第四章
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发，介绍高阶微分方程的一般形式，进一步了解可降阶的 微分方程，重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中？ 〖解〗 设敌舰初始点在Q0(1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0(0, 0)处，沿曲线y = y(x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y)处，此时敌舰在点Q(1, v0t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y(x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy dx = v0t − y 1 − x (4.1) 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 r (dx dt)2+ ( dy dt)2 = 2v0 (4.2) 将(4.1)改写为 v0t − y = (1 − x) dy dx (4.3) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 dt dx − dy dx = (1 − x) d2y dx2 − dy dx (4.4) 由(4.2)可得 dt dx = 1 2v0 r 1 + (dy dx)2 (4.5) 将(4.5)代入(4.4)中，得 d2y dx2 = r 1 + (dy dx) 2 2(1 − x) y(0) = 0, y0(0) = 0 (4.6) 1(4.6)就是一个带有初始条件的二阶微分方程。如果能求出这个方程的解，就可以解 决敌舰航行多远时被击中这样的问题了。■
4.1
高阶微分方程的降阶法
本节将介绍两种可降阶的高阶微分方程。 n阶微分方程的一般形式 F (t, x, x0, · · · , x(n)) = 0 (4.7) 其中n ≥ 2，t为自变量，x为未知函数。4.1.1
不显含未知函数x的方程
如果(4.7)中不显含未知函数x及其直到k − 1 (k ≥ 1)阶导数，则方程(4.7)为 F (t, x(k), · · · , x(n)) = 0 (4.8) 则作变量替换，令x(k)= y，则 x(k+1) = dy dt, · · · , x (n) = dn−ky dtn−k 于是(4.8)变为 F (t, y, · · · ,dn−ky dtn−k) = 0 (4.9) 原方程的阶数降了k阶。 如果能求出(4.9)的通解 y = φ(t, c1, · · · , cn−k) 意味着 x(k) = φ(t, c 1, · · · , cn−k) 只要对上式连续积分k次，可得原方程(4.8)的通解。 【例1】 求方程td 5x dt5 − d4x dt4 = 0的通解。 【例2】 求方程y000 = e2x− cos x的通解。4.1.2
不显含自变量t的方程
假设(4.7)中不显含自变量t，则方程变为 F (x, x0, · · · , x(n)) = 0 (4.10)4.1 高阶微分方程的降阶法 3 通过变量替换，把x看成新的自变量，则方程可降一阶。 令x0 = y，则 dx dt = y d2x dt2 = dy dt = dy dx · dx dt = y · dy dx d3x dt3 = d(ydy dx) dt = d(ydy dx) dx · dx dt = y( dy dx) 2+ y2d2y dx2 · · · · 用数学归纳法知，x(k)可用y,dy dx, · · · , dk−1y dxk−1 (k ≤ n)来表达。于是方程(4.10)变为 F (x, y, ydy dx, y( dy dx) 2+ y2d2y dx2, · · ·) = 0 即有新方程 H(x, y,dy dx, · · · , dn−1y dxn−1) = 0 (4.11) 这是以x为自变量，y为未知函数的n − 1阶方程。 如果能求出(4.11)的通解 y = φ(x, c1, · · · , cn−1) 意味着 dx dt = φ(x, c1, · · · , cn−1) 这是变量分离方程，于是原方程的通解为 Z dx φ(x, c1, · · · , cn−1) = t + cn 【例3】 求解初值问题 ( x00− e2x = 0 x|t=0 = 0, x0|t=0 = 1 。
4.2
高阶线性微分方程的一般理论
高阶线性微分方程，是常微分方程中极其重要的一类方程。4.2.1
初值问题解的存在唯一性定理
定义 4.1 称方程 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = f (t) (4.12) 为n阶线性微分方程。其中ai(t) (i = 1, 2, · · · , n)及f (t)在区间[a, b]上连续。 如果f (t) ≡ 0，则方程(4.12)变为 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = 0 (4.13) 称之为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程。 如果f (t) 6≡ 0，也称(4.12)为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程。 考察下列微分方程： (1) (1 − t2)d2x dt2 − 2t dx dt + 2x = 0； (2) d 2y dx2 + y = x; (3) d 2x dt2 + dx dt + x = sin t; (4) x2d2y dx2 − (x + 2)(x dy dx − y) = x 4。 问题：高阶线性方程的解是否存在？如果有解，在什么条件下解是唯一的？定理 4.1 如果函数ai(t) (i = 1, 2, · · · , n)和f (t)在区间[a, b]上连续，则对任一 t0 ∈ [a, b]及
任意x0, x(1)0 , · · · , x (n−1) 0 ，初值问题 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = f (t) x(t0) = x0, x0(t0) = x(1)0 , · · · , x(n−1)(t0) = x(n−1)0 (4.14) 存在唯一解x = φ(t), t ∈ [a, b]。
4.2.2
齐次线性方程解空间的结构
这一节我们讨论齐次线性方程(4.13)的解具有哪些性质。4.2 高阶线性微分方程的一般理论 5 定理 4.2 (叠加原理) 如果x1(t), x2(t), · · · , xk(t)是方程(4.13)的k个解，则它们的线性组 合c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + ckxk(t) 也是方程(4.13)的解。其中c1, c2, · · · , ck是任意常数。 【例1】 验证et, e−t, c 1et+ c2e−t是方程 d2x dt2 − x = 0的解。 注1 在定理4.2中，当k = n时，函数c1x1(t)+c2x2(t)+· · ·+cnxn(t)不一定是方程(4.13)的 通解。 问题：如何确定方程(4.13)的通解呢？ 分析：由定理4.2可知，n阶齐次线性方程(4.13)的解的全体组成集合V = {x(t)|x(t)为 方程(4.13)的解}，这个解集合满足： (1) 对任意的x(t) ∈ V ，则c1x(t) ∈ V ； (2) 对任意的x1(t) ∈ V, x2(t) ∈ V ，则c1x1(t) + c2x2(t) ∈ V ， 因而V 构成一个线性空间，称为解空间。那么这个解空间的维数是多少呢？基底是什么 呢？ 定义 4.2 设函数x1(t), x2(t), · · · , xk(t)是区间[a, b]上的k个函数，如果存在不全为零的常 数c1, c2, · · · , ck，使下式恒成立 c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + ckxk(t) ≡ 0, t ∈ [a, b] 则称函数x1(t), x2(t), · · · , xk(t)在区间[a, b]上线性相关，否则称这些函数线性无关。 【例2】 设 x1(t) = ( t2, −∞ < t ≤ 0 0, 0 < t < +∞ x2(t) = ( 0, −∞ < t ≤ 0 t2, 0 < t < +∞ 讨论函数x1(t)与x2(t)在区间(−∞, +∞)上的线性相关性。 定义 4.3 设函数x1(t), x2(t), · · · , xk(t)在区间[a, b]上分别存在k − 1阶导数，行列式 W [x1(t), x2(t), · · · , xk(t)] ≡ W (t) ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x1(t) x2(t) · · · xk(t) x0 1(t) x02(t) · · · x0k(t) · · · · · · · · · · · · x(k−1)1 (t) x(k−1)2 (t) · · · x(k−1)k (t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 称为这些函数的Wronski行列式。
定理 4.3 如果函数x1(t), x2(t), · · · , xn(t)在区间[a, b]上线性相关，则它们在[a, b]上的Wronski行
注2 定理4.3的逆定理不一定成立。 注3 如果函数x1(t), x2(t), · · · , xn(t)的Wronski行列式在区间[a, b]上某点t0处不等于零， 即W (t0) 6= 0，则这些函数在区间[a, b]上必线性无关。 定理 4.4 设函数x1(t), x2(t), · · · , xn(t)是方程(4.13)的n个解，则它们在区间[a, b]上线性 无关的充分必要条件为其Wronski 行列式W (t) 6= 0, t ∈ [a, b]。 定理 4.5 n阶齐次线性方程(4.13)一定存在n个线性无关解。 定理 4.6 (通解结构定理) 如果x1(t), x2(t), · · · , xn(t)是方程(4.13)的n个线性无关解，则 方程(4.13)的通解可以表示为 x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + cnxn(t) (4.15) 其中c1, c2, · · · , cn是任意常数。且通解(4.15)包括了方程(4.13)的所有解。 问题：n阶齐次线性方程的解与它的系数之间的关系 定理 4.7 (Liouville公式) 设x1(t), x2(t), · · · , xn(t)是方程(4.13)的任意n个解，W (t)是它 的Wronski行列式，则W (t)满足一阶线性方程 W0(t) = −a 1(t)W (t) 因而有 W (t) = W (t0) · e− Rt t0a1(s)ds, t, t0 ∈ [a, b] (4.16) 【例3】 验证函数x1(t) = cos t, x2(t) = sin t是方程 d2x dt2 + x = 0 的两个线性无关解，并写 出该方程的通解。 【例4】 设二阶齐次线性方程在区间[a, b]上的任意两个线性无关解组分别为 (x(1)1 (t), x(1)2 (t))和(x(2)1 (t), x(2)2 (t)) 证明：它们的Wronski行列式之比是一个不为零的常数。
4.2.3
非齐次线性方程解集合的性质
本节讨论非齐次线性方程解集合的性质。 定理 4.8 如 果¯x(t)是 非 齐 次 线 性 方 程(4.12)的 解，x(t)是 齐 次 线 性 方 程(4.13)的 解， 则¯x(t) + x(t)仍是非齐次线性方程(4.12)的解。 定理 4.9 如果x1(t), x2(t)是非齐次线性方程(4.12)的两个解，则x1(t) − x2(t) 是对应的齐 次线性方程(4.13)的解。4.2 高阶线性微分方程的一般理论 7 定理 4.10 (叠加原理) 设x1(t)与x2(t)分别是非齐次线性方程 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = f1(t) 和 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = f2(t) 的解，则x1(t) + x2(t)是方程 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = f1(t) + f2(t) 的解。 定理 4.11 (通解结构定理) 设x1(t), x2(t), · · · , xn(t)为方程(4.13)的基本解组，而¯x(t)是 方程(4.12)的某一解，则方程(4.12)的通解可表为 x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + cnxn(t) + ¯x(t) (4.17) 其中c1, c2, · · · , cn为任意常数，且此通解(4.17)包括了方程(4.12)的所有解。 【例5】 设二阶非齐次方程 d2x dt2 + p(t) dx dt + q(t)x = f (t) 有三个解x1(t) = t, x2(t) = et, x3(t) = e2t，求此方程满足初始条件x(0) = 1, x0(0) = 3的 特解。 问题：若已知对应的齐次线性方程的基本解组，如何求非齐次线性方程的一个特 解？ 方法:常数变易法。 设x1(t), x2(t), · · · , xn(t)是方程(4.13)的基本解组，因而 x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · · + cnxn(t) 是方程(4.13)的通解。猜测方程(4.12)也是这种形式的解，但c1, c2, · · · , cn应为t的函数，即 假设 x(t) = c1(t)x1(t) + c2(t)x2(t) + · · · + cn(t)xn(t) (4.18) 是方程(4.12)的解。为了求出待定函数c1(t), c2(t), · · · , cn(t)，将(4.18)代入方程(4.12)中， 仅能得到所满足的一个条件。由于待定函数有n个，为了确定它们，还必须再给出n − 1个 限制条件。 对(4.18)两边求导，得 x0(t) = c 1(t)x01(t) + c2(t)x02(t) + · · · + cn(t)x0n(t) +c0 1(t)x1(t) + c02(t)x2(t) + · · · + c0n(t)xn(t)
令 c01(t)x1(t) + c02(t)x2(t) + · · · + c0n(t)xn(t) = 0 (4.19) 得到 x0(t) = c 1(t)x01(t) + c2(t)x02(t) + · · · + cn(t)x0n(t) (4.20) 对上式两边继续求导，并像上面的做法一样，令含有c0 i(t)的部分为零，得 c0 1(t)x01(t) + c02(t)x20(t) + · · · + c0n(t)x0n(t) = 0 (4.21) 和表达式 x00(t) = c 1(t)x001(t) + c2(t)x002(t) + · · · + cn(t)x00n(t) (4.22) 继续上面的做法，直到获得第n − 1个条件 c0 1(t)x(n−2)1 (t) + c02(t)x2(n−2)(t) + · · · + c0n(t)x(n−2)n (t) = 0 (4.23) 和表达式 x(n−1)(t) = c1(t)x(n−1)1 (t) + c2(t)x(n−1)2 (t) + · · · + cn(t)x(n−1)n (t) (4.24) 最后，对(4.24)两边再求导一次，得 x(n)(t) = c 1(t)x(n)1 (t) + c2(t)x(n)2 (t) + · · · + cn(t)x(n)n (t) +c0 1(t)x (n−1) 1 (t) + c02(t)x (n−1) 2 (t) + · · · + c0n(t)x (n−1) n (t) (4.25) 将(4.19)―(4.25)全部代入方程(4.12)中，并注意x1(t), x2(t), · · · , xn(t)是方程(4.13)的解， 得到 c01(t)x(n−1)1 (t) + c02(t)x(n−1)2 (t) + · · · + c0n(t)x(n−1)n (t) = f (t) (4.26) 这n个未知函数c0 i(t) (i = 1, 2, · · · , n)同时满足(4.19)、(4.21)、(4.23)和(4.26)等共n个条件， 这n个条件组成一个线性代数方程组，其系数行列式为W [x1(t), x2(t), · · · , xn(t)] 6= 0，因 而方程组有唯一解，不妨设求得 c0i(t) = φi(t), i = 1, 2, · · · , n 积分得 ci(t) = Z φi(t)dt + ri, i = 1, 2, · · · , n 这里ri是任意常数。将所得ci(t) (i = 1, 2, · · · , n)的表达式代入(4.18)中，得方程(4.12)的 通解 x(t) = n X i=1 rixi(t) + n X i=1 xi(t) Z φi(t)dt 【例6】 设非齐次线性方程(t − 1)d 2x dt2 − t dx dt + x = (t − 1) 2 对应的齐次线性方程的通解 为x(t) = c1t + c2et，求此方程的通解。
4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法 9
4.3
常系数齐次线性方程的待定指数函数法
这一节，我们要介绍一类特殊的齐次线性方程―常系数齐次线性方程，采用待定指 数函数法，可以将求它的基本解组问题归结为求一个n次代数方程的根的问题，而无需 用到积分运算，因而这类方程的通解问题是被彻底解决的。4.3.1
复值函数与复值解
定义 4.4 设φ(t)和ϕ(t)是区间[a, b]上的实函数，称z(t) = φ(t) + iϕ(t)为该区间上的复值 函数。 定义 4.5 若φ(t), ϕ(t)在区间[a, b]上连续，则称z(t)在该区间上连续。 定义 4.6 若φ(t), ϕ(t)在区间[a, b]上可微，则称z(t)在该区间上可微。 z(t)的导数为 dz dt = dφ dt + i dϕ dt 定义 4.7 设k = α + iβ是任一复数，α, β, t是实数，定义如下的复指数函数ekt= e(α+iβ)t= eαt(cos βt + i sin βt) 性质： (1) ekt= ekt; (2) e(k1+k2)t = ek1t· ek2t, k1, k2是复值常数； (3) d dt(e kt) = k · ekt; (4) d n dtn(e kt) = kn· ekt。 定义 4.8 如果定义在区间[a, b]上的实变量复值函数z(t)满足方程(4.13)，即 dnz(t) dtn + a1(t) dn−1z(t) dtn−1 + · · · + an−1(t) dz(t) dt + an(t)z(t) ≡ f (t), t ∈ [a, b] 称z(t)为方程(4.13)的复值解。 定理 4.12 如果方程(4.14)中所有系数ai(t)都是实值函数，而z(t) = φ(t) + iϕ(t) 是该方 程的复值解，则z(t)的实部φ(t)和虚部ϕ(t)以及z(t)的共轭复数也都是方程(4.14)的解。 定理 4.13 如果方程 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = u(t) + iv(t)
有复值解x=U(t)+i V(t)，其中ai(t) (i = 1, 2, · · · , n) 及u(t), v(t)都是实函数，那么这个解 的实部U(t)和虚部V (t)分别是方程 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = u(t) 和 dnx dtn + a1(t) dn−1x dtn−1 + · · · + an−1(t) dx dt + an(t)x = v(t) 的解。
4.3.2
常系数齐次线性方程的待定指数函数法
定义 4.9 称方程 L[x] ≡ dnx dtn + a1 dn−1x dtn−1 + · · · + an−1 dx dt + anx = 0 (4.27) 为n阶常系数齐次线性方程，其中a1, a2, · · · , an为常数。 考察下列方程 (1) d 2y dx2 + 3 dy dx + 2y = 0; (2) d 4x dt4 + 2 d2x dt2 + x = 0; (3) d 3y dt3 − 6 d2y dt2 + 11 dy dt − 6y = 0 问题：如何求这类方程的一个基本解组呢？ 分析：先考虑一阶常系数齐次线性方程 dx dt = px 其通解为x = cept，这启示我们，方程(4.27)可能也存在指数函数形式的解 x = eλt (4.28) 将(4.28)代入方程(4.27)中，得 L[eλt] ≡ (λn+ a1λn−1+ · · · + an−1λ + an)eλt = 0 这意味着，eλt是方程(4.27)的解的充分必要条件为：λ是代数方程 F (λ) ≡ λn+ a 1λn−1+ · · · + an−1λ + an= 0 (4.29) 的根。因此，求方程(4.27)的解的问题，转化为了求代数方程(4.29)的根的问题。 称方程(4.29)为方程(4.27)的特征方程，其根为方程(4.27)的特征根，满足L[eλt] = eλtF (λ)，称这种方法为欧拉待定指数函数法。 (1) 特征根是单根的情形4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法 11 定理 4.14 设λ1, λ2, · · · , λn是特征方程(4.34)的n个彼此互异的特征根，则 eλ1t, eλ2t, · · · , eλnt 为方程(4.32)的一个基本解组。 注1 特征根λ可能是实数，也可能是复数； 注2 如 果λi (i = 1, 2, · · · , n)全 为 实 数，则eλit (i = 1, 2, · · · , n)为n个 实 值 解，方 程(4.27)的通解为 x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2t+ · · · + cneλnt 注3 如果λi (i = 1, 2, · · · , n)中有复数，由于方程的系数是实常数，复数必将成对共轭出 现。不妨设λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ，而λi (i = 3, 4, · · · , n)为实数，则方程的基本解组为 e(α+iβ)t, e(α−iβ)t, eλ3t · · · , eλnt
其中e(α+iβ)t和e(α−iβ)t都是复值解，根据定理4.12，取它们的实部eαt· cos βt和虚部eαt ·
sin βt这两个实值解，于是方程(4.27)的通解为 x(t) = eαt(c 1cos βt + c2sin βt) + c3eλ3t+ · · · + cneλnt 【例1】 求方程d 2x dt2 − 2 dx dt − 3x = 0的通解。 【例2】 求方程d 4x dt4 − x = 0的通解。 (2) 特征根有重根的情形 我们分λ1 = 0和λ1 6= 0两种情况进行讨论。 (a) λ1 = 0是k重特征根 定理 4.15 设λ1 = 0是方程(4.27)的k重特征根，则方程(4.27)有k个线性无关解 1, t, t2, · · · , tk−1 (b) λ1 6= 0是k重特征根 定理 4.16 设λ1 6= 0是方程(4.27)的k重特征根，则方程(4.27)有k个线性无关解 eλ1t, teλ1t, · · · , tk−1eλ1t 注4 如果方程(4.27)有互异的特征根λ1, λ2, · · · , λm，它们的重数分别为k1, k2, · · · , km， 且k1 + k2 + · · · + km = n，则方程(4.27)有相应的解 eλ1t teλ1t · · · tk1−1eλ1t eλ2t teλ2t · · · tk2−1eλ2t · · · · · · · · · · · · eλmt teλmt · · · tkm−1eλmt (4.30)
可以证明，(4.30)是方程的一个基本解组。
注5 如果方程(4.27)有k重特征根λ = α + iβ ，则λ = α − iβ也是k重特征根，于是方程 的2k个线性无关的复值解为：
(
e(α+iβ)t te(α+iβ)t · · · tk−1e(α+iβ)t e(α−iβ)t te(α−iβ)t · · · tk−1e(α−iβ)t
而通常我们使用下面2k个线性无关的实值解： (
eαt· cos βt teαt· cos βt · · · tk−1eαt· cos βt
eαt· sin βt teαt· sin βt · · · tk−1eαt· sin βt
【例3】 求方程d 3x dt3 − 3 d2x dt2 + 3 dx dt − x = 0的通解。 【例4】 求方程d4x dt4 + 2 d2x dt2 + x = 0的通解。
4.3.3
Euler方程
变系数方程的求解是十分困难的，但对一些特殊的变系数齐次线性方程，有时可以 通过变量替换法，将它转化为常系数齐次线性方程，从而求出其通解。 定义 4.10 称方程 xndny dxn + a1x n−1dn−1y dxn−1 + · · · + an−1x dy dx + any = 0 (4.31) 为Euler方程，其中ai (i = 1, 2, · · · , n)为常数。 解法1： 作变量替换，令x = et，则t = ln x，于是 dy dx = dy dt · dt dx = 1 x · dy dt d2y dx2 = d dt( 1 x dy dt) · dt dx = 1 x2( d2y dt2 − dy dt) d3y dx3 = 1 x3( d3y dt2 − 3 d2y dt2 + 2 dy dt) · · · · (4.32) 用数学归纳法可以证明：对一切自然数k均有下式成立： dky dxk = 1 xk( dky dtk + β1 dk−1y dtk−1 + · · · + βk−1 dy dt) 其中βi (i = 1, 2, · · · , k − 1)都是常数。4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法 13 将上式代入方程(4.31)，则方程(4.31)变成了以t为自变量的常系数齐次线性方程 dny dtn + b1 dn−1y dtn−1 + · · · + bn−1 dy dt + bny = 0 (4.33) 其中bi (i = 1, 2, · · · , n)都是常数。 解法2： 记D = d dt，Dk= dk dtk，于是(4.32)可以改写为 xdy dx = Dy x2d2y dx2 = D 2y − Dy = D(D − 1)y · · · · xkdky dxk = D(D − 1) · · · (D − k + 1)y 于是方程(4.31)转化为 Dny + b 1Dn−1y + · · · + bny = 0 这就是方程(4.33)。 【例5】 求方程x2d 2y dx2 − x dy dx + y = 0的通解。 【例6】 求方程x3d3y dx3 + x 2d2y dx2 − 4x dy dx = 0的通解。
4.4
常系数非齐次线性方程的待定系数法
这一节，我们要介绍常系数非齐次线性方程的解法―待定系数法。 定义 4.11 称方程 L[x] ≡ d nx dtn + a1 dn−1x dtn−1 + · · · + an−1 dx dt + anx = f (t) (4.34) 为n阶常系数非齐次线性方程。其中a1, a2, · · · , an为常数，f (t)是连续函数。 (1) f (t)是多项式与指数函数乘积的情形 定理 4.17 设f (t) = (b0tm+ b1tm−1+ · · · + b m−1t + bm)eλt，其中bi (i = 0, 1, · · · , m), λ为 实常数。则方程(4.34)有特解 ˜ x(t) = tk(B 0tm+ B1tm−1+ · · · + Bm−1t + Bm)eλt (4.35) 其中B0, B1, · · · , Bm为待定常数；k 由λ是否为特征根决定。当λ不是特征根时，k = 0； 当λ是特征根时，k为λ的重数。 【例1】 求方程d 2x dt2 − 2 dx dt − 3x = 3t + 1的通解。 【例2】 求方程d3x dt3 − 7 d2x dt2 + 16 dx dt − 12x = −20t 3e2t的通解。 (2) f (t)是多项式与指数函数、余弦函数（正弦函数）之积的情形定理 4.18 设f (t) = A(t) cos βt · eαt(或f (t) = B(t) sin βt · eαt)，其中A(t)(B(t))是实系
数m次多项式，则方程(4.34)有特解 ˜
x(t) = tk(P (t) cos βt + Q(t) sin βt)eαt (4.36)
其中P (t), Q(t)均为待定的实系数多项式，一个次数为m，另一个次数不超过m，k由α+iβ 是否为特征根决定。
【例3】 求方程d2x
dt2 + x = 2 sin t的通解。
(3) f (t)是多项式与指数函数及正、余弦函数之积的情形
定理 4.19 设f (t) = (A(t) cos βt + B(t) sin βt)eαt，其中A(t), B(t)是实系数多项式，一个
次数为m ，另一个次数不超过m。则方程(4.34)有特解 ˜
x(t) = tk(P (t) cos βt + Q(t) sin βt)eαt
其中P (t), Q(t)均为待定的实系数多项式，一个次数为m，另一个次数不超过m，k由α +
iβ是否为特征根决定。
【例4】 求方程d2x
dt2 − dx
dt − 2x = (cos t − 7 sin t)e
4.5 应用实例 15
4.5
应用实例
【例1】 交通管理色灯中，黄灯应亮多长时间 在交通管理中，定期地亮一段时间黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交叉 路口太近以致无法停下的车辆通过路口。 驶近交叉路口的驾驶员，在看到黄色信号后要作出决定：是停车还是通过路口。如 果他以法定速度(或低于法定速度)行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离。当 决定通过路口时，他必须有足够的时间使他能够完全通过路口，这包括作出停车决定的 时间，以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间。 于是，黄灯状态应持续的时间包括驾驶员的反应时间、他通过交叉路口的时间以及 停车所需的时间。如果法定速度为v0，交叉路口的宽度为I ，典型的车身长度为L，那么， 通过路口的时间为(I + L)/v0。 下面计算刹车距离。假设W 是汽车的重量，f 是摩擦系数，则对汽车的制动力为f W ， 其方向与运动方向相反。根据牛顿第二定律，得 W g · d2x dt2 = −f W (4.37) 其中g是重力加速度。 方程(4.37)还满足下面的初始条件： x|t=0= 0, dx dt|t=0 = v0 于是刹车距离就是直到dx dt = 0时汽车驶过的距离。 接下来我们求解方程(4.37)。 在dx dt|t=0 = v0的条件下，对方程(4.37)积分，得 dx dt = −f gt + v0 (4.38) 因此，当t = tb = v0 f g时，速度为零。在x|t=0 = 0条件下，对方程(4.38)积分，得 x = −1 2f gt 2+ v 0t (4.39) 当t = tb时，x的值是 x(tb) = Db = v2 0 2f g 最后，我们计算黄灯的持续时间 A = Db+ I + L v0 + T 其中T 是驾驶员的反应时间，即 A = v0 2f g I + L v0 + T【例2】 放射性废物的处理问题 有一段时间，美国原子能委员会(现为核管理委员会)是这样处理浓缩放射性废 物的，它们把这些废物装在密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深约300f t(1f t = 0.3038)的海里。这种做法是否会造成放射性污染，很自然地引起了生态学家及社会各界 的关注。原子能委员会一再保证，圆桶非常坚固，决不会破漏，这种做法是绝对安全的。 然而一些工程师们却对此表示怀疑，他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。而 原子能委员会有些专家们仍然坚持自己的看法。于是双方展开了一场争论。 究竟谁的意见正确呢？问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞，圆桶和海 底碰撞时的速度有多大？ 工程师们进行了大量破坏性试验，发现圆桶在直线速度为40f t/s的冲撞下会发生破 裂，剩下的问题就是计算圆桶沉入300f t 深的海底时，其末速度究竟有多大？ 美国原子能委员会使用的是55gal (1gal = 3.785L)的圆桶，装满放射性废物时的圆 桶重量为W = 527.436lbf (1lbf = 0.452kg)，而在海水中受到浮力B = 470.327lbf 。此 外，下沉时圆桶还要受到海水的阻力，阻力的大小为 D = Cv 其中C为常数。工程师们做了大量的试验，测得C = 0.08。 现在，取一个垂直向下的坐标，并以海平面为坐标原点。于是，根据牛顿第二定律， 圆桶下沉时应满足微分方程 md2y dt2 = W − B − D 注意到m = W g , D = Cv, dy dt，上式可改写为 dv dt + Cg W v = g W(W − B) (4.40) 方程(4.40)满足初始条件v(0) = 0，其解为 v(t) = W − B C (1 − e −CgWt) (4.41) 由(4.41)容易计算出圆桶的极限速度 lim t→∞v(t) = W − B C ≈ 713.86(f t/s) 如果极限速度不超过40f t/s，那么工程师们可以罢休了。然而事实上，和40f t/s的 承受能力相比，圆桶的极限速度竟是如此之大，使人们不得不开始相信，工程师们也许 是对的。 为了求出圆桶与海底的碰撞速度v(t)，首先必须求出圆桶的下沉时间t，然而要做到 这一点却是比较困难的。为此，我们改变讨论方法，将速度v表示成下沉深度y的函数， 即改写成v(t) = v(y(t))。根据复合函数的求导法则，得 dv dt = dv dy dy dt
4.5 应用实例 17 这样，将y所满足的二阶常微分方程改写为 mdy dt dv dy = W − B − Cv 或 v W − B − Cv dv dy = g W 注意到v(0) = 0, y(0) = 0，两边积分，得到 −v C − W − B C2 ln W − B − Cv W − B = gy W (4.42) 十分 可惜 的是，我们无法从 非线性 方程(4.42)中求出v = v(y)，并进而求出碰撞速 度v(300)。因此，只能借助数值方法求出v(300)的近似值。计算结果表明，v(300) ≈ 45.1f t/s > 40f t/s。工程师的猜测是正确的，将放射性废物丢到海中的做法是不安全 的。现在，美国原子能委员会已经改变了它们处理放射性废物的方法，并明确规定禁止 将放射性废物抛入海中。 【例3】 机械振动 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，当物体处于静止状态 时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反。这个位置就是物体的平衡位置， 如图4.2。 当物体处于平衡位置时，受到向下的重力为mg，弹簧向上的弹力k∆l的作用，其 中k是弹簧的弹性系数，∆l是弹簧受重力mg作用后向下拉伸的长度，即 k∆l = mg 为了研究物体的运动规律，选取平衡位置为坐标原点，取x轴垂直向下。当物体处于平衡 位置时，有x = 0，当物体受到外力F (t) 作用时，从平衡位置开始运动，x(t)是物体在t时 刻的位置。当物体开始运动时，受到下面四个外力的作用： (i) 物体的重力W = mg，方向向下，与坐标轴方向一致； (ii) 弹簧的弹力R，当∆l + x > 0时，弹力与x轴方向相反，取R = −k(∆l + x)。 当∆l + x < 0时，弹力与x轴方向相同，取R = −k(∆l + x)。因此，弹簧的弹力R总有 R = −k(∆l + x) (iii) 空气阻力D，物体在运动过程中总会受到空气或其他介质的阻力作用，使振动 逐渐减弱，阻力的大小与物体运动的速度成正比，方向与运动的方向相反，该阻力系数 为c，在t时刻物体运动速度为dx dt，因此 D = −cdx dt (iv) 物体在运动过程中还受到随时间变化的外力作用F (t)，方向可能是向上，也可 能向下，依赖于F (t)的正负。
根据牛顿第二定律，得 md 2x dt2 = W + R + D + F = mg − k(∆l + x) − c dx dt + F (t) = −kx − cdx dt + F (t) 因此，物体的运动满足二阶常系数线性微分方程 md2x dt2 + c dx dt + kx = F (t) (4.43) (1) 无阻尼自由振动 没有空气阻力和外力作用的弹簧振动，称为无阻尼自由振动。 此时，方程(4.43)变为 md2x dt2 + kx = 0 或 d2x dt2 + ω 2 0x = 0 (4.44) 其中ω2 0 = k m。方程(4.44)的通解为 x(t) = c1cos ω0t + c2sin ω0t (4.45) 其中c1, c2为常数。为了明确物理意义，令 sin θ = p c1 c2 1 + c22 , cos θ = p c2 c2 1+ c22 取A =pc2 1+ c22, θ = arctan c1 c2 ，则(4.45)改写为 x(t) =pc2 1+ c22 " c1 p c2 1+ c22 cos ω0t + c2 p c2 1+ c22 sin ω0t #
= A(sin θ cos ω0t + cos θ sin ω0t)
= A sin(ω0t + θ) (4.46) (2) 有阻尼自由振动 下面考虑有空气阻力而无外力作用的弹簧振动。此时，方程(4.43)变为 md 2x dt2 + c dx dt + kx = 0 (4.47) 方程(4.47)的对应的特征方程的特征根为 λ1 = −c +√c2− 4km 2m , λ2 = −c −√c2− 4km 2m 我们分三种情况考虑方程(4.47)的解： (i) c2− 4km > 0，方程(4.47)的通解为 x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2t
4.5 应用实例 19 (ii) c2− 4km = 0，方程(4.47)的通解为 x(t) = (c1+ c2t)e− c 2mt (iii) c2− 4km < 0，方程(4.47)的通解为 x(t) = e−2mc t[c 1cos µt + c2sin µt] 其中，µ = √ 4km − c2 2m 。 情形(i)称为大阻尼情形，情形(ii)称为临界阻尼情形，情形(iii)称为小阻尼情形。对 情形(iii)，类似与无阻尼自由振动，可以把方程(4.47)的通解改写为 x(t) = Ae−2mc tsin(µt + θ) 其中，A, θ为任意常数。 (3) 有阻尼强迫振动 如果物体在运动过程中既有空气阻力又有周期外力F (t)作用，设F (t) = F0cos ωt， 则方程(4.43)变为 md 2x dt2 + c dx dt + kx = F0cos ωt (4.48) 方程(4.48)的一个特解为 ψ(t) = F0sin(ωt + θ) [(k − mω2)2+ c2ω2]12 其中tan θ = k − mω2 cω 。于是方程(4.48)的通解为 x(t) = φ(t) + ψ(t) (4.49) 其中φ(t)是方程(4.48)对应的齐次方程 md 2x dt2 + c dx dt + kx = 0 的通解。 (4) 无阻尼强迫振动 当没有空气阻力而有周期性外力F = F0cos ωt作用时，弹簧的振动满足方程 d2x dt2 + ω 2 0x = F0 m cos ωt (4.50) 其中ω2 0 = k m。 当ω 6= ω0时，方程(4.50)有通解 x(t) = c1cos ω0t + c2sin ω0t + F0 m(ω2 0 − ω2) cos ωt
它是两个不同周期函数的和。 当ω = ω0时，外力的频率 ω 2π与弹簧振动的固有频率 ω0 2π 是相等的，这种现象称为共 振现象，此时，弹簧的振动满足方程 d2x dt2 + ω 2 0x = F0 m cos ω0t (4.51) 方程(4.51)有通解 x(t) = c1cos ω0t + c2sin ω0t + F0t 2mω0 sin ω0t (4.52) 其中c1, c2是任意常数。
