3-1-2向量-向量的基本應用

第三冊 1-2 向量-向量的基本應用

第三冊 1-2 向量-向量的基本應用

【應用】

【應用】

1. 在∆ 中， 分別是

1. 在∆ABCABC中，D,D,EE分別是AB,AC兩邊的中點， 試證：AB,AC且DE BC 2 1 = 。 證明： E A A D E D

v

=

v

+

v

B

v

A A

v

C 2 1 2 1 ₊ = ( ) 2 1 C A A B

v

+

v

= B

v

C 2 1 = ， 故DE //BC且DE BC 2 1 = 。 A D E E B C 2. 向量的線性組合： 設av//bv，則在a 與 b 所決定的平面上的每個向量 cv v v， 都有唯一的實數對(x,y)，使cv =xav+ybv， 稱為av,bv的線性組合。 3. 三點共線： (1) A ,,B P三點共線⇔存在t∈ tR, ≠0，使得 A

v

P =tA

v

B。 (2) 設s,t∈R，且 O

v

P =sO

v

A +tO

v

B，若A ,,B P共線⇔ s+t =1。 註：利用三點共線，則任兩點之間所組成的向量互相平行證明。 證明： (充分性)： 因A ,,B P共線，故存在t∈ tR, ≠0，使得 A

v

P =tA

v

B， 則 A

v

O + O

v

P =t(A

v

O + O

v

B ) B O t A O t P O

v

= −

v

+

v

⇒ (1 ) 令s=(1−t)即得證。 (必要性)： 1 = + t s B O t A O s P O = + ⇒

v

v

v

=(1−t)O

v

A +tO

v

B ) (OB OA t A O P O

v

−

v

=

v

−

v

⇒ ⇒ A

v

P =tA

v

B ⇒ A ,,B P共線 (3) 點C在直線AB 上的 要條件是 存在一實數 使得 充 t O

v

C =(1−t)O

v

A +tO

v

B， y x 即存在一實數對 ( , )使 O

v

C =xO

v

A +yO

v

B，且x+ y=1。 4. 分點公式： 設O ,,A B三點不共線，若點P 在線段 AB 上且AP:PB=m:n時， m n

v

v

v

5. 平行四邊形定理： 平行四邊形中兩對角線的平方和等於四邊的平方和， 即平行四邊形ABCD中AC2+BD2 2 2 2 2 DA CD BC AB + + + = 。 註：若由av, 所展成的平行四邊形，即|bv D B C A P B’ _C’ A’ B A C av bv b av + v b av −v 2 2 | | | a b b av+ v + v−v =2(|av +|2 |bv|2) 中

v

+ = 。 證明： 平行四邊形 ， 由

v

v

且 ABCD C B B A C A B A C B D B C B D B

v

=

v

+

v

v

=

v

−

v

， 得 2 2 | | | | A

v

C = A

v

B + BC =| A

v

B |2 +2A

v

B ⋅ B

v

C +| B

v

C |2 及| 2 2 | | | BC AB D B

v

=

v

−

v

=| B

v

C |2 −2B

v

C ⋅ A

v

B +| A

v

B |2 兩式相加得| 2 2 | | | BD C A

v

v

+ =2(| A

v

B |2 +| B

v

C |2)， 即AC2 +BD2 2 2 2 2 DA CD BC AB + + + =

v

v

。

v

= + +mPB nPC A P l 0v 6. 若P 為∆ABC內一點，且 ， 則 。 證明： 作 n m l PAB PCA PBC:∆ :∆ = : : ∆ C P n C P B P m B P A P l A P

v

' =

v

,

v

' =

v

,

v

' =

v

， ' ' ' PB PC A P

v

+

v

+

v

=lP

v

A +mP

v

B +nP

v

C =v0 為 '的重心， P ⇒ ∆A'B'C ⇒∆PB'C'=∆PC'A'=∆PA'B 又∆ B PA A PC C PB' ':∆ ' ':∆ ' ) ( : ) ( : ) (mn×∆PBC nl×∆PCA lm×∆PAB = 故∆PBC:∆PCA:∆PAB =l:m:n。 7. 內積與餘弦定理之間的關係： 於∆ABC中，試證：AB2 =BC2 +AC2 −2BC⋅ACcosC。 證明： 2 2 | | | | A

v

B = A

v

C + C

v

B 2 2 | | 2 | | A

v

C + A

v

C ⋅C

v

B + C

v

B = 2 2 | | 2 | | A

v

C − C

v

A ⋅C

v

B + C

v

B = 2 2 | | cos | || | 2 | | A

v

C − C

v

A C

v

B C+ C

v

B = = BC2 +AC2 −2BC⋅ACcosC。 8. 於∆ABC中，試證：若| A

v

B |2=| B

v

C |2 +| A

v

C | ，則2 ∠C為直角。 證明 由 ：

v

2 2 | | | | A

v

B = A

v

C + CB =| A

v

C |2 +2 A

v

C ⋅ C

v

B +| C

v

B |2 =| B

v

C |2 +| A

v

C |2。 得 A

v

C ⋅ BC

v

=0，即 C

v

A ⋅ BC

v

=0，得 C

v

A ⊥ C

v

B ， 故∠C為直角。

【應用】 1. 三角形的心： (1) 重心：三角形的三中線交於一點，此點稱為此三角形的重心。 註：重心到任一點的距離等於該中線長的 3 2 。 證明： 在 中， 設 ABC ∆ D是BC中點，E是CA中點，F是AB中點， 且兩中線AD,BE交 點， 實 於 則存在 數t使 G D A t G A A A H E

v

v

G A = = ， 因此

v

t

v

AD ) 2 1 2 1 ( AB AC t

v

+

v

= C A t B A t

v

v

2 2 + = (2 ) 2 2 AE t B A t

v

₊

v

= = t A

v

B +tA

v

E 2 ， 三點共 的充要條件為 E G B ,, 線 1 2+ t = t ， 即 3 2 = t ，故 A

v

G A

v

D 3 2 = ， 同理，若兩中線AD,CF交於 '點， 則 G D A G A

v

v

3 2 ' = ，於是G'=G， 故三中線交於一點。 (2) 內心：三角形三內角平分線交於一點，此點稱為此三角形的內心。 (3) 外心：三角形三中垂線交於一點，此點稱為此三角形的外心。 (4) 垂心：三角形的三高交於一點，此點稱為此三角形的垂心。 證明： 設過A點的高與過B點的高交於H ， 則

v

AH ⊥ B

v

C且 B

v

H C

v

A。 又 ⊥

v

v

H AB C ⋅ =(C

v

A +

v

AH )⋅(C

v

B − C

v

A ) A C H A A C A C B C A C

v

⋅

v

−

v

⋅

v

−

v

⋅

v

= ( A

v

H ⋅ BC

v

=0) ) (CA AH A C B C A C

v

⋅

v

−

v

⋅

v

+

v

= H C A C B C A C

v

v

⋅

v

v

−

v

v

⋅

v

= ) (CB CH A C ⋅ − = B H A C

v v

v

⋅

v

= =0 ⊥ B D C G F _E

2. 三角形的性質： (1) 重心： 設G為∆ABC的重心，則： (a) ( ) 3 1 C A B A G A

v

v

v

= + 。 (b) G

v

A + G

v

B + G

v

C =0v。 (c) P 為任意點，恆有 P

v

G P

v

A P

v

B P

v

C 3 1 3 1 3 1 + + = 。 證明： (a) 設BC的中點為D ，則AG:GD=2:1， G A

v

A

v

D 3 2 = ) 2 1 2 1 ( 3 2 C A B A

v

v

+ = ) 2 1 2 1 ( 3 2 C A B A

v

v

+ = ( ) 3 1 C A B A

v

v

+ = 。 (b) ( ) 3 1 C A B A G A

v

v

v

= + , ( ) 3 1 C B A B G B

v

=

v

+

v

, ( ) 3 1 B C A C G C

v

=

v

+

v

， 所以 A

v

G + B

v

G + C

v

G =0v，即G

v

A + G

v

B + G

v

C =0v。 (c) 由(b)知(P

v

A − P

v

G )+(P

v

B −

v

PG )+(P

v

C − P

v

G )=0v， 移項得 P

v

G P

v

A P

v

B P

v

C 3 1 3 1 3 1 _{+ +} = 。 (2) 內心： 設I 為∆ABC的內心，且AB=c,BC=a,CA=b，則 (a) AC c b a c B A c b a b I A

v

v

v

+ _{+ +} + + = 。 (b) P

v

I PC c b a c B P c b a b A P c b a a

v

v

v

+ + + + + + + + = (P為任意點)。 證明： (a) 設AI交BC於D，由BD:DC=c:b， c b ca BD + = ， 得 b c a c b ca c ID AI: : =( + ): + = ， 故 A

v

I AD c b a c b

v

+ + + = ( AC ) c b c B A c b b c b a c b

v

v

+ + + + + + = AC c b a c B A c b a b

v

v

+ + + + + = 。 (b) 由(a)得 ( ) ( AP PC ) c b a c B P P A c b a b I P P A

v

v

v

v

v

+

v

+ + + + + + = + C P c b a c B P c b a b P A c b a c c b a b I P

v

v

v

v

+ + + + + + − + + + + + =( 1) PC c b a c B P c b a b A P c b a a

v

v

v

+ + + + + + + + = 。

(3) 外心： 設O為∆ABC之外心，∠A,∠B,∠C之對邊長分別為 ， 則 c b a ,, , 2 1_c2 O A B A

v

⋅

v

= 2 2 1 b O A C A ⋅

v

=

v

。 註：外心到三頂點等距離。 證明： O A B A

v

v

⋅ =|

v

AB || A

v

O |cos∠BAO | | 2 1 | |

v

AB × A

v

B = 2 2 1 c = ， 同理 A

v

C ⋅ A

v

O =| A

v

C || A

v

O |cos∠CAO | | 2 1 | | A

v

C × A

v

C = 2 2 1 b = 。 (4) 垂心： 設H 為∆ABC之垂心， 則 A

v

B ⋅ A

v

C =

v

AB ⋅

v

AH = A

v

C ⋅ A

v

H 。 證明： B A H A

v

⋅

v

B A H C C A

v

v

v

+ ⋅ =( ) B A H C B A C A

v

⋅

v

+

v

⋅

v

= 0 + ⋅ = A

v

B A

v

C C A B A

v

v

⋅ = 。 註：可用投影概念直接說明。 (5) ∆ABC中，∠ 的內角平分線交A BC於D ，外角平分線交 BC 於 E ，則 (a) 內分比性質：AB:AC =BD:CD。 (b) 外分比性質：AB:AC=BE:CE。 證明：

(a) ∆ABD:∆ACD =AB :AC(等高)， 又∆ABD:∆ACD =BD :CD(同底)， 得AB:AC =BD:CD。

(b) ∆ABE:∆ACE =BE :CE(同底)，

又因sin∠BAE =sin(π −∠EAP)=sin(π−∠CAE)=sin∠CAE， ACE

ABE ∆

∆ : = AB⋅AE ∠BAE AC⋅AEsin∠CAE 2 1 : sin 2 1 AC AB : = ， 得AB:AC=BE:CE。 P A B D C E

3. 點與線的關係 3. 點與線的關係

(1) 孟氏定理(梅內勞斯(Menelaus)定理)：(三點共線)

在∆ 中，若一直線與

(1) 孟氏定理(梅內勞斯(Menelaus)定理)：(三點共線) 在∆ABCABC中，若一直線與∆ABCABC

A B C A D P E F Q R R B _C D E F B` B` A` C` C` 的邊BC,CA,AB分別交於 (在邊上或其延長線上)，則 三點共線的充要條件為 F E D ,, F E D ,, 1 = × × EA CE DC BD FB AF 。 證明： (充分性)： 過三頂點A ,,B C分別向直線DEF 作投影點A',B',C' ⇒ ' ' , ' ' , ' ' BB AA FB AF AA CC EA CE CC BB DC BD _{= = =} ， ⇒ 1 ' ' ' ' ' ' _{× × =} = × × BB AA AA CC C C BB FB AF EA CE DC BD (必要性)： 由題設可令D 點在BC的延長線上，點E,F分別都在CA,AB上或 AB CA, 的延長線上，設直線EF 與直線BC交於 'D ，故 'D 點不在 上。 由充分性可得 BC 1 ' '_{× =} × EA CE C D BD FB AF ，又 × × =1 EA CE DC BD FB AF ， 得 DC BD C DBD =' ' ，即點D 與點 'D 重合，故D ,,E F三點共線。 (2) 西瓦(Ceva)定理：(三線共點) 在∆ABC中，若D ,,E F三點分別在BC,CA,AB上(或其延長線上)， 則AD,BE,CF三線共點的充要條件為 × × =1 EA CE DC BD FB AF 。 證明： (充分性)： 設AD,BE,CF三線交於點P ， 則 =1 ∆ ∆ × ∆ ∆ × ∆ ∆ = × × BCP ACP ABP BCP ACP ABP FB AF EA CE DC BD 。 DC BD CR BQ ACP ABP:∆ = : = : ∆ 。 (必要性)： (a)因為三點D ,,E F必有一點在三角形的邊上，可假設點E 在AC上。 (b)設直線AD 與直線CF的交點為P，又設直線 BP 和AC的交點為 'E ， 由充分性得 1 ' ' = × DC BD × A E CE FB AF 又 × × =1 EA CE DC BD FB AF ，故 A E CE EA CE ' ' = 。 (c)因為E 與 'E 都在AC邊上，且 A E CE EA CE ' ' = ，即點E 與點 'E 重合， 故AD,BE,CF三線共點。

【問題】 1. 設G為∆ABC之重心，且 A

v

G =xA

v

B + yA

v

C，求x, 之值。 y 2. 設I 為∆ABC之內心，且AB=3,BC=4,CA=2，

v

AI =xA

v

B +yA

v

C， 求x, 之值。 y 解答： 4 : 5 4 5 3 : 3 : :ID=BA BD= × = AI 又BD:DC=3:2， 故 A

v

I A

v

D 9 5 = ) 5 3 5 2 ( 9 5 C A B A

v

+

v

= A

v

B A

v

C 9 3 9 2 ₊ = ， 得 9 3 , 9 2 ₌ = y x 。 3. 設 為O ∆ABC之外心，且AB=6,BC=2 7,CA=4， A

v

O =xA

v

B +yA

v

C， 求x, 之值。 y 解答： 由 A

v

B ⋅ A

v

O =x A

v

B 2 +yA

v

B ⋅ A

v

C | | 且 2 | | AC y C A B A x O A C A

v

⋅

v

=

v

⋅

v

+

v

得 AB2 =xAB2 +yA

v

B ⋅ A

v

C 2 1 且 2 2 2 1 AC y C A B A x AC =

v

⋅

v

+ ， 則18=36x 12+ y且8=12x 16+ y， 得 6 1 , 9 4 ₌ = y x 。 4. 設H 為∆ABC之垂心，且AB=6,BC=2 7,CA=4， A

v

H =xA

v

B +yA

v

C， 求x, 之值。 y 解

v

：

v

， 由 答 12 = ⋅ CA B A H A

v

=xA

v

B +yA

v

C， 得 A

v

B ⋅ A

v

H =x A

v

B 2 +yA

v

B ⋅ A

v

C | | 且 2 | | AC y C A B A x H A C A

v

⋅

v

=

v

⋅

v

+

v

得 A

v

B ⋅

v

AC =xAB2 +yA

v

B ⋅ A

v

C 且 A

v

B ⋅ A

v

C =xA

v

B ⋅

v

AC +yAC2， 則12=36x 12+ y且12=12x 16+ y， 得 3 2 , 9 1 = = y x 。 5. ∆ABC的三邊BC,CA,AB上﹐分別取D ,,E F三點﹐使 AF FB AE EC BD DC=4 , = , =2 ，G為∆DEF 的重心，

v

AG =xA

v

B + yA

v

C， 求x,y的值。 解答：

v

F A E A D A G A =

v

+

v

+

v

3 ) 3 1 ( ) 2 1 ( ) 5 1 5 4 ( A

v

B + A

v

C + A

v

C + A

v

B = A

v

B A

v

C 10 7 15 17 + = 則 A

v

G A

v

B A

v

C 30 7 45 17 + = ，