多項式函數

多項式函數

例題_{3 設 f (x) = 2x}2 − 3x + k , 不論 x 為任何實數, 所對應的 f (x) 值恆為正數, 求實 數 k 的範圍? [Ans:k > 9 8 ] 例題_{4 一矩形周長為20, 求其矩形面積最大值, 又面積最大時其長與寬分別為何?} [Ans:面積最大 A = 25 長、 寬為5] 例題_{5 將函數 f (x) = 2x}2 的圖形, 向左移 3 單位, 再向上移 4 單位, 所得之新圖形為 y = g(x) 的圖形, 求 g(x) 為何? [Ans:g(x) = 2(x + 3)2 + 4] 例題_{6 找出二次函數 f (x) = 2x}2 − 4x + 5 的頂點坐標及對稱軸方程式? [Ans:V (1, 3), L : x = 1] 例題_{7 坐標平面上, 二次函數 y = ax}2 + bx + c 圖形所表示的拋物線, 其對稱軸為 x = 1 且圖形通過 P (2, 6), Q(−1, 12) 求 a, b, c 的值? [Ans:a = 2, b = −4, c = 6] 多項式的運算與應用 例題_{1 求多項式 2x}4 − 7x2 − 9x − 5 除以 x2 − 2x − 1 的商與餘式? [Ans:商:2x2 + 4x + 3 餘式 x − 2] 例題_{2 求特定項:} (a) 設 x 的多項式 x2 +3 等於 a(x−1)(x−2)+b(x−2)(x−3)+c(x−1)(x−3) 求 a, b, c 值? _{[Ans:: a = 6, b = 2, c = −7 ]} (b) 已知兩多項式 x3 + 3x2 − 4x + a 與 (x2+ x − 1)(x + b) − 5x + 5 相等, 求 a, b 值? [Ans:: a = 3, b = 2] (c) 設 f (x) = 3x3 − 5x2 + 4x − 1, g(x) = x2 + x + 2 求 f (x) ÷ g(x) 之商式 與餘_{式? [Ans:: 商 3x − 8, 餘式 6x + 15]} 1

https://sites.google.com/site/hysh4math _· (d) 設 f (x) = 3x4 − 16x3+ 23x2 + 11x − 29 = a(x − 2)4 + b(x − 2)3 + c(x − 2)2 + d(x − 2) + e 求 a, b, c, d, e 值? [Ans:: a = 3, b = 8, c = −1, d = 7, e = 5] (e) 用綜合除法求 4x4 − x2 + 5 除以 (2x − 3) 的商式與餘式? [Ans:: 商 2x3 + 3x2 + 4x + 6, 餘式 23 ] 例題_{3 設 x}4 + 2 = (x2 + 2x − 5)(x2 + ax + b) − 28x + 47 求 a, b 值? [Ans:: a = −2, b = 9 ] 例題_{4 若多項式 2x}3 − x2 + bx + a 可被 (x − 2)(x + 3) 整除, 求 a, b 值? [Ans::a = 18, b = −15] 例題_{5 若 f (x) = 2x}5 − 13x4− 9x3+ 11x2 + 15x − 17 , 求 f(7) 值? [Ans::f (7) = −59] 例題_{6 試分解出 f (x) = 6x}4 − 5x3 + 9x2 + 4x − 4 的整係數一次因式? [Ans::f (x) = (2x − 1)(3x + 2)(x2 − x + 2)] 例題_{7 設多項式 f (x) 除以 x − 1 的餘式為5, 除以 x + 2 的餘式為 −1, 則 f(x) 除以} (x − 1)(x + 2) 的餘式為何? [Ans:: 2x + 3] 例題_{8 求 x}100 − 10x + 9 除以 (x − 1) 的餘式? [Ans::0] 例題_{9 找出多項式 f (x) = 16x}3 − x2 + 11_{6 x − 1} 的一次因式? [Ans:: f (x) = 16(x − 1)(x − 2)(x − 3)] 例題_{10 設多項式 f (x) 分別除以 x − 1, x − 2, x − 3 所得餘式依次為 5, 10, 17 , 且 f(x)} 除以 (x − 1)(x − 2)(x − 3) 的餘式為 r(x), 求餘式 r(x) ? [Ans:x2 + 2x + 2 例題_{11 已知多項式次數不超過3次, 且滿足 f (1) = 7, f (2) = 6, f (3) = 11, f (4) = 28,} 求 f (5) 的值? [Ans:63 多項式方程式

例題_{1 設 a, b ∈ R , 且滿足 (2a − 1) + (ab − 5)i = 5 + 4i , 求 a, b 值?} [Ans::a = 3, b = 3] 例題_{2 化簡} √ 5 √ −3 =? 又 √ −5 √ 3 =? [Ans:− √ 15i 3 , √ 15i 3 ] 例題_{3 判別二次方程式的根解:} (a) 有理係數方程式整數解的個數: 2x2 − x − 3 = 0 [Ans:整係數因式分解法;1個] (b) 有理係數方程式有理數解的個數: 2x2 − x − 3 = 0 [Ans:判別式 ∆ 為有理數完全平方數;2個] (c) 實係數方程式實數解的個數: x2 − 5x + 5 = 0 [Ans:判別式 ∆ > 0 ;2個] · 2 · ∼順伯的窩 ∼

https://sites.google.com/site/hysh4math _· (d) 複係數方程式實數解的個數: 2x2 + 2(1 − i)x + (1 − i) = 0 [Ans:設α 為實數解, 代入, 比較實虛部。 無解 ⇒ 兩複數根] (e) 複係數方程式實數解的個數: x2 + (1 − i)x − i = 0 [Ans:設α 為實數解, 代入, 比較實虛部。α = −1 ⇒ 有一實根−1, 一複數根i (根與係數關係)] 例題_{4 設二次方程式 x}2 − x − 11 = 0 的兩根為 α, β , 求 α_{β +} β_{α 的值?} [Ans:−2311 ] 例題_{5 已知方程式 x}4 − 6x3 + 16x2 − 20x + 12 = 0 有一根是 2 + √2i , 試解這方程 式? _{[Ans:x = 1 ± i, 2 ±}√2i] 例題_{6 已知方程式 x}3 − 2x − 7 = 0 恰有一正根, 則此正根介於哪兩連續整數之間? [Ans:(2, 3)] 例題_{7 求方程式 x}4 − 5x2 − 10x − 6 = 0 的有理根? [Ans:−1, 3 例題_{8 設方程式 x}3 − 3x2− 13x + k = 0 的三個根成等差數列, 試求 k 值, 並求此方程 式的根? _{[Ans:k = 15; 三根 −3, 1, 5]} 多項式不等式 例題_{1 解一次不等式 1 < −3x + 1} 4 ≤ 7 [Ans:−9 ≤ x < −1] 例題_{2 解不等式 x}3 − 5x2 + 2x + 8 < 0 _{[Ans:x < −1, 2 < x < 4]} 例題_{3 若不等式 ax}2 + 5x + b > 0 的解為 −12 < x < 3 , 求實數 a, b 值? [Ans:a = −2, b = 3] 例題_{4 設 a, b 為實數, 且二次不等式 −x}2 + ax + b > 0 的解是 −2 < x < 3 , 求a, b 的 值? [Ans:a = 1, b = 6] 例題_{5 解不等式 x}8 − 1 < 0 [Ans:−1 < x < 1] 例題_{6 已知多項式函數圖形如右; 問 f (x) > 0 的解為何? 方程式 f (x) = 0 的根為何?} [Ans:x < −2, −1 < x < 1, x > 1; x = −2, −1, 1] x y y = f (x) −2 −1 1 例題_{7 解不等式:} (a) (x − 1)2 (x + 2)(x − 3) < 0 [Ans:−2 < x < 3, x 6= 1] · 3 · ∼順伯的窩 ∼

https://sites.google.com/site/hysh4math _· (b) (x − 1)3 (x + 2)(x − 3) < 0 [Ans:x < −2, 1 < x < 3] (c) (x − 1)(x2 + 4x + 3)(x − 2) > 0 [Ans:x > 2, −1 < x < 1, x < −3 ] · 4 · ∼順伯的窩 ∼