分析學生如何利用二維拋體軌跡圖解題

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士班碩士論文. 分析學生如何利用二維拋體軌跡圖解題 Analysis the students’ problem solving skill based on a figure of 2-D trajectories. 指導教授：賈至達教授研究生：謝孟揚中華民國一百零四年七月.

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(3) 致謝終於順利完成碩士論文，首先要感謝的就是指導教授賈至達老師，在研究的過程中給了我許多寶貴的意見，讓我的論文有明確的研究方向與分析架構，並在撰寫論文中，適時幫助我做修正以及給予建議讓我的論文能更充實；到了口試前一天，還特別犧牲假日時間陪我練習口試，有了老師不斷的幫助與鼓勵，才讓這份論文能夠如願完成，真的要再次謝謝賈至達老師。感謝口試委員傅祖怡教授與林詩茵教授，在百忙之中詳細閱讀我的論文，並從中給予許多寶貴的意見，使我的論文可以完整的呈現，感謝兩位教授辛苦的付出。感謝大安高工的同仁們，在我進修時候所給予的協助，有你們在背後的支持與鼓勵，讓我有一股動力可以努力完成研究，謝謝你們。感謝參與研究的所有學生與助教，有你們認真的作答並配合訪談，才讓所有研究的內容得以完整呈現，謝謝你們的配合與付出。最後還要感謝我的父母與朋友們，在寫論文的這段時間給予我最大的鼓勵，讓我在最溫暖、最幸福與最沒有憂慮的環境下完成論文，敬祝所有關心我、幫助我的所有人都能夠健康快樂。. i.

(4) 中文摘要本研究以國立臺灣師範大學 103 學年度入學的大一新生，且修習普通物理實驗的理學院學生作為主要研究對象，共計 257 人，並配合物理系 77 名大二學生作對照，主要在探討學生在二維拋體拋體運動測驗，題目提供 5 條拋體軌跡的數據圖，讓學生運用數據圖中的資訊進行解題。題型由兩個小題組成，其中第 1 小題是探究學生高度與飛行時間的概念，幾乎不太需要計算。第 2 小題以計算題的方式呈現，探討學生如何利用圖中資訊，求得 5 條軌跡的初始速率大小關係。上述試測的結果並與 2014 年 11 月 9 日物理奧林匹亞初選考試的結果進行交叉比對答案類型。此次初選考試共 2435 名學生參加，其第 1 小題答對率接近 90%，第二小題答對率約為 1/3。根據研究結果發現，學生的解題過程類型可分為七個類型，其中最常使用的類型為「使用運動學概念並直接代入數值計算」及「使用兩兩比較法」解題，各有五分之一的受試者。歸納其錯誤原因為（一）有數據計算過程的解題過程：「另有概念」、「列出錯誤的速度關係式」、「無法由數據圖資料判讀三角函數」、「忽略、軸單位長度的比值」及「計算錯誤」。（二）使用兩兩比較法的解題過程：「相同水平射程變因的軌跡線判斷錯誤」、「無法列出足夠的關係式」及「粗心而列錯關係式」。受試者主要的錯誤為：由二維拋體數據圖欲解答物體的發射初速度時，對於相同水平射程的軌跡，疏忽初始發射仰角的因素，造成錯誤；因此我們建議於教學時加以檢視水平射程和仰角的關聯。雖然學生知道 45o 角拋射時，水平射程最遠，但是反過來就不是很清楚，也就是當水平射程相同、仰角為 45o 時，初速率為最小的概念。. 關鍵字：關鍵字：拋體運動、初始發射角、鉛直高度、水平射程、物理奧林匹亞. ii.

(5) Abstract This work is focused on student learning of two-dimension projectile motion. A data graph with five trajectories mimics the trace of 5 projectiles by varying the initial launch angle, vertical height and horizontal range. However, the vertical scale of the data graph is in unit of 100 m, while the horizontal scale is in unit of 1000 m. The freshman of Department of Mathematics, Physics, Chemistry, Life-science, Earth Sciences, and Industrial Education of National Taiwan Normal University participated the 30-minitue test on their very first class of General Physics Laboratory. A total of 257 freshmen took the exam. Seventy-seven sophomores of Department of Physics were also taken the same exam to serve as a reference for comparison. The main purpose of this study is to examine how students solve problems using the information given in a plot diagram of projectile motion. There are two parts of the test question. The first part is to write down the flight-time ordering of the 5 projectiles, and the second part is to find the magnitude ordering of initial speeds. Roughly, around 84% students got the correct answer for the first part, while 15% students for the second part. It is not necessary to compute the flight time nor the initial speed to get the correct answer, however, we do find the higher correct rate for student using formula for the second part. These results were cross-compared with the results of International Physics Olympiad on 9th of November, 2014. 2435 students participated in the exam, and the correct rate of the first part was 90%, that of the second part was 33%. We find that over 50% students do not know the effect of initial launch angle on the initial speed when two trajectories have the same horizontal range, though most of them know that the horizontal range is maximum for a launch angle of 45°for the same initial speeds. Students were trained to know the initial launch angle of 45° gives a maximum horizontal range, they do not know the projectiles having the same horizontal range is the iii.

(6) 45 one possess a minimum initial speed.. keywords: Projectile Motion, Initial Launch Angle, Vertical Height, Horizontal Range, Physics Olympiad. iv.

(7) 目錄. 致謝 ................................................................................................................................ i 中文摘要 ....................................................................................................................... ii 英文摘要 ...................................................................................................................... iii 目錄 ............................................................................................................................... v 表目錄 ......................................................................................................................... vii 圖目錄 .......................................................................................................................... ix 第一章緒論 ............................................................................................................... 1 第一節研究動機 ............................................................................................... 1 第二節研究目的 ............................................................................................... 2 第三節研究問題 ............................................................................................... 2 第四節名詞釋義 ............................................................................................... 2 第五節文獻探討 ............................................................................................... 3 一、題目表徵形式 .............................................................................................. 3 二、問題解決歷程與策略 .................................................................................. 5 三、錯誤類型 ...................................................................................................... 9 四、拋體運動另有概念之相關研究 ................................................................ 12 第二章研究工具 ..................................................................................................... 15 第一節 2014 年物理奧林匹亞斜拋試題分析與討論 .................................... 16 第二節二維數據圖斜拋運動紙筆測驗設計 ................................................. 18 第三節參考解題法分析與討論 ..................................................................... 20 第四節解題歷程分析工具 ............................................................................. 30 第三章研究方法 ....................................................................................................... 31 第一節研究架構 ............................................................................................... 31 v.

(8) 第二節研究流程 ............................................................................................... 32 第三節研究對象 ............................................................................................... 33 第四節資料處理 ............................................................................................... 34 第五節研究範圍與限制 ................................................................................. 34 第四章研究結果 ..................................................................................................... 35 第一節「二維數據圖斜拋運動測驗」解題過程類型與錯誤原因之分析 . 35 第二節解題歷程分析 ..................................................................................... 60 第三節試題參數與解題過程類型之分析 ..................................................... 70 一、二維數據圖 H、S、t 變因之分析 ........................................................... 70 二、二維數據圖、軸單位長差異因素之分析 ........................................... 77 第四節物理奧林匹亞斜拋問題答案類型之分析 ........................................... 82 第五章結論與建議 ................................................................................................. 94 第一節結論 ....................................................................................................... 94 第二節建議 ..................................................................................................... 100 參考文獻 ................................................................................................................... 103 一、中文部分 ................................................................................................. 103 二、英文部分 ................................................................................................. 104 附錄 ........................................................................................................................... 106. vi.

(9) 表目錄表 2-1 「問題解決歷程」各學者理論比較與整理 ......................................................... 8 表 2-2 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」數據圖變因參數 ....................................... 18 表 2-3 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」各軌跡線拋射仰角餘弦值 ....................... 25 表 2-4 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」各軌跡線發射初速度值 ........................... 25 表 2-5 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」各軌跡線拋射仰角正切值 ....................... 28 表 3-1 研究對象與人數 ................................................................................................... 33 表 4-1 受試者解題過程類型編碼 ................................................................................... 36 表 4-2 受試者解題過程類型人數統計表 ....................................................................... 37 表 4-3 普通高級中學必修科目「基礎物理」課程綱要（基礎物理二 B）部分內容 38 表 4-4 解題過程類型「K」答題情形統計表................................................................. 42 表 4-5 普通高級中學必修科目「基礎物理」課程綱要（基礎物理二 B）部分內容 46 表 4-6 解題過程類型「E」答題情形統計表 ................................................................. 48 表 4-7 解題過程類型「P」答題情形統計表 ................................................................. 51 表 4-8 解題過程類型「A」答題情形統計表................................................................. 54 表 4-9 「飛行時間」解題步驟分析 ............................................................................... 60 表 4-10 「有數據計算過程」解題過程類型的解題步驟分析 ..................................... 61 表 4-11 「兩兩比較法」解題過程類型的解題步驟分析.............................................. 63 表 4-12 二維拋體數據圖試題變因-受試者對應答案與人數統計表 ........................... 70 表 4-13 以比值法表示各軌跡線試題變因與關係 ................................................... 72 表 4-14 「K-r」解題類型-受試者答案類型人數統計表 .............................................. 72 表 4-15 「A-c」解題類型(比值法)-受試者答案類型人數統計表 ............................... 74 表 4-16 第二小題「、軸單位長度差異因素」受試者判讀情形與人數統計表 ..... 77 表 4-17 「同時用到數據圖、軸數值」受試者解題成功情形 ................................. 79 表 4-18 難易度與鑑別度判別標準 ................................................................................. 83 vii.

(10) 表 4-19 2014 年物理奧林匹亞第一題題目分析(N＝2435 名)....................................... 83 表 4-20 2014 年物理奧林匹亞初試第一小題受試者答案類型 (N＝1882 名)............. 85 表 4-21 2014 年物理奧林匹亞初選試題與二維數據圖斜拋試題-答案類型人數對照表 ................................................................................................................................... 87 表 4-22 「C=A>E>D=B」答案類型受試者可能解釋................................................... 90. viii.

(11) 圖目錄圖 1-1 問題解決歷程（譯自 Glass & Holyoak, 1986）................................................... 7 圖 2-1 2014 年物理奧林匹亞初選斜拋試題數據圖 ....................................................... 17 圖 2-2 二維數據圖斜拋運動紙筆測驗試題數據圖 ........................................................ 19 圖 2-3 二維拋體數據圖解題歷程分析工具 ................................................................... 30 圖 3-1 研究流程圖 ............................................................................................................ 32 圖 4-1 解題過程類型「P」答案類型次數統計圖 ......................................................... 51 圖 4-2 「有數據計算過程」解題歷程工具 ................................................................... 62 圖 4-3 「兩兩比較法」解題歷程工具 ........................................................................... 63 圖 4-4 「有數據計算過程」受試者解題歷程分析（N＝157）................................... 64 圖 4-5 「兩兩比較法」受試者解題歷程分析（N＝57）............................................. 67 圖 4-6 二維拋體數據圖試題變因-受試者解題類型統計圖 .......................................... 71 圖 4-7 第二小題「、軸單位長度差異因素」受試者判讀情形圓餅圖 ................... 81 圖 4-8 2014 年物理奧林匹亞初試成績-人數統計圖 ................................................... 82 圖 4-9 「2014 年物理奧林匹亞初試試題」修改標號後的拋體數據圖 ...................... 84 圖 4-10 2014 年物理奧林匹亞初試第一小題答題情形 ................................................. 85 圖 4-11 二維數據圖斜拋試題第二小題-受試者答案類型人數圓餅圖 ........................ 86 圖 5-1 「二維拋體數據圖試題」受試者答案類型與試題變因分析 ........................... 99 圖 5-2 「2014 年物理奧林匹亞斜拋試題」受試者答案類型與試題變因分析 .......... 99 圖 5-3 相同初速(V=98m/s)，不同發射仰角軌跡線比較 ............................................. 101 圖 5-4 相同水平射程(S=1000m)，不同發射仰角軌跡線比較 ................................... 101. ix.

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(13) 第一章緒論第一節研究動機在現今這個資訊發達的世代，我們的生活中總少不了使用數據圖來表示統計的結果，所以要將龐大的數據化為有系統的圖表，並且也具備判讀圖表的能力，是生活在這個世代所需要具備的基本能力。在此趨勢之下，世界各國的教育政策也在推動相關的政策，美國國家研究委員會(National Research Council, [NRC])(1996)提到學生需要具備對環境中的現象、書本和其他的資訊來源，有計畫地進行探索活動，對收集的資料進行分析，並對資料提出解釋。我國教育部在民國九十二年公佈「國民教育九. 年一貫課程綱要」中也有提到培養學生具備「對事物能夠做推論與批判、解決問題等整合性的科學思維能力，以及資訊統整能力」。由此可見，學生須具備對資訊解釋與判讀的能力，才足以適應未來的生活問題。在高中的拋體運動物理單元，教師常常會以線圖方式來說明物體運動狀態如位置-時間圖、速度-時間圖、加速度-時間圖、運動軌跡圖，但學生時常無法理解圖形的意義，或者產生一些另有概念。其中拋體運動軌跡是日常生活中最能直接觀察到的運動學現象，對學生來說是一個熟悉的主題，因此，研究者想了解學生面對二維拋體運動軌跡數據圖時，會如何判讀數據圖中的資料，以及使用那些物理概念解釋相關的科學問題。研究者認為，若要幫助學生了解運動學圖形的意義，並且能夠運用在日常生活中，首先要先了解學生在圖形判讀上產生的想法與困難。在 2014 年物理奧林匹亞初試中，有一題二維拋體運動試題，研究者初步分析這些受試者的答案後，發現這些答案類型中似乎有些可歸類的錯誤原因，為了更加深入了解學生背後的想法，因此研究者依據上述物理奧林匹亞拋體運動試題，修改成「二維拋體數據圖試題」，並對國立大學理學院學生進行施測，期望可以幫助教師深入瞭解學生在運動學數據圖形的解題情形。. 1.

(14) 第二節研究目的本研究探討大學生在面對以數據圖表示的拋體運動試題，如何運用數據圖中的資訊進行解題活動，以及在解題歷程中受到那些因素影響解題表現？. 第三節研究問題 1.. 大學生在面對二維拋體數據圖運動試題，可能會出現哪些解題過程類型？. 2.. 這些解題過程類型中，大學生產生解題錯誤的原因？. 3.. 大學生在讀取數據圖中的資料進行解題，這些資料的變因對大學生解題成效的影響為何？. 4.. 物理奧林匹亞拋體運動試題中，受試者出現的答案類型可能原因為何. 第四節名詞釋義本研究所使用的幾個特定語詞作以下的界定：一、解題過程類型指的是受試者在進行解題活動時，所寫下的解題過程，將受試者解題時使用的物理概念類型及數學解題技巧，進行編碼與分類。二、解題歷程（Problem Solving Processes）本研究所謂的解題歷程，就是受試者在面對物理問題時，將過去所學過的物理概念、原理或方法加以組織，綜合運用在解題上，而獲得解答的一系列活動。三、答案類型指的是受試者在測驗中寫下的答案，本研究試題以填充題形式表示，受試者被要求以「物理量的大小順序」表示答案，以利事後進行統計與分類，故以「答案類型」稱之。. 2.

(15) 四、另有概念指的是受試者對某一現象或事件，具有一些有別與科學所公認的想法，在本研究中針對拋體運動飛行時間與物體運動速度的計算，受試者所產生的一些錯誤概念與解題想法。. 第五節文獻探討本研究旨在以二維拋體數據圖探討大學生的解題策略，分析大學生常犯的錯誤類型及原因，希望有助於教師教學時，改進學生的物理解題能力。本章共分為四個小節，第一節為「題目表徵形式」，第二節為「問題解決歷程與策略」，第三節為「錯誤類型」，第四節為「拋體運動另有概念」。. 一、題目表徵形式學生在面對高中物理問題時，出題者常會使用不同的「表徵」來顯示題目中的物理情境，目的在於讓學生能夠更加容易瞭解題目內容，但相對的也會影響學生的解題表現，而國內外的文獻對於「表徵」的定義與分類如下： Hibert 和 Carpenter(1992)將表徵依其存在的方式區分為外在表徵（external representation）與內在表徵（internal representation）。外在表徵指的是語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表徵。透過外在表徵，我們可以表達出自己的想法並達到與他人溝通的目的。內在表徵指的是存在於個人心中或腦海裡，他人無法直接觀察的心智表徵。透過內在表徵，個體可以進行想像、構思、推理等心智思考的活動。. 3.

(16) Bruner（1966）是由運思方式的角度來看，將表徵分為以下三類： 1. 動作的（enactive）表徵：指個體接受到刺激後，所引發的外在行動反應，透過行動的手段，來掌握概念或事物，例如實物、教具（花片、積木等）。 2. 圖像的（iconic）表徵：指個體用心像來掌握概念，即使具體物件已消失，在腦中仍有心像，運思活動是以心像為材料，進行內在活動。 3. 符號的（symbolic）表徵：指個體用符號來掌握概念，對符號進行運思。 Lesh et al.（1987）以 Bruner 認知表徵理論為基礎，用溝通的觀點，將圖形表徵分成靜態圖片和可動手操作的模型；符號表徵分為口語符號和書寫符號。各表徵類型簡述如下： 1. 實物情境（real-world situations）：指利用實物情境的物體或知識，表示問題中的情境與內容。 2. 操作具體物（manipulative aids）：指具體物教具而言，如積木、分數板等，這些教具要配合數學概念使用才有意義。 3. 圖畫（pictures）：指靜態的圖形模式，如數線圖和面積圖等。 4. 口語符號（spoken symbols）：平常生活所用的口語符號，如二分之一等。 5. 書寫符號（written symbols）：常用的數學算式或符號，如 X+2Y=8 等。由以上學者對於表徵的分類方式來看，表徵具有多重意義，同一個物理情境可用不同的表徵型式來呈現，而拋體運動是學生日常生活中常常接觸的實際問題，選擇何種「表徵」形式才能讓學生清楚地理解題意，值得研究者繼續追蹤探討。 Kohl 和 Finkelstein（2005）將解題表徵分為四大形式：數學表徵（mathematical）、實物表徵（pictorial）、示意圖表徵（graphical）、語言文字表徵（verbal），並在兩堂大型物理解題課程上，對大學生進行表徵能力與自我評量的測驗，最後發現解題表徵與學生的成績有關，且達顯著水準，表示四種解題表徵在物理解題評量上扮演重要角色。其中圖示表徵具有協助學生思考，並使其概念能夠更加具體表達出來，另外也能夠養成學生建立理解、溝通訊息、證明推理等能力（Diezmann, Watters & English, 4.

(17) 2001）。而且圖形具備可以描繪事物在視覺上的空間性質，並提供更快速、簡單明瞭的訊息（Hegarty＆Just, 1989）。學生在不同表徵題型上的解題表現，Sowder 和 Threadgill-Sowder（1982）以 262 位五年級學生為對象，用文字題與圖畫題的題目表徵型式來研究學生解題表現。研究結果發現學生在圖畫題的解題表現明顯優於文字題的解題表現。陳啟明（2000）探討不同題目表徵型式對學生解題表現之影響，其結果經統計分析後顯示學生在「圖畫題」表現優於「短語題」和「文字題」。研究者參考上文獻，本研究選擇以「圖形表徵」呈現拋體運動問題情境，讓學生能夠更加快速的連結起生活經驗，然後再搭配文字敘述相關變因及問題，可幫助學生容易瞭解題意。 Cleveland 和 McGill（1985）認為圖形具有效益，必須是在資訊編碼過程是有效的才行，並提出圖形知覺（graphical perception）的概念，強調學習者須要有將圖形的資訊加以解碼的能力。而運動學關係圖較為特殊，它是將物體的運動狀態轉換成二維時間座標圖呈現，除了圖形表徵刺激外，涉及空間的轉化、數學函數關係等。因此，本研究想深入探討學生面對運動學圖形題時的解題想法及圖形判讀能力情形。. 二、問題解決歷程與策略牛頓曾說：「沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發現。」如何驗證猜測是否正確，就是必須不斷地提出問題，然後進行問題解答，這也就是物理教育中所要傳達的主要思想。Lester（1980）認為解題就是「個人面臨某種情境時，此情境並不具有保證解答的算式，個人必須利用本身擁有的相關知識或資訊，獲得問題解答所涉及數學技能、概念的過程」。此解題過程也就是從「初始狀態」到「目標狀態」的心智運作歷程（Mayer ,1985）。而有關問題解決的歷程已有許多學者提出其看法，下面將探討不同學者所提出的問題解決的歷程。. 5.

(18) Polya（1945）將問題解決歷程分為以下四個步驟： 1. 瞭解問題(understand the problem)：明白問題的文字敘述，並指出問題中提及條件的意義。 2. 擬定計畫(making a plan)：依據題目所給的資訊，找出各因素之間的關係，並提出可能的解題計畫。 3. 執行計畫(carrying out the plan)：逐步檢驗並執行解題計畫的每一個步驟。 4. 回顧(looking back)：回顧整個解題過程，看看是否有不同或更好的解題方法，並且此方法或結果能否運用至其它的問題上。. Glass 和 Holyoak（1986）也將問題解決的過程分為四個步驟，且各步驟間是可以循環的。圖 2-2-1 為其流程圖，說明如下： 1. 形成初步的問題表徵：以自己所能理解的方式（例如條列式呈現問題資訊，或是畫出簡單示意圖），列出不同的問題表徵。 2. 計畫可能的解決方法：應用一些操作(有關的定理、原則或公式)以建構能產生解答的一系列步驟。 3. 重新界定問題：如果設定的問題表徵無法滿足解題需求，則以新的方法重新陳述問題表徵，若一再失敗而陷入膠著狀態，此時最好停頓工作，稍作休息後再繼續嘗試。 4. 實行計畫及檢討結果：執行自訂的解題計畫，如果計畫失敗，則在檢討失敗原因後，重新修改或擬訂新的解題計畫。. 6.

(19) 圖 1-1 問題解決歷程（譯自 Glass & Holyoak, 1986）. Mayer(1992)將問題解決歷程分成二個階段，而每個階段又包含二個子步驟： 1. 問題表徵(problem representation)：將問題中的文字及圖像轉換成內在心智表徵。其中可細分為以下兩個步驟。 (1) 問題轉譯(problem translation)：應用語言及事實知識，將問題中的語句轉譯成內在心智表徵。 (2) 問題整合(problem integration)：以基模知識(shematic knowledge)，統整問題中各條件間的關係。 2. 問題解決(problem solving)：從問題的內在心智表徵到獲得最後答案之間的過程。其中可細分為以下兩個步驟。 (1) 解題計畫及監控(solution planning and monitoring)：運用策略知識擬定解題計畫，並選用適當的解題策略。 (2) 解題執行( solution execution )：利用程序性知識，並有效的運用算式得到問題答案。. 7.

(20) 綜合以上各學者對問題解決歷程的理論，發現各個理論的內容相似，只是在細部的階段分類有所差異，表 2-1。表 2-1 「問題解決歷程」各學者理論比較與整理學者. 問題解決歷程瞭解問題. Polya. 擬定計劃. 回顧解題過程. 重新界. Glass & 形成問題表徵. 嘗試計畫. 實行計畫及檢討結果定問題. Holyoak Mayer. 執行計畫. 問題轉譯. 問題整合. 解題計畫及監控. 解題執行. 而針對物理問題的解題歷程，國內外的相關研究中，Lakin（1983）認為學生需要具備良好的知識結構（well-organized knowledge）之外，還需要建構正確的物理問題表徵，並且進行問題的質性分析，才能成功解題。Eysenck 與 Keane（2000）認為物理解題歷程需先選取適當的物理原理，再應用原理來得到答案，但強調解題前必須先對問題進行分析，建立問題認知表徵，以便選取相關的物理原理，適當地應用並解決問題。蔡興國，陳錦章，張惠博（2010）發現學生的解題歷程中，若學生了解題意，畫出正確的力圖表徵，則可列出正確的物理公式，並成功解題。Kohl 和 Finkelstein （2006）發現學生物理解題表徵形式與學生成績的關係：(1)學生會因題目表徵形式不同而改變解題策略；(2)物理解題策略變化比較多的學生，成績比較差；(3)學生的成績與解題表徵、主題、學生的先前概念有明顯的關係；(4)學生通常會有表徵技能的主張，且這些主張與成績沒有明顯的關係。綜合以上各學者在「解題歷程」的研究發現，大部分研究針對學生解題步驟進行分類，但在解題步驟中造成學生產生的解題錯誤原因，較少提及與歸納，所以本研究欲更深入探討學生在二維拋體數據圖試題的解題歷程中，造成學生產生錯誤的解題步驟與原因。. 8.

(21) 三、錯誤類型在學習的過程中，並定會經過一連串的錯誤，但錯誤並非壞事，若知道自己產生錯誤的原因並加以解決，反而會更有助於學習。而「錯誤類型」常來自於學生學習過程中，對概念的了解及應用不夠熟練，在一知半解之下所產生的錯誤規則，或是解決問題時單憑直覺作答所導致的錯誤，所以本論文的研究重點也著重於物理解題時，試著找出學生解題可能會產生的錯誤類型，加以研究分析，提供未來教師教學上的應用。國內外學者針對各層面的解題錯誤類型做了不同的分類： Mayer(1985)把學生的解題錯誤類型分成三種類型： 1. 遺漏的錯誤（omission error）：因對命題不能完整回憶的結果。 2. 細節的錯誤（specification error）：指在陳述句中，一個變數轉換到另一個變數的能力不足所致。 3. 轉換的錯誤（conversion error）：即無法將關係句的形式轉換為陳述句的形式。其中以轉換的錯誤最嚴重，其原因為學生對於關係的回憶缺乏表徵關係的語言知識所導致。. Marshall(1987)將學生的解題錯誤類型分成六種類型： 1. 處理語言訊息的錯誤(errors in processing language information)。 2. 解釋空間訊息的錯誤(errors in interpreting spatial information)。 3. 選擇適當步驟的錯誤(errors in selecting appropriate procedures)。 4. 概念連接的錯誤(errors in making concept association)。 5. 應用不相干的規則或訊息(errors in using irrelevant rules or information)。 6. 不專心(distraction)。. 9.

(22) 林清山、張景媛（1994）將學生在解題錯誤類型分成四種類型： 1. 問題轉譯的錯誤：學生對於關鍵詞的詞義無法充分瞭解，及題目中哪些是無用的條件辨識不清。 2. 問題整合的錯誤：包含缺乏基本的數學概念、學生無法覺知所計算出來的答案是否合理、學生不會做假設以及學生套用固定的模式而不知隨問題變化而加以改變。 3. 解題計畫及監控的錯誤：學生無法針對不同問題採取不同的解題策略、學生認為一個題目只有一個解題方法、學生受到前後題型的影響而採用不當的解題策略。 4. 解題執行的錯誤：計算解方程式時會產生移項的錯誤。. 錯解辨析(九章出版社，1995)將學生的解題錯誤類型分為四種類型： 1. 由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等所產生的錯誤。 2. 由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等所產生的錯誤。 3. 由於忽視條件產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件，及把給定的一般條件特殊化等所產生的錯誤。 4. 由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等所產生的錯誤。整理國內外學者對錯誤類型的研究結果，大致可將學生常犯的錯誤類型分為三大類型：（一）「題意理解」：學生在面對題目時，是否瞭解問題表徵的內容、是否能判讀那些是有效的資訊等；（二）「概念提取與應用」：學生如何由題目條件制定解題計畫，並是否有足夠解題能力去執行計畫等；（三）「個人因素」：解題時專心程度。. 10.

(23) 而學生在學習過程中，所產生的錯誤概念原因，其來源具有非常多面向，Sutton 和 West（1982）將學生產生錯誤原因分為以下七個個來源： (1) 與生俱來的。 (2) 從日常生活來的。 (3) 隱喻而來的。 (4) 類比產生。 (5) 同儕文化。 (6) 正式或非正式的教學。 (7) 字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。. 另外，Brown 與 Vanlehn（1980）提出「修補理論」（repair theory）來解釋學生產生錯誤概念的原因，學生在解決問題過程中遭遇困難，通常學生會尋求其他較能接受的法則來解決問題，此過程稱為「修補」。若修補成功，這自圓其說的修補方法便會保留成為一條法則；若修補失敗，其整個解答過程便產生錯誤。. 由上述學者的研究可發現，學生產生錯誤的原因十分廣泛，教師若能瞭解學生產生錯誤的原因，便可透過教學幫助學生建構正確及完整的物理概念。我國普通高級中學基礎物理課程標準將「培養學生發現和解決問題的能力」列為總目標之一（教育部，2008），而教師在課程上如何協助學生解題呢？國內外許多研究提出了許多解題的教學模式，但多著重於解題策略的發展（Polya, 1945； Hestenes, 1987；張俊彥、翁玉華，2000）。針對學生在解題上常出現的某些錯誤類型，對此教師該如何對症下藥，進行有效的「問題解決」教學，成為一個重要的教育議題。Engelhardt （1982）認為分析學生的錯誤類型，並且探究學生在某種錯誤類型的形成原因，可作為有效教學策略的依據。本研究希望建構一份有效的分析工具，協助教師了解學生的解題困難，並作為選擇教學策略的參考。. 11.

(24) 四、拋體運動另有概念之相關研究物理學發展是透過自然現象的觀察、歸納及統整，最後成為系統化的知識。日常生活中有許多機會觀察到物體的運動，於是人們對自然現象獲得經驗，但在自我理解這些經驗背後的原因時，常會形成一些不正確的想法與解釋，特別是在運動學部分，於是研究者針對學生熟悉的「拋體運動」，深入探討學生基本概念的認識之相關研究。對於拋體運動飛行時間長短的迷思概念研究，Sadanan 與 Kess（1990）發現學生在比較同一高度作水平射出與鉛直自由下墜的飛行時間關係時，認為水平射出的運動路徑較長，故經歷時間也越長，這是學生因「直覺(intutive)」而產生的錯誤概念。另外，學生覺得物體重量大小也會影響飛行時間，認為物體的重量愈大，落下的速度將會愈快（Gunstone & White, 1981）。Za’rour（1975）也發現學生會認為重物會比輕物落下時間短，但落下時間不會與重量成反比。此外，學生也會認為較重的物體落下加速度較大（Oliva, 1999）。而學生對於拋體運動軌跡概念的研究中，McCloskey（1983）設計一個水平拋射的情境題，要求學生畫出物體落下的可能軌跡圖，並加以解釋畫圖原因。結果發現學生錯誤的概念中，有 5%的學生認為物體會繼續以水平方向直行一段距離，然後垂直落下；35%的學生會繼續以水平方向跑直行一段距離，然後以弧線落下；有 32% 的學生認為物體離開邊緣時，就會直接垂直落下。只有 28%的學生答案正確，具有運動獨立性的概念，即「水平方向不受力，並以原速度做水平等速度運動；至於鉛直方向受到地球的吸引作用，故物體以等加速度落下」。Mcdermott（1984）也發現學生會認為物體移去水平力後，其水平速度會立刻消失，物體也變為垂直落下。全中平（1994）的研究發現學生認為物體向上運動時，若作用力大於物體重量，則會使物體向上運動；而當重力大於此作用力時，物體會開始往下降。另外，學生也會認為物體作拋體運動，當物體達到最高點時，此時就沒有力作用在物體上. 12.

(25) （Finegold & Gorsky，1991；Galili & Bar，1992）。 Halloun 與 Hestenese（1985）及 Hestenes、Wells 與 Swackhamer（1992）的研究指出，學生使用獨立（isolated）的物理公式，或許不會出現問題，一旦加入環境條件的描述，方程式所表達的含意就可能被忽略或混淆。簡順永(1999)利用紙筆測驗和晤談來研究高中二年級自然組學生的「力與運動」基本概念認知現況及解題策略，其研究發現解題成功的學生具有清楚的基本概念，並具有專家解題策略的特質；解題失敗的學生也具有基本概念，但在解題策略上，則顯得較為不會運用，或是學生的「另有架構」造成解題困擾。另外，有部分學生學習方式為只會背誦公式，並套用公式進行解題，雖然解題成功，但是經過晤談後發現其基本概念仍然模糊不清。在研究者在自身教學經驗裡，發現學生熟悉「純量」的運算，但在「向量」的概念與應用較為不熟練，Hestense et al.（1992）的研究結果顯示，學生習慣將速度以純量的方式計算物理問題，無法將速度正負值與物體運動方向的概念相互聯結。運動學中常常使用線圖（kinematic graph）來描述位置、速度、或加速度與時間關係，在曲線圖理解的研究結果發現，許多學生對於圖形的基本意義，了解相當有限，若進一步將曲線圖轉與其他表徵轉換（如方程式），則更加困難（Kramarski & Mevarech, 1997;Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990） Brasell 和 Rowe(1993)調查 12 年級學生對運動學圖形態度和以電腦方式呈現運動學圖形時，學生詮釋運動學圖形能力情形。研究發現學生對圖形的態度大致為正向，認為圖形是有用處的，並且具有趣味性。而學生詮釋運動學圖形時易產生圖像錯誤，並容易混淆斜率與高度的概念。另外，學生認為物體速度變慢時，代表物體的速度為負值。. 13.

(26) Beichner(1994)欲瞭解學生在運動學圖形的表現，發展一份測驗「Test of Understanding Graphs in Kinematics(TUG-K)」，針對運動學圖形題發展研究設計 21 題有關運動學圖形的問卷，目的為探討學生在位置-時間圖、速度-時間圖、加速度時間圖的困難情形。其研究發現學生在各種關係圖中，以位置-時間圖的表現最好，在加速度-時間圖的表現最差，並且學生容易忽略物體運動方向與速度的關係。另外，學生在詮釋運動學圖形中，常有幾點的錯誤詮釋方式，如圖形視為圖像(graph as picture)、斜率與高度混淆(slope/height confusion)、非原點斜率錯誤、無法解釋圖形面積所代表的意思。由以上研究可以發現，學生在運動學中具有許多另有概念並運用至物理解題上，造成解題困難。若能找出學生在解題中所使用的另有概念類型，就可針對學生解題時所要注意的地方有哪些，方能有效的幫助學生解決問題。另外，運動學常常使用數據圖表來表示物體的運動狀態，不同表徵的轉換，也是學生學習物理時，所面臨的主要困難之一，而過去的研究多著重在各物理量與時間的關係上，或是要求學生由題意敘述畫出拋體軌跡圖，較少關注於拋體運動軌跡圖呈現的試題上。但是學生在判讀軌跡圖數據時，是否會產生解題困難，或是在使用解題策略上會有何關聯，在過去的研究中並未有定論，因此，本研究欲深入探討學生在判讀拋體運動軌跡圖與學生解題策略與困難的關係，期望可對教師的有效教學課程上能有所貢獻。. 14.

(27) 第二章研究工具本研究旨在以二維拋體數據圖探討大學生的解題策略，分析大學生常犯的錯誤類型及成因，希望有助於教師教學時，改進學生的物理解題能力。為了探討學生如何運用數據圖所給的資訊解決問題，本研究參考 2014 年物理奧林匹亞初試的拋體運動試題，針對原本試題的數據、圖畫品質、測驗目的等多方面考量而修正，再經過指導教授與多位專家檢視與討論後，修改成本研究試題工具「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」，作為探討本研究目的的測驗工具。本研究試題共兩個小題，利用數據圖呈現五個不同初速與角度的拋體軌跡，測試學生能否從數據圖中回答相關的物理問題。各子題特性及解題所需具備能力如下所述：第一小題是判斷拋體在空中停留的時間，目的在了解學生是否了解高度與時間的關係，並從數據圖中讀出正確的高度，再運用所學物理知識進行解題。第二小題是由數據圖判斷發射初速度的大小，解此題的關鍵在於學生是否可從數據圖中讀出、軸的數值，了解兩軸之間的單位長度差異，並且將軌跡圖裡的位移資訊轉化為速度的物理概念，最後學生可應用所學過的運動學，或是能量守恆的知識尋找出答案。本研究試題設計與編選標準如下所示： 1. 對受試者而言，是過去所熟悉的物理問題。 2. 數據圖所呈現的資訊是受試者在生活中處處可見的。 3. 可用不同的策略與物理概念來解題，可呈現多種解題行為。 4. 受試者都具備足夠的數學能力可以解決此問題。 5. 試題的難易度對物理程度好的受試者具有挑戰性，物理程度較不好的受試者也有機會可以成功解題。. 15.

(28) 本章就研究工具的開發流程做說明，共分為四個小節，第一節為「2014 物理奧林匹亞斜拋試題分析與討論」，第二節為「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗設計」，第三節為「參考解題法分析與討論」，第四節為「解題歷程分析工具」。. 第一節第一節 2014 年物理奧林匹亞斜拋試題分析與討論 2014 年物理奧林匹亞初選試題第一部份填充題的第一題，此試題內容為運動學的斜向拋體運動，題目共有兩個小題，第一小題討論斜拋運動的飛行時間長短，第二小題討論飛行初速度大小。此題目與過去在高中課程中的斜拋問題較為不一樣，學生若要解出此題的答案，首先必須要了解題目與圖示之間的關聯，必須知道圖表所給於的資訊有哪些，並利用此讀取的數據代入物理公式求得答案。. 16.

(29) 2014 年物理奧林匹亞初選試題第一題，題目陳述如下：「某砲兵營進行實彈射擊，分別以不同初速度和仰角發射五發砲彈。假設任何飛行中的阻力可以忽略不計，砲彈飛行軌跡（A，B，C，D，E）如圖 2-1 所示。請依砲彈在空中飛行時間由長到短排序______(1)______。依砲彈發射之初始速度量值由大到小排序______(2)______。（作答時請以 > = 之符號進行排序）。」. 圖 2-1 2014 年物理奧林匹亞初選斜拋試題數據圖在高中課程中「多條軌跡線比較的斜拋運動」題型上，較著重於物理概念上的判斷，而較少去考驗學生如何運用數據圖資料計算出答案，故第一小題「判斷飛行時間長短」，對學生來說較為容易，學生若理解物體飛行高度越高，在空中停留時間越長的物理概念，便可直接讀取數據圖中每條軌跡線的最大飛行高度值，判斷出各軌跡線的飛行時間長短；第二小題「比較發射初速度大小」，並無法直接從拋體軌跡圖直接判斷發射初速度大小，學生必須運用數據圖資料，搭配相關物理公式及概念，方可解題，但此題學生會面臨數據值較大與多條軌跡線比較，若要使用運動學公式計算出每一條軌跡線的發射初速度量值，需要經過繁雜的計算過程與較長的解題時間，才能正確解題，故第二小題對學生來說，屬於一個較難解的試題。. 17.

(30) 第二節第二節二維數據圖斜拋運動紙筆測驗設計二維數據圖斜拋運動紙筆測驗設計一、二維數據圖斜拋運動紙筆測驗設計本研究的「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」修改自 2014 年物理奧林匹亞初選試題第一部份填充題的第一題，物奧初選試題形式為填充題，研究者在觀察受試者此題的作答情形後，發現受試者答案可歸類為幾種模式，因此為了更深入受試者是如何運用數據圖資訊解題，並且在解題過程中遇到哪些困難，導致形成這些可歸類的模式，為了避免本研究對象在高中時有參加 2014 年物理奧林匹亞初選考試，而對試題會有記憶效應，進而影響研究結果，於是研究者稍微修改物奧初選試題內容，並改為計算題題型呈現，施測後再分析學生計算過程。修改過後的斜拋問題，大致上與原物奧試題相似，一樣維持五條拋射軌跡，軸與軸的比例也維持 10：1 的形式，受試者可從拋體運動數據圖中讀取的變因為最大高度 H、水平射程 S、斜拋仰角θ，研究者以上述三種變因搭配不同比例，如表 2-2 所示，畫出五條拋物線示意圖，探討受試者如何運用以上的變因與兩軸單位長差異，並搭配何種物理公式與數學計算方法，找出題目所求的物理量量值。. 表 2-2 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」數據圖變因參數軌跡線. A. B. C. D. E. 最大飛行高度 H（m）. 800. 400. 400. 200. 100. 最大水平射程 S（m）. 4000. 2000. 8000. 4000. 8000. 斜拋仰角 θ. θA ＝ θB. 18. > θC ＝ θD > θE.

(31) 修改後的新試題題目敘述如下：「在地面上有五個物體皆從座標原點(0,0)的位置做斜向拋射，物體的飛行軌跡如圖 2-2 所示(A、B、C、D、E)，假設任何飛行中的阻力皆可忽略不計，試回答下列問題：※作答時請用「>」及「=」符號進行排序 (1)請依物體的飛行時間由長至短排序。 (2)請依物體的發射初速度由大至小排序。」. 900 800 700. 高度. 600. ( ). 公尺. A. 500. C. B. 400 300. D. 200. E 100 0 0. 2000. 4000. 6000. 距離(公尺) 圖 2-2 二維數據圖斜拋運動紙筆測驗試題數據圖. 19. 8000.

(32) 第三節參考解題法分析與討論一、第一小題：比較物體「飛行時間」參考解題法題目並不考慮其他的阻力在內，所以可以知道物體在飛行過程中，只在鉛直方向受到向下的重力作用，水平方向上則不受力，根據牛頓運動定律可知，物體受到力的作用時會產生一加速度，並且加速度方向與物體所受合力方向相同，當物體在空中時，只受本身重力作用，故物體的加速度 a 為： =. −

(33) = = −

(34) ⋯ ⋯ （1）. 由此可知，物體在鉛直方向作等減加速度運動，也就是鉛直速度分量會越來越慢，當物體到達最高點時，物體的鉛直速度大小為零，由平均加速度定義可知： =. ∆ 0 − = = −

(35) ∆ 2. =. . ⋯ ⋯ （2）. 其中（2）式的為物體鉛直初速度，T 為物體由發射點到落地點的飛行時間。若物體可達到的最大垂直高度為 H，根據等加速度運動公式可知： 0 = − 2

(36) ⋯ ⋯ （3）將（2）式代入上式（3）可得到物體由出發點到落地點的飛行時間： 8 = ⋯ ⋯ （4）

(37) 觀察（4）式可知，物體可達到的最大鉛直高度 H 越大，其物體在空中的飛行時間 T 也就越長。觀察數據圖中各軌跡線物體的最大鉛直高度： > = ! > " > # ⋯ ⋯ （5）故可推斷各軌跡線的物體飛行時間關係為： > = ! > " > # ⋯ ⋯ （6）. 20.

(38) 二、第二小題：比較物體「發射初速度」大小參考解題法本研究試題設計目的為探討學生如何從二維拋體運動軌跡圖的資料，擬定解題策略後，從軌跡圖上蒐集自己所需的資料，再將數據資料代入物理公式，計算出物體的斜向拋射初速度大小，此子題的解法較為多種，故研究者提出幾種一般常見的參考解題方法。. 【解法一】使用運動學公式，並代入數值求解：解題想法：先將物體的斜向拋射初速度 & 分解為水平初速度 ' 及鉛直初速度. ，分別使用運動學基本定義與運動公式，求出初速度分量數值，最後再以勾股定理合成求出初速度數值，並排序出各拋物線初速度大小。物體在鉛直方向上只受一個方向向下的重力，故物體在鉛直方向上的運動為等加速度運動，且物體所受的加速度為重力加速度

(39) 。由（4）式可知物體在空中的飛 )*. 行總時間為 = ( 。當物體到達最高點時，其最高點的鉛直速度分量為零，由等. 加速度運動公式可求得物體的鉛直初速度為：.

(40) 8 = -2

(41) ⋯ ⋯ （7） =

(42) + , = 2 2

(43). 物體在水平方向上不受外力，故水平方向為等速度運動，若物體的最大水平射程為 S，飛行時間為 T，由平均速度的定義可知物體水平初速度' 為： ' =.

(44) = ( ⋯ ⋯ （8） 8. 最後將物體的水平初速度' 與鉛直初速度以勾股定理合成之，可得物體斜拋. 初速度& 為：. & = (' + = .

(45) (16 + ) ⋯ ⋯ （9） 8. 21.

(46) 將表 2-1 中各軌跡線的最大鉛直高度與最大水平射程數值，且重力加速度

(47) =. 9.8 ⁄4 ，代入上式（9），求得各軌跡線的物體飛行初速度：. 9.8(16 × 800 + 4000 ) & = ≅ 200.45 ( ⁄4) 8 × 800. & = &! = . 9.8(16 × 400 + 2000 ) ≅ 141.74 ( ⁄4) 8 × 400. 9.8(16 × 400 + 8000 ) ≅ 451.49 ( ⁄4) 8 × 400. &" = . 9.8(16 × 200 + 4000 ) ≅ 319.25 ( ⁄4) 8 × 200. &# = . 9.8(16 × 100 + 8000 ) ≅ 886.54 ( ⁄4) 8 × 100. 比較計算結果可得各物體的飛行初速度大小為： &# > &! > &" > & > & ⋯ ⋯ （10）. 22.

(48) 【解法二】使用運動學公式，並運用比例法求解：解題想法：在面臨多個物理量要計算或比較大小時，常會使用比與比值的方式來簡化複雜的數學計算過程。如同解法一的解題策略，但並非直接算出各軌跡線的數值，而是將各軌跡線速度分量使用比的方式呈現。先將斜拋初速度以水平與鉛直初速度分量表示，分別找出各拋物線的水平初速度比與鉛直初速度比，最後再使用勾股定理合成求出斜拋初速度比。由（7）式中可知鉛直初速度與最大飛行高度的關係為： = -2

(49) ∝ √ ⋯ ⋯ （11）. 由上式可知，物體在飛行過程中可達到的最大高度越高，其發射的鉛直初速度也就越大。從數據圖中讀取各軌跡線的最大飛行高度數值代入（11）式中，可求出各軌跡線的鉛直初速度比為：：：! ：" ：# = √800：√400：√400：√200：√100. = 20√2：20：20：10√2：10 ⋯ ⋯ （12）. 上式並未先化簡，目的在於最後合成斜拋初速度& 時，必須將鉛直與水平初速度平方相加後再開根號，但相加時必須注意鉛直與水平初速度分量的比值，故留至最後相加時再進行化簡步驟。由（8）式可知鉛直初速度與最大飛行高度及水平射程的關係為： ' =.

(50) = ( ∝ ⋯ ⋯ （13） 8 √. 觀察上式可知，若有兩軌跡線的最大高度 H 相同時，代表其飛行時間相同，故兩軌跡線的水平射程越大者，其水平初速度也就越大；同理，若兩軌跡線的水平射程 S 相同時，拋物線的最大高度 H 值越小，也就是飛行時間越短，其拋物線的水平初速度也就越大，換句話說，若兩軌跡線有相同的水平射程，飛行時間越短者，其水平初速度也就越快。將數據圖中讀取各軌跡線的最大飛行高度與水平射程數值代入（13）式中，即可求出各軌跡線的水平初速度比： ' ：' ：'! ：'" ：'# == 100√2：100：400：200√2：800 ⋯ ⋯ （14）. 23.

(51) 比較（12）與（14）式的數值後，將各軌跡線的水平與鉛直初速度數值，同時除以 10 化簡之： ' ：' ：'! ：'" ：'# = 10√2：10：40：20√2：80 ：：! ：" ：# = 2√2：2：2：√2：1. 最後將兩速度分量以勾股定理求出各拋物線斜拋初速度:&比： & = (' + . & ：& ：&! ：&" ：&# = √208：√104：√1604：√802：√6401 ⋯ ⋯ （15）比較（15）式結果可得各軌跡線的物體飛行初速度大小為： &# > &! > &" > & > & 【解法三】使用運動學公式，並運用三角函數求解：解題想法：若物體以初速度& ，仰角;斜向拋出，物體發射初速度可分解為水平. 初速度' 與鉛直初速度，若以三角函數表示兩初速度分量，即： ' = & <=4 ; = & 4>? ;. 若要求出發射初速度大小，只須求出其中一個初速度分量數值，再搭配從拋體軌跡數據圖中估算的發射仰角三角函數數值，方可找出斜拋初速度大小順序。物體在飛行過程中，水平方向不受外力，故水平方向為等速度運動，由（4）式 )*. 可知物體的飛行時間為( ，則物體的最大水平射程可表示為： = & <=4 ; × = & <=4 ; . 8 ⋯ ⋯ （16）

(52). 整理上式（16）可得斜拋初速度& 為： & =.

(53) × ( ⋯ ⋯ （17） <=4 ; 8. 24.

(54) 由（17）式可知斜拋初速度& 與最大水平射程、最大垂直高度及拋射仰角餘. 弦值<=4 ;的關係為：. & ∝. . √ <=4 ;. ⋯ ⋯ （18）. 從題目所給的軌跡圖可以看出各拋物線的仰角關係為θ@ = θA > θB = θC > θD ，斜向拋射軌跡剛發射的前端軌跡大致為直線，可估算出各軌跡拋射仰角餘弦值，如表 2-3 所示。表 2-3 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」各軌跡線拋射仰角餘弦值軌跡線. 餘弦值EFG H. A. 0.800. B. 0.800. C. 0.985. D. 0.985. E. 0.999. 由題目所給的軌跡圖中，判斷各軌跡現的最大水平射程S、最大垂直高度H及上表所推算出各拋射軌跡的仰角餘弦值<=4 ;，將各數據代入（18）式中，比較出各軌跡線的斜拋初速度大小，如表 2-4 所示：表 2-4 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」各軌跡線發射初速度值. L. 最大垂直高度 800. L. 餘弦值. A. K. 最大水平射程 4000. EFG H 0.800. √K EFG H 176.777. B C. 400 400. 2000 8000. 0.800 0.985. 125.000 406.079. D E. 200 100. 4000 8000. 0.985 0.999. 287.141 800.999. 軌跡. 由上表的數據可知各軌跡線的飛行初速度大小順序為： &# > &! > &" > & > &. 25.

(55) 【解法四】以力學能守恆概念解題：此題目不考慮其他阻力的影響，且物體在飛行過程中只受到重力的作用，重力屬於保守力，故可利用力學能守恆的概念來解題，若將地表的重力位能定為零，則發射點的力學能M& 可表示為：. 1 M& = N& + O& = 0 + & ⋯ ⋯ （19） 2. 若物體到達最高點時，距離地面的垂直高度為 H，則物體的重力位能表示為 mgH。物體在做斜向拋體運動時，其鉛直方向運動為等減速度運動，當物體達到最高點時，鉛直速度變為零；物體在水平方向不受外力，故水平方向運動為等速度運動，若出發點水平初速度為' ，則最高點的水平速度也為' ，故物體在最高點時的力學能可表示為：. 1 MP = NP + OP =

(56) + ' ⋯ ⋯ （20） 2. 由於整個飛行過程除了受到向下的重力，不受其他外力所影響，故在飛行過程中保持力學能守恆，發射點的總力學能應等於最高點的總力學能，即： M& = MP. 1 1 0 + & =

(57) + ' 2 2. & = 2

(58) + ' ⋯ ⋯ （21）. 觀察上式可知，若要求出初速度大小，必須找出拋物線的最大高度與水平初速 . 度，由（8）式可知，物體的水平初速度' = ()*，將此水平初速度代入（21）式可得物體的發射初速度為：.

(59) & = 2

(60) + (( ) 8

(61) (16 + ) & = 8. 上式與解法一推導結果相同，所以同解法一代入拋體軌跡圖的最大高度與水平射程數值，算出各軌跡線斜拋初速度值，並比較出各軌跡線斜拋初速度大小順序。. 26.

(62) 【解法五】向量法. 物體以初速度& ，仰角;斜向拋出，若物體不受外力的作用下，會維持等速度V&. 直線前進，則秒後物體的位移表示為 QQQQR，但因為在地表上因受到向下的重力作 &. 用，產生方向向下的重力加速度

(63) R，將物體拉向地面，物體因重力作用而向下的位 P 移為

(64) R ，故經過秒後，物體的位置與出發點的位移向量SQR可表示為：. 1 R = QQQQR R ⋯ ⋯ （22） & +

(65) 2. 此三個位移向量可形成一封閉的三角形，如上圖所示。當物體經過 T 秒後落地，其三個位移向量會形成一個直角三角形，由勾股定理可知： 1 & = +

(66) S ⋯ ⋯ （23） 4. 27.

(67) )*. 由（4）式可知物體的飛行時間 T 為( ，代入(23)式可求得物體發射初速度& 為： . 8 1 8 & ( ) = +

(68) ( )S

(69) 4

(70)

(71) (16 + ) & = 8. 上述結果與為解法一推導結果相同，所以同解法一的方法，代入拋體軌跡圖的最大高度與水平射程數值，即可算出各軌跡線的斜拋初速度值，並比較出各軌跡線的斜拋初速度大小順序。. 【解法六】兩兩比較法從題目所給的拋體軌跡線數據圖，可以發現、軸的數值差異很大，每一條軌跡線的水平射程比最大鉛直高度大上許多，也就是水平速度比鉛直速度大很多，從題目所給的軌跡圖，可以看出各拋物線的仰角關係為θ@ = θA > θB = θC > θD ，斜向拋射軌跡剛發射的前端軌跡大致為直線，可從數據圖中所給的數值，估算每一條軌跡線的tan ;值，如表 2-5 所示：表 2-5 「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」各軌跡線拋射仰角正切值正切值WXY H. 軌跡線 A B. 0.750 0.750. C D E. 0.175 0.175 0.050. 由上表可知，每一條軌跡線的tan ;值皆小於 1，表示每條軌跡線的仰角皆不超過 45 度角。. 28.

(72) （1）比較相同水平射程的軌跡線（如軌跡線 C、E 及軌跡線 A、D）：若軌跡線的最大高度越高，物體飛行時間越長，但水平初速度會越小；在二維斜向拋體運種有一個特例，若兩物體在水平地面上，以相同初速度，不同仰角發射出去，若兩物體落回水平地面時，其兩物體的水平射程相同時，則兩軌跡線的發射仰角角度會互餘。但在此題目中可知，這五條軌跡線的發射仰角皆小於 45 度，故不會有上述發射初速度相同的情形，所以可以推論出下列關係： &# > &!. &" > & （2）比較相同發射仰角的軌跡線（如軌跡線 A、B 及軌跡線 C、D）：若兩物體以相同仰角斜向拋射，則物體發射初速度越大，物體可達到的最大鉛直高度與水平射程皆會越大，分別比較數據圖中的軌跡線 A、B 及軌跡線 C、D 的最大鉛直高度與水平射程數值，可以推論出下列關係： & > &. &! > &". 綜合上述（1）（2）兩結果可知： &# > &! > &" > & > &. 29.

(73) 第四節解題歷程分析工具本研究使用傳統紙筆測驗，以計算題題型讓受試者作答，研究者根據學生紙筆測驗的測驗結果，分析學生的解題歷程與錯誤類型，並參考文獻探討中各學者的解題歷程理論後，自製一份二維拋體數據圖解題歷程分析工具，如下圖 2-1 所示。. 圖 2-3 二維拋體數據圖解題歷程分析工具. 30.

(74) 第三章研究方法本研究旨在探討學生在面對以數據圖表示的力學題目時，是否能從數據圖中讀取正確的資訊，並運用所學的物理概念來解題。其研究方法的考慮上，主要是觀察學生在作答時，會從數據圖中獲取哪些資訊，並且使用何種物理概念來解題，因此研究工具採用問答題的方式來進行，獲取學生解題期間的訊息。本章第一節提出本研究的架構；第二節列出本研究的詳細流程；第三節討論本研究選取的對象；第四節介紹本研究的工具；最後第五節討論本研究的資料分析處理方式。. 第一節研究架構研究架構本研究探討學生在面對以數據圖表示的力學物理問題時，學生是否能夠仔細解讀二維拋體數據圖，蒐集解題所需的資訊，並運用正確的物理概念解題。本研究分為兩個部分：第一部份蒐集 2014 年物理奧林匹亞初選試題填充題第一題學生的答案，進一步分析與歸類學生的答案類型，了解學生為何解題錯誤，並推論是因為哪些錯誤的物理概念所造成的。第二部份研究者為了進一步了解學生的詳細解題過程，並在解題過程中會運用哪些解題方法、物理概念來解決以數據圖表示的力學問題，研究者修改第一部份的 2014 年物理奧林匹亞初選試題類型，將填充題改為計算題，並稍微修改試題內數據，為了避免會有學生重複做過此試題，造成研究資料的不準確性。最後，研究者綜合以上兩部分結果，分析學生在面對數據圖表示的力學物理問題時，所呈現的錯誤概念、錯誤類型，並探討造成錯誤的原因。. 31.

(75) 第二節研究流程研究流程本研究的主要目的是探究學生的問題解決歷程，分析學生如何運用數據圖中的資訊，及運用的物理解題概念及其產生錯誤的原因。研究流程如圖 3-1 所示：. 圖 3-1 研究流程圖. 32.

(76) 第三節研究對象根據本研究的研究目的，本研究對象皆已學習過二維拋體運動課程的學生。本研究分為「2014 年物理奧林匹亞初選考試」與「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」兩個部分，其樣本與選樣方式如下：一、2014 年物理奧林匹亞初選考試部分本研究之對象為參加 2014 年第 45 屆國際物理奧林匹亞競賽初選考試的高二與高三學生，來自全台灣各縣市的高中職學校，合計共 2217 人，其中 323 人缺考，故本研究取樣對象為 1894 人。參加考試的學生，其物理成績居全班名次前三分之一以內（各校立案的數理資優班不在此限），並經任課物理教師推薦後參加考試。其中高二生 954 名、高三生 940 名。二、斜拋運動紙筆測驗部分本測驗研究對象為本校選修普通物理實驗的理學院學生，共 334 名，學生背景如下表 3-1 所示。施測時間為九月開學第一周，大部分學生都尚未修習大一普通物理課程，目的為求可以與應屆參加 2014 年物理奧林匹亞初選考試的學生施測資料進行比對。表 3-1 研究對象與人數大學一年級物理系. 68 人. 地球科學系. 37 人. 化學系. 85 人. 數學系. 32 人. 生命科學系. 35 人. 大學二年級物理系. 77 人. 33.

(77) 第四節資料處理本研究資料主要來源有兩部分：第一部分為「2014 年物理奧林匹亞初選考試」測驗結果，第二部分為「二維數據圖斜拋運動紙筆測驗」測驗結果，其中包含量性與值性的資料，量性的資料以人工閱卷的方式，將學生的答案輸入至 Excel 中建檔，質性的資料先是以人工方式閱卷後，再經多次編碼、歸類、校訂後，再輸入至 Excel 中建檔，最後將兩部分資料合併，以利後續的統計分析與比較。. 第五節研究範圍與限制一、研究對象限制本研究限制於時間、人力，因此挑選的研究對象只針對台北市國立大學理學院科系的學生，並以大一新生為主，其研究結果若要推論至其他大學生，必須小心謹慎，或需更進一步的後續研究。. 二、研究工具限制本研究的數據圖是以「二維拋體運動軌跡圖」為主題，其他領域及單元是否可以適用，有待更進一步的研究，另外測驗結果以受試者在紙筆測驗寫下的計算過程與答案為限制。. 34.

(78) 第四章研究結果本章節針對受試者施測資料，進一步分析與討論，全章共分為四小節。第一節為「二維數據圖斜拋運動測驗解題過程類型與錯誤原因之分析」，第二節為「解題歷程分析」，第三節為「試題參數與解題過程類型之分析」，第四節為「物理奧林匹亞斜拋試題答案類型之分析」。. 第一節「二維數據圖斜拋運動二維數據圖斜拋運動測驗運動測驗」測驗」解題過程類型與錯誤原因解題過程類型與錯誤原因之分析與錯誤原因之分析研究者使用自編的「二維數據圖斜拋運動測驗」，針對 334 名大學生進行施測，統整、分析及歸納所有受試者的答題情形，發現受試者的解題過程可歸納出幾種解題過程類型，為了更瞭解各類型受試者的解題想法與物理概念，共找了 10 名受試者進一步訪談。本研究發現受試者在面對以數據圖形表示的斜拋運動問題時，會運用不同的物理概念去解題，多數的受試者會使用運動學公式計算出斜拋初速度的大小，少數受試者會運用力學能守恆的概念來解題，其中發現部分受試者對斜拋運動初速度大小擁有一些另有概念。另外，在第二章中研究者提供參考解題方式「向量法」，在本次測驗中並無受試者使用此種解題方式，故解題過程類型分類表中，予以刪除。本研究整理受試者解題過程，分類成下列幾種形式，見表 4-1：. 35.

(79) 表 4-1 受試者解題過程類型編碼解題過程類型解題過程類型. 運動學(Kinematics). 力學能守恆. 代號. 附註. K-a. 直接代入數值解題. K-r. 運用比值法解題. K-θ. 使用三角函數解題. E. 列出力學能守恆公式. E*. 力學能守恆錯誤概念. (Mechanical Energy Conservation) (1)受試者列出公式後，未寫出詳細計算過程或理兩兩比較法由，只列出兩兩軌跡線比較後的結果。 (Paired comparison. P (2)受試者每次只比較其中兩條軌跡線，最後綜合將. method) 各個比較結果並得到答案。 & ∝ '. A-a. & ∝ . A-b 另有概念. & ∝ - + . A-c. & ∝ ⁄. (Alternative A-d. & ∝ . conception) A-e. & ∝ ⁄. A-f 只列出公式(formula). F. 只列出物理公式，沒有計算過程. 空白(None). N. 只有寫出答案，沒有列出相關的物理公式或計算過程. 36.

(80) 表 4-2 受試者解題過程類型人數統計表解題過程類型. 人數. 百分比(N=300) 百分比. K-a. 59. 19.7%. K-r. 16. 5.3%. K-θ. 10. 3.3%. E. 6. 2.0%. E*. 2. 0.7%. P. 57. 19.0%. A-a. 14. 4.7%. A-b. 3. 1.0%. A-c. 17. 5.7%. A-d. 1. 0.3%. A-e. 3. 1.0%. A-f. 2. 0.7%. 只列公式. F. 20. 6.7%. 空白解題過程. N. 86. 28.7%. 運動學概念. 力學能守恆概念兩兩比較法. 另有概念. （註：參加測試的人數共 334 人，但扣除有參加測試卻未作答的受試者 34 人，故有效總人數 N＝300。）. 37.

(81) 一、運用運動學概念解題 (一)受試者解題過程類型分析：在普通高級中學課程綱要中，如表 4-3 所示，介紹運動學平面運動中的二維等加速度運動時，便是以拋體運動為例，所以受試者在面對以數據圖形表示的二維斜向拋體運動問題時，大多都會以運動學方式概念去解題，依據「運動獨立性」性質，先將拋體運動分為水平與鉛直兩個維度來討論。「二維數據圖斜拋運動測驗」第二小題要求受試者從二維拋體運動軌跡圖中，比較不同軌跡線的發射初速度大小，若使用運動學的物理概念來解題，需先將斜拋初速度分解為水平初速度與鉛直初速度來分析，並利用數據圖中的資訊，找出水平初速度與鉛直初速度的大小，最後再由勾股定理求出斜拋初速度大小。. 表 4-3 普通高級中學必修科目「基礎物理」課程綱要（基礎物理二 B）部分內容主題二、運動學. 主要內容 2.平面運動. 說明. 備註. 2-1 利用平面向量之概念. 避免述及二維空間及三維. 將位移、速度及加速度推空間的相對運動。廣至二維空間的運動。 2-2 以拋體運動為例，說以拋體運動為例明二維的等加速度運動。. 研究者將受試者的解題過程分類及編碼後，發現受試者使用運動學概念解題時，有以下三種解題過程類型：（1）「K-a」實際代入數據圖數據並進行運算、（2）「K-r」使用比值法表示物理量關係並進行運算（3）「K-θ」以三角函數表示速度並進行運算。. 38.

(82) (1) 「K-a」解題過程類型：受試者分別計算各軌跡線水平與鉛直初速度，並從判讀數據圖相關數值，實際代入運動公式計算，最後再由勾股定理求出斜拋初速度數值，比較出各軌跡線初速度大小順序。如表 4-2 所示，此「K-a」解題過程類型共有 59 人，約占了總人數的 19.7%，為所有解題過程類型中使用人數比例最高，顯示受試者在面對以數據圖表示的物體飛行軌跡時，大多數人會直接連想到「運動學」的物理解題概念，然後再代入實際數值計算後，判斷出各個軌跡線的斜拋初速度。. 「K-a」解題過程類型實例-<受試者編號 C-1-2-28>. 39.

(83) (2) 「K-r」解題過程類型：受試者先由數據圖中讀出軌跡線最大高度後，求出各軌跡線的飛行時間，再使用運動學公式，分別列出各軌跡線的水平與鉛直初速度比，最後求斜拋初速度大小時，會直接使用水平與鉛直初速度比的數值，直接代入勾股定理，求得斜拋初速度大小。如表 4-2 所示，此「K-r」解題過程類型共有 16 人，約占了總人數 5.3%。. 「K-r」解題過程類型實例-<受試者編號 C-1-2-26>. 40.

(84) (3) 「K-θ」解題過程類型：受試者運用三角函數表示水平初速度' = & <=4 ;，或是鉛直初速度 =. & 4>? ;，為了找出水平或鉛直初速度大小，受試者會找出各軌跡線的水平初速度'. （或鉛直初速度），並估算三角函數cos ;（或sin ;）的數值後，即可找出發射初速度大小。如表 4-2 所示，使用此種解題過程類型的共有 10 人，占了總人數的 3.3%。. 「K-θ」解題過程類型實例-<受試者編號 P-2-1-20>. 41.

(85) (二)「以運動學概念解題」答題情形與解題錯誤原因分析如下表 4-4 所示，發現以運動學概念解題的受試者，其「K-a」、「K-r」、「K-θ」解題過程類型，在第一小題斜拋運動飛行時間問題，九成以上都可以答對，顯示使用運動學概念解題的受試者，幾乎都具有判讀數據圖中軌跡線的最大鉛直高度，並找出飛行時間的長短的能力。. 表 4-4 解題過程類型「K」答題情形統計表第二小題答對第二小題答對. 第二小題答錯第二小題答錯. 第一小題解題過程類型. 人數(百分比人數百分比) 百分比. 第一小題人數(百分比人數百分比) 百分比. 答對率. 答對率. K-a. 18 (30.5%). 94.0%. 41(69.5%). 97.6%. K-r. 3 (18.8%). 100.0%. 13(81.3%). 92.3%. K-θ. 1 (10.0%). 100.0%. 9 (90.0%). 100.0%. 42.