1230 數列與級數 指數與對數解答

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1230 數列與級數 指數與對數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.





3 1 2 1 2n n n   



(A)50 (B)52 (C)54 (D)56 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析





3 1 2 1 2n n n  







1





2





3 2 1 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2             54

（ ）2.log0.11  log100.1  log0.110  (A)0 (B)  2 (C)2 (D)3 (E)  3

【課本練習題-自我評量.】

解答 B

解析 log0.11  log100.1  log0.110  0  log1010 1  1 10 log 10 0  (  1)  (  1)   2 （ ）3.等差級數 3 7  47的和為 (A) 300 (B) 330 (C) 360 (D) 390 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 a₁3，d  7 3 4，設an47





3 n  1 4 47  n12 ∴ 所求



3 47



12 300 2     （ ）4.求 log10[log5(log3243)]  (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 A

（ ）5.若 a  log59，b  log510，c  log511，則其大小順序為 (A)a  b  c (B)b  a  c (C)c  b  a (D)a  c  b

【龍騰自命題.】 解答 C （ ）6.有一等比數列，第 2 項是 6 ，第 5 項是 48 ，則第10項為 (A)1536 (B)1024 (C) 768 (D) 512 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 2 1 ₄ 5 1 6 6 48 48 a r a a a r     _   _       3 1 8 2 3 r   r  a  ∴ 9 9 10 1 3 2 1536 a a r    （ ）7.級數(12 ₂2₎  ₍₃2 ₄2₎  ₍₅2 ₆2₎ _… ₍₄₉2 ₅₀2_{)之和為 (A)}  _{1275 (B)}  _{2499 (C)}  _{2401 (D)}  ₁₃₂₅ 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 原式 3 7 11 99 [ 3 ( 99)] 25 1275 2              （ ）8.設一等比數列之公比為 r，若其前 n 項和為 Sn，已知 S10  5，S20  15，則 S40  (A)75 (B)20 (C)30 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 10 10 ( 1) 5 1 a r S r     ， 20 20 ( 1) 15 1 a r S r     ∴ 20 10 1 3 1 r r     r 10  1  3  r10  2

－ 2 － ∵ 5 1 a r  ∴ 40 4 40 ( 1) 5 (2 1) 75 1 a r S r        （ ）9.滿足 0  log2[log2(log2x)]  1 之整數 x 共有 (A)10 個 (B)11 個 (C)12 個 (D)13 個 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 由 0  log2[log2(log2x)]，知 log2(log2x)  1 ∴ log2x  2，x  4

又由 log2[log2(log2x)]  1，知 log2(log2x)  2 ∴ log2x  4，x  16

故 4  x  16，共 13 個 （ ）10.設 ( ) ₂1 1 f x x   ，則 10 2 ( ) n f n 



的值為 (A)10 11 (B) 36 55 (C) 72 55 (D)全部皆非 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ( ) ₂1 1( 1 1 ) 2 1 1 1 f x x x x       故 10 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 3 2 4 3 5 8 10 9 11 n f n            



1(1 1 1 1) 36 2 2 10 11 55      （ ）11.若兩等差級數，前 n 項和之比為(3n  1)：(7n  1)，則兩數列第 7 項之比為 (A)11：24 (B)13：27 (C)3：7 (D)4：9 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ a7：b7  13a7：13b7  S13：S'13  [3(13)  1]：[7(13)  1]  4：9 （ ）12.問 y  2x與 y  x2兩圖形共有幾個交點？ (A)0 個 (B)1 個 (C)2 個 (D)3 個 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 y  2x與 y  x2_{兩圖形如下圖} 故 y  2x與 y  x2_{兩圖形共有 3 個交點} （ ）13.設 a  log1112，b  log1312， 1 11 log 12 c ， ₁ 13 log 12 d ，則下列敘述何者正確？ (A)d  c  b  a (B)d  c  a  b (C)c  d  a  b (D)c  d  b  a 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 ∵ a  log1112  log1111  1，b  log1312  log1313  1

c   log1112   a   1，d   log1312   b   1

而 a、b  0 和 c、d  0 ∴ c  d  b  a

（ ）14.設  、  為實數且 m  1，若 f (x)  mx_{且 f (}  ₎  _{10，f (}  ₎  _{20，則 f (}  ₎  _{(A)200 (B)30 (C)10}20 _(D)2010

【龍騰自命題.】

－ 3 － 解析 ∵ f (x)  mx_{且 f (}  _{)  10，f (}  _{)  20 ∴ m}_{ 10，m}_{ 20} 故 f (    )  m m m 10  20  200 （ ）15.設 a  1，則下列有關 y  ax_{與 y}  _a x_{圖形的敘述，何者錯誤？ (A)兩個圖形均在 x 軸上方 (B)兩個圖形以 x 軸為對稱軸 (C)} 兩個圖形的交點為(0 , 1) (D)y  ax為增函數 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）16.設 10 1 log 4 x ，則 log10(100x)  (A)1 4 (B) 5 4 (C) 9 4 (D) 13 4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 10 10 1 9 log (100 ) log 100 log 2

4 4 x   x   （ ）17.log25125  (A)3 2 (B)2 (C) 2 3 (D)5 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）18. 9 1 1 ( 1) k k k  



(A) 1 99 (B) 1 10 (C) 9 10 (D) 11 10 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ( ) (1 ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 2 2 3 9 10 10 10 k k k k k k              





（ ）19. 20 1 (5 7) k k   



(A)1050 (B)1150 (C)1160 (D)1190 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）20.不等式

 

0.2 x2 2x 50.008的解為 (A) 4  x 2 (B) 2  x 4 (C)x 4或x2 (D)x 2或x4 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析

 

 

2 2 5 3 0.2 x x 0.008 0.2 2 _{2 5 3} x x     



x4



x2



0 2 x    或x4

（ ）21.化簡log 9 log 8₄  ₃  (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

【隨堂講義補充題.】

解答 A

解析 令x0且x1 4 3

log 9 log 8 log 8 log 9 log 9 log 8

log 4 log 3 log 4 log 3

x x x x x x x x      3log 2 2log 3 3 2 3 2log 2 log 3 2 x x x x      （ ）22.ylog_ax的圖形通過

 

4,1 、



16,b 、



, 1 2 c  _     三點，則 a b c   (A) 6 (B) 13 2 (C) 7 (D) 15 2 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析

 

4,1 、



16,b



， , 1 2 c  _     代入ylogax

－ 4 － log 4 1 log 16 1 log 2 a a a b c            由知 a4 代入 2 4 4 log 16 log 4 2 b   代入 1 2 4 1 1 1 log 4 2 4 2 c   c    ∴ 4 2 1 13 2 2 a     b c （ ）23.設a、 b 、c三個數均為正實數，且已知a c 36，若a、 b 、12 三數成等差數列，且 2 、 b 、c三數成等比數列，則下列敘述 何者有誤？ (A)b c 32 (B)a b 12 (C) 2 2 b  c (D) 2b a 12 【103 年歷屆試題】 解答 A 解析 ∵ a、b、12為等差數列 ∴ 12 2 a b   2b a 12（選項(D)）  a2b12 ∵ 2、b、c為等比數列 ∴ b22c（選項(C)）  1 2 2 c b 把a2b12， 1 2 2 c b 代入a c 36 則



_{2 12}



1 2 ₃₆ 2 b  b  2 2 4b24b 72  b24b960 



b8



b12



0  b8或12 而b為正實數，故b8 把b8代入 與 ，則a  2 8 124， 1 82 32 2 c   (A)b c  8 3240 (B)a b   4 8 12 故選(A) （ ）24.方程式log_2x3



x3



21的解為 (A) 6 (B) 2 (C) 2 或 6 (D) 2 或 6 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 log_2x3



x3



21 



2x3

 

1 x3



2 2 8 12 0 2 x x x       或6 但2x 3 0，2x 3 1且



x3



20 ∴ x6 （ ）25.已知 logx2.3456，則x的整數部分為幾位數？ (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 ∵ log x的首數為2 ∴ x的整數部分為3位數