4-1-1空間向量-空間向量

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(1)(99 課綱) 第四冊第一章空間向量 1-1 空間概念【目標】能直觀理解空間中的線﹑面及其相互關係，並理解直線與平面垂直及兩平面的夾角的概念與性質，作為探討空間幾何的基礎。【討論】 1. 之前談平面幾何時，各種圖形如點﹑直線﹑三角形﹑圓都在同一平面上。那時，平面似乎顯得理所當然，無需強調平面的存在；現在，我們要跳脫平面，在空間中看問題，而空間中有不同的平面。首先，我們就要來探討平面的概念，及其相關性質。我們由繃緊的絲線﹑直尺的邊緣﹑…等等真實的形體，抽象出可以無窮延伸的直線；也可由日常所見的地板﹑桌面﹑卡片﹑…，抽象出可以往各方向無限延展的平面。幾何問題常藉著畫圖幫助理解，實際上，直線常畫成像線段一樣有端點；同樣的，畫平面時，也常畫成有邊界的樣子，例如：平面 E 上有一直線 L ，就畫成如圖。. 2.. 基於直觀的認知。平面有下列基本性質：空間中平面的基本性質： I. 若一直線上有相異兩點在一平面上，則此直線在該平面上。 II. 若兩相異平面有交點，則兩平面交於一線。 III. 若有不共線的三點，則過此三點恰有一平面。(不共線三點決定一平面) 由平面的三個基本性質，我們可以推論出空間中直線與平面彼此間的一些關係： (1)一直線及不在此直線上的一點決定一平面。 (2)相交兩相異直線決定一平面。 (3)直線與平面的相交關係恰有三種，即(a)直線與平面不相交。(又稱平行，如圖) (b)直線與平面恰交於一點。(如圖) (c)直線在平面上。 (4)相異兩平面的相交關係恰有兩種，即(a)兩平面不相交。(又稱平行，如圖) (b)兩平面恰交於一直線。 (5)相異兩直線的相交關係恰有三種，即(a)兩直線相交於一點。 (b)兩直線共平面不相交。(平行) (c)兩直線不共平面。. 1.

(2) 3.. 4.. 5.. 上述性質是基本性質 I , II , III 導致的必然結果。以「(1)一直線及不在此直線上的一點決定一平面」為例，說明如下：設有一直線 L 及不在 L 上的一點 P ，則可在 L 上取相異兩點 A, B ，於是 A, B, P 為不共線三點，由性質 I 及 III 可知，含直線 L 與點 P 的平面恰有一個。至於其他性質的推導，讀者可自行嘗試。若兩直線 L1 , L2 ，如(5)之(c)所述不共平面，則由(2)知， L1 與 L2 必不相交，此時稱 L1 與 L2 歪斜，或稱 L1 與 L2 是一組歪斜線。設平面 E 上有一直線 L 及不在 L 上的一點 P ，試證：若點 Q 不在平面 E 上，則直線 PQ 與直線 L 不共平面，即 PQ 與 L 歪斜。證明：由於直線 L 及線外一點 P 決定唯一的平面 E ，又點 Q 不在平面 E 上，故沒有同時包含直線 L 及點 P, Q 的平面。因此，直線 PQ 與直線 L 不共平面，即 PQ 與 L 歪斜。空間中兩直線相交時，可以討論它們的夾角。又兩直線相交時必共平面，所以空間中兩直線夾角的意義與平面上兩直線夾角並無不同，當空間中兩直線 L1 , L2 的夾角為直角時，仍稱 L1 與 L2 垂直，記為 L1  L2 。想要在地面上豎立一支標竿時，標竿不能偏斜，以免傾倒，不偏斜的意思就是垂直於地面。為了檢查標竿是否與地面垂直，就得圍繞標竿從各方向觀察有無偏斜，因為標竿要垂直地面，應該從各方向看都不偏不斜。在數學上，當直線 L 與平面 E 交於一點 P 時，若平面 E 上，每一條過點 P 的直線都與 L 垂直，則稱直線 L 與平面 E 垂直，記為 L  E 。然而，平面 E 上過點 P 的直線有無限多，如何確認每一條過點 P 的直線都與 L 垂直呢？事實上，當直線 L 與平面 E 上過點 P 的兩條直線垂直時，由於相交兩直線決定平面 E, L 就會與平面 E 上每一條過點 P 的直線垂直。由此可知，直線 L 與平面 E 交於點 P 時，只要 L 與平面 E 上過點 P 的兩條直線垂直，就可判定直線 L 與平面 E 垂直。所以，將一支標竿豎立在地上時，如果從兩個不同的方向觀察，標竿都是正的，那麼從任何方向看，標竿一定都是正的，也就是標竿垂直地面。. 2.

(3) 6.. 7.. 8.. 建築物的牆面通常與地面垂直，然而兩個面怎樣是垂直？當然，夾角是直角就是垂直。問題是兩個面的夾角如何量度呢？如果將一張卡片對摺，再打開站立在桌面上，如圖。卡片因打開程度的不同，它的兩個面的夾角可大可小，在圖中，  就是這兩個面的夾角。在數學上，當兩平面 E1 , E2 相交於一直線 L ，如圖 1-9(a)。此時，有 4 個像卡片的摺角，其中一個如圖 1-9(b)，這種圖形稱為二面角。假設另有一平面 E 與 L 相交於一點，則平面 E 與此二面角相交的圖形是一個角  ，若取平面 E 與直線 L 垂直，則稱此二面角的角度是角  的角度；換言之，若 P 是直線 L 上一點，點 A, B 分別在平面 E1 , E2 上，且 PA  L, PB  L ，則 APB 的角度就是此二面角的角度，如圖 1-9(c)。顯然此二面角的角度與點 P 在直線 L 上的位置無關。在正四面體( 4 個面都是正三角形)中，設相鄰兩面的夾角為  ，求 cos 的值。解答：設 ABCD 是一個邊長為 a 的正四面體，考慮相鄰兩面 ABC 與 DBC 的夾角。首先，取 BC 中點 M ，並連接 AM 及 DM ，則由 ABC 與 DBC 都是正三角形知 AM  BC ， DM  BC ，故 AMD 的角度即為此二面角的角度。在 AMD 中， 3 a ， AD  a 。 2. AM  DM  a sin 60 . 令 AMD   ，. 3 2 3 1 a)  ( a)2  a 2 1 2 2 。由餘弦定理得 cos  2 3 3 3 3 2 a a 2 2 2  (由 cos  0.3333 查表可得   7032 ) (. 3.

(4) 當兩平面 E1 , E2 相交於一直線時，形成 4 個二面角，對頂的二面角角度相等，相鄰的二面角角度互補，所以只要有一個二面角是直角，則 4 個二面角都是直角，就稱平面 E1 與 E2 垂直，記為 E1  E2 。例如：長方體中，相鄰兩面(所在的平面)都是垂直的。 10. (1)設直線 L 垂直平面 E ，試證：若直線 L 在平面 F 上，則 F  E 。 (2)在正四面體 ABCD 中，試證：若 M 是 BC 中點，則平面 BCD 與平面 AMD 垂直。證明： (1) 設直線 L 垂直平面 E 於點 P ，且平面 F 與平面 E 的交線為 M ，則直線 M 過點 P ，且 L  M 。在平面 E 上作直線 N 垂直 M 於 P ，則 L  N ，故平面 F 與平面 E 所夾的二面角是直角，於是 F  E 。 9.. (2) ABC 與 DBC 都是正三角形， M 是 BC 中點，故 BC  AM 且 BC  DM ，於是直線 BC 垂直平面 AMD ，又直線 BC 在平面 BCD 上，由(1)知平面 BCD 與平面 AMD 垂直。. 4.

(5) 【性質】 1. 決定一平面的條件： (1)不共線的三點。 (2)一直線及線外一點。 (3)相交兩相異直線。 (4)兩平行直線決定一平面。 2. 直線 L 與平面 E 的相交關係： (1) L // E 。 (2) L 與 E 恰交於一點。 (3) L 在 E 上。 3. 相異兩平面 E1 , E2 的相交關係： (1) E1 // E2 。 (2) E1 與 E2 恰交於一直線。 4. 相異兩直線 L1 , L2 的相交關係： (1) L1 與 L2 交於一點。 (2) L1 // L2 。 (3) L1 與 L2 歪斜(不共平面)。 5. 空間中平面的基本性質： I. 若一直線上有相異兩點在一平面上，則此直線在該平面上。 II. 若兩相異平面有交點，則兩平面交於一線。 III. 若有不共線的三點，則過此三點恰有一平面。(不共線三點決定一平面) 上述性質 I , II , III 分別如圖 1-2 , 1-3 , 1-4 所示，其中圖 1-3 是立體圖形，虛線表示被遮蔽的線。. 6. 7. 8.. 9.. 試說明：若平面 E 與兩平行平面 E1 , E2 分別交於直線 L1 , L2 ，則 L1 // L2 。設 E1 與 E2 是兩平行平面，試證：若直線 L1 , L2 分別在平面 E1 , E2 上，且 L1 L2 ，則 L1 與 L2 歪斜。設直線 L 與平面 E 交於一點 P ，若 L 與平面 E 上過點 P 的兩條直線垂直，則 L 與平面 E 上每一條過點 P 的直線垂直，即 L  E 。兩平面 E1 , E2 相交於一直線 L ，形成 4 個二面角，設點 P 是直線 L 上一點，點 A, B 分別在平面 E1 , E2 上，若 PA  L ，且 PB  L ，則 APB 是平面 E1 與 E2 的一個夾角。當 APB 為直角時， E1  E2 。. 5.

(6) 10. 三垂線定理：設直線 L 垂直平面 E 於點 P, M 是平面 E 上不過點 P 的一直線。若過點 P 作 M 的垂線交於點 Q ，則直線 L 上的任一點 A ，必滿足 AQ  M 。反之，若過 L 上任一點 A 作直線 AQ 垂直 M 於點 Q ，則 PQ  M 。. 證明：. 假設點 R 是直線 M 上異於 Q 的一點， 2. 2. 2. 則由 AP  RP 知 AP  RP  AR ， 2. 2. 2. 由 AP  PQ 知 AP  PQ  AQ ， 2. 2. 2. 由 PQ  RQ 知 PQ  QR  PR ， 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 由此可得 AQ  RQ  AP  PQ  RQ  AP  RP  AR ，故 AQ  RQ ，即 AQ 垂直於直線 M 。三垂線定理有另一形式：設直線 L 垂直平面 E 於點 P, M 是平面 E 上不過點 P 的一直線，若過 L 上一點 A 有一直線垂直 M 於點 Q ，則 PQ  M 。. 6.

(7) 【性質】 1. 空間的基本要素：點、線、面、體。 2. 畫圖時，有時配合上虛線可以增加立體感。 3. 直線通常只畫成有端點的線段。 4. 平面通常畫成有邊界的樣子，以有界的型式表示，便於理解與討論。【性質】 1. 空間中，點、線、面有下列基本公設： (1)過空間中兩相異點，恰有一直線存在。 (2)不在同一直線上的三相異點恰決定一平面。 (3)若一直線上有相異兩點在一平面上，則此直線在該平面上。 (4)若兩相異平面上有一共同點，則此兩平面的所有共同點恰為一直線。 (5)過已知直線外一點，恰有一直線平行此直線。 (6)平行於同一直線的兩直線互相平行。 2. 決定空間中一直線的條件： (1)空間中相異兩點。 3. 決定空間中一平面的條件： (1)空間中不共線三點。 (2)一線與不在線上的一點。 (3)相交於一點的兩線。 (4)兩平行線。 4. 空間中直線與平面的關係如下： (1)直線與直線的關係： (a)相交：恰交於一點。 (b)平行：共平面但不相交。 (c)歪斜：不平行且不相交。 (2)直線與平面的關係： (a)相交：直線與平面恰交一點。 (b)平行：直線與平面不相交。 (c)重合：直線在平面上。 (3)平面與平面的關係： (a)相交：兩平面恰交於一直線。 (b)平行：兩平面不相交。註：平行不含重合。【定義】 1. 空間中兩直線平行：空間中相異兩直線共平面而不相交，稱為平行。 2. 空間中兩直線互為歪斜：空間中相異兩直線不共平面，必不相交，稱此兩直線是一組歪斜線。註：空間中既不平行也不相交的兩直線。 3. 空間中兩平面平行：空間中相異兩平面 E1 與 E 2 沒有共同點時， E1 與 E 2 就不相交，稱不平行，記為 E1 // E2 。當 E1 與 E 2 有共同點時， E1 與 E 2 恰交於一直線。. 7.

(8) 【定義】 1. 直線 L 與平面 E 垂直：直線 L 與平面 E 交於一點 P 時，若平面 E 上，每一條過點 P 的直線都與直線 L 垂直，則稱直線 L 與平面 E 垂直。(實際上這些直線都在 E 上，且只要有兩條直線與 L 垂直即可。若只有一條則過此條直線的平面不一定是唯一，或者說過兩條直線的交點又與平面上一直線垂直的直線不一定是唯一的。) 證明：設 L1 , L2 交於點 P 任取 D  L' ，作一直線過 D 交 L1 , L2 分別於 B, C ，取異於點 P 之 A, A' L,  PA  PA' ，則 AB  A' B, AC  A' C, BC  BC  ABC  A' BC ，又 BD  BD  ABD  A' BD ，則 L' 為 AA' 的垂直平分線  L  E ，故得證。註：實際上只要兩條平面上的直線與直線 L 垂直即可得證直線 L 與平面 E 垂直。 2. 稜：兩平面 E1 , E2 相交於一直線 PQ ，此直線稱為稜。 3. 二面角：相異兩半平面與稜的聯集稱為二面角，兩半平面 E, F 稱為此二面角的兩邊或兩面。當二面角為 90 時，稱二面角為直二面角。 4. 二面角的平面角(兩半平面所構成的角)：假設直線 L 是二面角的稜，點 P 在直線 L 上，點 A, B 分別在二面角中的兩平面 E1 , E2 上，且 PA  L, PB  L ，則 APB 的角度是此二面角的平面角。. E1 L. E2. A P.  B. 5.. 6. 7.. 兩平面的垂直與平行：兩平面相交有四個夾角， (1)若兩平面 E1 , E2 的夾角為直角，則稱平面 E1 與 E2 垂直，記為 E1  E2 。 (2)若兩平面 E1 , E2 不相交，則稱平面 E1 與 E2 平行，記為 E1 // E2 。公垂線：與兩歪斜線都垂直相交的直線稱為公垂線。兩歪斜線的距離：公垂線在兩歪斜線間的線段長度，稱為兩歪斜線的距離。. 8.

(9) 【問題】 1. 一個長方體，以其中不同的頂點當始點與終點可以決定幾個不同向量？稜可以決定幾個不同向量？互相歪斜的稜共有幾個？ 2. 設兩平面 E1 , E2 所夾的二面角為  ，現有線段 AB  E1 ，試問 AB 在平面 E 2 上的投影長度為何？是否為 AB | cos  | ？ 3. 設兩平面 E1 , E2 所夾的兩面角為  ，現有 ABC 面積為 S ，試問 ABC 在平面 E 2 上的投影面積為何？是否為 S  | cos  | ？. 9.

(10) 【定理】 1. 若直線 L 與平面 E 交於點 P ，則 L 與 E 垂直的充要條件是平面 E 上有過 P 的兩相異直線 L1 , L2 與直線 L 垂直。註：若只有一條直線與 L 垂直，則過此條直線的平面不一定是唯一。證明： L A E P. Q1 L1 Q2 L2 Q M. B. (1)在直線 L 上取相異兩點 A, B ，使 AP  BP ，設直線 M 為平面 E 上過點 P 的直線，在直線 L1 , L2 , M 上分別取點 Q1 , Q2 , Q ，使這三點共線，連接 AQ1 , AQ2 , AQ, BQ1 , BQ2 , BQ 。 (2)因 L1 , L2 垂直 L 於點 P ，則 L1 , L2 為 AB 的中垂線，所以 AQ1  BQ1 , AQ2  BQ2 ，又 Q1Q2  Q1Q2 ，則 AQ1Q2  BQ1Q2 ，故 AQ1Q2  BQ1Q2 。 (3)因 AQ1  BQ1 , AQ1Q  BQ1Q ，又 Q1Q  Q1Q ，則 AQ1Q  BQ1Q ，故 AQ  BQ 。 (4)因 AQ  BQ ，所以 PQ 為 AB 的中垂線，則LM LE。. 10.

(11) 【性質】 1. 任兩相異直線必有公垂線。 2. 垂直於同一平面之兩相異直線必平行；垂直於同一直線之兩相異平面必平行。 3. 過直線上一點有無窮多直線與此直線垂直；過平面上一點恰可作一直線與此平面垂直。 4. 過直線外一點恰可作一直線與此直線垂直；過直線外一點恰可作一直線與此直線平行；過直線外一點恰可作一平面與此直線垂直；過直線外一點有無窮多平面與此直線平行。 5. 過平面外一點恰可作一直線與此平面垂直；過平面外一點有無窮多直線與此平面平行；過平面外一點有無窮多平面與此平面垂直；過平面外一點恰可作一平面與此平面平行。 6. 平面 E 與不在 E 上的直線 L 若相交，其交點是唯一的。過此交點的直線有無窮多條，其中至少有一條直線與 L 垂直。【問題】 1. 如何定義一組歪斜線的夾角？解：選擇一點 O (可選在任何地方) 過 O 分別作 L1 , L2 的平行線 L1 ' , L2 ' 規定 L1 ' , L2 ' 之夾角為 L1 , L2 的夾角。 2. 試求邊長分別為 a, b, c 的立方體中兩對角線的夾角為何？ 3. 試求正四面體中任意兩面所夾二面角的大小？ 4. 試求正八面體中任意兩面所夾二面角的大小？ 5. 設金字塔型的各稜長均為 a ，試求兩側面所夾的兩面角為何？一側面與一底面所夾的二面角為何？ 6. 試問正立方體的稜長中可以組成幾組歪斜線？ 7. 試問過正立方體的頂點所形成的直線中可以組成幾組歪斜線？ 8. 設正四面體任兩面所夾的二面角為  ，求 cos  之值。 1 (解： ) 3. 11.

(12) 【公式】 1. 正三角形邊長為 a ，則. 3 a。 2 3 2 (2)面積為 a 。 4 (1)高為. 2. 長方體三邊長為 a, b, c ，則對角線長為 a 2  b 2  c 2 。 3. (1)柱體體積  (底面積)  (高)。 1 (2)錐體體積   (底面積)  (高)。 3 (3)球體半徑 r ，則 (a)表面積為 4r 2 。 4 (b)體積為 r 3 。 3 4. 正四面體稜長為 a ，則. 6 a。 3 2 3 (2)體積為 a 。 12 (3)表面積為 3a 2 。 (1)高為. 6 a。 12 6 (5)外接球半徑為 a。 4 (4)內切球半徑為. 12.

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