探索三角形相似的条件--巩固练习（提高）

探索三角形相似的条件--巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，P 是 RtΔABC 的斜边 BC 上异于B、C的一点，过点 P 做直线截ΔABC，使 截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）. A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 2．在△_{ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，且 DE∥BC，} ，则 等于_{( )．} A． B． C． D．

3.如图，在△ABC 中，M 是 AC 边中点，E 是 AB 上一点，且 AE= AB，连结 EM 并 延长，交 BC 的延长线于 D，此时 BC：CD 为( ) . A. 2：1 B. 3：2 C. 3：1 D. 5：2 4.（2015•哈尔滨）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BA 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线 上，连接_{EF，分别交 AD，CD 于点 G，H，则下列结论错误的是（} ） A． = B． = C． = D． = 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，则图中相似三角形 有（ ）． A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对 6. 如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推 出△ABP 与△ECP 相似的是( ) . A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90° C.P 是 BC 的中点 D.BP：BC=2：3 二、填空题 7.如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE 相似三角形是________和________.

8.（2015•六合区一模）如图，在 Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，直线 l 经过 C，且 l∥AB，P 为 l 上一个 动点，若△_{ABC 与△PAC 相似，则 PC=} ． 9.如图， 是正方形 ABCD 的外接圆，点 F 是 AB 的中点，CF 的延长线交 于点 E,则 CF:EF 的值是________________. 10.如图，点 M 在 BC 上，点 N 在 AM 上，CM=CN,

AM

BM

AN



CM

,则①△ABM∽ △ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA 中正确的有 ___________. 11.如图，在平行四边形 ABCD 中，M,N 为 AB 的三等分点，DM,DN 分别交 AC 于 P,Q 两点，则 AP： PQ:QC=____________. （ 第 11 题 ） （第 12 题） 12.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB,MN=1.线段 MN 的两端在 CB,CD 边上滑动，当 CM=______时， △AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似. 三、解答题 13.（2015•娄底）一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1），直角顶点 C 的坐标为（﹣ 3，0），∠B=30°，求点 B 的坐标？

14.（2015•大庆模拟）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥BC 交 AC 与 E，已知 AD=AB，连接 BE 交 AD 于 F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF=3S△DEF；

⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有几个？ 15.已知点 P 在线段 AB 上，点 O 在线段 AB 的延长线上.以点 O 为圆心，OP 为半径作圆，点 C 是圆 O 上的 一点. (1)如图，如果 AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO； (2)如果 AP=m(m 是常数，且 )，BP=1，OP 是 OA、OB 的比例中项.当点 C 在圆 O 上运动时，求 的值(结果用含 m 的式子表示)； (3)在(2)的条件下，讨论以 BC 为半径的圆 B 和以 CA 为半径的圆 C 的位置关系，并写出相应 m 的取 值范围.

【答案与解析】 一．选择题 1.【答案】C. 【解析】分别是过点 P 做 AB,AC,BC 的垂线. 2．【答案】 C. 【解析】∵DE∥BC，∴

EC BD

AC



AB

,又∵ ，∴

5

9

BD

AB



,即 =

5

9

. 3.【答案】A . 【解析】如图，做 CN∥AB,交 ED 于点 N, ∵M 是 AC 边中点,△AEM≌△CNM,即 CN=AE, ∵AE= AB，∴AE:BE=1:3，即 CN:BE=1:3.

∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即 CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2. 4.【答案】C. 【解析】∵四边形_{ABCD 是平行四边形，} ∴_{AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，} ∴ ， ， ， 故选C． 5.【答案】B.

【解析】△ABC∽△ACD; △ABC∽△CBD; △CBD∽△ACD. 6.【答案】C. 【解析】当 P 是 BC 的中点时，△EPC 为等腰直角三角形. 二. 填空题 7.【答案】△CEA、△CAB. 8.【答案】_{4.8 或 .} 【解析】∵在_{Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∴AB= =10，} 当△_{ABC∽△PCA 时，则 AB：PC=BC：AC，} 即_{10：PC=6：8，解得：PC= ，} 当△_{ABC∽△ACP 时，则 AB：AC=BC：PC，} 即10：8=6：PC，解得：PC=4.8． 综上可知若△_{ABC 与△PAC 相似，则 PC=4.8 或 ．} 9．【答案】5：1. 【解析】如图，连接 AE,则△AEF∽△CBF, ∵点 F 是 AB 的中点,正方形 ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2. 设 EF=K,则 AE=2K,AF=

5

K,即 BF=

5

K,BC=2

5

K，CF=5K. ∴CF:EF=5:1. 10.【答案】②.

11.【答案】5:3:12. 【解析】∵平行四边形 ABCD, M,N 为 AB 的三等分点∴AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3， 即 AP=

1

4

AC,AQ=

2

5

AC,∴QP=

3

20

AC,QC=

3

5

AC,∴AP：PQ:QC=

1

4

AC:

3

20

AC:

3

5

AC=5:3:12. 12.【答案】

5

2 5

5

或

5

. 三 综合题 13.【解析】解：过点_{B 作 BD⊥OD 于点 D，} ∵△_{ABC 为直角三角形，} ∴∠_{BCD+∠CAO=90°，} ∴△BCD∽△COA， ∴ _{= ，} 设点_{B 坐标为（x，y），} 则 = ， y=﹣3x﹣9， ∴_{BC= =} ， AC= = ， ∵∠_B=30°， ∴ _{= =} ， 解得：_x=﹣3﹣ ， 则_y=3 ． 即点B 的坐标为（﹣3﹣ ，3 ）． 故答案为：（﹣_3﹣ ，₃ ）． 14.【解析】 解：∵_{D 是 BC 的中点，且 DE⊥BC，} ∴_{DE 是 BC 的垂直平分线，CD=BD，} ∴_{CE=BE，故①本答案正确；} ∴∠_C=∠7， ∵AD=AB， ∴∠_{8=∠ABC=∠6+∠7，} ∵∠_{8=∠C+∠4，}

∴∠_{C+∠4=∠6+∠7，} ∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故②本答案正确； 作_{AG⊥BD 于点 G，交 BE 于点 H，} ∵_{AD=AB，DE⊥BC，} ∴∠_{2=∠3，DG=BG= BD，DE∥AG，} ∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1， ∴_{CD：CG=DE：AG，HG= DE，} 设_{DG=x，DE=2y，则 GB=x，CD=2x，CG=3x，} ∴_{2x：3x=2y：AG，} 解得：AG=3y，HG=y， ∴_AH=2y， ∴_{DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1} ∴△_DEF≌△AHF ∴_{AF=DF，故③本答案正确；}

EF=HF= EH，且 EH=BH， ∴_{EF：BF=1：3，} ∴S△ABF=3S△AEF， ∵_S△DEF=S△AEF， ∴S△ABF=3S△DEF，故④本答案正确； ∵∠_{1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，} ∴∠_{5=∠3+∠4，} ∴∠_5≠∠4， ∴△_{DEF∽△DAE，不成立，故⑤本答案错误．} 综上所述：正确的答案有4 个． 15.【解析】（1）利用两边的比相等，夹角相等证相似. 由已知 AP=2PB，PB=BO, 可推出 ， , ∴△CAO∽△BCO. （2）设 , ∵ 是 的比例中项，

∴ 是 的比例中项. 即 , ∴ , 解得 . 又∵ △COB∽△AOC, . （3）∵ ， ，即 , 当 时，两圆内切；当 时，两圆内含；当 时，两圆相交.