3 ,

 

B

5, 5, 3 ,

 

C

3, 3, 5



，



BAC

的 平分線交

BC

於 D 點，且

AD xAB yAC





，求

x y

,

的值。 Ans： 【詳解】 因為

AB



4 3 0

2

  

2 2

5,

AC



2 1 2

2

  

2 2

3

， 所以

BD DC AB AC

:



:



5 : 3

。 利用分點公式，得

3

5

8

8

AD



AB



AC

。 故

3

,

5

8

8

x



y



。 13. 右圖為一個長方體，K 為矩形 CDHG 的中心。

已知

AK xAB yAD zAE







，求

x y z

, ,

的值。

【詳解】 令 M 為

_CD

的中點。利用向量的分解，得





1

1

2

2

1

1

2

2

AK AC CM MK

AB AD

AB

AE

AB AD

AE















 

_

_

_

_









。 故

1

,

1,

1

2

2

x



y

 

z

。 14. 為了美化舞台畫面，燈光師設定一個坐標空間，並從點



0, 0, 2



A

朝向點

B



4, 3,1



發射一雷射光束，使得光束恰好 射在地面的落水孔上。已知地面所在的平面為 xy 平面， 求該落水孔的坐標。 Ans： 【詳解】 因為落水孔在 xy 平面上， 所以可設落水孔的坐標為

C x y



, , 0



。 又因為

A B C

, ,

三點共線， 所以

AB



4,3, 1





與

AC x y





, , 2





平行。 因此

2

4 3

1

x y 

  

，解得

x

 

8,

y

6

。 故落水孔的坐標為



8, 6, 0



。