《轴对称图形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质及它们的简单应用; 2. 了解线段、角的轴对称性,并掌握与其相关的性质; 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【要点梳理】要点一、轴对称
1.
轴对称图形和轴对称
(1)轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做 轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线. (2)轴对称 定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这 两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质: 关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;②如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线; ③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点 在对称轴上. (3)轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形; 轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:如果把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成 一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
2.
线段的垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线. 3.作轴对称图形 (1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点, 再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形; (2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线 段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形. 4.用坐标表示轴对称 点(x
,y
)关于x
轴对称的点的坐标为(x
,-y
);点(x
,y
)关于y
轴对称的点 的坐标为(-x
,y
);点(x
,y
)关于原点对称的点的坐标为(-x
,-y
).要点二、
线段、角的轴对称性 1.线段的轴对称性 (1)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. (2)线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等; (3)线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平 分线 2.角的轴对称性 (1)角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴. (2)角平分线上的点到角两边的距离相等. (3)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点三、等腰三角形
1.
等腰三角形
(1)定义:有两边相等的三角形,叫做等腰三角形. (2)等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”; ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三 线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. (3)等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边”).2.
等边三角形
(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形. (2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于 60°. (3)等边三角形的判定: ①三条边都相等的三角形是等边三角形;③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【典型例题】 类型一、轴对称的性质与应用 1、(2016 秋•苏州期中)如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC 的顶点都 是小正方形的顶点.在田字格上能画出与△ABC 成轴对称,且顶点都在小正方形顶点上的 三角形的个数共有 个. 【思路点拨】因为顶点都在小正方形上,故可以分别以大正方形的两条对角线 AB、EF 及 MN、CH 为对称轴进行寻找. 【答案与解析】分别以大正方形的两条对角线 AB、EF 及 MN、CH 为对称轴图形,则 △ABM、△ANB、△EHF、△EFC 都是符合题意的三角形,故答案为:4. 【总结升华】本题考查了轴对称的性质;确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的 关键. 举一反三:
【变式】如图,△ABC 的内部有一点 P,且 D,E,F 是 P 分别以 AB,BC,AC 为对称轴 的对称点.若△ABC 的内角∠A=70°,∠B=60°,∠C=50°,则∠ADB+ ∠BEC+∠CFA=( )
【答案】C; 解:连接 AP,BP,CP, ∵D,E,F 是 P 分别以 AB,BC,AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC,∠CFA=∠APC, ∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°. 2、茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如图中的 AO,BO),AO 桌面上摆满了桔子,OB 桌面上摆满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿桔 子再拿糖果,然后回到 C 处,请你在下图帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最 短? 【思路点拨】本题意思是在 OA 上找一点 D,在 OB 上找一点 E,使△CDE 的周长最小. 如果设点 C 关于 OA 的对称点是 M,关于 OB 的对称点是 N,当点 D、E 在 MN 上时, △CDE 的周长为 CD+DE+EC=MN,此时周长最小. 【答案与解析】 解:①分别作点 C 关于 OA、OB 的对称点是 M、N, ②连接 MN,分别交 OA 于 D,OB 于 E. 则 C→D→E→C 为所求的行走路线.
【总结升华】灵活运用对称性解决生活中的最短距离问题. 举一反三:
【变式】如图,在五边形 ABCDE 中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE= DE,在 BC,DE 上分别找一点 M,N,使得△AMN 的周长最小时,则∠AMN+ ∠ANM 的度数为( ).
A.1 00° B.110° C. 120° D. 130°
【答案】C;
提示:找 A 点关于 BC 的对称点
A
1,关于 ED 的对称点A
2,连接A A
1 2,交 BC 于M
点,ED 于 N 点,此时△AMN 周长最小. ∠AMN+∠ANM=180°-∠MAN,而 2∠BAM= ∠AMN,2∠EAN=∠ANM,∠BAM+∠EAN+∠MAN=120°,所以∠AMN+ ∠ANM=120°. 3、如图,△ABC 关于平行于
x
轴的一条直线对称,已知 A 点坐标是(1,2),C 点 坐标是(1,-4),则这条平行于x
轴的直线是( ) A.直线x
=-1 B.直线x
=-3 C.直线y
=-1 D.直线y
=-3【思路点拨】根据题意,可得 A、C 的连线与该条直线垂直,且两点到此直线的距离相等, 从而可以解出该直线. 【答案】C; 【解析】 解:由题意可知,该条直线垂直平分线段 AC 又 A 点坐标是(1,2),C 点坐标是(1,-4) ∴AC=6 ∴点 A,C 到该直线的距离都为 3 即可得直线为
y
=-1 【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用,解决此类题应认真观 察图形,由 A 与 C 的纵坐标求得对称轴. 举一反三: 【变式 1】如图,若直线m
经过第二、四象限,且平分坐标轴的夹角,Rt△AOB 与 Rt△A OB
关于直线m
对称,已知 A(1,2),则点A
'
的坐标为( ) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(-1,-2) D.(-2,-1) 【答案】D; 提示:因为 Rt△AOB 与 Rt△A OB
关于直线m
对称,所以通过作图可知,A
的 坐标是(-2,-1). 【变式 2】如图,ΔABC 中,点 A 的坐标为(0,1),点 C 的坐标为(4,3),点 B 的 坐标为 (3,1),如果要使 ΔABD 与 ΔABC 全等,求点 D 的坐标.【答案】
解:满足条件的点 D 的坐标有 3 个(4,-1);(-1,-1);(-1,3). 类型二、等腰三角形的综合应用
4、如图①,△ABC 中.AB=AC,P 为底边 BC 上一点,
PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为 E、F、H.易证 PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接 AP. ∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, ∴
S
△ABP=1
2
AB•PE,S
△ACP=1
2
AC•PF,S
△ABC=1
2
AB•CH. 又∵S
△△△ABP
S
ACP
S
ABC,∴
1
2
AB•PE+1
2
AC•PF=1
2
AB•CH.∵AB=AC,∴PE+PF=CH. (1)如图②,P 为 BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH 又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想,并加以证明: (2)填空:若∠A=30°,△ABC 的面积为 49,点 P 在直线 BC 上,且 P 到直线 AC 的距 离为 PF,当 PF=3 时,则 AB 边上的高 CH=______.点 P 到 AB 边的距离 PE=________. 【答案】7;4 或 10; 【解析】 解:(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下: ∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB, ∴S
△ABP=1
2
AB•PE,S
△ACP=1
2
AC•PF,S
△ABC =1
2
AB•CH, ∵S
△ABP=S
△ACP+S
△ABC,∴
1
2
AB•PE=1
2
AC•PF+1
2
AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH; (2)∵在△ACH 中,∠A=30°, ∴AC=2CH. ∵S
△ABC=1
2
AB•CH,AB=AC, ∴1
2
×2CH•CH=49, ∴CH=7. 分两种情况: ①P为底边 BC 上一点,如图①. ∵PE+PF=CH, ∴PE=CH-PF=7-3=4; ②P为 BC 延长线上的点时,如图②. ∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10. 故答案为 7;4 或 10. 【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可 使问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键. 举一反三: 【变式】如图,△ABC 是等腰三角形,D,E 分别是腰 AB 及 AC 延长线上的一点,且 BD=CE,连接 DE 交底 BC 于 G.求证 GD=GE. 【答案】证明:过 E 作 EF∥AB 交 BC 延长线于 F.∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∵EF∥AB, ∴∠F=∠B, ∵∠ACB=∠FCE, ∴∠F=∠FCE, ∴CE=EF, ∵BD=CE, ∴BD=EF, 在△DBG 与△GEF 中, , ∴△DGB≌△EGF(AAS), ∴GD=GE. 类型三、等边三角形的综合应用 5、已知,如图,∠1=12°,∠2=36°,∠3=48°,∠4=24°. 求
ADB
的度数. 【答案与解析】解:将
△
ABD
沿 AB 翻折,得到△
ABE
,连结 CE, 则△≌△
ABD
ABE
, ∴BD BE
,
ADB
AEB
,
∠1=∠5=12°. ∴
EBC
1
2
5
60° ∵
ABC
3
48°∴AB
AC
. 又∵∠2=36°,
BCD
3
4
72°, ∴
BDC
BCD BD BC
,
∴BE=BC ∴
△
BCE
为等边三角形. ∴BE CE
.
又
AB
AC
,
∴
AE
垂直平分 BC. ∴AE平分
BEC
. ∴1
2
AEB
BEC
30° ∴∠ADB=30° 【总结升华】直接求
ADB
很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与△
ABD
全 等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求. 举一反三:【变式】在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=80°,D 为形内一点,且∠DAB=∠DBA= 10°, 求∠ACD 的度数. 【答案】 解:作 D 关于 BC 中垂线的对称点 E,连结 AE,EC,DE ∴△ABD≌△ACE ∴AD=AE, ∠DAB=∠EAC=10° ∵∠BAC=80°, ∴∠DAE=60°,△ADE 为等边三角形 ∴∠AED=60° ∵∠DAB=∠DBA=10° ∴AD=BD=DE=EC ∴∠AEC=160°,
∴∠DCE=20° ∴∠ACD=30°
6、如图所示,已知等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别为边 AB,AC,BC 的中点, M为直线 BC 上一动点,△DMN 为等边三角形. (1)如图(1)所示,当点 M 在点 B 左侧时,请你判断 EN 与 MF有怎样的数量关系?点 F 是否在直线 NE 上? (2)如图(2)所示,当点 M 在 BC 上时,其他条件不变,(1)的 结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图(2)证明;若不成立,请说 明理由. 【答案与解析】 解:(1)EN=MF,点 F 在直线 NE 上. 证明:连接 DF,DE, ∵ △ABC是等边三角形, ∴ AB=AC=BC. 又∵ D,E,F 是△ABC 三边的中点, ∴ DE,DF,EF 为三角形的中位线. ∴ DE=DF=EF,∠FDE=60°. 又∠MDN+∠NDF=∠MDF,∠NDF+∠FDE=∠NDE, ∵△DMN为等边三角形,DM=DN,∠MDN=60° ∴ ∠MDF=∠NDE. 在△DMF 和△DNE 中,
DF
DE
MDF
NDE
DM
DN
, ∴ △DMF≌△DNE, ∴ MF=NE,∠DMF=∠DNE.∴∠MFN=60° ∴FN∥AB, 又∵EF∥AB, ∴E、F、N 在同一直线上. (2)成立.证明:连结 DE,DF,EF, ∵ △ABC是等边三角形, ∴ AB=AC=BC. 又∵ D,E,F 是△ABC 三边的中点, ∴ DE,DF,EF 为三角形的中位线. ∴ DE=DF=EF,∠FDE=60°. 又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°, ∴ ∠MDF=∠NDE. 在△DMF 和△DNE 中,