• 沒有找到結果。

國中數學2 5 1認識一元一次不等式

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "國中數學2 5 1認識一元一次不等式"

Copied!
10
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

5−1 認識一元一次不等式

一、一元一次不等式: 若不等式中只有一種未知數,且未知數的次數為 1 (一次),則此不等式就稱為一元一次不等式。 例如:x<25、2y-3>7、5 ≤ 4x<21 都稱為一元一次不等式。 【說明】如果把車輛的時速設為 x 公里,則 (1)「時速不高於 80 公里」表示 x 要小於或等於 80 公里。可以將「x<80 或 x=80」合併用 「x ≤ 80」表示,其中符號「 ≤ 」代表「小於或等於」的意思。 (2)「時速不低於 60 公里」表示 x 要大於或等於 60 公里。可以將「x>60 或 x=60」合併用 「x ≥ 60」表示,其中符號「 ≥ 」代表「大於或等於」的意思。 假設小恩的年齡為 x 歲,小恩外婆的年齡為 y 歲,則 (1)若小恩的年齡未滿 6 歲,即「x<6」。 (2)若小恩外婆的年齡為 65 歲以上(含),即「y ≥ 65」。 (3)若以萱比小恩大 2 歲,且以萱已年滿 6 歲,但未滿 12 歲,即「x+2 ≥ 6,且 x+2<12」。 像上述 x<6、y ≥ 65、x+2 ≥ 6、x+2<12 等這類型含有不等號<、>、 ≤ 、 ≥ 的式子,稱為 不等式。如果不等式中,只有一種未知數,且未知數的次數為 1 (一次),則此不等式就稱為 一元一次不等式,上面出現的不等式都是一元一次不等式。 ◎習慣用語和不等號的對照表: 習慣用語 不等號 (1) 大於、超過、高於 > (2) 小於、未滿、低於、不到、不夠、不足 < (3) 不小於、不低於、至少、以上(含) ≥ (4) 不大於、不超過、不逾、不高於、至多、以下(含) ≤ 練習 1:將下面的敘述改寫成不等式。

(1) 2x 超過 5 (2) 5x+4 未滿 23 (3) 3y-10 不小於 36 (4) 2-5y 不大於 3y+14

練習 2:將下面的敘述改寫成不等式。 (1) 3x 不超過 18 (2) 36 比 4y-9 大 (3) 2x-3 不低於 40 (4) x+30 小於 45-2x 練習 3:依下列情境列出 x 的不等式。 (1)小孟現在的體重是 x 公斤,為了健康起見,他計畫在三個月後增重 6 公斤,使體重超過 60 公斤。 (2)小佑帶 100 元到文具店買螢光筆,若 1 枝螢光筆售價 x 元,他選了 5 枝相同的螢光筆, 結果店員說小佑帶的錢不夠付帳。 練習 4:依下列情境列出 x 的不等式。 (1)一長方形的長為 10 公分,寬比長少 x 公分,且面積不到 60 平方公分。 (2)一個學期有三次數學測驗,三次總分達 270 分以上(含)可得到獎勵。小妍三次測驗的分數 分別為 86 分、91 分、x 分,且小妍得到獎勵。

(2)

【觀念釐清】生活中常見到有上下範圍的情境描述,也可以用不等式來表示。 例如:平信信函的重量若超過 20 公克,但不逾 50 公克時,所需的郵資為 10 元; 不同縣市互寄的掛號包裹重量若不超過 5 公斤,所需的郵資為 80 元。 假設平信信函的重量為 x 公克,那麼當 20<x ≤ 50 時,所需的郵資為 10 元。 假設不同縣市互寄的掛號包裹重量為 y 公斤,那麼當 0<y ≤ 5 時,所需的郵資為 80 元。 練習 5:下表是將學生考試成績(最低 0 分,滿分 100 分)轉換成優、甲、乙、丙、丁五個等第的對照表: 等第 分數 90 分以上(含) 80 分以上(含),未滿 90 分 70 分以上(含),未滿 80 分 60 分以上(含),未滿 70 分 未滿 60 分 (1)若小育考 x 分得到甲等,試以不等式表示 x 的範圍。 (2)若小易考 y 分得到丁等,試以不等式表示 y 的範圍。 (3)若英杰考 a 分得到丙等,試以不等式表示 a 的範圍。 (4)若明澤考 b 分得到優等,試以不等式表示 b 的範圍。 二、一元一次不等式的解: 使一元一次不等式成立的數,稱為該不等式的解。 例如:x=3 能使不等式 2x+3>5 的不等號成立,所以 x=3 是不等式 2x+3>5 的解。 練習 6:下列哪些數是不等式 3x-7 ≤ 9 的解? (1)-2 (2) 8 (3) 5 1 3 【觀念釐清】一般而言,在沒有其他條件的限制下,一元一次不等式的解不只一個。 練習 7:下列哪些數是不等式 15>8+2x 的解? (1) 2 (2)-5 (3) 3 1 2

(3)

練習 8:下列哪些數是不等式-3 ≤ x<5的解? (1)-1 (2) 3 2 (3) 7 練習 9:下列哪些數是不等式-3<2x ≤ 11的解? (1)-4 (2) 1 2 (3) 5 三、圖示一元一次不等式的解: 不等式 x<a x ≤ a 圖 示

a

a

不等式 x>a x ≥ a 圖 示

a

a

練習 10:在數線上圖示下列各不等式的解。(1) x<1 (2) x ≥ -2 【觀念釐清】圖中符號「 」是一個空心的圓圈,代表坐標為 1 的點不在這不等式的圖內; 圖中符號「 」是一個實心的圓圈,代表坐標為-2 的點包含在這不等式的圖內。 練習 11:在數線上圖示下列各不等式的解。(1) x>-3 (2) x ≤ 3 2 練習 12:在數線上圖示不等式-3<x ≤ 2 的解。 練習 13:在數線上圖示下列各不等式的解。(1)-4 ≤ x ≤ 1 (2) 3>x>-2

(4)

自我評量 1. 依下列情境列出 x 的不等式。 (1)小恩今年 x 歲,小岩今年 12 歲,已知小恩比小岩大,而且兩人至少相差 8 歲。 (2)小渝帶 500 元到速食店,點了 2 個 80 元的雞腿堡後,剩餘錢不夠再買 3 份每份 x 元的 1 號餐。 (3)小萱跟 7 個朋友一起搭電梯,若小萱的體重是 45 公斤,7 個朋友的平均體重為 x 公斤,已知 電梯的載重不能超過 600 公斤,且小萱跟 7 個朋友可以一起順利搭乘。 2. 一年甲班有學生 35 人,其中 20 位是男生。某次數學平時考,全班的平均分數不低於 70 分, 也不高於 85 分。假設男生的平均分數為 x 分,女生的平均分數比男生的平均分數多 2 分, 試回答下列問題: (1)以 x 的一元一次式表示全班的總分。 (2)以 x 的一元一次式表示全班的平均分數。 (3)根據「全班的平均分數不低於 70 分,也不高於 85 分」,列出 x 的一元一次不等式。 3. 媽媽給小諒 100 元買文具,已知一枝原子筆 8 元,一個橡皮擦 5 元,若小諒買了 x 枝原子筆和 6 個 橡皮擦,回答下列問題: (1)因為媽媽只給小諒 100 元,所以小諒買文具的總錢數不能超過 100 元,試列出 x 的一元一次 不等式表示此情境。 (2)小諒的錢是否足夠購買 10 枝原子筆和 6 個橡皮擦? (3)小諒的錢是否足夠購買 4 枝原子筆和 6 個橡皮擦? 4. (1)判斷下列哪些數是不等式 5x+16 ≥ 88 的解。 20 14 2 5 -3.1 (2)判斷下列哪些數是不等式 32 ≤ 5x+7<70 的解。 -5 4.5 12 5. 在數線上圖示下列各不等式的解。(1) x ≤ 5 1 2 (2)-3<x ≤ 1

(5)

習作 1. 依下列題意列出不等式。(不需化簡) (1)阿澤身高 x 公分,英傑身高 172 公分,阿澤的身高至少比英傑高 5 公分。 (2)小語的體重 45 公斤,阿豪的體重 x 公斤,小語的體重不到阿豪的 2 3 倍。 (3)小胖現在 70 公斤,三個月前的體重是 x 公斤,他所減少的重量超過現在體重的 101 。 (4)若一個二位數的十位數字與個位數字的和為 13,已知此二位數的十位數字是 x,且此二位數 不大於 70。 2. 小琪身高 x 公分,以萱比小琪矮 15 公分,恩恩比以萱高 3 公分。(不需化簡) (1)以 x 的一次式表示以萱的身高。 (2)以 x 的一次式表示恩恩的身高。 (3)若小琪、以萱、恩恩三個人的身高總和至少 375 公分,試根據此敘述列出 x 的一次不等式。 3. 「七年五班要不要做班服?」這個提案提出後,需經過表決,如果同意的人數超過全班的一半,則 此提案才能通過。已知全班的人數為 34 人,同意的人數為 x 人,則此提案通過時,x 的範圍為何? 4. 下表是超速快遞公司的郵資計費表。 重量(公克) 費用(元) 類別 不逾 20 超過 20 不逾 50 超過 50 不逾 100 超過 100 不逾 250 限時郵件 10 15 20 30 航空郵件 60 65 70 80 (1)若寄 x 公克的限時郵件需付 15 元,則 x 的範圍為 。 (2)若寄 y 公克的航空郵件需付 70 元,則 y 的範圍為 。 (3)若寄 z 公克的航空郵件需付 60 元,則 z 的範圍為 。 (4)若寄 100 公克的限時郵件,則需付 元。 (5)若寄 50 公克的航空郵件,則需付 元。 5. 在 5、20 3 、7 三數中,哪些是不等式 3x+3 ≥ 23 的解?

(6)

6. 在數線上圖示下列各不等式的解。 (1) x>1 2 (2) x ≤ -11 4 (3) -1 ≥ x ≥ -5 (4) -53 ≤ x<2 7. 小萱買了 4 本同價錢的書和一個 120 元的飾品,給老闆一張 500 元鈔票,找回的錢超過 90 元, 若每本書為 x 元,則 (1)依題意可列出一元一次不等式為 。 (2)每本書的價錢可能為下列何者? (A) 70 元 (B) 72 元 (C) 75 元 (D) 80 元。(可複選) 8. 若三角形的底為 6,高為(x-2),其面積大於 10,但不超過 15,則: (1)依題意可列出一元一次不等式為 。 (2)已知高為正整數,那麼 x 最大為多少? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9。 類題補充 1. 小妍和家人去逛夜市,共點了 4 盤炒麵和 3 碗湯,付了一張 500 元鈔票還可以找錢。若每碗湯 x 元, 且每盤炒麵比湯貴 30 元,則 (1)依題意列出 x 的一元一次不等式。 (2)一碗湯最多賣多少錢? 2. 小美帶 400 元到書局買每本 20 元的筆記本和每枝 15 元的原子筆;若小美買的筆記本數量比原子筆 少 5,則她最多可買 本筆記本。 3. 花蓮市的計程車資規定如下:上車起跳價為 70 元,走了若干公尺後開始跳表,每跳一次表加 5 元。 今媽媽坐計程車除了起跳價 70 元之外,還跳了 x 次表,下車時付 250 元還可以找錢,則 (1)用 x 的一次式表示媽媽應付的車資。

(7)

4. 將下列各敘述改寫成一元一次不等式: (1)小馬參加日月潭舉辦的長泳比賽,去程每分鐘前進 40 公尺,回程每分鐘前進 30 公尺, 已知長泳比賽單程的長度為 x 公尺,若游完全程所花的時間未滿 1 小時,依題意可 列出不等式為 。 (2)公園的入場券全票一張 40 元,半票一張 20 元,今共買了 12 張票,但總價不超過 400 元, 設全票買 x 張,依題意可列出不等式為 。 (3)阿明的妹妹有零用錢 x 元,阿明的零用錢是妹妹的 3 倍,給妹妹 200 元後,如果此時阿明的 零用錢少於妹妹的零用錢的 2 倍,依題意可列出不等式為 。 (4)科學館的入場券全票一張 100 元,半票一張 70 元,老師全家共買了 10 張票,付一張千元鈔票 還有找錢。設全票買 x 張,依題意可列出不等式為 。 5. 已知 x 是整數,則滿足-3<x≦3 的 x 值有多少個? 6. 依題意列出一元一次不等式: (1)銀沙巧克力一條 20 元,哈啾軟糖一條 15 元,媽媽兩種都買,共買 25 條,總價不超過 500 元 (假設銀沙巧克力買 x 條): 。 (2)有甲、乙兩個箱子,甲箱重 47 公斤,其重量比乙箱的 3 倍還重,且比乙箱的 4 倍還輕 (假設乙箱重 x 公斤): 。 7. 右表為寄信到歐洲的郵資計費方式的一部分。例如: 信件 40 公克,郵資 35 元;信件 41 公克,郵資 35 元,……; 信件 50 公克,郵資 40 元。若小文寄一封信到英國, 需貼上 45 元的郵票,設信件重量為 x 公克, 則 x 的範圍為 。 50 45 40 35 30 25 20 15 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90(公克) (元)

(8)

8. 在小於 10 的正整數中,有 個數是不等式 3x-2>9 的解。 9. 已知滿足-7<x<a 的整數 x 有 17 個,則 a 可以是下列哪一個數? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 10. 有數顆等重的櫻桃和數個大小砝碼,其中每個大砝碼重 5g, 每個小砝碼重 1g。右圖是櫻桃與砝碼放在等臂天平上的兩種 情形,則下列何者正確? (A) 5 1 (B) 5 5 1 1 1 (C) 5 5 5 (D) 5 5 5 5 1 1 11. 列出下列各情境的一元一次不等式: (1)哥哥原有 500 元,弟弟原有 300 元,若兩人同時各用掉 x 元,則哥哥所剩的錢不到弟弟所剩錢 的 4 倍: 。 (2)已知一件衣服的成本為 x 元,先將成本加四成後當做定價,之後再打八折賣出,利潤介於 200 和 300 元之間: 。 (3)某一旅遊團體 40 人一起去參觀某動物園,其中買半票的有 x 人。已知全票每張 50 元,半票 每張 30 元,總共花費的金額不到 2500 元: 。 5 5 5 1 5

(9)

加強練習 1. 長方形的周長 50 公分,已知寬是 w 公分,如果長超過 18 公分,則可以列出下列哪一個不等式? (A) 25- w 2>18 (B) 25- w 2<18 (C) 25-2w>18 (D) 25-w>18。 2. a=-3 可以是下列哪一個不等式的解?

(A) a-5≧-3 (B) 2a+1<3a-2 (C) 2-a≧4 (D) 4-3a≦2a+5。

3. 小丸子今年 9 歲,而爺爺與小丸子相差 54 歲;a 年前,小丸子的年紀還不到爺爺年紀的 1 9。 根據以上的敘述,可列出下列哪一個不等式? (A) 9-a≦1 9 (54-a) (B) 9-a≦ 1 9 (63-a) (C) 9-a< 1 9 (54-a) (D) 9-a< 1 9 (63-a)。 4. 濃度 9%的食鹽水 b 公克,若加入 70 公克的水,則其濃度會降到 3%以下。根據以上敘述,可以列出 下列哪一個不等式? (A) (b+70)×9%≦70×3% (B) (b+70)×9%>70×3% (C) b×9%≦(b+70)×3% (D) b×9%>(b+70)×3%。 5. 某段隧道全長 6 公里,有一輛汽車以每小時 80 公里到 100 公里之間的速率通過該隧道。下列何者 可能是該車通過隧道所用的時間? (A) 7 分鐘 (B) 6 分鐘 (C) 5 分鐘 (D) 4 分鐘。 6. 阿欽今年的年齡為 x 歲,比阿傑今年的年齡少 8 歲,如果阿傑現在年齡比阿欽兩年後年齡的 2 倍還 要多,可列出一元一次不等式為何? (A) x+8>2(x+2) (B) x-8>2(x+2) (C) x+8>2x+2 (D) x-8>2x+2。 7. 五年前父子的年齡和為 50 歲,已知父親今年 y 歲,而且八年後兒子年齡的 3 倍比父親的年齡還大。 根據以上的敘述,可列出下列哪一個不等式?

(A) 68-y>3y+24 (B) 60-y>3y+24 (C) 204-3y>y+8 (D) 180-3y>y+8。

8. 若一個二位數的十位數字與個位數字和為 15,已知此二位數的十位數字為 x,且此二位數減 30 後, 不小於 55,依題意可列出下列哪一個不等式?

(A) 9x+15≧55 (B) 15x-30≧55 (C) 9x-15≧55 (D) 9x-10≧55。

9. 彎彎量販店賣的商品都照成本加兩成作為定價,週年慶時大減價,若一臺 MP3 比定價便宜 1000 元 售出,其利潤不高於成本 A 元的 8%,則依題意可列出下列哪一個不等式?

(A) (A+0.2)-1000-A>A×8% (B) (A+0.2)-1000-A<A×8% (C) 0.2A-1000≧A×8% (D) 0.2A-1000≦A×8%。 10. 下列何者是一元一次不等式 3x+4 3 - x-1 2 <x- 1 6的解? (A) x=0 (B) x=2 (C) x=4 (D) x=6

(10)

Ans:1.(D);2.(C);3.(D);4.(C);5.(D);6.(A);7.(C);8.(C);9.(D);10.(D)。

參考文獻

相關文件

我們已經學過了一元一次方程式與二元一次方程式,在本章中,我們將學習一元二次

學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N4「倍數和因數」中認識因

[r]

圖說明初學者的認知:

第一節 中國和朝鮮的數學交流 第二節

You only need to write down the letter preceding the selected answer?. What is this

索隆目前蒐集了5個玩具公仔,魯夫目前蒐集了25個玩具公仔,從下個

中學中國語文科 小學中國語文科 中學英國語文科 小學英國語文科 中學數學科 小學數學科.