86年學測數學

學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘 題型題數：單一選擇題 8 題，多重選擇題 4 題，填充題8 題 作答方式：‧用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液 ‧答錯不倒扣 作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。請仔細閱讀下面的例子。 （一）填答選擇題時，只用 1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到，，以及 6，7，8，9，0 等格子。 例：若第 1 題的選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，﹝亦即選項 (3)﹞時，考生要在答案卡第 1 列的　　劃記（注意不是 7），如： 解　　　答　　　欄 例：若多重選擇題第 10 題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列 的　　與　　劃記，如： （二）填充題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各 題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。 例：若第 B 題的答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是3 8，則考生必須分 別在答案卡上的第 18列的　 　 與第 19列的　 　 劃記，如： 例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是 50 7  時，則考生必須分別在 答案卡的第 20 列的　　與第 21 列的 劃記，如：

※試題後附有參考公式、常用對數表及三角函數表

3

18

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

19

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

20

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

21

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 3 ₈

1

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

10

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 50  7

第一部分：選擇題

壹、單一選擇題

說明：第 1 至 8 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答

欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

1. 坐標平面上兩直線之斜率分別為 3 及 1 3，則下列何者為其一交角？ (1)

₃₀

 ₍₂₎

₃₆

 (3)

₄₅

 ₍₄₎

₆₀

 (5)

₉₀

 2. 設

P

，Q 為 平 面ax by cz 5 上 相 異 兩 點 ， 且PQ  x y z



0, 0, 0



， 則PQ





 a b c, , _為 (1) 不定值，隨



x y z0, 0, 0



而改變 (2)

25

(3)

5

(4)

0

(5)

1

3. 設 f x

 

_{為 二 次 函 數 ， 且 不 等 式} f x

 

 0 _{之 解 為}

_{  }

₂

_x

₄

_{， 則} f

 

2x 0 _之 解為 (1)

  

1

x

2

(2)

x

 1

或

x

 2

(3)

x

 2

或

x

 4

(4)

  

4

x

8

(5)

x

 4

或

x

 8

4. 有一個無窮等比級數，其和為 8 9 ，第四項為 3 32 。已知公比為一有理數，則 當公比以最簡分數表示時，其分母為 (1)

₂

(2)

₃

(3)

4

(4)

6

(5)

8

5. 有一邊長為

3

的正六邊形紙板，今在每一個角各剪掉一個小三角形，使其 成為正十二邊形之紙板，則此正十二邊形之一邊長為 (1)

₁

(2) 3 2 (3) 3 (4) 3 3 3 2  (5) 6 39 6. 有一正立方 體，其 邊長 都是

1

。 如 果 向 量a 的起點與 終點 都是此 正立 方體 的頂點，且 a

 1

，則共有多少個不相等的向量a？ (1)

3

(2)

6

7. 考慮 一正 立 方 體 六 個 面 的 各中 心 點 ， 則 以 其 中 四 個中 心 點 為 頂 點 的 正 方 形 一共有幾個？ (1)

₃

(2)

₄

(3)

6

(4)

8

(5)

12

8. 有一種丟銅板的遊戲，其規則為：出現正面則繼續丟，出現反面就出局。那 麼連續丟

5

次後還可繼續丟的機率為 1 2 1 32 5     _。某班有

40

_{名學生，每人} 各玩一局，設班上至少有一人連續丟

5

次後還可繼續丟的機率為

p

，則 (1) 0 4.  p 0 5. (2) 0 5.  p0 6. (3) 0 6.  p0 7. (4) 0 7.  p0 8. (5) 0 8.  p0 9.

貳、多重選擇題.

說 明 ： 第 9 至 12 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標

示在答案卡之「解答欄」。每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未答者不

給分。只錯一個可獲 2.5 分，錯兩個或兩個以上不給分。

9. 設 f x

 





n



x n







n



x n



2 2 8 10 1 3 。若 f x

 

在

x a



處有最小值，則 (1)

a

為整數 (2)

a

 59

.

(3)

a

 51

.

(4) a4 0 5. (5) a6 0 5. 10. 關於方程式









3 19 10 1 2 2 2 x y x y   _{   } 所 代 表 的 錐 線 圖 形



， 下 列 何 者 為真？ (1)



為拋物線 (2)



1,2



為



的焦點 (3) 3x y 190 為



的漸近線 (4) x3y 7 0 為

_

的對稱軸 (5)



3 1,



為

_

的頂點

11. 下列各選項中的曲線



，何者是一個橢圓？ (1) (2) (3)



為標準跑道的內側 (4) (5) 12. 下圖 中， 有 五 組 數 據 ， 每 組各 有

A

，

B

，

C

，

D

，

E

，

F

等 六個 資 料 點。

r

r

r

r

r



為 Q點 的 軌 跡 ， 其 中 PQ 1，

P

為 橢 圓

M

上 任 一 點 ，

O

為

M

的 中 心 ， 且

O

、

P

、 Q三 點 共 線



為 Q點 的 軌 跡 ， 其 中 PQOP，

P

為 橢 圓

M

上 任 一 點 ，

O

為

M

的中 心， 且

O

、

_P

、 Q 三點 共線



為直圓 柱 面 與 平 面

_E

的 交 線



為直圓 錐 面 與 平 面

_E

的 交 線

第二部分：填充題

說明︰1.第A至H題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13-28)處。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對者，不給分。

3.如果填充題答案要求的是分數時，必須以最簡分數表示。

A. 設 f x

 

 x56x4 4x325x230x20，則 f

 

7  。 B. 設



為 兩 平 面2x y 2z 6 _與

₃

_x

_

₄

_z

_

₂

_{的 夾 角 （ 取 銳 角 ） ， 則}

_

_最 接近的整數度數為 度。 C. 在 四 邊 形

ABCD

中 ，

 

A 120

， AB 1， AD 2， 且AC=

3

AB+

2

AD ，則 AC的長度為 。 D. 已 知 三 角 形 由 三 直 線 y  0_，3x2y 3 0_，x  y 4 0所 圍 成 ， 則 其 外 接圓之直徑為 。 E. 已 知 圓 內 接 四 邊 形 的 各 邊 長 為 AB  1，BC  2，CD 3，DA 4。 則 對 角線 BD 的長度為 。 14 15 13 16 17 18 19 20 21 22

F. 將

3

100_{以科學記號表示：}

₃

100

_{ }

_a

₁₀

m_，其中

₁

 

_a

₁₀

_，

m

_{為整數，則}

a

的整數部分為 。 G. 某人 上班 有 甲 、 乙 兩 條 路 線可 供 選 擇 。 早 上 定 時 從家 裡 出 發 ， 走 甲 路 線 有 1 10 的機率會遲到，走乙路線則有 1 5 的機率會遲到。無論走哪一條路線， 只要不遲到，下次就走同一條路線，否則就換另一條路線。假設他第一天走 甲路線，則第三天也走甲路線的機率為 100 。 H. 有 一 種 遊 戲 ， 每 次 輸 贏 規 則 如 下 ： 先 從

1

至

6

中 選 定 一 個 號 碼

n

， 再 擲 三粒均勻的骰子。若三粒骰子的點數全都是

n

，則可贏

3

元；恰有兩個點 數 為

n

， 則 可 贏

2

元 ； 恰 有 一 個 點 數 為

n

， 則 可 贏

1

元 ； 而 沒 有 點 數 為

n

，則輸

1

元。如此，玩一次的期望值（贏為正，輸為負）為 216 元。 23 24 25 26 27 28

參考公式、常用對數表及三角函數表

1. 一元二次方程式的公式解： x b b ac a    2 4 2 2. 以， _{為二根 的一 元二 次 方 程 式}

_ax

2

_

_{bx c}

_{ }

₀

_{的根與係數的關 係為：}    b a 及   c a 3. 等比級數 arn1 的前

n

項之和 ： 當r  1 時,S a r r a r ar r n n n         1 1 1 1 ；當r 1 時,Sn na 4. 平面上兩點P1



x y1, 1



_，P2



x y2, 2



_{間的距離為}

P P

_{1 2}



(

x

₂



x

₁

)

2



(

y

₂



y

₁

)

2 5. ABC的正弦 及餘 弦定 律 (1)

a

A

b

B

c

C

d

sin



sin



sin



，d為外接 圓直 徑（ 正 弦 定 律） (2) c2 a2b22abcosC（餘弦 定律 ）

6. 正弦函數的和角公式為

sin(

 

 ) sin cos





cos sin





sin(

 

 ) sin cos





cos sin





7. 餘弦函數的和角公式為

cos(

 

 ) cos cos





sin sin





cos(

 

 ) cos cos





sin sin





8. 點P x y z( , , )0 0 0 到平面 E ： ax by cz d    0 的距離為

ax

by

cz

d

a

b

c

0 0 0 2 2 2











9. 貝氏定理





_{ }

_

 

_



_{ }



_

_

P A B P A P B A P A P B A P A P B A   ' ' 10. 對數換底公式： log log log a b b x x a  11. 統計公式 算術平 均







_{1 2}



1

1

1

n n i i

M

X

x

x

x

X

n

n







   





標準差 2 2 2 1 1

1

1

(

)

n n i i i i

S

x

X

x

X

n



n















相關係 數



 





 





 



1 1 2 2 1 1 n n i i i i i i n n X Y i i i i

x

X

y Y

x

X

y Y

r

n S S

x

X

y Y

   



























X S 為隨 機變 數 _X 之標準 差 Y S 為隨 機變 數_Y之標 準差

12. 常用對數表 y log10 x

註： 1.表中所給的對數值為小數點後的值。

2. 表 中 最 左 欄 的 數 字 表 示 x的 個 位 數 及 小 數 點 後 第 一 位 ， 最 上 一 欄 的 數 字 表 示 x 的小數 點後 第二 位 。