章三角

(1)

第八章三角 P100 第一單元 1/2

2 0 2 0 2 0 2 0 sin 10 sin 80 sin 10 cos 10 1

     1. Ans:1 2 2 sin 3 sin 1 3( ) 2 sin 1 2or2        不合 2. Ans:4

原式=_{sin 10}2 0__{sin 20}2 0__{sin 30}2 0____{sin 80}2 0 _₄ 3. Ans:8 39 5  如右圖tan 5 8 39 2 8 39 5      4. Ans: 3 2 由根與係數 2 2 3 1 sin cos 3 1 3

2 _(sin _cos) _{1 2sin cos} ₍ ₎ ₁

2 2 sin cos 2 k k k             _            _    5. Ans:3 sincsc 1   1 1 sin 1 1 3

1 csc 1 sin 1 sin 1 sin               ，同理可得求式 6. Ans:(1)26 (2) 28 (1)cos 5 sin 12 30 26 13 13 sin sin AC C C AC C B    用正弦定理   

(2)sin sin( ) sin cos cos sin 4 5 3 12 56 5 13 5 13 65 A BC  B C B C      BC28( 用正弦定理 ) 7. Ans: 如圖: 0 1 6 2 sin15 4 6 2     0 2 3 s15 6 2 co    8. Ans:(1)12 25 (2) 1 5  (3)25 12 (4) 91 125 (5) 37 125  (1) 2 12

(sin cos ) 1 2 sin cos sin cos 25 x x   x x x x

(2) 2 1 1

(sin cos ) 1 2 sin cos sin cos

25 5

x x   x x  x x 

(3)tan cot sin cos 1 25

cos sin sin cos 12

x x

x x x x

    

(4) 3 3 3 91

sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 125 x x x x  x x x x 

(5) 3 3 3 37

sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos )

125 x x x x  x x x x  



(2)

第八章三角 P100 第一單元 2/2 代入可知 9. Ans:1 4 如圖，作__{ECP= FBP=90}_ 0 1 / / PD CE= 2 CE PBE PB  為中點,且 1 / / PA BF= 2 BF PCF PC  為中點,且 tan tan 1 4 BF CE PB PC        10.Ans: 1 10 仿上題 9 1 4 CE PB   、 2 5 BF  PC tan tan 2 1 1 5 4 10 BF CE PB PC         

(3)

第八章三角 P105~P106 第二單元 1/3 1. Ans: ( 4, 4 3)  0 0 0 [8, 240 ] (8 cos 240 ,8sin 240 ) ( 4, 4 3) P P  P   2. Ans:48 25

由圖可知 cos sin cos 4 sin cos 4 4 3 48

5 5 25 DE  CD    AC           3. Ans: 2 2 2 3 3 3 ( 2 ) 1 2

sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 2 2 3 2

2 2                   4. Ans: 1 求式= 2 2 2 2

cos cot sin csc

cot csc 1 cos sin                  5. Ans:2 2 0 2 0 0

sin (45 A)cos (45A) tan(45 A)cot(45 A) =1+1=2

 且求式

6. Ans:17 13

tan 4 cot 0 sin 0 sin 4,cos 3

3 IV 5 5                   代入求式=17 13 7. Ans: 7 13  5 12 7 sin ,cos =-12 13 13 13 cot 0 III 5 12 7 5 sin , cos = 13 13 13 I I III                         求式或求式 8. Ans: 3 1 2 

sin cos 2 1 2 sin cos 4 2 3 = 3 1

4 2           求式  9. Ans: (1)1 4 (2) 2 2 (1) (2 3)另一根=1另一根=2+ 3tan cot [(2 3) (2  3)]4，所求=1 4 (2) 2 1 2

(sin cos ) 1 2 sin cos =

2 2

        求式  10.Ans: 16

3 

( , 4)x III或IV又cos 4 0 tan 3 4 16

5 III 4 x x 3

(4)

第八章三角 P105~P106 第二單元 2/3 11.Ans:(1)12 25 (2) 1 5 

(1) tan cot sin cos 1 sin cos 12

cos sin cos sin 25

x x

x x x x

     

(2) 2 1 1 0 0

(sin cos ) 1 2 sin cos = ( 0 45 )

25 5 x x   x x 求式   x 取負 12.Ans:如下 (1) 左式= 2 2 2 2 2 2(sin cos ) 2 2 cot

(1 cos )(1 cos ) sin

             右式 (2) 左式= 1 sin 1 sin csc 1 cos cos cos csc cos

              右式 13.Ans:(1)15 4 (2) 2 2 2 3 (1)求式= 1 2 1 2 15 2 ( ) 3 1 ( ) 2 2 4      (2) 求式=( 2)3 ( 2 )3 ( 1 )3 2 2 3 3 3     14.Ans:3 5 2 2 2 2

cos 2 2sin cos  (2 2 sin ) 1 sin  4 8sin 4 sin 

          

原式

2 3

5sin 8sin 3 0 sin 1( I )

5or            不合 15.Ans:(1)1 3 (2) 5 3  (3) 1 3  (1) tan cot 3 =1 3      所求 (2)(3)由恆等式 2

(sinxcos )x  1 2 sin cosx x可得 16.Ans: 1 或 2

2 2 2 2

sin 1 3cos sin  (1 3cos ) 1 cos  1 6cos 9 cos 

          

原式

2 3 3 4

10 cos 6 cos 0 cos 0 (cos ,sin ) (0,1) ( , )

5or 5 5             或  代入所求= 1 或 2 17.Ans: 2 1 k k   0 0 0 0

cos( 100 ) cos(100 ) cos(80 )cos(80 )  ， k

 0 0 0

= tan 980 tan 260 tan 80  所求 2 1 k k   18.Ans:4 7 3  令 tan 0( ) 2 t II 2 I orIII          sin 2 ₂ 3 32 8 3 0 1 4 t t t t t            4 7 3  19.Ans:3 2 2

(5)

第八章三角 P105~P106 第二單元 3/3 17 1 ( sin ) 4 x 2 最大M= 此時 ( sinx  1) 最小m=2 此時 5 1 ( sin ) 4 x  2 最大M= 此時 1 (1 2 3) 4 3 ( sin ) 2 x    最小m= 此時 1 sin 2 3 sin 1 tan 1 , cot 2 =3 2

1 sin 3 2 2                求式 20.Ans:(1) 17, 2 4 M  m (2) 5, 1(1 2 3) 4 4 M  m  (1) 2 cos xsinx3 2 1 sin x sinx 3     1 2 17 (sin ) 2 4 x     ，其中 1 sinx1  17, 2 4 M  m (如右圖) (2) 2 2sin x 3cos0 2 2(1 cos x) 3cosx 0     2 2 cos x 3cosx 2 0     (2cosx 1)(cosx 2) 0     1 cos 2 x   由右圖單位圓 3 3 sin 2 x 2     2 2 1 2 5

cos sin 1 sin sin (sin )

2 4 x x  x x  x  ， 3 3 sin 2 x 2    其中，如右圖  5, 1(1 2 3) 4 4 M  m 

(6)

第八章三角 P110 第三單元 1/2 1. Ans:1200 令 b+c=2k,c+a=5k,a+b=6k 7 , 5 , 3 : : 7 : 5 : 3 2 2 2 a k b k c k a b c       2 2 2 0 5 3 7 1 cos 120 2 5 3 2 A     A   2. Ans:(1) 2 3 (2)4 3 3 (3) 7 (1) 2 2 2 0 4 2 2 4 2 cos 60 12 2 3 BC        BC (2) 令AD(角平分線)=x1 0 1 0 1 0 4

4 sin 30 2 sin 30 4 2sin 60 3 2 x 2 x 2  x 3 (3) 用平行四邊形定理 2 2 2 2 (4 2 )2(x ( 3) )x 7 3. Ans:12 5;5 ;441 ;3 21 20 2   (1)S=1(7 8 9) 12, = ABC= 12 5 4 3 12 5 2    用海龍公式      (2)(3) ABC=12 5 1 =7 8 9 5, 21 = 2 r 4R r R 2 5     周長    圓面積 5 ,441 20   (4)如圖，AD為角平分線 : 7 : 9 7 2 BD DC BD     由餘弦定理 2 2 2 2 2 2 7 7 ( ) 7 8 9 3 2 cos 21 7 _{2 8 7} ₂ 2 7 2 x B x             4. Ans:○1 等腰或直角 ○2 直角 ○1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos ( ) ( ) 2 2 b c a a c b a A b B a b a b c a b a c b bc ac                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b )(a b c ) 0 a b a b c        或   ABC為等腰或直角

○2 _b2_sin2_C__c2_cos2_B__c2_₂_bc_{cos cos}_B _C __b2_{(1 cos}_ 2_C₎__c2_cos2_B__c2_₂_bc_{cos cos}_B _C

2 2 2 2 2 2

( cos cos )

b c b C c B b c a

       (註: bcosCccosBa) ABC為直角

5. Ans:14 如圖: 2 2 2 0 7 9 8 11 11 cos(180 ) cos 2 7 9 21 21             2 2 2 11 7 9 2 7 9 ( ) 196 21 EF          EF 14 6. Ans:5(1 3) 2  如圖: 0 0 90 90 5 2( 2 ) C A BD R        直徑，用正弦定理 0 5 2 sin105 (1 3) 2 AC R  

(7)

第八章三角 P110 第三單元 2/2 7. Ans: 7 如圖ABC,ABD共用B 2 2 2 2 2 2 5 7 3 7 7 cos = 7 2 5 7 2 7 7 x B x             8. Ans: 3 3 8 2 ABCD 面積= 1 0 2 6 sin 60 8 2 2 4 2 ABD BCD             3 38 2 9. Ans:3,21 3 4 如圖，₅2_₃2_{  }_{2 5 3cos 60}0 __x2_₂2_{ }_{2 2 cos120}_x 0 x3或5(不合) ABCD 面積= 1 0 1 0

C ADC 5 3 sin 60 3 2 sin120

2 2 AB            =21 3 4 10.Ans:(1)( , , ) (7,5,8) (2)10 3 (3)49 3 a b c   (1) 如圖可知2a620a7 ₂ ₂13 ₀ ₂ 5, 8 2 cos 60 49 b c b c b c bc a    _         (2)ABC 面積=1 20 3 10 3 2   (3)1010 3 7 =49 4 3 4 abc R R     面積 11.Ans:24 __AB2__BC2 __CA2 _{  }_B ₉₀0 __AC_₂_R_₂₀__R_₁₀ AB6,BC  8 ABC面積=24 12.Ans: 3 1 2 1 8 4 3 1 0 ( 3 1) 4

x  x  x  sin sin sin 1( 3 1) 4 A B A   取 4 , 2 2( 3 1) sin 3 1 BC R A      由正弦 R 3 1

(8)

第八章三角 P113~P114 第四單元 1/2 8P100 8(4) 仿習題 1. Ans: 0 90  0 0 0 0 0 0 0 90

180 0 cos( ) cos cos sin sin 0

90 180                              0 90       :III IV     註或用cos( - )的正負可區分，較sin( - )都為負，無法區分較佳 2. Ans: 2 2 1 2 1 a a a    由倍角公式可知 2 2 2 1 2 cos 2 sin 2 1 1 a a a a          2 2 1 2 1 a a a    3. Ans: 172 125  1 求式= 3 3 3 3 172

sin 3 cos 3 3sin 4sin 4 cos 3cos 3(sin cos ) 4(sin cos )

125                     4. Ans: 0 135 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 0  90 ,90  180 90   270  ， 0 1 2 1 2 2 1 3 ) 1 135 2 1 1 3              又tan( 5. Ans:(1) 1 (2) 5 (3)119 169 26   0 0 0 0 1 cos 1 180 270 90 135 cos 2 2 2 26               ， = = ,sin 1 cos 5 2 2 26     = tan 5 2   = , 2 119 cos 2 2 cos 1 169      6. Ans: 1 7 25 or  

5sin 8cos 5 2sin cos 8cos cos 0 sin 4

2 2 2 2 2 2 5

     

       或 

又 2 2 7

cos 2 cos 1 1 2 sin cos 1

2 2 or 25             7. Ans:3 2 利用 2 1 cos 2 4 1 cos 2 2 1 2

cos cos ( ) (1 2 cos 2 cos 2 )

2 2 4               求式=1(4 2)=3 4  2 ( 0 0 0 0

2(cos 22 30cos 67 30cos157 30cos112 30 ) 0



2 0 2 0 2 0 2 0

cos 22 30cos 67 301, cos 157 30cos 112 301 ) 2 0 sin 22 30 2 0 0 2 0 cos (270 112 30 ) sin 157 30 8. Ans:M=7,m=4 0 0

(9)

第八章三角 P113~P114 第四單元 2/2

求式= 2 2 2 2 2 1 2 0 0

8[(cos sin ) 2 cos sin ] 8(1 (sin 2 ) ), 2 150 2          其中30     0 0 2 150   30 1 2 2 1 2

(sin 2 ) 1 7( (sin 2 ) = ), 4( (sin 2 ) =1)

4  M  4 m       此時  此時 9. Ans:3 7 如圖， 2 1 3 5 tan tan(( ) ) 2 ₇ 1 1 5             10.Ans:○1 _{8 ○}2 ₈ 令 3 3 3

(cos ) 2(4 cos 3cos ) 7 2 cos3 7 ( ) 8 6 7

(sin ) 2(3sin 4sin ) 7 2 sin 3 7 f f x x x f                  _{  }         

○1 求式_ _f_{(cos 20 )}0 __{2 cos 60}0_₇_₈ ○2 求式_ _f_{( sin10 )}_ 0 __{2sin 30}0_₇_₈

11.Ans:如下

○1 _ABC _cos 4_,sin 3 _cos(600 ₎ 4 3 3

5 5 10           在中， ○2 ₌1 _{4 5 sin(60}0 ₎ _{3 4 3} 2 ACD   面積       ○3 _AD2 _₄2_₅2_{  }_{2 4 5cos(60}0__₎__{25 12 3}_ AD 25 12 3 12.Ans: 6 2 8  求式= 0 0 0 0 0 1 cos135 1 cos105 1 1 6 2 cos 45 cos(60 45 ) 2 2 2 2 8        

(10)

第八章三角 P117 第五單元 1/2

1. Ans:0.3448

0

0 0 0 01

cos( 1010 10 ) cos69 50 sin 20 10 sin 20 6        用內插法 0 0 0 20.1 0.3437 1 0.1 1 0.3437 ₆ 4 20 0.3437 0.0016 0.3448 6 0.0016 0.1 6 20.2 0.3453 y y y             2. Ans:10 3km hr/ 2 2 2 2 1 200 [1 2 2 1 2 ] 200 3 =10 3 2 AB        AB 所求 3. Ans: 2Hr 如圖， 2 (3 )(12 )t t 12  t 2 4. Ans:600m 如圖，令山高為x， ABO為正  x600 5. Ans:1000 如圖，令山高為x，OAx OB,  3x 在 2 2 2 0 3 2 3 cos 30 AOB x x x x  中，1000    x1000 6. Ans:1m CO為建築物，BC為塔高， AB為旗桿 如圖可求之OC=1 7. Ans: 3 1 10  0 90

ACD ABD ACDB

      為圓內接四邊形由圖可知 0 0 D=60 , A 120    ，令CD2 ,x 可推出BC= 6x 用正弦 6 ₀ 2 ₀ 2 2( 3 1) =2( 3 1) 3 1 sin120 sin15 20 10 x x       可得所求  8. Ans: 50( 6 2 ) 在 ABE 中，可知 0 AE=100 cos15 25( 6 2)， 0 BE=100sin15 25( 6 2) 令BE xCD 3x，由AOCO25( 6 2)x 3x25( 6 2)  x 25( 6 2 )所求=AE+x50( 6 2 )

(11)

第八章三角 P117 第五單元 2/2

P9. Ans:(1)0.1642 (2) 0 279 27 30 

(1) 0 0 0

sin170 33sin 9 27cos80 33 0 0 0 80 30 0.1650 0.1650 3 80 33 0.1642 0.0028 10 80 40 0.1622 y y y             (2) 0 0 0 0 80 30 0.1650 80 30 0.0007 0.1643 80 32 30 = 10 0.0028 80 40 0.1622                   所求 0 279 27 30  P10.Ans:○1 _{300 6 ○}2 ₁₂₀₀ 令山高( OD ) 3 , , 3 x x AO x BO x CO      在 AOC 中 ○1 _AB=BC_₆₀₀，用定理 ( 3 )2 ( 1 )2 2( 2 600 )2 300 6 3 x x x       ○2 AB=800,BC400，用餘弦定理 2 2 2 2 2 2 1 3 1200 ( ) 3 800 ₃ cos 2 3 800 2 3 1200 x x x A x x           x1200

(12)

第八章三角 P118~P120 試題觀摩 1/4  小大 1. Ans:(D) 如圖，相同時間經過的距離越來越長 2. Ans:(D) 令CD=x,由已知ADBC 2x 2 2 x b bh AED FEG x h x h h b           3. Ans:(D) 由定義 0

tan( 90 ) 1 ( cot ) cot

AC AO            4. Ans:(B) 手寬約等於身高2R10人手寬 1.7m 10=170m=  2R5 5. Ans:(C)(D) 如圖  AH  c sinB b sinC 6. Ans:(A)(D) 找 x與x代入相同 7. Ans:(C)(D)

(A) _{cos 50}0 __{sin 40}0

(B)_{cot 50}0 __{tan 40}0

(C) sec tan for I

(D) 0 0 0 0

sin 230  sin 50 , cos 230  cos 50 (E) 同(B) 8. Ans:24

如圖可知路徑長即為 ABC的周長=24 9. Ans:4

3

sin cos 1 sin cos 1 sin cos 5

3 3 3               2, 2 5 =4 3 3 3 q p      求式 10.Ans: 1 16 2 1 2 1 1 2 1

( ) cos sin 1 (1 sin ) sin 1 (sin )

2 2 4 16 f x  x x   x  x   x  sin 1 4 x  ， ( )f x 有最大 1 16 11.Ans:358 2 2 2 2 2 1 179 1 1 4 AP AP  AP BP 直徑  ，同理 2 2 2 2 2 180 4 k k k k AP AP _  AP BP 直徑  求式=4 89 AP90 4 892358 12.Ans: 0 2, 45 BC C 2 2 2 0 2 (1 3) 2 2 (1 3) cos30 2 BC         BC 2，又 2 2 2 0 ( 2 ) (1 3) 2 2 cos 45 2 2 2 (1 3) C      C    13.Ans:410

(13)

第八章三角 P118~P120 試題觀摩 2/4 x 仿上題，先求AB,再求A cos 2 0.7559 7 A 可知   ，查表可得 0 41 A   14.Ans: 77 5 2 2 2 2 2 2 1 4 2 3 cos ,cos 2 1 4 2 2 3 BD BD A   C       由cos cos 77 5 A  CBD 15.Ans:2 2 令ABx，由餘弦( 6 2 )2 22x2 2 2xcos1050x2 2或2 22 6(不合 )

16.Ans: ABD=3 3, 3 3, ABC=9 3 2 AC    (1) 1 0 ABD= sin 30 3 3 2AB BD     (2) 2 2 2 0 3 6 2 3 6 cos60 27 AC         AC3 3 (3) 1 0 1 0 6 sin 60 3 3 2 3 sin 30 2 2 ABC ABD BCD BC BC               BC 3 代回可知所求 ABC=9 3 2  17.Ans:4 6 5  2 2 2 2

cos 3sin 2cos  (2 3sin )   1 sin  4 12 sin  9sin  6 6 sin 10     (取負，若取正，代回得cos 2 3 6 10    <0 不合) cos 2+3 6 10    求式= 4 6 5  18.Ans:2290 0 0 2 50 200 229 360 x x       19.Ans: 2 3 (2 3)另一根=1另一根 2 3tan cot (2 3)(2 3)4 又cot 1 tan 2 3 tan        (取， 0 tan tan 45 1)  20.Ans:3 2

令BDxCAD B ADxtanB、CD ADtanBxtan2B

由已知 2 2 2 3 1 tan 4( 4) 9 3 2 tan tan 1 4 2 tan 9( 9) 2 x B ABD B B x B ACD             _ _ _     21.Ans:122 0  1 60 = ) 6 (2 2 1) 12 2 6 PAQ QR PQ               所求 6(

(14)

第八章三角 P118~P120 試題觀摩 3/4 (2, 0) A 1 ( ,0) B n  C( ,0)1 n 2 n 2 0 0 2 90 60 30 22.Ans:3 4 如圖，令PQ x,OPQ QRx DQ, xsin 在OQR中，用正弦定理 2 2 0 0 sin 3 3

3 cos 2 sin tan ( )

sin 30 sin(60 ) 2 4 x x             23.Ans:2 1 2 2 2 ( ) 2 , AB AC BC n n     = 4 AB AC BC ABC R     面積 1 2 1 1 2 2 2 2 [( ) 2 ] 2 n 4R n n       1 1 2 2 2 ( ) [( ) 2 ] 2 2 n R D n     收斂 24.Ans:(1) 3 5  (2)8 (3) 65

(1)在ABC中，sin 3 cos cos(900 ) 3

5 5

ACB ACB ACB

       

(2)cos 3 sin 4 1 4 5 8

5 5 2

ACB ACD ACD

           (3)用餘弦 2 2 2 3 4 5 2 4 5 ( ) 65 5 AD          AD 65 25.Ans:(E) 由正弦、 0 sin 45 2 AB c  、 sin 2 AB AED e   、 0 sin135 2 AB d  又__AED_₄₅0 __sin__AED__{sin 45}0 __sin1350

e c d    26.Ans:16 如圖， PQR 周長最小為 P P ，其中 P 、 P 為 P 分別對AO、BO的對稱點 Q，R 為 P P 與AO、BO的交點

OP =OP =OP=10  ，P OP  2 AOB

2 sin( ) 20 4 16 2 5 P OP P P  OP          27.Ans:如下由已知可知__APB_₁₂₀0 (1) 2 2 2 0 2 1 2 2 1 cos120 7 7 AB         AB P P

(15)

第八章三角 P118~P120 試題觀摩 4/4 (2) 1 0 3 = 2 1 sin120 2 2 ABP  面積     (3) =1 7 1 sin 3 sin 3 2 2 7

ABP ABP ABP

 面積         (4)在 0 0 , 2, 30 2 2 cos 30 2 3 ABQ AP AQ ABQ PQ  中          (5)同(4), 0 2 1 cos 30 3 PR     28.Ans: 6 2 在 0 AB=4 cos 60 2 ABC  中，  在 0 BD=4 cos 45 2 2 DBC  中，  在 0 0 0 6 2 cos(45 30 ) 4 ABD   中，cos ABD=cos15    2 2 2 6 2 2 (2 2 ) 2 2 2 2 8 2 2 6 2 4 AD  AD             29.Ans: 17 : 2 : 3 2 4 1 cos sin 17 17 3 5 3

tan cos ,sin : : sin : sin : sin

5 34 34

2

sin sin(180 ( )) sin( )

2 B B C C C a b c A B C A B C B C                          17 : 2 : 3 30.Ans: 0 0 0 60 , 90 , 30 A B C       2 2( ) cos cos 2 2 2 A A a b c a b c c  代入     2 2 2 2 2 1 cos cos cos 2 2 2 4 2 4 A a A a A a c c c        2 2 2 2 2 1 2( ), 2 4 b c a a bc c      又b2c a 3c a b c: :  3 : 2 : 1 0 0 0 60 , 90 , 30 A B C      