第二章 問題定義及背景知識

第二章 問題定義及背景知識

2-1 問題定義

令 I = {i1, i2, …, im}表示資料流中所有的資料項（item）所成的集合，一筆交

易 T 是指由 I 集合中一個或一個以上的資料項所形成的集合。本論文中所考慮的

資料流型態如下：在每一個單位時間點 k（k ≥1）內，會有零到多筆不等的新交

易輸入。在單位時間點 k 內輸入的新交易所成之集合{Tk1, Tk2 ,…,Tkj}稱為一個單

位累積交易集，以 Bk表示，|Bk|表示第 k 個單位累積交易集中所包含的交易筆數。

至時間點 t 為止，資料流所形成的資料庫 DSt = [ B1, B2, …, Bt )。

給定一個視窗大小值 w，且目前時間點為 t。令t ≥ ，則目前交易視窗 CTWw t

（Current Transaction Window）是由最近 w 個單位時間內所輸入的單位累積交易

集，也就是 Bt-w+1∪Bt-w+2∪ …∪Bt所構成的交易集合，目前交易視窗 CTWt的數

量以|CTWt|表示，| CTWt | = |Bt-w+1|+|Bt-w+2|+ …＋|Bt|，即指 CTWt中各單位累積

交易集所包含的交易數之加總。CTWt中的第一個單位累積交易集，意指 Bt-w+1。

當目前時間變為 t+1 時，CTWt+1相當於對 CTWt的內容，新增 Bt+1且移除原

來 Bt-w+1，CTWt+1中仍包含有最近 w 個單位時間內輸入的單位累積交易集中的交

易。以下圖 2.1 顯示一個資料流範例，當視窗大小 w 設為 4 個單位累積交易集時，

從時間點 4 到 6 對應的 CTWt內容。

cd b

c ac a

bd ab

b ac

c ab 單位累積交易 a 所包含之交易

8 7 6 5 4 3 2 單位時間編號 1

時間軸

CTW₄ CTW₅

CTW₆

圖 2.1 目前視窗 CTW 移動情形

一個資料項集（itemset）是由 I 集合中一個或一個以上的資料項所組成的集

合。一個資料項集 P 內所包含的資料項個數稱為 P 的長度，以| P |來表示；而長

度為 l 的資料項集，稱為一個 l-資料項集（l-itemset）。當一個資料項集 P 為交易

T 的一個子集，則稱 T 包含 P。在目前交易視窗 CTWt中包含資料項集 P 的交易 筆數稱為 e 在資料流中的最近支持度計數值，以RC_t (P)表示；最近支持度則由

) P

t (

RC 除以|CTWt|計算得之，以Rsup_t(P)表示。由使用者給定一個介於 0 到 1 之間的最小支持度門檻值（minimum support）Smin，對一個資料項集 P，若

) P ( sup_t

R 大於等於 Smin，則稱 P 為資料流中一個最近常見資料項集（Recent

Frequent itemset）；若Rsup_t(P)小於 Smin，則稱 P 為一個非最近常見資料項集

（Recent Infrequent itemset）。

根據論文[16]中的定義，任兩個資料項集 P1 與 P2 的距離計算方式，

| ) T(P ) T(P

|

| ) T(P ) T(P -| 1 ) P ,

D(P_{1 2} ^{1 2}

∪

= ∩ ，其中 T(P₁)表示包含資料項集 P₁之所有交易所成的

集合，T(P2)表示包含資料項集 P2之所有交易所成的集合，因此此值表示包含 P1

及包含 P2之交易資料重疊程度。任意兩個資料項集 P 與 P’，若資料項集 P’包含

資料項集 P 且資料項集 P’與 P 之距離 D(P, P’)小於等於一個給定的δ值，那麼就

稱資料項集 P 被資料項集 P’δ-覆蓋(δ-covered)。此外，若在一個資料項集所成

之集合中，存在一個資料項集 Pr 使得集合中所有其它的資料項集都被 Prδ-覆

蓋，則稱 Pr為這些資料項集之代表樣式。

在本論文，在探勘過程中我們並沒有存下在目前交易視窗中包含資料項集的

交易資訊。因此根據先前δ-覆蓋的定義，我們對兩個資料項集 P 及 Pr定義其在

目前交易視窗中的距離推導如下：

對兩個資料項集 Pr和 P，若 Pr 包含 P，在目前交易視窗中 T(Pr)⊆ T(P)，因此

(P) Rsup

) (P 1 Rsup

|

| ) P ( RC

|

|

) P ( RC (P) 1

RC ) (P 1 RC

| ) P ( T

|

| ) P ( T 1 |

| ) T(P T(P)

|

| ) T(P T(P) -| 1 ) P RD(P,

t r t t

r t

t r t r

r r

r = − = − = − = −

∪

= ∩

t t

CTW CTW

若 Pr不包含 P，則 RD(P, Pr) = ∞。

我們定義若 RD(P, Pr) 小於等於給定的δ值，則稱在目前交易視窗中 Prδ-

覆蓋 P。在一個最近常見資料項集所成的集合中，若存在一個資料項集 Pr使得集

合中其它資料項集都被 Prδ-覆蓋，則此集合將以 Pr為代表樣式，並稱 Pr為一個

最近常見代表樣式。

2-2 出現頻率改變點法

如前一章文獻探討所述，論文[13]中考慮資料流為在每個單位時間都會恰有

一筆新輸入的交易資料，而欲從若在目前視窗中的 w 筆交易探勘出最近常見資

料項集。為了不需將目前視窗內的交易資料全部儲存下來，在論文[13]中提出記

錄資料項集出現摘要資訊的方法，稱為出現頻率改變點法，運用這種摘要資訊儲

存法，只需較小儲存空間，即可近似找出目前視窗內的常見資料項集。

出現頻率改變點法的基本想法，是對出現的資料項集只記錄其累積計數值及

出現區間，因此以下我們討論當一個資料項集 P 的開始累計時間點在目前視窗

開始時間點前的狀況下，以其累積計數值判定 P 在視窗中是否為常見資料項集

的四種情況：

(1) 若資料項集 P 在視窗中為常見資料項集，且其在資料項集開始累積時間 點至視窗開始時間點間為常見資料項集。則由 P 之累積計數值可估算出

P 為一常見資料項集。

(2) 若資料項集 P 在視窗中為常見資料項集，且其在資料項集開始時間點至 視窗開始時間點間為非常見資料項集。則由 P 之累積計數值會判定 P 為

一常見或為一非常見資料項集。

(3) 若資料項集 P 在視窗中為非常見資料項集，且其在資料項集開始時間點 至視窗開始時間點間為常見資料項集。則由 P 之累積計數值會判定 P 為

一常見或為一非常見資料項集。

(4) 若資料項集 P 在視窗中為非常見資料項集，且其在資料項集開始時間點 至視窗開始時間點間為非常見資料項集。則由 P 之累積計數值可估算出

P 為一非常見資料項集。

由以上之分析情況顯示，以 P之開始累積時間點到目前時間點 t 期間的支持

度，來判斷 P 在視窗中是否為最近常見資料項集，可能發生誤判的情況為情況 2

或情況 3。在情況 2 中，當 P 在視窗外（即從 P 之開始時間點到視窗之開始時間

點前）的出現次數很稀疏，造成根據 P 從開始時間點到目前時間點間的支持度，

會判斷 P 為一個非常見資料項集。在情況 3 中，發生誤判的原因為 P 在視窗中

的出現分佈變的稀疏，但其總累計次數仍足夠被判別為常見資料項集，因此誤判

為最近常見資料項集。

由情況 2 跟 3 可知，資料項集出現頻率發生變化，會造成以 P 的累計出現

次數判斷 P 是否是最近常見資料項集的誤判情形。因此，出現頻率改變點法所

記錄的摘要資料結構，會記錄資料項集發生出現頻率可能轉為偏向非常見的時間

點。以論文[13]設定的資料流環境，若資料項集 P 為常見資料項集，那麼平均至

少應該每隔(1/Smin)個資料項集 P 就會出現一次，因此當此次出現和前一次出現時

間點的間隔大於(1/Smin)之時間點，代表此次出現頻率已小於常見資料項集之最小

平均出現頻率，將其稱為一個出現頻率改變點。每當找到資料項集 P 的一個頻

率改變點，就記錄此改變點出現的時間點，以及從前一個頻率改變點到此改變點

前的出現累計次數，若此次出現之前 P 尚未發生過頻率改變點，則記錄其從第

一次 P 出現的時間點到此改變點前的出現累計次數。

當時間點由 t 進到 t+1 時，目前視窗中的交易隨時間改變，必須扣除落在過

時時間點的資料項集出現次數。雖然沒有保留資料項集在剛過時的單位時間點中

之精確資訊，但可根據其出現頻率改變點之資訊，將各資料項集的開始累計時間

點調整到儘可能接近視窗開始時間點，即可有效估算出各資料項集的最近支持度

值。