勾股定理證明-G237

(1)

勾股定理證明-G237

【作輔助圖】

1. 以直角三角形ABC 的 AC 為邊，向內作正方形 ACDF 。 2. 接著在DF 延伸線上取一點 E 使 FECB，並連 AE 。

3. 然後過 B 作AB 的垂直線，交 DE 於 H 。以及過 B 作 AF 的垂線，交 AF 於G 。

A B

C

D

E

F G

H

【求證過程】

在適當地作輔助線後，我們會在直角三角形 ABC 的下方製造出四邊形。接著透過這個四邊形的兩個拆解方式，加上相似三角形的邊長成比例的特性，以代數表示面積等式，再運算推導方程式，就可以得到畢氏定理關係式。

1. 不難發現 ABC 及AEF為全等三角形，以下我們給出證明：

因為

( ),

AC AF 正方形ACDF的兩邊並且

, EF BC 以及

90 ,

AFE ACB

   

所以可以得到

ABC AEF

   (SAS 全等).

2. 接著我們看出 ABC 以及BDH為相似三角形，以下給個證明：

因為

90 ,

CBA DBH DHB

     

並且

90 ,

ACB BDH

   

(2)

所以可以得到

ABC BDH

   (AA 相似).

3. 我們依相似形性質將BDH的三邊以 ABC 的三邊BC a AC, b AB, c表示：

其中

. BDCD CB  b a 另一方面因為

,

BDH ABC

 

所以

BD AC, DH  BC 可以推得

( ) (1 ).

BC a a

DH BD b a a

b b

 AC      同理

BD AC, BH  AB 可以推得

( ) (1 ).

AB c a

BH BD b a c

b b

 AC    

4. 然後就可以將同一個四邊形以兩種不同的方式拆解，並考慮其面積：

因為

,

AEF AFDB ABDE AEHB BHD

     

並以 , ,a b c 表示成

 

1 1 1 1

(1 ) ( )(1 ),

2 2 2 2

a a

ab b b  b  a  c c c  b  a ba  b 展開可以得到

2 3

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,

ac a

ab b b ab c c ab a a

b b

         

並可以化簡成

2 3

2 2 2 1 2 2 2

( )(1 ) 0,

2 2 2 2

ac a a

b c a ab a b c

b b b

         

其中因為 b a 所以 1 a2

b , 所以a²b² c² 0, 也就是畢氏定理關係式

2 2 2

. a b c

(3)

【註與心得】

1. 來源：此證明是作者 Loomis 在 1900 年的八月所給出，參考了 J. G. Thompson 的證明。收錄在《勾股定理》的幾何篇中編號第237 號。

2. 心得：這個證明用到的數學知識雖然並非困難，但是代數化簡的計算過程複雜。

特別是其中不直接簡單地得到畢氏定理關係式，而是從因式分解中整理出來，在教學上不建議，比較像是拼湊出來的結果。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 補充：數學能力指標中，有幾項是這樣：

S-4-15：能理解三角形和多邊形的相似性質，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的相似再透過等量公理來推理出畢氏定理關係式。