《平面图形的认识（一）》全章复习与巩固（
基础
）知识讲解
【学习目标】 1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 2．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 3．正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，发展空间想象力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就 可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线 AC 上截取 AB＝ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差：如下图，有 AB+BC＝AC，或 AC＝a+b；AD＝AB-BD. （3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
1
2
AM
MB
AB
.要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点 M 在线段上，且有
1
2
AM
AB
，则点 M 为线段 AB 的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点 M,N,P 均为线段 AB 的四等分点，则有AM MN NP PB AB 4 1 . P N M B A （4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段 AB，或称为反向延长线段 BA；图②称 为延长线段 BA，或称为反向延长线段 AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线. 要点二、角 1．角的概念及其表示 （1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这 两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的 顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义. ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类 3.角的度量 1周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘 法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超 60 进一，减一 成 60. ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°4.角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例 如：如下图，因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1＝∠2＝1 2∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝ 2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角： 若∠1+∠2＝90°， 则∠1 与∠2 互为余角.其中∠1 是∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角. 若∠1+∠2＝180°，则∠1 与∠2 互为补角.其中∠1 是∠2 的补角，∠2 是∠1 的补角. 结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”． （2）对顶角：对顶角相等． 要点三、平行与垂直 1. 同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示. 要点诠释：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. 2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示， 如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【典型例题】 类型一、概念或性质的理解
1.（2016 春 永登县期中）下列叙述中，正确的是（ ）• A．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、垂直 B．不相交的两条直线叫平行线 C．两条直线的铁轨是平行的 D．我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角就是对顶角 【思路点拨】根据直线的关系，平行线的定义，可得答案． 【答案】C 【解析】解：A、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是相交、平行，故 A 错误； B、在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线，故 B 错误； C、两条直线的铁轨是平行的，故 C 正确； D、我们知道，对顶角是相等的，那么反过来，相等的角不一定是对顶角，故 D 错误； 故选：C． 【总结升华】本题考查了平行线，在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线，注意相 等的角不一定是对顶角． 举一反三： 【变式】（2015 春 通辽期末）下列说法不正确的是（ ）• A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 解：A 中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误． B、C、D 是公理，正确． 故选 【答案】A． 类型二、角的度量 2.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过 15 分钟旋转了________度． 【思路点拨】画出图形，利用钟表表盘的特征解答． 【答案】90 【解析】根据钟表的特征；整个钟面是 360°，分针每 5 分钟旋转 30°，所以经过 15 分钟 旋转了 90°． 【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转 一分钟时的度数为 6°，时针一分钟转过的度数为 0.5°；两个相邻数字间的夹角为 30°， 每个小格夹角为 6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 举一反三： 【变式】100°－60°52′10″＝ 【答案】39°7′50″ 类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法 3. 如图所示，在射线 OF 上，顺次取 A、B、C、D 四点，使 AB:BC:CD＝2:3:4，又 M、N 分别是 AB、CD 的中点，已知 AD＝90cm，求 MN 的长． 【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为 x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段 的和、差． 【答案与解析】 解：设线段 AB，BC，CD 的长分别是 2x cm，3x cm，4x cm， ∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴ 2x+3x+4x＝90，x＝10， ∴AB＝20 cm， BC＝30 cm， CD＝40 cm， ∴MN＝MB+BC+CN＝
1
2
AB+BC+1
2
CD＝10+30+20＝60(cm)． 【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数 x，用 x 的 式子表示相关的线段的长度，列方程求出 x 的值，进而求出线段的长． 举一反三： 【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC 和 ∠COD 的度数． 【答案】 解：设∠AOB 的度数为 2x，则∠AOD 的度数为 7x． 由∠AOD＝∠AOB+∠BOD 及∠BOD＝100°， 可得 7x＝2x+100°． 解得 x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°． 所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°＝60°， ∠COD＝∠BOD -∠BOC＝100°-60°＝40°． 2.分类的思想方法 4.以∠AOB 的顶点 O 为端点的射线 OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4． (1)若∠AOB＝18°，求∠AOC 与∠BOC 的度数； (2)若∠AOB＝m，求∠AOC 与∠BOC 的度数． 【答案与解析】 解：(1)分两种情况：①OC在∠AOB 的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x 得∠AOB＝x，即 x＝18°
所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°
②OC在∠AOB 的内部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x ∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x
所以 9x＝18°， 则 x＝2° 所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8° （2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝
5
9
m
，∠BOC＝4
9
m
，或∠AOC＝ 5m，∠BOC＝4m． 【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明 OC 在∠AOB 的内部或外部，所以两个问 题都必须分类讨论． 举一反三： 【变式 1】已知线段 AB＝8cm，在直线 AB 上画线段 BC＝3cm，求线段 AC 的长． 【答案】 解：分两种情况： (1)如图(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)； (2)如图(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)． 所以线段 AC 的长为 5cm 或 11cm． 【变式 2】下列判断正确的个数有 ( ) ． ①已知 A、B、C 三点，过其中两点画直线一共可画三条． ②过已知任意三点的直线有 1 条． ③三条直线两两相交，有三个交点． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】A 3.类比的思想方法 5.(1)如图,线段 AD 上有两点 B、C,图中共有______条线段. (2)如图，在∠AOD 的内部有两条射线 OB、OC，则图中共有 个角. 【答案】（1）6；（2）6. 【解析】（1）以 A 为端点的线段有 3 条，同样以 B,C,D 为一个端点的线段也各有 3 条， 又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：3 4
6
2
（条）. （2）以射线 OA 为一边的角有 3 个，同样以 OB，OC，OD 为一边的角也各有 3 个，又因 为所有角均重复一次，所以共有角的个数：3 4
6
2
（个）.类型四、平行与垂直 6.（2015 春 印江县期末）如图，点• B在点 A 的南偏东 60°方向，点 C 在点 B 的北 偏东 30°方向，且 BC=12km，则点 C 到直线 AB 的距离是 ． 【答案】12km． 【解析】 解：∵AD∥BE， ∴∠EBA=∠A=60°， ∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°， ∴点 C 到直线 AB 的距离是 BC，即 12km， 故答案为：12km． 【总结升华】本题考查的是方位角和点到直线的距离，正确理解方位角和点到直线的距离 的概念是解题的关键． 举一反三： 【变式 1】梯形中，（ ）是平行的． A．上底和下底 B．上底和腰 C．两条腰 【答案】A 【变式 2】已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=13cm，BC=5cm，AC＝ 12cm ，且 CD⊥AB 于 D．则 CD 的长 ． 【答案】
