高一下第一次期中考數學題庫(40)

CH1-1

一、 單一選擇題

1.

( )若　cosθ＝tanθ，則　sinθ＝？　(Ａ) 2 3 _(Ｂ) 2 2 　(Ｃ) 2 1 5－_(Ｄ) 2 1 3－_(Ｅ) 4 1 5＋_。 答案：(Ｃ) 解析：cosθ＝tanθ　　 θ θ θ＝ cos sin

cos 　　cos2θ＝ sinθ

又

sin

2

θ

＋

cos

2

θ

＝

1

　　sin2_θ＋ sin_θ－1_＝0_

2 5 1 sinθ＝ －  取 2 5 1 sinθ＝ －＋ （∵sinθ＝cos2_θ＞0） 故選(Ｃ)

2.

( )設 θ 為銳角且　tanθ＝3，則3₂sin_sinθ_θ＋_－ 4_5coscosθ_θ ＝？　(Ａ)　2　(Ｂ)　1　(Ｃ)　7　(Ｄ)　11　(Ｅ)　 13。 答案：(Ｅ) 解析：由　tanθ＝3，可考慮如圖3：1： 10之直角三角形

θ

θ－

θ

θ＋

cos

5

sin

2

cos

4

sin

3

＝ 10 1 5 10 3 2 10 1 4 10 3 3     － ＋ ＝ 5 6 4 9 － ＋ _＝13 故選(Ｅ)

一、 多重選擇題

3.

( )選出正確的選項。　(Ａ)　sin70°＞sin50°　(Ｂ)　cos70°＞cos50°　(Ｃ)　sin20°＞cos20°　(Ｄ)　cos50° ＞ 2 1 　(Ｅ) 2 3 85 sin ＞ _。 答案：(Ａ)(Ｄ)(Ｅ) 解析：(Ａ)　○：sin　在第一象限遞增，故　sin70°＞sin50° (Ｂ)　╳：cos　在第一象限遞減，故　cos70°＜cos50° (Ｃ)　╳：cos20°＝cos（90°－70°）＝sin70° 又　sin　在第一象限遞增，故　sin20°＜sin70°　　sin20°＜cos20° (Ｄ)　○： 2 1 60 cos ＝ _{，又　cos　在第一象限遞減，故} 2 1 60 cos 50 cos ＞ ＝ (Ｅ)　○： 2 3 60 sin ＝ _{，又　sin　在第一象限遞增，故} 2 3 60 sin 85 sin ＞ ＝ 故選(Ａ)(Ｄ)(Ｅ)

4.

( )△ABC　中，

AD

垂直

BC

於　D，已知AB＝25， 4 3 tanB＝ ， 13 12 cosC＝ ，則下列敘 述何者正確？　(Ａ)BD＝20　(Ｂ)AD＝15　(Ｃ)AC＝17　(Ｄ)DC＝8　(Ｅ)

1092 高一數學第一次段考題庫 28 ＝ BC 。 答案：(Ａ)(Ｂ) 解析：(Ａ)(Ｂ)　○： BD AD B＝ ＝ 4 3 tan 　　

AD

： AB

DB

：

3

：＝

：

54

＝

15

：

20

：

25

　

AD

＝

15

，

BD

＝

20

(Ｃ)(Ｄ)(Ｅ)　╳：∵ 13 12 cosC＝ 　∴ AC C 15 13 5 sin ＝ ＝ 　　 AC ＝39 故_DC＝392_－152＝36， _BC ＝20＋36＝56 故選(Ａ)(Ｂ)

一、 填充題

5.

如圖，圓　O　為一單位圓，AT及BS 分別切圓　O　於　A、B　點，PQ與_PR分別垂直　x　軸、y　軸於　Q、R　

點，若 8 15 ＝ BS _{，求矩形　PQOR　的周長為【　　　　】。} 答案： 17 46 解析： 15 8 1 tanθ＝ ＝ BS  θ＝ 17＝PQ＝1 PQ 8 sin ， θ＝ ＝OQ＝OQ 1 17 15 cos 　矩形　PQOR　的周長＝ 17 46 2（PQ＋OQ）＝

6.

某機場基於飛航安全考量，限制機場附近建築物，從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不超過　8°。某建 築公司打算在離機場中心　3　公里，且地表高度和機場中心一樣高的地方，蓋一棟平均每樓層高　5　公尺的 大樓。在符合機場的限制規定下，該大樓在地面以上最多可以蓋【　　　　】層樓。（tan8°　　0.1405） 答案：84 解析：如圖，令機場中心位於　O　點 設大樓蓋　n　層樓，則大樓高度

AB

＝

5

n

公尺

3

＝

∵ OA

＝3　公里＝3000　公尺

則 OA AB θ＝ tan ＜tan8°　　0.1405 　5n＜0.1405×3000　　421.5 　n＜84.3 即　n≦84 故最多可蓋　84　層

7.

設 θ 為銳角，已知 3 2 cos sinθ－ θ＝ ，則　sinθ＋cosθ 之值為【　　　　】。 答案： 3 14 解析： 9 4 cos sin_{θ－ θ）}2_＝ （  9 4 cos sin 2 1－ θ θ＝  9 5 cos sin 2 θ θ＝ 2 cos sinθ＋ θ） （ ＝1＋2　sinθcosθ＝ 9 14 9 5 1＋ ＝ 因此 3 14 cos sinθ＋ θ＝ （∵θ 為銳角　∴sinθ＋cosθ＞0）

8.

試求_cos2₁₀_＋cos2₂₀_＋cos2₃₀_＋cos2₄₀_＋cos2₅₀_＋cos2₆₀_＋cos2₇₀_＋cos2₈₀_之值為【 】。

答案：4

解析：_cos2₁₀_＋cos2₂₀_＋cos2₃₀_＋cos2₄₀_＋cos2₅₀_＋cos2₆₀_＋cos2₇₀_＋cos2₈₀

＝

（

cos

2

10



＋

cos

2

80



）

＋

（

cos

2

20



＋

cos

2

70



）

＋

（

cos

2

30



＋

cos

2

60



）

＋

）

＋

（

_cos

2

₄₀



_cos

2

₅₀



＝

（

sin

2

80



＋

cos

2

80



）

＋（_sin2₇₀＋_cos2₇₀）_＋（sin2₆₀_＋cos2₆₀_）＋ ） ＋ （_sin2₅₀ _cos2₅₀ ＝1＋1＋1＋1＝4

9.

△ABC　中，∠C＝90°，AC ：BC＝3：5，BD：CD＝2：3，∠BAD＝θ，則　tanθ＝【　　　　】。 答案： 4 1 解析：如圖

1092 高一數學第一次段考題庫 B　在  AD 上之垂足為　C'，則△BC'D　為等腰直角三角形 設BD＝2，則

'BC

＝ 'DC

＝

2

，且

AD

＝

3

2

 2 2 3 2 tan ＋ θ＝ ＝ 4 1 2 4 2 ＝

10.

將正方形　ABCD　放在距離為　3　的兩平行線L ，1 L 之間，其中　A、C　分別落在2 L 、1 L 上，若2 2 1 tanθ＝ ，則正方形的邊長為【　　　　】。 答案： 5 解析：過　D　作 L1 ， L2 的垂線分別交 L1 、

2

L

於　E、F，則

EF

＝

3

設

DE

＝3

－

x

，DF＝x，又△DCF　　△ADE　　

CF

＝ 3

DE

－＝

x

∴ CF DF θ＝ tan ＝

2

1

3

－x

＝

x

　2x＝3－x　　3x＝3，x＝1 故

CF

＝

2

，

DF

＝

1

，正方形邊長

CD

＝

2

2

＋

1

2

＝

5

CH1-2

一、 單一選擇題

1.

( )若 θ 滿足　sinθ＜0　且　cosθ＞0，則　P（tanθ，1－sinθ）在何象限？　(Ａ)第一象限　(Ｂ)第二象 限　(Ｃ)第三象限　(Ｄ)第四象限。【北一女中】 答案：(Ｂ) 解析：sinθ＜0，cosθ＞0　　θ 在第四象限 ∴tanθ＜0，1－sinθ＞0　　P（tanθ，1－sinθ）在第二象限 故選(Ｂ)

2.

( )已知　A[2，50°]與　B[3，k°]為極坐標上兩點，若　O　為原點，則當　k　為下列哪一個整數值時， △OAB　的面積最大？　(Ａ)　80　(Ｂ)　90　(Ｃ)　180　(Ｄ)　190　(Ｅ)　200。【中山女高】 答案：(Ｃ) 解析： 如圖，在半徑　3　的圓上找　B　點，使△ABC　面積最大， 以OA為底邊，高為　B　點與

OA





距離，距離越大則面積越大，其最大值為（50　±　90）°時 當選項中的　k　值越接近　140　時，則面積越大，因此選(Ｃ)

一、 多重選擇題

3.

( )下列哪些為　70°的同界角？　(Ａ)　290°　(Ｂ)－290°　(Ｃ)　430°　(Ｄ)　790°。 答案：(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)　╳：290°－70°＝220°≠360°×n，n　為整數 (Ｂ)　○：70°－（－290°）＝360°×1 (Ｃ)　○：430°－70°＝360°×1 (Ｄ)　○：790°－70°＝720°＝360°×2 故選(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

4.

( )設　A，B，C　為△ABC　的三個內角，下列敘述何者正確？　(Ａ)　sin（A＋B）＝sinC　(Ｂ)　cos（A ＋B）＝－cosC　(Ｃ)　tan（A＋B）＝tanC　(Ｄ) 2 sin 2 sin A＋B ＝ C      　(Ｅ) 2 sin 2 cos A＋B＝ C      。【新竹女中】 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｅ) 解析：(Ａ)　○：sin（A＋B）＝sin（180°－C）＝sinC (Ｂ)　○：cos（A＋B）＝cos（180°－C）＝－cosC (Ｃ)　╳：tan（A＋B）＝tan（180°－C）＝－tanC (Ｄ)　╳： 2 cos 2 90 sin 2 sin A＋B ＝ －C＝ C             (Ｅ)　○： 2 sin 2 90 cos 2 cos A＋B ＝ －C＝ C            

1092 高一數學第一次段考題庫 故選(Ａ)(Ｂ)(Ｅ)

一、 填充題

5.

sin120°＋tan240°＋cos330°＝【　　　　】。【臺中一中】 答案：2 3 解析：sin120°＋tan240°＋cos330° ＝sin（180°－60°）＋tan（180°＋60°）＋cos（360°－30°） ＝sin60°＋tan60°＋cos30°＝ 2 3 2 3 3 2 3 ＝ ＋ ＋

6.

在坐標平面上有三點，其極坐標分別為　A[3，0°]，B[2，135°]，C[2，225°]，則　A，B，C　三點所圍成的 △ABC　面積為【　　　　】平方單位。【師大附中】 答案：2＋3 2 解析：A[3，0°]＝（3　cos0°，3　sin0°）＝（3，0） B[2，135°]＝（2　cos135°，2　sin135°）＝（－ 2， 2） C[2，225°]＝（2　cos225°，2　sin225°）＝（－ 2，－ 2） △ABC　面積＝ 2 2 （ 2＋3） 2 1_{ } ＝2＋3 2

7.

若　270°＜θ＜360°且 5 1 cos sinθ＋ θ＝ ，則　sinθ－cosθ＝【　　　　】。【新竹高中】 答案： 5 7 － 解析：∵270°＜θ＜360°　∴sinθ＜0，cosθ＞0　　sinθ－cosθ＜0 又 5 1 cos sinθ＋ θ＝ ， 25 1 cos cos sin 2 sin2_{θ＋ θ θ＋} 2_{θ＝ 　} 25 24 cos sin 2 θ θ＝－ θ θ＋ θ θ－ ＝ θ） θ－

（_{sin cos} 2 _sin2 _{2sin cos cos}2

＝（sin2θ＋ cos2θ）－2sinθcosθ _＝

25 49 25 24 1－ － ＝      因此 5 7 cos sinθ－ θ＝  ，又　sinθ－cosθ＜0，故 5 7 cos sinθ－ θ＝－

8.

設　cos160°＝k，試以　k　表示　tan250°＝【　　　　】。【高雄中學】 答案： ₂ 1 k k － － 解析：cos160°＝cos（180°－20°）＝－cos20°＝k　　cos20°＝－k 因此　tan250°＝tan（180°＋70°）＝ ₂ 1 70 tan k k － － ＝ 

9.

已知　270°＜θ＜360°且 4 3 tanθ＝－ ，則　cosθ＋sin（180°＋θ）＋cos（90°＋θ）＋sin（270°－θ）＋ tan（180°＋θ）＋tan（－θ）＝【　　　　】。【基隆女中】

答案： 5 6 解析：270°＜θ＜360°且 4 3 tanθ＝－ 　　 5 3 sinθ＝－ ， 5 4 cosθ＝ 所求為　cosθ＋（－sinθ）＋（－sinθ）＋（－cosθ）＋tanθ＋（－tanθ） ＝－2　sinθ＝－2 －₅3＝₅6      

10.

設　P（－3，4）為有向角 θ 終邊上一點，求 1 sin 3 cos 2 θ－ θ＋ _{＝【　　　　】。【屏東女中】} 答案：－9 解析：sin ₃4 _{4 5}4 2 2_＋ ＝ ） （－ θ＝ _， 5 3 4 3 3 cos _{2 2}＝－ ＋ ） （－ － θ＝ ∴ 9 1 5 4 3 5 3 2 1 sin 3 cos 2 _＝－ － ＋ － ． ＝ θ－θ＋      

1092 高一數學第一次段考題庫

CH1-3

一、 單一選擇題

1.

( )在塔的正西　A　點與塔的正南　B　點測得塔頂的仰角分別為　45°，30°，AB＝100公尺，則塔高為 多少公尺？　(Ａ)　25　公尺　(Ｂ)25 2公尺　(Ｃ)25 3公尺　(Ｄ)　50　公尺　(Ｅ)50 2公尺。 【嘉義高中】 答案：(Ｄ) 解析：設塔高CD＝h 公尺 在△ACD　中，∠DAC＝45°，∠ACD＝90°　　AC＝CD＝h 在△BCD　中，∠DBC＝30°，∠BCD＝90°　　BC＝ 3CD＝ 3h 在△ABC　中，∠ACB＝90°　　 2 2 2 C B C A AB ＝ ＋ 　₁₀₀2_＝h2_{＋（ 3h）}2_　4h2_{＝10000　　h}2_{＝2500　　h＝50（公尺）} 故選(Ｄ)

2.

( )設　a，b，c　分別表△ABC　之∠A，∠B，∠C　的對邊長，且　sinA：sinB：sinC＝3：5：7，則最大 角為何？　(Ａ)　60°　(Ｂ)　75°　(Ｃ)　90°　(Ｄ)　120°　(Ｅ)　135°。【景美女高】 答案：(Ｄ) 解析：∵a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝3：5：7 ∴c　最大　　∠C　最大 令　a＝3t，b＝5t，c＝7t，t＞0 ab c b a C 2 cos 2 2 2_{＋ －} ＝ ＝ t t t t t 5 3 2 7 5 3 2 2 2   ） －（ ） ＋（ ） （ _＝ 2 1 30 49 25 9 2 2 2 2 ＝－ － ＋ t t t t _∴∠C＝ 120° 故選(Ｄ)

一、 多重選擇題

3.

( )下列何者可成為鈍角三角形的三邊長？　(Ａ)　1，2，3　(Ｂ)　2，3，4　(Ｃ)　3，4，6　(Ｄ)　 7，9，10　(Ｅ)　6，8，10。【臺中女中】 答案：(Ｂ)(Ｃ) 解析：(Ａ)　1＋2＝3　不可能為三角形之三邊長 (Ｂ)　2＋3＞4　且₂2_＋32_＜42_{，為鈍角三角形} (Ｃ)　3＋4＞6　且₃2_＋42_＜62_{，為鈍角三角形} (Ｄ)　7＋9＞10　且₇2_＋92_＞102_{，為銳角三角形} (Ｅ)　6＋8＞10　且₆2_＋82_＝102_{，為直角三角形}

故選(Ｂ)(Ｃ)

4.

( )△ABC　中，BC＝2，AC＝3，AB＝4，下列何者正確？　(Ａ)△ABC　的面積為 4 15 3 　 (Ｂ)外接圓半徑為 15 8 　(Ｃ) 8 15 sinA＝ 　(Ｄ)BC邊上的高為 4 15 3 _{(Ｅ)△ABC　為銳角三角} 形。【嘉義高中】 答案：(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ) 解析：(Ａ)　○： 8 7 4 3 2 2 4 3 cos 2 2 2 ＝ － ＋ ＝   A 　　 8 15 8 7 1 sin 2 ＝ － ＝       A ∴ ABC bcsinA 2 1 ＝ △ ＝ 4 15 3 8 15 4 3 2 1 ＝    (Ｂ)　○： 15 16 8 15 2 2R＝ ＝ 　　外接圓半徑 15 8 ＝ R (Ｃ)　○：承(Ａ) (Ｄ)　○：設BC邊上的高為　h， ABC  2h 2 1 4 15 3 _＝ ＝ △ 　　 4 15 3 ＝ h (Ｅ)　╳： 0 12 16 9 4 3 2 2 4 3 2 cos 2 2 2 ＜ － ＋ ＝ － ＋ ＝   C 　　∠C　為鈍角，△ABC　為鈍角三角形 故選(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)

一、 填充題

5.

如圖所示，ABCD　為圓內接四邊形，若∠DBC＝30°，∠ABD＝45°且AD＝6，求CD的長度為【　　 】。【臺中二中】 答案：3 2 解析： _{ } 45 sin 6 2 30 sin ＝ R＝ CD 　　 3 2 2 1 2 2 6 ＝ ＝   CD

6.

如圖，△ABC　中，D　為BC上一點且∠BAD＝30°，∠CAD＝90°。已知AB＝10_，AD＝4 3，則△ACD　 與△ABC　外接圓面積的比值為【　　　　】，

AC

的長為【　　　　】。【臺中一中】 答案： 25 12 ；20 解析：設　R1，R2　分別為△ACD，△ABC　之外接圓半徑

1092 高一數學第一次段考題庫 則 C AD R sin 2 1＝ ， _C AB R sin 2 ₂＝ 　　 5 3 2 10 3 4 2 1_{＝ ＝ ＝} AB AD R R _{，面積的比值為} 25 12 2 2 1 _＝       R R 設AC＝x，由△ABC　面積＝△ABD　面積＋△ACD　面積 　 _{10 sin120} 2 1 x ＝ _{  }  _{4 3 sin90} 2 1 30 sin 3 4 10 2 1 x ＋ x x 20 3 4 3 3 5 ＝ ＋ 　　x＝20　∴AC＝20

7.

如圖，A，B　兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往　A　點的筆直公路上，距離　A　點　10　公尺處的　C　 點和距離　A　點　40　公尺處的　D　點，分別測得∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，求　A，B　兩點的距離為【　　　 】公尺。【生活應用題】【臺中女中】 答案：10 7 解析：AC＝10，AD＝40　　CD＝30 ∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°　∴∠CBD＝30° 　CB＝ DC ＝30 由餘弦定理知， _AB2_＝102_＋302_{－21030cos60}＝1000－300＝700 　 AB＝10 7 故　A，B　兩點的距離為10 7公尺

8.

草帽小子一行人為了解救落入世界政府手中的羅賓，搭乘黃金梅莉號以時速　30（公里／小時）的速度向 東　47°北航線前進，一開始騙人布觀測到司法之島的方位在船的北　13°東，經過三小時後，再觀測司法之 島的方位在船的北　32°西，則此時船和島距離為【　　　　】公里。【生活應用題】【臺中一中】 答案：45 2 解析：設一開始的位置為　O，三小時後在　Q，司法之島位置為　A 可知∠OAQ＝13°＋32°＝45°，∠AOQ＝90°－47°－13°＝30° 90 3 30 ＝ ＝  OQ ，由正弦定理知， _{ } 30 sin 45 sin 90 AQ ＝ 　　 2 1 2 1 90 AQ ＝ 　AQ＝45 2（公里）

9.

英台於她家正東方公園入口　A　處觀看樓頂測得仰角為　45°，東　30°南超商　B　處觀看測得仰角為　60°，已知 A　與　B　相距　100　公尺，則英台家樓頂有【　　　　】公尺高。【生活應用題】【嘉義女中】 答案：100 3 解析：設樓高CD＝x公尺，則AC＝_tanCD₄₅＝x， _{tan60 3} x CD BC＝ _＝ 又∠ACB＝30°，由餘弦定理知， _{  }       _cos30 3 2 3 100 2 2 2_＝x＋ x _{－ x} x _＝ 3 3 2 2 2 2 x _x x x＋ － ＝ 3 100 ＝ x （公尺）

10.

已知點　G　為銳角△ABC　的重心，若　G　點到BC、CA、AB 三邊的距離分別為　6、3、4，求　sinA： sinB：sinC＝【　　　　】。【臺中一中】 答案：2：4：3 解析： 3 1 △ABC　面積＝ 2 4 2 3 2 6    CA AB BC _{＝ ＝} 　BC：CA：AB_＝ 4 1 3 1 6 1 ： ： ＝2：4：3＝sinA：sinB：sinC