4-1-2圓錐曲線-拋物線

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(1)第四冊 1-1 圓錐曲線-拋物線【起源】設 L1 , L2 是相交於 O 點的兩條直線，讓 L2 以 L1 為軸旋轉，所得的曲面就是一個直圓錐面 Ω ，再用一個不過 O 點的平面 E 去切割 Ω ，所得的曲線稱為圓錐曲線。設 L1 , L2 的夾角為 α ，割平面和軸線 L1 的夾角為 β ，則 π 1. 當 > β > α 時，截痕曲線稱為橢圓。 2 π 2. 當 β = 時，截痕曲線稱為圓。 2 3. 當 β = α 時，截痕曲線稱為拋物線。 4. 當 0 ≤ β < α 時，截痕曲線稱為雙曲線。. O α. n1 β. L1. L2. 【問題】 1.. 2. 3. 4.. x y z = = ， L 與 z 軸交於 (0,0,0) ，將 z 軸固定而 L 繞 z 軸旋轉一周所 1 1 1 得的直圓錐面 Ω ，試判別下列各題分別為何種圖形： (1)平面 E : z = 3 ， E 與 Ω 的交線。 (2)平面 F : 2 x − y − z = 3 ， F 與 Ω 的交線。 (3)平面 G : 2 x + 2 y + z = 1 ， G 與 Ω 的交線。 (4)平面 H : x − 2 y − 2 z − 4 = 0 ， H 與 Ω 的交線。平面與直圓錐面 Ω 的截痕還有哪些圖形？若將直圓錐面 Ω 改成直圓柱面後，則截痕有哪些可能圖形？直圓錐面方程式如 x 2 + y 2 = z 2 ；直圓柱面方程式如 x 2 + y 2 = c 2 。. 直線 L :.

(2) 橢圓. 橢圓. 拋物線. 雙曲線.

(3) 【定義】拋物線：當 β = α 時，則割平面 E 和 Ω 交於開口的一支，這時，我們只能塞進一個球，它和 Ω 相切於圓 C ，和割平面相切於 F 點，另外，圓 C 所在的平面和割平面交於一條直線 L ，稱為準線。給定一個定點 F 與一條直線 L (其中 F ∉ L )，則滿足到定點與定直線等距離(即 PF = d ( P, L ) )的所有動點 P 所組成的軌跡稱為拋物線。其中定點 F 稱為拋物線的焦點，定直線 L 稱為拋物線的準線。對稱軸：過焦點且垂直準線的直線稱為對稱軸(簡稱)軸。弦：拋物線上兩點的連線段。焦弦：過焦點的弦。正焦弦：垂直對稱軸的焦弦。. V. L. F.

(4) 【類型】中心在原點： y 2 = 4cx (左右型). 方程式類型開口方向圖形範圍頂點焦點準線對稱軸正焦弦長焦距離心率中心不在原點：方程式類型開口方向圖形範圍頂點焦點準線對稱軸正焦弦長焦距離心率. x 2 = 4cy (上下型). c>0 向右. c<0 向左. c>0 向上. c<0 向下. x≥0. x≤0. y≥0. y≤0. (0,0) (c,0) x = −c y=0 | 4c | |c| c e = =1 a. x=0 | 4c | |c| c e = =1 a. ( y − k ) 2 = 4c( x − h) c>0 c<0 向右向左. ( x − h) 2 = 4c( y − k ) c>0 c<0 向上向下. x−h≥0. x−h≤0. ( h, k ) ( h + c, k ) x − h = −c y−k =0 | 4c | |c| c e = =1 a. (0,0) (0, c) y = −c. y−k ≥0. y−k ≤0. ( h, k ) ( h, k + c ) y − k = −c x−h =0 | 4c | |c| c e = =1 a. 【問題】 1. 試問幾個獨立條件可以決定拋物線方程式？ 2. 給定拋物線 Γ 及其對稱軸，試找出此拋物線的焦點與準線？ 3. 給定拋物線 Γ 的準線 L 及拋物線上的兩相異點 P, Q ，試找出此拋物線的焦點 F 位置？ 4. 給定拋物線 Γ 的焦點 F 及拋物線上的兩相異點 P, Q ，試找出此拋物線的準線 L？ 5. 給定拋物線 Γ 的準線 L 、焦點 F 及拋物線上的一點 P ，試證明此 P 點為過此點切線的切點？ 6. 將一圓柱體沿著與軸成 45° 角之平面截開，再延一母線剪開後展開成平面，則此截口曲線為何種形狀？ 7. 給定一個拋物線的圖形，是否可用作圖方法求出此拋物線的焦點？.

(5) 【畫圖】 1. 我們應該如何畫出拋物線？可用如下方法：給定一個定點 F 與一條直線 L (其中 F ∉ L )，設 Q 在直線 L 上取 FQ 的中點 R 過點 R 作 FQ 的中垂線過 Q 作直線 L 的垂線兩線的交點 P 就是滿足到定點與定直線等距離(即 PF = d ( P, L ) )的點所有動點 P 所組成的軌跡即為拋物線其中定點 F 稱為拋物線的焦點，定直線 L 稱為拋物線的準線。 F P. R Q L. F P. R Q L. F P. R Q L.

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