數學 C ( Ⅱ ) 第一章 1-2 餘式與因式定理

=== 第四章 不等式及其應用 === === === 第四章第四章不等式及其應用不等式及其應用======

1

1

-

_-

2

₂

餘式與因式定理

餘式與因式定理

2

3

求

3

2

( )

=

−

2

+

4

−

7

f x

x

x

x

除以

x

−

2

的餘式。

根據餘式定理，餘式為 (2)

f

，

又

3

2

(2)

=

2

− ×

2 2

+ × − =

4 2 7 1

f

，所以餘式為 1。

4

求

3

2

( )

=

3

−

5

−

2

+

4

f x

x

x

x

除以

x

+

1

的餘式。

( 1)

− = − − + + = −

3 5 2

4

2

f

。

5

求

3

2

( )

=

−

−

3

−

1

f x

x

x

x

除以

2

x

+

1

的餘式。

根據餘式定理，餘式為

(

1

)

2

−

f

，

又

1

1

3

1

2

1

1

(

)

(

)

(

)

3 (

) 1

2

2

2

2

8

−

= −

− −

− × −

− =

f

，

所以餘式為

1

8

。

6

求

f x

( )

=

2

x

3

+

x

2

−

3

x

−

1

除以

2

x

−

1

的餘式。

1

1

1

3

( )

1

2

2

= + − − = −

4

4

2

f

。

7

已知

4

3

2

( ) 132

=

−

242

+

32

−

112

−

70

f x

x

x

x

x

，求

f

(2)

的值。

直接將

x

=

2

代入 ( )

f x 中，

即可求得 (2)

f

之值，但計算過於繁雜。

本題利用餘式定理，

將 (2)

f

視為 ( )

f x 除以

x

−

2

的餘式來計算。

我們用綜合除法來求 ( )

f x 除以

x

−

2

的餘式如下：

2

132 242 32 112

70

264 44 152

80

132

22

76

40

10

−

+

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

所以

f

(2) 10

=

。

8

已知

4

3

2

( )

=

4

−

25

−

30

+

70

−

50

f x

x

x

x

x

，求 (7)

f

的值。

7

4 25 30

70 50

28 21 63

49

4

3

9

7

1

−

−

+

−

+

+

−

+

+ −

+

∥

−

， (7)

f

= −

1

。

9

已知多項式

f x

( )

除以

x

+

1

，得餘式為

3；除以

x

−

2

，得餘式

為

9，求

f x

( )

除以

(

x

+

1)(

x

−

2)

的餘式。

因為(

x

+

1)(

x

−

2)

為二次式，所以餘式可設為

ax

+

b 。

由除法原理可知，存在一多項式 ( )

q x

使得 ( )

f x

=

(

x

+

1)(

x

−

2) ( )

q x

+

ax

+

b

因為 ( )

f x 除以

x

+

1

與

x

−

2

的餘式分別為3與9，

所以根據餘式定理可得 ( 1)

f

− =

3

,

f

(2)

=

9

。

( 1)

( 1 1)( 1

2) ( 1)

( 1)

3

(2)

(2

1)(2

2) (2)

2

9

f

q

a

b

f

q

a

b

− = − +

− −

− + −

+ =

⎧

⇒ ⎨

₌

₊

₋

₊

_{+ =}

⎩

3

2

2

9

5

a

b

a

a

b

b

− + =

=

⎧

⎧

⇒

_⎨

⇒

_⎨

+ =

=

⎩

⎩

，所以所求餘式為

2

x

+

5

。

10

已知多項式

f x

( )

除以

x

− ，得餘式為

1

1；除以

x

+ ，得

2

餘式為

−8，求

f x

( )

除以

(

x

−

1)(

x

+

2)

的餘式。

設

f x

( )

=

(

x

−

1)(

x

+

2) ( )

Q x

+

ax b

+

(1)

1

3 ,

2

( 2

)

2

8

f

a b

a

b

f

a b

= + =

⎧

⇒

_{⎨ − = − + = −}

⇒ =

= −

⎩

，

餘式為

₃

_x

− 。

₂

12

9

設

3

2

( ) 2

8

4

f x

=

x

+ − − ，試判斷

x

x

x

−

1

與

2

x

+

1

是否為 ( )

f x

的一次因式？

我們利用因式定理來檢驗：

(1)

因為

f

(1)

= ⋅ + − ⋅ − = + − − = − ≠ ，

2 1

3

1

2

8 1 4

2 1 8 4

9

0

所以

x

−

1

不是

f x

( )

的因式；

(2)

因為

(

1

)

2 (

1

)

3

(

1

)

2

8 (

1

) 4

2

2

2

2

f

−

= ⋅ −

+ −

− ⋅ −

−

1

1

1

2 (

)

8 (

) 4

8

4

2

= ⋅ −

+ − ⋅ −

−

1

1

4 4

0

4

4

= − + + − =

所以

2

x

+

1

是

f x

( )

的因式。

13

設

3

2

( )

4

14

14

4

f x

=

x

+

x

+

x

+ ，試判斷

x

+

1

與

2

x

−

1

是否為

( )

f x 的一次因式？

( 1)

4 14 14 4

0

f

− = − +

− + = ，

1

1

7

( )

7 4 15

2

2

2

f

= + + + = ，

(

x

+

1)

為

f x

( )

的因式，(2

x

−

1)

不為

f x

( )

之因式。

14

11

設

a

為實數，且

x

−

3

是

f x

( )

= −

x

3

2

x

2

− +

5

x a

的因式，求

a

的值。

因為

x

−

3

是

f x

( )

=

x

3

−

2

x

2

−

5

x

+ 的因式，

a

所以根據因式定理得

3

2

(3)

0

3

2 3

5 3

0

f

= ⇒ − ⋅ − ⋅ + =

a

⇒

27 18 15

− − + =

a

0

⇒ − + = ⇒ =

6

a

0

a

6

。

15

設

k

為實數，且

x

+

3

是

f x

( )

=

2

x

3

+

kx

2

− +

x

24

= 的因式，

0

求

k

的值。

( 3) 0

54 9

3 24 0

3

f

− = ⇒ − + + +

k

= ⇒ = 。

k

16

17

試求

3

2

( )

2

3

8

3

f x

=

x

+

x

−

x

+

的整係數一次因式並加以分解。

設

ax

−

b

為

f x

( )

的整係數一次因式（其中

a

為正整數，b

為整數，

且

a

與

b

互質），則根據整係數一次因式檢驗法可得，a

為

2

的因數

且

b

為

3

的因數。也就是

a

有可能為

1

或

2，b

有可能為

± 1

或

± 3。

因此

ax

−

b

有可能為

x

+

1

,

x

−

1

,

x

+

3

,

x

−

3

,

2

x

+

1

,

2

x

−

1

,

2

x

+

3

2

x

− 。

3

接著，因為

f

( 1)

− =

12

≠

0

,

f

(1)

=

0

,

f

( 3)

− =

0

,

f

(3)

=

60

≠

0

,

1

15

(

)

0

2

2

f

−

=

≠

,

( )

1

0

2

f

=

,

(

3

)

15

0

2

f

−

=

≠

,

( )

3

9

0

2

2

f

= ≠

,

所以根據因式定理，可得

x

−

1 ,

x

+

3 , 2

x

−

1

為

f x

( )

的整係數一次

因式，且

f x

( )

=

(

x

−

1)(

x

+

3)(2

x

− 。

1)

18

試求

3

2

( )

3

2

7

2

f x

=

x

−

x

−

x

− 的整係數一次因式並加以分解。

2

( )

(3

1)(

2)

(3

1)(

2)(

1)

f x

=

x

+

x

− −

x

=

x

+

x

−

x

+

3

2

7

2

1

3

1

1

2

3 3

− − −

−

− + +

3

6

0

1

1

2

− −

− −

∥

14

19

求

3

2

( )

(

1) (

2) (

3)

f x

=

x

−

x

+

x

−

與

g x

( )

=

(

x

+

1)(

x

+

2)(

x

−

3)

2

的

最高公因式與最低公倍式。

如同在整數時求最大公因數與最小公倍數的方法，可得

最高公因式為

(

x

+

2)(

x

− ；

3)

最低公倍式為

3

2

2

(

x

−

1) (

x

+

2) (

x

−

3) (

x

+ 。

1)

20

求

2

3

( )

3

(2

1)(

4)

f x

=

x

x

+

x

−

，

g x

( )

=

6 (2

x

x

+

1) (

3

x

+

4)

的最高公

因式與最低公倍式。

2

3

3

H C F

( 2

1)

L C M

( 2

1) (

4 ) (

4 )

x

x

x

x

x

x

=

+

=

+

−

+

21

求

3

2

( )

4

4

f x

=

x

−

x

−

x

+ 與

g x

( )

=

x

3

+

x

2

−

8

x

− 的最高公因

12

式與最低公倍式。

先將

f x

( )

與

g x

( )

分解，

得

f x

( ) (

= −

x

1)(

x

+

2)(

x

−

2)

,

g x

( ) (

= +

x

2) (

2

x

−

3)

，

所以最高公因式為

(

x

+

2)

；最低公倍式為

(

x

−

1)(

x

+

2) (

2

x

−

2)(

x

−

3)

。

22

求

3

2

( )

5

7

3

f x

=

x

+

x

+

x

+ 與

g x

( )

=

x

3

+

x

2

−

5

x

+ 的最高公因

3

式與最低公倍式。

2

2

2

2

( )

(

1) (

3) , ( )

(

1) (

3)

HCF

3 , LCM

(

1) (

1) (

3)

f x

x

x

g x

x

x

x

x

x

x

= +

+

= −

+

= +

= +

−

+

18