國中數學4 3 2三角形的全等性質

3−2 三角形的全等性質

本節課程學習重點： ◎能理解全等的意義與表示法。 ◎若兩個三角形的三組邊對應相等，則此兩三角形全等，即 SSS 全等。 ◎若兩個三角形的兩組邊及其夾角對應相等，則此兩三角形全等，即 SAS 全等。 ◎若兩個三角形的兩組角及其夾邊對應相等，則此兩三角形全等，即 ASA 全等。 ◎若兩個三角形的兩組角及其中一組角的對邊對應相等，則此兩三角形全等，即 AAS 全等。 ◎若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則此兩三角形全等，即 RHS 全等。 一、三角形全等的意義： ◎全等三角形的性質：當兩個三角形全等時，其對應邊相等，對應角也相等。 【說明】當兩個三角形完全疊合時，就稱這兩個三角形全等，此時疊合在一起的頂點稱為對應頂點， 疊合在一起的邊稱為對應邊，疊合在一起的角稱為對應角。由於這兩個三角形的對應頂點、 對應邊和對應角都會完全疊合在一起，可知：兩個全等三角形的對應邊相等，對應角相等。 如下圖，△ABC 和△DEF 完全疊合，所以△ABC 與△DEF 全等，記為「△ABC ≅△DEF」， 讀作「△ABC 全等於△DEF」，此時，因為 A 和 D、B 和 E、C 和 F 為對應頂點，則可知： (1)對應邊相等： ¯AB＝ ¯DE， ¯BC＝ ¯EF ， ¯AC＝ ¯DF。

(2)對應角相等：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F。 B(E) C(F) A(D) A B C D E F 【觀念釐清】(1)習慣上，常用相同的記號表示圖中等長的線段與相等角度的角，如上圖。 (2)一般來說，「△ABC ≅△DEF」只代表兩個三角形全等，不一定表示 A 的對應點是 D， B 的對應點是 E，C 的對應點是 F。但為了清楚知道兩個全等三角形的對應關係，所以 習慣上，建議依照其對應關係來表示。

練習1：已知△ABC ≅△DEF，其中 A 與 D、B 與 E、C 與 F 為對應頂點，如果∠A＝40°，∠F＝110°， 則∠B、∠C、∠D 和∠E 分別為多少度？ A 40° B C D 110° E F

練習2：已知△ABC ≅ △PQR，其中∠A 和∠P、∠B 和∠Q、∠C 和∠R 為對應角，若 ¯ AB＝5， ¯ QR＝6， ¯ CA＝7，則 ¯PQ、 ¯BC和 ¯ PR分別為多少？ A 5 7 B C R 6 Q P

二、三角形的全等性質：記號 S 代表三角形的邊(Side)，A 代表三角形的角(Angle)。 ◎ SSS 全等性質：當兩個三角形的三邊分別對應相等，則這兩個三角形就會全等。 【尺規作圖】(SSS 作圖) 如下圖，已知△PQR 的三邊長分別為 ¯ QR＝a， ¯ PR＝b， ¯ PQ＝c。 P Q R a a b b c c

作出△ABC，使得其三邊長分別為 ¯ BC＝a， ¯ AC＝b， ¯ AB＝c。 作法：(1)作一直線 L，並在 L 上作 ¯ BC＝a。 (2)分別以 B、C 為圓心，c、b 為半徑，在 L 的同側畫兩弧，設兩弧相交於 A 點。 (3)連接 ¯ AB、 ¯ AC，則△ABC 即為所求。 B a C L c _b A ○1 ○2 ○2 練習3：右圖的兩條線段長度分別是 a、b， (1)畫出以 a 為底邊，b 為兩腰的等腰△ABC。 (2)畫出以 b 為底邊，a 為兩腰的等腰△DEF。

(3)△ABC 和△DEF 是否有三組邊對應相等？△ABC 和△DEF 是否會全等？

練習4：如右圖，已知 ¯AB＝2x＋1、 ¯BC＝14、 ¯AC＝3x， ¯DE＝9、 ¯EF ＝4x－2、 ¯DF＝12，且 ¯AB＝ ¯DE， 則△ABC 和△DEF 是否會全等？

練習5：如右圖， ¯AB＝5， ¯BC＝6， ¯AC＝4， ¯EF＝6， ¯DF＝4， ¯DE＝5，則△ABC和△DEF是否會全等？

B _C A E F D 5 4 5 4 6 6 a b A F C E 2x＋1 4x－2 3x 14 12 ₉ B D

練習6：下圖為等角作圖。試說明∠RST＝∠BAC。 B C A _S T L R ◎ SAS全等性質：當兩個三角形的兩邊及它們的夾角分別對應相等，則這兩個三角形就會全等。 【尺規作圖】(SAS 作圖) 如下圖，已知△STU的兩邊長TU ＝a、ST＝c，兩邊的夾角∠T＝∠1。 S T U a a c c 1 1 作出△ABC，使得其兩邊長為 a、c 且這兩邊的夾角為∠1。 作法：(1)作∠B＝∠1。 (2)在∠B的一邊上取一點A，使 ¯AB＝c。 (3)在∠B的另一邊上取一點C，使 ¯BC＝a。 (4)連接 ¯AC，則△ABC即為所求。 A B C ○1 ○2 ○3 練習7：如右圖，已知 BD ＝13、∠BAD＝30°、∠ABD＝25°，CD＝13、 ∠ADC＝125°，則△ABD 和△ACD 是否會全等？ 練習8：如右圖，四邊形 ABCD 中，已知 AB ＝12，CD＝12， ∠1＝∠2＝30°，則△ABC 和△CDA 是否會全等？ C 125° 30° 25° A D B A _B C D 1 2

【觀念釐清】沒有SSA (或ASS)全等性質：

如果兩個三角形只知兩邊及其中一邊所對的角對應相等時，則無法確定是否會全等。 【說明】如下圖，已知△DEF的兩邊長 ¯DF＝a， ¯DE＝b，∠E＝∠1，作出一個三角形，使其中兩個邊長 為a、b，且邊長為a的對角為∠1。 D E _F a a b b 1 1 作法：(1)作∠A＝∠1。 (2)在∠A 的一邊上取一點 C，使 ¯ AC＝b。 (3)以 C 點為圓心，a 為半徑畫弧，則弧和∠A 的另一邊交於 B 和 B' 點，如下圖。 C B′ A B ○1 ○2 ○3 (4)連結 ¯ CB，得△ABC；連結 ¯ CB'，得△AB' C，如下圖。 C B′ A B C B′ A B

結論：△ABC 和△AB' C 都符合 SSA 的條件，但△ABC 和△AB' C 並不是都與△DEF 全等。 ◎ RHS全等性質：當兩個直角三角形的斜邊及一股分別對應相等，則這兩個直角三角形就會全等。 【說明】如下圖，在△ABC與△DEF中， AB=DE，AC=DF，且 ¯AB和 ¯DE的對角∠C和∠F為直角。

C A B F D E 由畢氏定理可知：AC2+BC2 = AB2，DF2+EF2 =DE2，又 AB=DE，AC=DF， 則BC2 =EF2，得BC=EF。

因為在△ABC與△DEF中， AB DE= ，AC=DF，BC =EF ，得△ABC ≅△DEF (SSS全等)。 【觀念釐清】此處 R 代表直角(Right angle)，H 代表斜邊(Hypotenuse)，S 代表一邊(Side)。

練習9：如右圖，已知△ABC 中， AD 垂直BC於 D 點，且AB=AC， 則△ADB 與△ADC 是否會全等？ C B A D

練習10：如下圖，△ABC中， ¯AC＝3、 ¯BC＝5、∠A＝90°，△DEF中， ¯DF＝3、 ¯EF＝5、∠D＝90°， 則△ABC 與△DEF 是否會全等？ C B A D E F 3 5 5 3 ◎ ASA全等性質：當兩個三角形的兩角及它們的夾邊分別對應相等，則這兩個三角形就會全等。 【尺規作圖】(ASA 作圖) 如下圖，已知△XYZ的兩角∠Y＝∠1，∠Z＝∠2，及兩角的夾邊YZ ＝a。 a a 2 1 Z X Y 2 1 作出△ABC，使得其兩角為∠1、∠2，且這兩角的夾邊為 a。 作法：(1)作BC＝a。 (2)以B為頂點，BC為一邊，作∠B＝∠1。 (3)以C為頂點，BC為一邊，在與∠B的同側作∠C＝∠2。 (4)設∠B與∠C的另一邊相交於A點，則△ABC即為所求。 A B _C ○2 ○1 ○3 練習11：如下圖，AC交 BD 於O點，已知AO＝5、∠A＝20°、CO＝5、∠C＝20°， 則△ABO與△CDO是否會全等？ C D A B 5 20° 5 O 20°

◎ AAS全等性質：當兩個三角形的兩角及其中一角的對邊分別對應相等，則這兩個三角形就會全等。 【說明】如下圖，△ABC 和△DEF 中，若∠B＝∠E，∠C＝∠F， ¯AC＝ ¯DF，即△ABC 和△DEF 的 兩組角及其中一組角的對邊分別對應相等。 A C B D F E 因為∠B＝∠E、∠C＝∠F，根據三角形內角和 180°，可得∠A＝∠D。

所以由∠A＝∠D， ¯AC＝ ¯DF，∠C＝∠F 這三個條件及 ASA 全等性質，可知△ABC ≅△DEF。 【尺規作圖】(AAS 作圖) 如下圖，已知長度為 a 的線段及∠1、∠2。 a 1 2 作出△ABC，滿足∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2，且 AB ＝a。 作法：(1)先作∠3＝180°－∠1－∠2。 (2)再利用ASA尺規作圖，可以作出△ABC，得∠ABC＝∠1， AB ＝a 且∠BAC＝∠3，如下圖。 2 3 1 A C B 3 1 a ○1 ○2 ○3 ○4 ○5

練習12：已知在△ABC 中， ¯AB ＝15、 ¯AC＝13、；△DEF 中， ¯DE＝15、 ¯EF＝18。若∠A＝∠D、 ∠C＝∠F，則(1)△ABC和△DEF是否全等？ (2)△DEF的周長為何？ 練習13：如下圖，已知△ABC中，∠A＝40°、AC＝12；△DEF中，∠D＝40°、 DF ＝(5x＋2)， 且∠B＝∠E、AC＝ DF ，則(1)△ABC和△DEF是否全等？ (2) x＝？ A B 15 13 18 15 C F E D B C F E 40° 40° 34° A D

【觀念釐清】沒有 AAA 全等性質：如果兩個三角形的三組角都對應相等，也無法確定是否會全等。 【說明】如下圖，邊長為 2 單位和邊長為 4 單位的兩個正三角形，它們的三個角都對應相等，但是 很明顯地，它們並不會全等。 4 2 2 2 4 4 60° 60° 60°60° 60° 60° 練習14：如右圖，ABCD 為正方形，在 AB 與→BC 上各取一點 E、F， 使得AE=CF，則 (1)△ADE 和△CDF 是否全等？ (2)∠EDF＝？ 練習15：如右圖，ABCD 為正方形，在 AB 、 BC 上各取一點 E、F， 使得AE=CF，若∠EDF＝40°，則∠AED＝？

練習16：如右圖，△ABC 是邊長為 6 的正方形，D、E、F 三點在△ABC 的邊上， 且△DEF 是邊長為 4 的正三角形，則 (1)△ADF 和△CFE 是否全等？ (2)△ADF 的周長為多少？ 練習17：如右圖，四邊形 ABCD 是邊長為 8 的正方形，E、F、G、H 四點在 四邊形 ABCD 的邊上，且四邊形 EFGH 是邊長為 6 的正方形，則 (1)△AEH 和△DHG 是否全等？ (2)△AEH 的周長為多少？ A B D E C F A B D E C F A B D E C F A B D H E C G F

◎整理：三角形全等的判別方法：SSS、SAS、RHS、ASA、AAS。(5 種) SSS 全等 (三邊) SAS 全等 (兩邊夾一角) RHS 全等 (直角、斜邊、股) ASA 全等 (兩角夾一邊) AAS 全等 (兩角一對邊) A C B D F E C B D F E A A C B D F E A C B D F E A C B D F E 不一定全等的條件：AAA、SSA。(2種) SSA (兩邊一對角) AAA (三角) A C C′ B (△ABC 與△ABC' 不全等) A C B D F E 自我評量

1. 已知△ABC ≅△DEF，且點A、B、C分別對應於點D、E、F，若 ¯AB＝6、 ¯BC＝2x＋3、 ¯AC＝x＋3、 ¯ EF＝5x，則(1) ¯DF＝？ (2)△DEF的周長是多少？ 2. 如下圖①～⑧，將全等的三角形配對，並說明是根據何種全等性質。 ○1 ○2 ○3 ○4 ○5 ○6 ○7 ○8 30° 10 8 5 3 30° ₁₀ 8 70° 30° 6 10 5 6 10 5 6 30° 80° 6 5 3 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。

3. 如右圖，如右圖，有一四邊形 ABCD，若 ¯AB＝ ¯AD、∠B＝∠D＝90°， 則∠1＋∠2＝？ A D C B 1 2

4. 如右圖，∠1＝∠2， ¯CD⊥ ¯AD， ¯CB⊥ ¯AB，若 ¯AB ＝4cm， ¯CD＝3 cm， 則四邊形 ABCD 的面積為多少？ 習作 1. 在下圖(1)～(10)中，將全等的三角形配對，並說明是根據何種全等性質。 (1) 7 4 6 (2) 7 5 30° (3) 4 30° 60° 8 (4) 7 70° 30° (5) 7 30° 50° (6) 7 50° 30° (7) 7 4 6 (8) 7 80° 70° (9) 7 30° 5 (10) 8 4 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。 和 全等： 全等性質。

2. 已知△ABC ≅△DEF，∠B＝∠E，∠C＝∠F ， ¯AB＝2x－3y， ¯AC＝－x－4y， ¯DE＝17， ¯DF＝8， 則 x＝？ y＝？(Hint：作圖判斷) A D C B 1 2

3. 如下圖，有兩個三角形△ABC 和△CDA，當下列各題的條件成立時，△ABC ≅△CDA，分別說明是 根據何種全等性質。 A _C B D 3 1 2 4 (1)∠1＝∠2、∠3＝∠4 ……根據 全等性質。 (2)∠1＝∠2、∠B＝∠D ……根據 全等性質。 (3) AB ＝CD、BC＝ AD ……根據 全等性質。 (4)∠1＝∠2、BC＝ AD ……根據 全等性質。 (5)∠BAC＝∠DCA＝90°、 AB ＝CD ……根據 全等性質。 (6)∠BAC＝∠DCA＝90°、BC＝ AD ……根據 全等性質。 4. 如右圖，在直角坐標平面上，四邊形 OABC 為正方形，且 O 為原點，若 A 點坐標為(3 , 2)，則 (1)△OAD 和△COE 是否全等？ (2) C 點的坐標為何？

5. 下圖是△ABC與△DBE重疊的情形，其中C在¯BE上，且¯AC＝¯BE，¯AB＝¯ED，¯BC＝¯BD。 若∠DEB＝45°，∠DBE＝50°，則∠ABD＝？ A E B C D 50° 45° 6. 右圖為長方形紙張，今將紙張沿對角線AC對摺，D 點落在 E 點， 且 P 為 AE 與BC的交點，則 (1)△ABP 和△CEP 是否會全等？若全等，是根據何種全等性質？ (2)若 AB ＝1， AD ＝3，則 AP ＝？ A E D B P C B A C x y O

7. 如右圖，已知CE⊥ AB，BD⊥ AC，CE與 BD 相交於 F，且 BF ＝CF，則 (1)△BEF 和△CDF 是否全等？為什麼？

(2)△ABD 和△ACE 是否全等？為什麼？ (3) BE ＝12， DF ＝5，則 AD ＝？

類題補充

1. 在△ABC 與△DEF 中，已知∠B＝∠E， ¯ AB ＝ ¯ DE ，

(1)若再加上 條件，則兩個三角形為 ASA 全等。 (2)若再加上 條件，則兩個三角形為 SAS 全等。 2. 如圖，從△CDE 的 ¯ CD 、 ¯ DE 兩邊向外做兩個正方形 ABCD、DEFG，其中∠CED＝90°， ¯ AE 、 ¯ CG 交於 H，若 ¯ AD ＝ ¯ CD ， ¯ DE ＝ ¯ DG ，再加上 條件，根據 全等性質，可知 △ADE ≅ △CDG。 A C E F G D H B 3. 如下圖，長方形紙條中， ¯ AB =2， ¯ AD ＝6，今將紙條沿對角線 ¯ AC 對摺，則 P 為 ¯ AE 與 ¯ BC 的交點， 求 ¯ AP ＋ ¯ BP ＝？ A B P E D C 4. 如下圖，正方形 ABCD 的頂點 A 在直線 L 上，且 ¯ DE 、 ¯ BF 分別垂直 L 於 E、F 兩點。 假設 L 為坐標平面上的 x 軸，A 點為原點，B 點坐標為(5 , 4)，則 D 點坐標為 。 D B E A F L C A E _D B C F

5. 下圖長方形紙條中，¯ AB ＝3 公分，¯ AD ＝4 公分，今將這紙條沿著¯ GF 對摺，使 B 點和 D 點重合， A 點落在 E 點上。(1)說明：△GED ≅ △FCD。 (2)求¯ BF 之值。 A B F C D G E 1 2 3

6. 在△ABC 和△DEF 中，¯ AB ＝¯ DE ，¯ AC ＝¯ DF ，∠B＝∠E，若∠C＝52°且△ABC 和△DEF 不全等， 則∠F＝？ 7. 如下圖，正方形 ABCD 中，¯ MN ＝¯ CE ，∠CED＝55°，則∠CON－∠AMN＝？ A M B DN E O C 8. 如下圖，四邊形 ABCD 為一正方形，已知¯ BE ＝¯ BF ，若∠1＝27°，則∠2＝ 度。 A D E B F C 1 2 9. 如下圖，邊長為 20 公分的正方形積木斜靠在垂直的牆腳，且 B 距牆 12 公分，則 D 點距離地面的 高度為 公分。 A D B O C 12 20

10. 如下圖，△ABC 為等腰直角三角形，¯ AB ＝¯ AC ，過頂點 A 畫一直線 L，並從 B、C 兩點向 L 做垂線 交 L 於 D、E。已知 ¯ AD ＝3，¯ AE ＝4，則¯ BC ＝ 。 B A C L D E 11. 如下圖，正方形 ABCD 中， ¯ AE ⊥直線 L， ¯ CF ⊥直線 L，若 ¯ AB ＝13， ¯ CF ＝5，則 ¯ EF ＝ 。 A D E B F L C 12. 下圖中的△ABC 和△BDE 皆為正三角形，請依序回答下列問題： (1)說明△ABE ≅ △CBD。 (2)若∠AEB＝85°，則∠EDC＝？ ∠ECD＝？ A D E B C 13. 如下圖，ABCD 與 AEFG 是兩個同樣大小的的正方形， ¯ CD 與 ¯ EF 交於 H 點。若 ¯ EH ＝ ¯ HD ＝4， 且四邊形 AEHD 的面積為 16 3 ，則正方形 ABCD 的面積為何？ A D G F E B C H 14. 如下圖， AF ＝ ED ＝12 3 ， BF ＝24， 1∠ ＝∠2，∠A＝∠D＝90°，則CD＝？ △ABF 面積＝？ 1 2

A

B

C

D

E

F

加強練習 1. 兩直角三角形在下列何種情形下，不一定會全等？ (A)兩銳角對應相等 (B)兩股對應相等 (C)斜邊與一銳角對應相等 (D)斜邊與一股對應相等。 2. 用下列各選項中的已知條件，哪一個無法畫出唯一的△ABC？ (A) ¯ AB ＝7、 ¯ AC ＝4、∠A＝60° (B) ¯ AB ＝7、 ¯ BC ＝6、∠C＝90° (C)∠A＝30°、 ¯ AC ＝7、 ¯ BC ＝4 (D)∠A＝45°、∠B＝75°、 ¯ AC ＝7 3. 如下圖，已知一△ABC，阿哲利用尺規作圖畫出△DEF 和△ABC 全等。根據阿哲的作圖痕跡， 判斷他利用的是哪一種全等性質？ (A) SSS (B) AAS (C) RHS (D) ASA。

A B C D E F L 4. 在△ABC 與△DEF 中，若 ¯ AB ＝ ¯ DE ， ¯ BC ＝ ¯ EF ，再加上 的條件，才能夠 說明△ABC ≅ △DEF。(答案不只一個) 5. 如下圖，有兩個三角錐 ABCD、EFGH，其中甲、乙、丙、丁分別表示△ABC、△ACD、△EFG、 △EGH。若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°， 則下列敘述何者正確？ (A)甲、乙全等；丙、丁全等 (B)甲、乙不全等；丙、丁全等 (C)甲、乙全等；丙、丁不全等 (D)甲、乙不全等；丙、丁不全等。 E F G H A D B C 甲 乙 50° 50° 70° 70° 50° 50° 70° 70° 丙 丁 6. 下圖為等腰三角形 ABC， ¯ AB ＝ ¯ AC ，D、E 兩點分別在 ¯ AB 、 ¯ AC 上。以下為甲、乙兩人的敘述， 請問下列哪一個選項是正確的？ 甲：如果 D、E 分別為 ¯ AB 、 ¯ AC 的中點，則 ¯ CD ＝ ¯ BE 乙：如果∠1＝∠2，則 ¯ CD 會垂直 ¯ AB ，且 ¯ AD ＝ ¯ BD (A)甲正確、乙錯誤 (B)甲錯誤、乙正確 (C)甲、乙都正確 (D)甲、乙都錯誤。 12 A D E B C 7. 如下圖，已知 AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，試利用三角形全等性質說明∠ABE＝∠ACD。 A D E B C

Ans：1.(A)；2.(C)；3.(C)；4.∠B＝∠E 或AC=DF；5.(C)；6.(A)；7.略。 心得筆記