《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

(1)

【学习目标】 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、掌握黄金分割的定义、性质及应用； 3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题； 4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小； 5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及黄金分割 1. 比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d， 我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释： （1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；（d 也叫第四比例项） （2）若 a:b=b:c ，则 b2_=ac_{（b 称为 a、c 的比例中项）．}

2.黄金分割的定义：如图，将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即

_AP

PB 

_AB

AP

（此时线段 AP 叫作线段 PB、AB 的比例中项），则 P 点就是线段 AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

(2)

3. 黄金矩形与黄金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为 0.618，这种矩形称为黄金矩形. 黄金三角形：顶角为 36°的等腰三角形，它的底角为 72°，恰好是顶角的 2 倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．要点二、相似图形 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等. 2.相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比. 要点三、相似三角形 1.相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释：　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 要点诠释：　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点四、图形的位似及投影

1.

位似多边形定义:

(3)

要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 作位似图形的步骤　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；　　第二步：作位似中心与各关键点连线；　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；　　第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 4.平行投影在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影. (1)等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(4)

　　　　　　　　　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　 (3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：

=

.

甲物体的高甲物体的影长

乙物体的高乙物体的影长

　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 5.中心投影在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影. (1)等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 【典型例题】类型一、比例线段及黄金分割

1. 已知: a:b:c=3:5:7 且 2a+3b-c=28, 求 3a-2b+c 的值. 【答案与解析】　　 ∵a:b:c=3:5:7 　　设 a=3k, b=5k, c=7k 　　 ∵2a+3b-c=28 　　 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 　　 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 【总结升华】题目中已知三个量 a,b,c 的比例关系和有关 a,b,c 的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数 k, 转化成关于 k 的一元方程,求出 k 后,使得问题得解. 举一反三

【变式】如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F，AC＝ 4，

(5)

　　　A．7 　　　B．7.5 　　　C．8 　　　D．8.5 【答案】B. 2.以长为 2cm 的定线段 AB 为边，作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P．在 BA 的延长线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 落在 AD 上，如图所示．（1）试求 AM、DM 的长；（2）点 M 是线段 AD 的黄金分割点吗？请说明理由．【答案与解析】（1）在 Rt△APD 中，AP=1，AD=2，由勾股定理知 PD=

_AD

2

_

_AP

2 ₌

₅

_， ∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=

5

-1， DM=AD-AM=3-

5

；（2）∵AM2₌_（

₅

_-1_）2_=6-2

₅

_， AD•DM=2×（3-

5

）=6-2

5

， ∴AM2_=AD•DM_，所以点 M 是线段 AD 的黄金分割点．【总结升华】能够根据已知条件结合勾股定理求得线段的长，能够用黄金分割点的定义进行证明．类型二、相似三角形 3. 如图所示，在 4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．

(6)

(1)∠ABC=________，BC=________；

(2)判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由. 【答案与解析】

(1)135°，

(2)△ABC和△DEF 相似(或△ABC∽△DEF).

∵ ，，∴ . 又∵∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，∴△ABC∽△DEF. 【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．举一反三：【变式】下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（　　）. A． B． C． D．【答案】B.

4.（2015•宁夏）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点．连结 AE．（1）若 AB=AE，求证：∠DAE= D∠ ；

(7)

证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，AD BC∥ ， AEB= EAD ∴∠ ∠ ， AE=AB ∵ ， ABE= AEB ∴∠ ∠ ， B= EAD ∴∠ ∠ ， B= D ∵∠ ∠ ， DAE= D ∴∠ ∠ ；（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC ∴ ∥ ，AD=BC， BEF AFD ∴△ ∽△ ， ∴ ， E ∵ 为 BC 的中点， BE= ∴ BC= AD， EF ∴ ：FA=1：2．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．举一反三

【变式】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，DE：EC=2：3，连接 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 S△DEF：S△EBF：S△ABF=（　　）

A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 【答案】D.

5. 如图所示，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点 E，F 分别在线段 AD，DC 上(点 E 与点 A，D 不重合)，且∠BEF=120°，设， .

(8)

　　　　　　 (1)求 y 与 x 的函数解析式；　　 (2)当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？【答案与解析】 (1)在梯形 ABCD 中，AD∥BC，　　　 AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，　　　所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°. 　　　因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，　　　所以∠ABE=∠DEF. 　　　所以△ABE∽△DEF，所以 . 　　　因为，，所以，　　　所以 y 与 x 的函数解析式是 . 　　　 (2) ，　　　　所以当时，y 有最大值，最大值为 . 【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题. 类型三、图形的位似 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B（3，1），B′（6，2）．（1）请你根据位似的特征并结合点 B 的坐标变化回答下列问题： ① 若点 A（，3），则 A′的坐标为　　；

(9)

【思路点拨】观察点 B 点和 B′点的坐标得到位似比，然后根据位似比即能够确定 A′的坐标；根据三角形相似的性质进而求△A′B′C′的面积．【答案与解析】解：（1）①∵点 B（3，1），B′（6，2）， ∴位似比为 2， ∴若点 A（，3），则 A′的坐标（5，6）； ABC ②△ 与△A′B′C′的相似比为 1：2；故答案为（5，6），1：2；（2）∵△ABC 与△A'B'C'的相似比为 1：2 ∴ = ，而△ABC 的面积为 m， A′B′C′ ∴△ 的面积为 4m．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k．类型四、用相似三角形解决问题 7.（2014 秋怀远县校级期末）身高• 1.6_{米的安心同学在某一时刻测得自己的影长为 1.4 米，此刻她想} 测量学校旗杆的高度．但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上（如图）．她先测得留在墙上的影子 CD=1.2 米，又测地面部分的影长 BC=3.5 米，你能根据上述数据帮安心同学测出旗杆的高度吗？【思路点拨】此题是实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答；根据在同一时刻物高与影长成正比例．利用相似三角形的对应边成比例解答即可．【答案与解析】解：过点 C 作 CE AD∥ 交 AB 于点 E， AE CD ∵ ∥ ，EC AD∥ ，

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又在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例， ∴ ，即 BE=3.5× =4． AB=AE+EB=1.2+4=5.2 ∴ 米．【总结升华】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．