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解析几何选讲
解析⼏何指借助笛卡尔坐标系, 由笛卡尔、费马等数学家创⽴并发展. 它是⽤代数⽅法研究⼏何对 象之间的关系和性质的⼀门⼏何学分⽀. ——摘⾃ “百度百科”
(1) 与其说是 “⼏何学的⼀门分⽀”，不如说是 “⼏何学的一种方法”;
– 通过平⾯ (空间) 的坐标系，建⽴点与实数对之间的⼀⼀对应关系;
– 得到曲线或曲⾯与⽅程之间的对应关系;
– ⽤代数⽅法研究⼏何问题，或⽤⼏何⽅法研究代数问题.
(2) 核⼼思想: 数形结合
(3) 分类: 平⾯解析⼏何、空间解析几何
(4) 参考教材:《解析⼏何》, 尤承业著, 北京⼤学出版社; 《解析⼏何》, 丘维声著, 北京⼤学出版社.
(5) 预计课时: 12 学时
– 向量代数与⼏何空间的结构 – 空间中的平⾯、直线与常见曲⾯
– 坐标变换与⼆次曲⾯的分类 – 正交变换与仿射变换 – 射影⼏何学初步
例 1 (帕斯卡 (Pascal) 定理). 圆锥曲线的任⼀内接六边形 (其顶点是两两不同的) 的三对对边的交点共 线.
第⼀章 向量代数与⼏何空间的结构
2015 年 11 ⽉ 16 ⽇
1 向量及其线性运算
1.1 向量的概念
定义 1. 既有⼤小、又有⽅向的量成为向量 (或⽮量).
向量⼀般⽤粗体⼩写字母或希腊字母表⽰, 如 a, b, c, α, β, γ 等. 与之对应, 细体字母表⽰数量.
在⼏何上, ⼀个向量 a 可以⽤⼀条⽤有向线段来表⽰, 其中⽤这条线段的长度 |AB| 表⽰ a 的⼤
⼩. ⽤起点 A 到终点 B 的指向表⽰ a 的⽅向.
规定长度相等并且⽅向相同的有向线段表⽰同⼀个向量.
例 2. 平⾏四边形 ABCD 中，−−→AB =−−→
DC, −−→
AD =−−→
BC。
⼏个概念:
(1) 向量的⼤⼩也称为向量的长度, 向量 a 的长度记作|a|;
(2) 长度为零的向量称为零向量, 记作 0, 零向量是唯⼀⽅向不确定的向量;
(3) 与 a 长度相等并且⽅向相反的向量称为 a 的反向量, 记作−a;
(4) 如果向量 a 与 b 的⽅向相同或者相反, 就说它们平⾏, 记作 a∥ b; 我们约定零向量与任何向量都 平⾏.
(5) 如果向量 a 与 b 的⽅向互相垂直, 就说它们垂直或正交, 记作 a⊥ b; 我们约定零向量与任何向量 都垂直.
例 3. 对任⼀向量 a 和任取⼀点 A, 存在唯⼀的点 B, 使得 −−→AB = a. 并且
−−→AB = 0⇔ A = B; −−→
BA =−−−→
AB.
1.2 向量的加法
定义 2. 对于向量 a, b, 作有向线段 −−→AB 表示 a, 有向线段−−→
BC 表示 b, 把−→
AC 表示的向量 c 称为 a 和 b 的和, 记作 c = a + b. 也就是
−−→AB +−−→
BC =−→
AC.
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1 向量及其线性运算 3
(1) 由这个公式定义的向量加法规则通常称为三⾓形法则;
(2) 向量的加法与起点的选择⽆关;
(3) 也可以从同⼀起点 O 作−→
OA 和−−→
OB 分别表⽰ a 和 b, 再以 OA 和 OB 为边作平⾏四边形 OACB, 则容易看出 −−→OC 也表⽰向量 a 与 b 的和 c. 这称为向量加法的平⾏四边形法则.
命题 1 (向量加法运算所满⾜的规律). 对任意向量 a, b 和 c, 有 (1) 交换律: a + b = b + a;
(2) 结合律: (a + b) + c = a + (b + c);
(3) a + 0 = a;
(4) a + (−a) = 0.
定义 3. 向量的减法: a− b := a + (−b).
1.3 向量的数量乘法
定义 4. 实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是⼀个向量, 它的成都为
|λa| := |λ||a|, 它的⽅向当 λ > 0 时与 a 相同, 当 λ < 0 时与 a 相反.
对于任意向量 a, 由于|0a| = 0|a| = 0, 所以 0a = 0. 同理, 对⼀切实数 λ, 都有 λ0 = 0.
命题 2 (向量数乘所满⾜的规律). 对任意向量 a, b, 任意实数 λ, µ, 有 (1) λa = 0⇔ λ = 0 或者 a = 0;
(2) 1a = a, (−1)a = −a;
(3) 结合律: λ(µa) = (λµ)a;
(4) 分配律 I: (λ + µ)a = λa + µa;
(5) 分配律 II: λ(a + b) = λa + λb.
例 4. 由定义, λa∥ a. 反过来, 如果 a ̸= 0, 并且向量 b ∥ a, 则 b ⼀定是 a 的倍数. 只要令 λ = ϵ|a||b|, 这 里
ϵ =
{ 1, 当b与a同向时;
−1, 当b与a反向时.
就有 b = λa. 为⽅便起见我们把这个数 λ 记作 b/a. 需要注意的是, 这个记号只有当 a∥ b 并且 a ̸= 0 时才有意义.
长度为 1 的向量称为单位向量. 如果 a̸= 0, 则 a/|a| 是与 a 同向的单位向量, 称为 a 的单位化.
2 ⼏何空间的线性结构 4
1.4 共线 (共面) 的向量组
向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算. 在⼏何问题中应⽤向量的线性运算时, 常常涉及到 向量分解的概念.
设 a1, a2, ..., an 是⼀组向量, λ1, λ2, ..., λn 是⼀组实数, 称
λ1a1+ λ2a2+· · · + λnan
为向量 a1, a2, ..., an 的⼀个线性组合, λ1, λ2, ..., λn 是这个组合的系数, 它也是⼀个向量. 如果向量 b 等于 a1, a2, ..., an 的⼀个线性组合, 即存在⼀组实数 λ1, λ2, ..., λn, 使得
b = λ1a1+ λ2a2+· · · + λnan, 就说 b 可对 a1, a2, ..., an 分解.
定义 5. 如果⼀组向量平⾏于同⼀直线, 就称它们共线; 如果⼀组向量平⾏于同⼀平面, 就称它们共面.
向量组 a1, a2, ..., an 共线 (⾯) 也就是: 当⽤同⼀起点 O 作有向线段 −−→OAi = ai (i = 1, 2, ..., n), O, A1, ..., An 共线 (⾯).
⼏个性质:
(1) 两个向量共线就是它们平⾏;
(2) 向量组共线也就是其中任何两个向量都平⾏, 向量组共⾯也就是其中任何三个向量都共⾯;
(3) 如果三个向量中有⼀个是零向量, 或者其中有两个共线, 则它们共⾯;
(4) 如果 c 可以对 a, b 分解, 则 a, b, c 共⾯.
定理 1 (向量共线定理). 若向量 a 与 b 共线, 并且 a̸= 0, 则存在唯⼀的实数 λ, 使得 b = λa.
推论 1. 向量 a 与 b 共线的充分必要条件是, 存在不全为零的实数 λ, µ, 使得
λa + µb = 0.
定理 2 (向量分解定理). (1) 如果三个向量 a, b, c 共面, 并且 a, b 不共线, 则 c 可以对 a, b 分解, 并 且其分解⽅式唯⼀.
(2) 如果 a, b, c 不共面, 则任何向量 d 都可以对 a, b, c 分解, 并且分解⽅式唯⼀.
推论 2. 向量 a, b, c 共面的充分必要条件是, 存在不全为 0 的实数 λ, µ, ν, 使得
λa + µb + νc = 0.
2 几何空间的线性结构
假设 V 是⼏何空间中所有点组成的集合. 如果取定空间中的⼀个点 O, 以 O 为起点的向量称为定 位向量. 于是定位向量组成的集合与 V 有⼀个⼀⼀对应关系: −−→
OM 对应于终点 M . 于是 V 也可以看 成由所有定位向量所组成的集合. 由于向量的平移不变性, V 亦可看作所由向量所组成的集合.
2 ⼏何空间的线性结构 5
2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标
由定理 2(2) 给出了⼏何空间 V 的线性结构: 即只要给出了 V 中的三个不共⾯的向量, 那么 V 中 的所有向量就了如指掌了.
定义 6. ⼏何空间 V 中任意三个有次序的不共面向量 d1, d2, d3 称为 V 的⼀组基. 对于⼏何空间中任
⼀向量 α, 若
α = xd1+ yd2+ zd3, 则把三元有序实数组 (x, y, z) 称为 α 在基 d1, d2, d3 下的坐标, 记作
x y z
, 或 (x, y, z)⊤.
向量有了坐标后, 我们再对空间中的点也引进坐标.
定义 7. ⼏何空间中的⼀个点 O 和⼀组基 d1, d2, d3 合在⼀起称为⼏何空间的⼀个仿射标架或仿射坐 标系, 记作 [O; d1, d2, d3], 其中 O 称为原点. 对于⼏何空间中的任意⼀点 M , 把它的定位向量−−→
OM 在 基 d1, d2, d3 下的坐标称为点 M 在仿射标架 [O; d1, d2, d3] 中的坐标.
命题 3. 点 M 在 [O; d1, d2, d3] 中坐标为 (x, y, z)⊤ 的充分必要条件是
−−→OM = xd1+ yd2+ zd3.
取定⼀个仿射标架后, 由定理 2(2) 知, ⼏何空间中全体向量的集合与全体有序三元实数组的集合之 间就建⽴了⼀⼀对应; 通过定位向量, ⼏何空间中全体点的集合与全体有序三元实数组之间也建⽴了⼀
⼀对应.
取定仿射标架 [O; d1, d2, d3],
(1) 过原点 O 且分别以 d1, d2, d3 为⽅向的有向直线分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 统称为坐标轴;
(2) 由每两根坐标轴决定的平⾯称为坐标平⾯, 它们分别为 Oxy 平⾯, Oyz 平⾯, Ozx 平⾯;
(3) 坐标平⾯将空间分为⼋个部分, 称为⼋个卦限 (⼆维空间中, 为象限);
(4) 右⼿四指 (拇指除外) 从 x 轴⽅向弯向 y 轴⽅向 (转⾓⼩于 π), 如果拇指所指的⽅向与 z 轴⽅向 在 Oxy 平⾯的同侧, 则称此坐标系为右⼿坐标系, 简称右⼿系. 反之称为左⼿坐标系, 简称左⼿
系.
定义 8. 如果 e1, e2, e3 两两垂直, 并且它们都是单位向量, 则 [O; e1, e2, e3] 称为⼀个直角标架或直角 坐标系.
注意到若单位向量 e1, e2, e3 两两垂直, 则它们⼀定不共⾯, 因此直⾓标架是特殊的仿射标架.
点 (或向量) 在直⾓坐标系中的坐标称为它的直⾓坐标, 在仿射坐标系中的坐标称为它的仿射坐标.
2 ⼏何空间的线性结构 6
2.2 用坐标做向量的线性运算
取定仿射标架 [O; d1, d2, d3], 设 a 的坐标为 (a1, a2, a3)⊤, b 的坐标为 (b1, b2, b3)⊤, 则 (1) a + b 的坐标是 (a1+ b1, a2+ b2, a3+ b3)⊤;
(2) λa 的坐标是 (λa1, λa2, λa3)⊤.
命题 4. 向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标.
2.3 三点共线的条件
定理 3 (三点共线的条件). 设向量 a 与 b 在空间仿射标架 [O; d1, d2, d3] 中的坐标分别是 (a1, a2, a3)⊤ 和 (b1, b2, b3)⊤, 则 a 与 b 共线的充分必要条件是
a1 b1
a2 b2
=
a1 b1
a3 b3
=
a2 b2
a3 b3
= 0.
推论 3. 假设 A, B, C 三点的坐标分别为 (x1, y1, 1)⊤, (x2, y2, 1)⊤, (x3, y3, 1), 则 A, B, C 三点共线的充 分必要条件为
x1 x2 x3
y1 y2 y3
1 1 1
= 0.
2.4 线段的定比分点
定义 9. 对于线段 AB (A̸= B), 如果点 C 满⾜−→
AC = λ−−→
CB, 则称点 C 分线段 AB 成定比 λ.
根据定义, 我们知道 (1) 当 λ > 1 时,−→
AC 与−−→
CB 同向, 点 C 在线段 AB 的内部, 称 C 为内分点;
(2) 当 λ < 1 且 λ̸= −1 时, −→
AC 与−−→
CB 反向, 点 C 在线段 AB 的外部, 称 C 为外分点;
(3) 当 λ = 0 时, 点 C 与点 A 重合;
(4) 假如 λ =−1, 则得 −→
AC =−−−→
CB, 即−−→
AB = 0, ⽭盾, 所以 λ̸= −1.
命题 5. 如果点 C 分线段 AB 成定比 λ, 并表示成 (A, B, C), 则有 (1) (A, B, C)(B, A, C) = 1;
(2) (A, B, C) + (A, C, B) =−1.
命题 6. 设 A, B 的坐标分别是 (x1, y1, z1)⊤, (x2, y2, z2)⊤, 则分线段 AB 成定比 λ (λ ̸= −1) 的分点 C 的坐标是
x = x1+ λx2
1 + λ , y = y1+ λy2
1 + λ , z = z1+ λz2
1 + λ . 例 5. 请用坐标法证明: 四面体对棱中点的连线交于⼀点.
2 ⼏何空间的线性结构 7
例 6 (Menelaus 定理). 设点 P, R 分别内分 △ABC 的边 AB, CA 成定比 λ, ν; 点 Q 外分边 BC 成定 比 µ, 证明:
三点 P, Q, R 共线 ⇔ λµν =−1.
例 7 (Ceva 定理). 设点 P, Q, R 分别内分△ABC 的边 AB, BC, CA 成定比 λ, µ, ν, 证明:
三线 AQ, BR, CP 共点 ⇔ λµν = 1.
以上是解析几何第一次课讲义
作业
1. 设 A, B, C 是不在⼀直线上的三点, 证明: 点 M 在 A, B, C 决定的平⾯上的充分必要条件是, 存 在实数 λ, µ, ν, 使得
−−→OM = λ−→
OA + µ−−→
OB + ν−−→
OC, 且 λ + µ + ν = 1, 其中 O 是任意取定的⼀点.
2. 证明: 点 M 在△ABC 内 (包括三条边) 的充分必要条件是, 存在⾮负的实数 λ, µ, ν, 使得
−−→OM = λ−→
OA + µ−−→
OB + ν−−→
OC, 且 λ + µ + ν = 1, 其中 O 是任意取定的⼀点.
3. 在⼀个空间仿射坐标系中, 向量 a, b, c 的坐标依次为 (x1, y1, z1)⊤, (x2, y2, z2)⊤, (x3, y3, z3)⊤, 证 明: a, b, c 共⾯的充分必要条件为
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
4. 在⼀个空间仿射坐标系中, 点 A, B, C 的坐标依次为 (x1, y1, z1)⊤, (x2, y2, z2)⊤, (x3, y3, z3)⊤, 证明:
若 A, B, C 共线, 则
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0;
并请举例说明反之不⼀定成⽴.
