110 年度師資培育之大學數學領域教學研究中心

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多樣性數學素養課程與多元選修課程設計研究計畫─Manim 融入課程範例研發

教師：賴政泓

課程名稱 正弦函數𝑦 = sin𝑥的水平伸縮 設計理念

(使用時機、

學習目標等)

本課程的設計理念是讓學生能知道正弦函數𝑦 = sin𝑥水平伸縮的幾何圖象，

並討論與函數𝑦 = sin(k 𝑥)的關係。

學習單內容(教學例題、教學活動等)

首先，我們先看到動畫先畫出兩個函數𝑦 = sin𝑥和𝑦 = sin2𝑥。讓我們先觀察兩圖形中，兩函 數圖形對應的點之伸縮關係。

【任務 1】觀察函數𝑦 = sin𝑥和𝑦 = 3sin𝑥，試回答下列問題。

(1) 𝑃₁(2𝜋, 0)在函數𝑦 = sin𝑥，則𝑃₁對y軸伸縮____倍，會得到函數𝑦 = sin2𝑥上的點𝑄₁(𝜋, 0)。

(2) 𝑃₂(−^3𝜋

2 , 1)在函數𝑦 = sin𝑥，則𝑃₂對y軸伸縮____倍，會得到函數𝑦 = sin2𝑥上的點 𝑄₂(−^3𝜋

4 , 1)。

(3) 已知𝑃(𝑎, 𝑏)在函數𝑦 = sin𝑥，則𝑃對y軸伸縮¹

2倍，會得到函數𝑦 = sin2𝑥上的點𝑄(^𝑎

2, 𝑏)。

結論 1：

𝑦 = sin𝑥的圖形水平伸縮________倍，可得𝑦 = sin2𝑥的圖形，

由𝑦 = sin𝑥圖形的週期為2π，可知𝑦 = sin2𝑥圖形的週期為_____。

答案：(1) ¹

2，(2) ¹

2，結論：¹

2，π。

【任務 2】觀察函數𝑦 = sin𝑥和𝑦 = sin²

3𝑥，試回答下列問題。

(1) 𝑃₁(2𝜋, 0)在函數𝑦 = sin𝑥，則𝑃₁對y軸伸縮³

2倍，會得到函數𝑦 = sin²

3𝑥上的點𝑄₁(____,0)。

(2) 𝑃₂(−^𝜋

2, −1)在函數𝑦 = sin𝑥，則𝑃₂對y軸伸縮³

2倍，會得到函數𝑦 = sin²

3𝑥上的點𝑄₂(_____, −1)。

(3) 已知𝑃(𝑎, 𝑏)在函數𝑦 = sin𝑥，則𝑃對y軸伸縮³

2倍，會得到函數𝑦 = sin²

3𝑥上的點𝑄(^3𝑎

2 , 𝑏)。

結論 2：

𝑦 = sin𝑥的圖形水平伸縮________倍，可得𝑦 = sin²

3𝑥的圖形，

由𝑦 = sin𝑥圖形的週期為2π，可知𝑦 = sin²

3𝑥圖形的週期為_____。

答案：(1)3π ，(2) −^3𝜋

4 ，結論：³

2，3π。

結論：函數𝑦 = sin(k 𝑥)的週期

設𝑘 > 0，則將函數𝑦 = sin𝑥的圖形水平伸縮¹

𝑘倍，可得𝑦 = sin (𝑘𝑥)的圖形。

由𝑦 = sin𝑥圖形的週期為2π，可知𝑦 = sin (𝑘𝑥)圖形的週期為^2𝜋

𝑘。

動手畫看看：

下圖為函數𝑦 = sin𝑥，試在圖上畫出函數𝑦 = sin4𝑥的圖形。

答案：

教學指引(問題答案、教學提醒等)

∗ 建議本課程在影片撥放的同時，老師透過影片同步講解。對應點的伸縮，讓學生連結到圖形的 伸縮。

∗ 函數𝑦 = sin(𝑘𝑥)圖形的週期與係數𝑘的關係較難想像，動手畫看看的圖形須充分與學生討論。