1-1-3基礎概念-函數的基本概念

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(1)1-3 基礎概念-函數的基本概念【定義】函數：對兩個變數 x, y ，若每個 x 都有一個且只有一個對應的 y 值，我們就說 y 是 x 的函數，記為 y = f (x) 。其中 x 稱為自變數， y 稱為應變數。函數值： x 值對應的 y 值，稱為 x 的函數值。定義域：使 f (x) 有意義之 x 值所成的集合，即自變數 x 取值的範圍稱定義域，一般記為 A。註：通常定義域省略不寫。對應域：函數 f 由 A 映到 B 時， B 稱為 f 的對應域。值域：全體函數值所成的集合稱值域。記為 f ( A) = { f ( x) | x ∈ A} 。【定義】一對一函數：對函數 y = f (x) ，若滿足 f ( x1 ) = f ( x 2 ) ，則 x1 = x 2 ，稱 y = f (x) 為一對一函數。函數圖形：所有滿足 y = f (x) 關係的點 ( x, y ) 所成的圖形，稱為函數 y = f (x) 的圖形，表為 Γ = {( x, f ( x)) | x ∈ A} 。多變數函數：當一個變數是多個變數的函數時稱之。例如 z = f ( x, y ) 。【方法】一對一函數的判別法：作平行於 x 軸的直線 L ，則 L 與函數圖形至多交於一點的是一對一函數。函數的判別法：經過函數 y = f (x) 之定義域中的任何一點 x ，作垂直於 x 軸的直線 L ，則 L 與函數圖形恰交於一點 ( x, f ( x)) 。或說任意畫與 x 軸垂直的直線會與圖形至多交於一點的是函數。【定義】週期函數：函數滿足 f ( x + p ) = f ( x), ∀x ∈ A，其中 p 為某一定值，此時稱 f (x) 為週期為 p 的週期函數。若 p 為滿足條件的最小正實數，稱 p 為函數的最小週期。合成函數：函數 f (x) 與 g (x) 的合成定成 f D g ( x) = f ( g ( x)) 。遞增函數：函數在某一區間內由左往右逐漸增高，則 y = f (x) 在此區間稱為遞增函數。即若 x1 ≤ x 2 ，則 f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) 。遞減函數：函數在某一區間內由左往右逐漸下降，則 y = f (x) 在此區間稱為遞減函數。即若 x1 ≤ x 2 ，則 f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) 。偶函數：若函數 f (x) 滿足 f (− x) = f ( x), ∀x ∈ A ，稱 f (x) 為偶函數。圖形會對 y 軸對稱。 5.

(2) 奇函數：若函數 f (x) 滿足 f (− x) = − f ( x), ∀x ∈ A ，稱 f (x) 為奇函數。圖形會對原點對稱。高斯函數： f ( x) = [x ]，其中 [x ] 為不大於 x 的最大整數。其中 x − 1 < [x ] ≤ x 且 [x ] ≤ x < [ x] + 1 。【問題】是將函數 f (x) 表示成一個奇函數與一個偶函數之和。. 6.

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