4-1-5空間向量-三階行列式

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(1)◎1-5 三階行列式【目標】能熟練三階行列式的推算，並能理解三階行列式的基本性質及其應用。在生活中，我們會遇到一些數量與形體問題。例如：問一個房間的面積是幾坪？還有房間中地面的形式是正方形﹑長方形，或是其他形狀？此外，如房間的高度，牆面是否平直，也都是我們關切的問題。數學中的兩大主題正是數與形，數是數量，而形是形體，也就是幾何。我們已經學過一些平面上的幾何知識，但是畢竟我們生活在立體的空間中，一個房間除了長﹑寬，還有高。因此，我們所處的真實空間稱為三維空間。【討論】 1.. 坐標空間中，設 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), c  (c1 , c2 , c3 ) ，則( a  b ) c  (  c1. a2 a3 a a a a , 3 1 , 1 2 )  (c1 , c2 , c3 ) b2 b3 b3 b1 b1 b2. a2 a3 a a a a a a a a a a  c2 3 1  c3 1 2  c1 2 3  c2 1 3  c3 1 2 。 b2 b3 b3 b1 b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2. a1 a2 a3 上式中，最後的結果可以 b1 b2 b3 表示， c1 c2 c3 a1 a2 a3 a a a a a a 即 b1 b2 b3  c1 2 3  c2 1 3  c3 1 2 b2 b3 b1 b3 b1 b2 c1 c2 c3.  c1 (a2b3  a3b2 )  c2 (a1b3  a3b1 )  c3 (a1b2  a2b1 )  a1b2c3  a2b3c1  a3b1c2  a3b2c1  a2b1c3  a1b3c2 。 a1 a2 a3 b1 b2 b3 稱為三階行列式，它有三列三行， c1 c2 c3. 其中 [a1 , a2 , a3 ], [b1 , b2 , b3 ], [c1 , c2 , c3 ] 依序是第一列﹑第二列﹑第三列；  a3   b  依序是第一行﹑第二行﹑第三行。  3  c3  三階行列式的展開式中共有 3!  6 項，每一項都是 3 個數的乘積，  a1  b  ,  1  c1 .  a2  b  ,  2  c2 . 3 個數分別來自第一列﹑第二列﹑第三列，且 3 個數所在之行不同。此外， 6 項中的 3 項取正號，標示如下左： a1b2c3 , a2b3c1 , a3b1c2 取  。另 3 項取負號，標示如下右： a3b2c1 , a2b1c3 , a1b3c2 取  。. 34.

(2) 2.. a1 a2 a3 由三階行列式的定義 b1 b2 b3  a1b2 c3  a2b3c1  a3b1c2  a3b2 c1  a2b1c3  a1b3c2 ， c1 c2 c3. 可以推得類似二階行列式的基本性質： b1 b2 b3 a1 a2 a3 (1)任二列互換，其值變號。(例如： a1 a2 a3   b1 b2 b3 ) c1 c2 c3 c1 c2 c3. a1 a2 a3 a1  a1 a2  a2 a3  a3 a1 a2 a3 (2) b1  b1 b2 b3  b1 b2 b3 。 b2 b3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 ka1 ka2 ka3 a1 a2 a3 (3) b1 b2 b3  k b1 b2 b3 。 c1 c2 c3 c1 c2 c3 a1 b1 c1 a1 a2 a3 (4) a2 b2 c2  b1 b2 b3 。 a3 b3 c3 c1 c2 c3. 上述基本性質(2)可從右往左解讀，表示兩個三階行列式除第一列外，其餘相同時，可就第一列相加；性質(3)表示可就第一列提出公因式。透過性質(1)(兩列互換，其值變號)，性質(2)可推廣成：除某列外，其餘各列相同的兩行列式相加，可就該列相加。 a1. a2. a3. a1 a2 a3 a1 a2 a3 例如： b1  b1 b2  b2 b3  b3  b1 b2 b3  b1 b2 b3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3. 性質(3)可推廣成：可就任一列提出公因式。 a1 a2 a3 a1 a2 a3 例如： b1 b2 b3  k b1 b2 b3 。 kc1 kc2 kc3 c1 c2 c3. 其次，基本性質(4)意謂行列互換，其值不變。由此可知(1)，(2)，(3)中有關列的性質，行也全都適用， a2 a1 a3 a1 a2 a3 例如： b2 b1 b3   b1 b2 b3 。(兩行互換，其值變號) c2 c1 c3 c1 c2 c3 a1  a1 a2 a3 b1  b1 b2 b3 c1  c1 c2 c3. a1 a2 a3 （除某行外﹐其 a1 a2 a3  b1 b2 b3  b1 b2 b3 。餘相同﹐可就該 c1 c2 c3 行相加） c1 c2 c3. ka1 a2 a3 a1 a2 a3 kb1 b2 b3  k b1 b2 b3 。(可就任一行提出公因式) kc1 c2 c3 c1 c2 c3. 35.

(3) 3.. 試由三階行列式的基本性質(1)～(3)，證明下列性質： 0 0 (1) b1 b2 c1 c2 a1 (2) ka1 c1. 0 b3  0 。(某列全 0 ，其值為 0 ) c3. a2 ka2 c2. a3 ka3  0 。(某兩列成比例，其值為 0 ) c3. a1 (3) ka1  b1 c1. a2 ka2  b2 c2. a3 a1 ka3  b3  b1 c3 c1. a2 b2 c2. a3 （某列乘以一數加至另一列﹐ b3 。其值不變） c3. 證明： 0 0 (1) b1 b2 c1 c2. 0 0a1 0a2 b3  b1 b2 c3 c1 c2. 0a3 a1 b3  0 b1 c3 c1. a2 b2 c2. a3 b3  0 。 c3. (2)由基本性質(1)知 a1 a1 c1 a1 2 a1 c1 a1 a1 c1. a2 a2 c2. a3 a1 a3   a1 c3 c1. a2 a2 c2 a2 a2 c2. a2 a2 c2. a3 a3 ， c3. a3 a3  0 ， c3 a3 a3  0 c3. (兩列相同，其值為 0 )。 a1 於是， ka1 c1 a1 (3) ka1  b1 c1 a1  0  b1 c1. a2 b2 c2. a2 ka2 c2. a3 a1 ka3  k a1 c3 c1. a2 ka2  b2 c2. a2 a2 c2. a3 a3  k  0  0 。 c3. a3 a1 ka3  b3  ka1 c3 c1. a3 a1 b3  b1 c3 c1. a2 b2 c2. a2 ka2 c2. a3 a1 ka3  b1 c3 c1. a2 b2 c2. a3 b3 c3. a3 b3 。 c3. 註：例中所證明的性質，事實上都可由三階行列式的展開得到。此外，由於行列互換，不改變行列式的值，故例中(1)，(2)，(3)所描述有關列的性質，行也都適用。. 36.

(4) 4.. a1 三階行列式由其定義 b1 c1. a2 b2 c2. a3 a b3  c1 2 b2 c3. a3 a  c2 1 b3 b1. a3 a  c3 1 b3 b1. a2 ， b2. 此等式將三階行列式降為二階行列式表示，稱為降階。降階時，可以如上式依第三列降階，也可以依第一列或第二列降階，道理如下： a1 b1 c1. a2 b2 c2. a3 b1 b3  c1 c3 a1.  a1. b2 c2. （依第一 b3 b b b b  a2 1 3  a3 1 2 。 c3 c1 c3 c1 c2 列降階）. a1 b1 c1. a2 b2 c2. a3 a1 b3   c1 c3 b1.  b1. a2 c2. b2 c2 a2. b3 c3 a3. a2 c2 b2. a3 a  b2 1 c3 c1. a3 c3 b3. a3 a  b3 1 c3 c1. （依第二 a2 。 c2 列降階）. 三階行列式降為二階時，共有 3 項，各項正﹑負號相間。依第一﹑第三列降階時，由正號開始；依第二列降階時，由負號開始。由於行列互換不改變行列式的值，故三階行列式也可依行降階，同樣的，依第一﹑第三行由正號開始，而依第二行由負號開始。下面的例子分別顯示依第一列及第二行降階的運算： 2 1 4 5 2 3 2 3 5 （依第一 3 5 2  2 1  (4) 7 6 1 6 1 7 列降階） 1 7 6  2  (16)  1  (20)  (4)  26  116 。. 2 1 4 3 2 2 4 2 4 3 5 2  1  (5)  (7) 1 6 1 6 3 2 1 7 6  (1)  (20)  (5)  16  7  (8)  116 。. 5.. 1 試證： a a2. 1 b b2. 1 c  (a  b)(b  c)(c  a) 。 c2. 證明： 1 a a2. 1 b b2. 1 1 c  a c2 a2. 0 ba b2  a 2. 0 c  a (第一行乘以  1 加到第二﹑第三行) c2  a2. . ba b2  a 2. ca (上式依第一列降階) c2  a2. . ba ca 1 1  (b  a)(c  a) (b  a)(b  a) (c  a)(c  a) ba ca.  (b  a)(c  a)(c  b)  (a  b)(b  c)(c  a) 。 37.

(5) 6.. a b c 展開並分解 c a b 。 b c a. 解答： a b c abc b c c a b  a  b  c a b (第二﹑第三行加到第一行) b c a abc c a 1 b c 1 b c  (a  b  c) 1 a b  (a  b  c) 0 a  b b  c 1 c a 0 c b a c  ( a  b  c). a b bc  (a  b  c)[(a  b)(a  c)  (b  c)(c  b)] c b a c.  (a  b  c)(a 2  ac  ab  bc  bc  b 2  c 2  bc)  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac) 。. 【定義】 1. 三階行列式： a1 a2 a3 b1 b2 b3  a1b2 c3  a2b3c1  a3b1c2  a3b2 c1  a2b1c3  a1b3c2 。 c1 c2 c3. 2.. 平行六面體體積以行列式表示：坐標空間中，線性獨立之三向量 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ),. c  (c1 , c2 , c3 ). a1 a2 a3 所張開平行六面體的體積為 | b1 b2 b3 | 。 c1 c2 c3. 【性質】 1. 三階行列式的重要性質 (1) 兩列(行)互換，其值變號。 (2) 除某列(行)外，其餘各列(行)相同的兩行列式相加，可就該列(行)相加。 (3) 任一列(行)可提出公因式。 (4) 一列(行)全 0 ，其值為 0 。 (5) 兩列(行)成比例，其值為 0 。 (6) 一列(行)乘以一數加至另一列(行)，其值不變。 (7) 行列互換，其值不變。 (8) 可依任一列(行)降階。. 38.

(6) 【討論】 1.. 坐標空間中，設 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), c  (c1 , c2 , c3 ) ，由於 a , b , c 線性獨立的充要條件為 ( a  b )  c  0 ， a1 又 ( a  b )  c  b1 c1. a2 b2 c2. a3 b3 ， c3. a1 故 a , b , c 線性獨立的充要條件為 b1 c1. a2 b2 c2. a3 b3  0 ； c3. a1 換言之， a , b , c 線性相依的充要條件為 b1 c1. 2.. a2 b2 c2. a3 b3  0 。 c3. 在坐標平面上，向量 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) 所張開的平行四邊形面積為 | 一般而言，設 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), P3 ( x3 , y3 ) 是任意三點，則 PP 1 2 , PP 1 3 所張開的平行四邊形面積為 |. x2  x1 x3  x1. y2  y1 |， y3  y1. 由於 x1 x2 x3. y1 1 x1 y2 1  x2  x1 y3 1 x3  x1. y1 1 x x y2  y1 0  2 1 x3  x1 y3  y1 0. y2  y1 ， y3  y1. x1 故 PP 1 2 , PP 1 3 所張開的平行四邊形面積可表為 | x2 x3 x1 1 因此可知  PP | x2 1 2 P3 的面積為 2 x3. y1 1 y2 1 | ， y3 1. 參閱圖。. 39. y1 1 y2 1 | ， y3 1. a1 b1. a2 |。 b2.

(7) 3.. 平面上，假設 L1 : a1 x  b1 y  c1  0, L2 : a2 x  b2 y  c2  0, L3 : a3 x  b3 y  c3  0 是不完全平行的三相異直線，以下證明： a1 b1 c1 L1 , L2 , L3 三線共點的充要條件是 a2 b2 c2  0 。 a3 b3 c3. (1) 當 L1 , L2 , L3 三線共點時，令 ( x0 , y0 ) 為其交點，則 a1 x0  b1 y0  c1  0, a2 x0  b2 y0  c2  0, a3 x0  b3 y0  c3  0 ，於是 a1 a2 a3. b1 b2 b3. c1 a1 c2  a2 c3 a3. a1 (2) 當 a2 a3. 則. a1 a2. b1 b2 b3. b1 b2 b3. a1 x0  b1 y0  c1 a1 a2 x0  b2 y0  c2  a2 a3 x0  b3 y0  c3 a3. b1 b2 b3. c1 c2  0 時，在不失一般性下可假設 L1 不平行 L2 ， c3. b1  0， b2. 由克拉瑪公式知 L1 與 L2 交於一點 c1 b1 a1 c1 c2 b2 a c2 ( x0 , y0 )  ( , 2 )， a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2. 將此點坐標代入 a3 x  b3 y  c3 得 b1 c1 b c a3 x0  b3 y0  c3  a3  2 2  b3  a1 b1 a2 b2 . . 1 a1 a2. b1 b2 1. a1 a2. b1 b2. ( a3. a1 a2 a3. 0 0 0。 0. b1 b2 b1 b2 b3. c1 a  b3 1 c2 a2. a1 a2 a1 a2. c1 c2  c3 b1 b2. c1 a  c3 1 c2 a2. c1 c2  0 。 c3. 故三直線交於點 ( x0 , y0 ) 。. 40. b1 ) b2.

(8) 【方法】 1. 三向量線性相依或線性獨立的判定： a1 設 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), c  (c1 , c2 , c3 ),   b1 c1. (1)   0 時， a , b , c 線性相依。 2.. (2)   0 時， a , b , c 線性獨立。頂點決定三角形面積：在坐標平面上，設點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), P3 ( x3 , y3 ) ， x1 1 則  PP | x2 1 2 P3 的面積為 2 x3. 3.. y1 1 y2 1 | 。 y3 1. 三線共點的判定：坐標平面上，設 L1 : a1 x  b1 y  c1  0, L2 : a2 x  b2 y  c2  0, L3 : a3 x  b3 y  c3  0. 是不完全平行的相異三直線， a1 則 L1 , L2 , L3 三線共點的充要條件是 a2 a3. 41. b1 b2 b3. c1 c2  0 。 c3. a2 b2 c2. a3 b3 ，則 c3.

(9) 【性質】三階行列式的性質： 1. 有一行(列)全為 0 ，其值為 0 。 0 b c 0 0 0 即 0 e f  0 或 d e f  0。. 0 h 2.. i. i. g. h. i. g. h. i. g. h. i. h g. i. g. h. i. g. h. h  kg. i. g. h. i. g. h. c e f a h i. f d b i g. f d c i g. c f. e 。 h. 註：三階行列式除了可以依第一列展開之外，也可以依任何一列或任何一行展開，    只是其各項的符號要依    之格式決定，    並且盡量找出有 0 的行或列。三階行列式行列互換，其值不變。 a b c a d g 即d e f b e h 。. g 7.. i. f c 。 i. h. 可以依照任何一行(列)降階。 a b c e f b c b d g 即d e f a h i h i e g h i a b 或d e g h. 6.. c f 。. 將某一行(列)乘以 k 倍加入另一行(列)，其值不變。 a b  ka c a b c a b c a b 即 d e  kd f  d e f 或 d  ka e  kb f  kc  d e. g 5.. i. 將兩行(列)對調，則行列式的值變號。 a b c d e a b c b a c 即 d e f e d f 或 d e f  a b g. 4.. h. 每一行(列)可提公因數。 ka b c a b c ka kb kc a b 即 kd e f  k d e f 或 d e f  k d e. kg h 3.. g. h. i. c. f. i. 兩行(列)成比例，其值為 0 。 kd ke kf kb b c 即 ke e f  0 或 d e f  0 。 kh h. i. g. h. i 42. i. g. h. c f 。 i.

(10) 8.. 兩行列式的加法運算。 a1  a 2 b1  b2 c1  c 2 a1 e f  d 即 d. g a1  a2 或 d1  d 2 g1  g 2. h. i. b e. c a1 f  d1. h. i. b1 e. c1 a 2 f  d. b2 e. c2 f. h. i. h. i. g b e. g1 h. c a2 f  d2. b e. i. h. g2. g c f 。 i. 【注意】行列式求值時之注意事項： 1. 降階求值：先將行列式化至某一行、列的各項中，出現盡量多個 0 ，再利用該行或列降階求值，只需計算二階行列式即可，此時整個計算過程已經被簡化了。 2. 觀察各行或列是否有公因數(式)，若有則提公因數。 3. 觀察各行或列是否有成等差。 4. 觀察各行或列，逐項相加是否相等，若相等將其加到某一項，再提公因數，降階求值。. 43.

(11) 【問題】 1. 凡得夢(Vandermonde)行列式：. 1 a a2 1 b b 2  (a  b)(b  c)(c  a) 。 1 c c2 例如：. x2. x. x3. 2 4  0？ 3  9 27. 試解 1 2.. 若三角形三邊長 a, b, c 滿足. 1 a a2 1 b b2  0 ， 1 c c2. 3.. 試問此為何種三角形？ (解：等腰三角形或正三角形) 試證：. 1 a a3 1 b b 3  (a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c) 。 1 c c3 4.. 5.. 試證：. a a2. a4. b b2 c c2. b 4  abc(a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c) 。 c4. 試證：. 1 a2. a3. 1 b2 1 c2. b 3  (a  b)(b  c)(c  a)(ab  bc  ca ) 。 c3. 6.. 試證： 1 a bc 1 b ca 0。 1 c ab. 7.. 試證： 1 a ab 1 b bc  (a  b)(b  c)(c  a) 。 1 c. ca. 44.

(12) 8.. 試證： 1 a bc 1 b ca  (a  b)(b  c)(c  a ) 。 1 c ab. 9.. 試證： ab bc ca a b c bc ca ab  2b c a 。. ca ab bc 10. 試證： bc a b ca. a b. c. ab. c. c a b.  4abc 。. 11. 試證： a bc b  c b ca c  a  (a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c) 。. c ab a  b 12. 試證：. a2  1. ab. ca. b  1 bc  a 2  b 2  c 2  1 。 bc c2  1 2. ab ca 13. 試證： a2 b2 c2. bc a 2  5 ca b 2  5  5(a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c) 。 ab c 2  5. 14. 試證： 2a  b  c a a  2( a  b  c ) 3 。 b a  2b  c b c c a  b  2c. 15. 試證： sin 40  sin 80 sin 20 sin 40 sin 80  sin 20. sin 80. sin 80.  4 sin 20 sin 40 sin 80 . sin 20 sin 40 sin 20  sin 40. 3 。 2. 16. 試證： 7 1 1 1. 7 4 1 1  189 。 7 1 4 1 7 1 1 4 45.

(13) 17. 試證： 1 1. a a2. b b2. 1 c c2. 1 d  (a  b)(a  c)(a  d )(b  c)(b  d )(c  d ) 。 d2. a3 b3 c3 d 3 註：可以視為 a 的三次多項式，又 f (b)  f (c)  f (d )  0 (a  b)(a  c)(a  d ) | f (a) 同理 (b  c)(b  d )(c  d ) | f (a) 設 f (a)  k (a  b)(a  c)(a  d )(b  c)(b  d )(c  d ) 比較係數可得 k  1 。 18. 試證： 1 1 1 1 a b c d  (a  b)(a  c)(a  d )(b  c)(b  d )(c  d )(a  b  c  d ) 。 a2 b2 c2 d 2 a4 b4 19. 試證： 1 1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 。 20. 求： 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 21. 試證： 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 2 0 0 0. c4. d4. 1 c2 c3. 1 d2  (a  b)(a  c)(a  d )(b  c)(b  d )(c  d )(abc  abd  acd  bcd ) d3. c4. d4. 1 1 1 1 1 1 ? 。 3 1 1 3 0 0 0 0 1 0  63 。 3 1 2 3. 22. 設  為 x 2  x  1  0 之一根，求： 1   2 2 3 2 3  2 1   ?。 2 3  2  2 2 1  2 4 46.

(14) 【定義】三階行列式：由前面討論可知若定義如下行列式，則以後較為方較研究 a b d e g h. c e f a h i. f d b i g. f d c i g. e  aei  bfg  dhc  gec  ahf  bdi 。 h. 註：用降階定義可以推廣。【應用】 1. 平行六面體的體積：. . .   . . 由 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), c  (c1 , c2 , c3 ) 三向量(設  為 a  b 與 c 的夾角) 所決定的平行六面體的體積為.  .   . . V  Ah  | a  b | (| c | cos )  ( a  b )  c | (. a2. a3. b2. b3. | c1. ,. a2. a3. b2. b3. a1 b1.  c2. a3 a1 , b3 b1 a1. a3. b1. b3. a1. a2. a3. | b1. b2. b3 | 。. c1. c2. c3. a2 b2  c3. )  (c1 , c2 , c3 ) | a1. a2. b1. b2. |.   a b. c .  b. . a. 註：.             (a  b )  c | a  b || c | cos  0 ，       否則 (a  b )  c | a  b || c | cos  0 。. (1) (a  b )  c 為一種有向體積，若 a  b 與 c 的夾角  為銳角時，. (2)可以用來求給定空間中四個點所圍成的四面體的體積， 1 即三向量所決定的平行六面體的體積的。 6 (3)行列式中若有任兩行或兩列成比例，其值為 0 ，就幾何意義而言，此行列式的三個向量共面，即它不能決定空間中的一個平行六面體，所以其行列式值必為 0 ，亦即退化的平行六面體，體積為 0 。.      . 2.. (4) (a  b )  c  a  (b  c ) 。設空間中有四點 A(a1 , b1 , c1 ), B(a 2 , b2 , c 2 ), C (a3 , b3 , c3 ), D(a 4 , b4 , c 4 ) ， 1 則四面體 ABCD 的體積  (向量 AB , AC , AD 所展成平行六面體體積)。 6. . 47.

(15) 3.. 空間中三向量共平面：. . . . 三向量 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ), c  (c1 , c2 , c3 ) 共平面的充要條件是. a1. a2. a3. b1. b2. b3  0 。. c1. c2. c3. 註：若  0. . 4.. 5.. 平面上三點共線：平面上 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) 三點共線的充要條件為. 1 x2  x1 ABC  | 2 x3  x1. 6. 7.. .  a , b , c 所圍平行六面體的體積不為零  a , b , c 不共平面  三面交一點平面上三點所圍成三角形面積：設平面上有三點 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) ，則三角形 ABC 的面積為 1 0 0 x1 y1 1 1 1 1 x2  x1 y 2  y1 |  | 1 x 2  x1 y 2  y1 |  | x 2 y 2 1 | 。 ABC  | 2 2 2 x3  x1 y3  y1 1 x3  x1 y 3  y1 x3 y 3 1. y 2  y1 y3  y1. x1. y1 1. | | x 2 x3. y 2 1 | 0 。 y3 1. x 過點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 的直線方程式為 x1 x2. y 1 y1 1  0 。 y2 1. 平面上三線共點：設 L1 : a1 x  b1 y  c1 , L2 : a2 x  b2 y  c2 , L3 : a3 x  b3 y  c3. 表三相異直線，. a1. b1. c1. 則若 L1 , L2 , L3 相交於一點  a 2 a3. b2. c2  0 。. b3. c3. 註：三線共點實際上可寫成如下：. a1. b1. c1. 設表三相異直線，則若 L1 , L2 , L3 相交於一點或三線平行  a 2 a3. b2. c2  0 。. b3. c3. 註：設 L1 , L2 之交點 P ( x 0 , y 0 )  (. x y , ) 在 L3 上  . 48.

(16) (. c1. b1. c2. b2. a1 a2. b1 b2.  a3. 8.. a1 ,. b1. c1. b2. c2. a2 a1 a2  b3.   c2  )  L3  a3  b1   b2  c1. a1. c1. a2. c2.  c3. a1 a2.  b1    b2     b3  a1 b1    a 2 b2   a1 b1  0  a2 b2 a3 c1 c2. a1 a2 a1 a2 b1 b2 b3. c1   c2    c3 b1  b2  c1 c2  0 c3. 平面上三線平行：設 L1 : a1 x  b1 y  c1 , L2 : a2 x  b2 y  c2 , L3 : a3 x  b3 y  c3. 表三直線，若三直線平行 a1 b1 c1 a1 b1 則 a 2 b2 c 2  k1 a 2 k1b2. a3. b3. c3. k 2 a3. k 2 b3. c1 c2  0 c3. 空間中外積概念： a b b ax  by  cz  0 如果  ，且 , d e e dx  ey  fz  0 b c c a a b 。 x: y:z  : : d f f d d e. c c , f f. 49. a 中至少有一個不為 0 ，則 d.

(17)