範圍一、選擇題

(1)

範圍一、選擇題

（）

解答解析

（）

解答解析

二、填充題

1. 設 a +2

解答

解析

高範

圍

1-1.2 向量

題 ( 每題

1.下圖為五向量的內 (1) a 5

內積 a⋅ b

與 e 在

2.(多選)如圖 2 OB′ = O 點﹐而 Q

OQ=r O (1)x≥ ﹐0 1235 OP=x OA

OQ=r OA

當

³

r= ﹐2 故選(1)(2)

題 ( 每題

2 b + c = 0

4 3

∵ a +2 b

高雄市明誠中量的基本應

用題分 )

五個等長的向內積最小﹖

(2) b (3)

b 即 a 的長

a 方向上的

圖示﹐A′ 與 OB ﹐今作平 Q 為斜線區域

OA s OB+ ﹐則

﹐y≥ (20

+y OB ⇒ x

A s OB+ ﹐則

0 s= ﹐即 )(3)(5)﹒

題 10 分 )

0 且 a =4

0 b + c =

中學高二數應班級二年

座號

向量﹐試問向

) c (4) d

長度 a 與 b

的 5 個投影量

B′ 分別為射 平行四邊形 O 域內的一點﹐

則下列敘述何 2)x+ =y 1

1 x+ = ﹐ xy

則斜線區域為 3 OQ=2OA落

4 ﹐ b = ﹐2

﹐∴ c = −

數學平時測年____班

向量 a 與下

(5) e ﹒

b 在 a 方向

量中﹐以 e 的

射線 OA 及 OB OA CB′ ′﹒已知

設 OP=x O

何者為真？

(3) 0≤ ≤r 3

≥ ﹐0 y≥0

為r+ ≥ 且s 1

落在斜線區域

若 a ﹐ b

2 a − b

測驗日期姓

名

下列哪一個

向上的投影量

的投影量為負

B 上的點﹐O 知 P 為線段

OA y OB+ ﹐

(4)1 s≤ ≤

﹐

0≤ ≤ 且 0r 3 域內﹐但 s=

b 之夾角為

期：99.09.1

量之乘積﹐又

負最小﹐ a

3 OA′ = OA﹐

AB 上的一

2 (5) r+s

0≤ ≤ ﹐ s 2

= ﹐∴(4)不0

60° ﹐則 c

16

又 a ﹐ b ﹐

⋅ e 最小﹒

1 s≥ ﹒

不正確

= _______

c ﹐ d

故選(5)﹒

______﹒

(2)

2 2

2

c = − a − b = a ²+4 b ²+4 a ⋅ b ⋅cos 60° 1 16 16 4 4 2 48

= + + ⋅ ⋅ ⋅ =2 ﹐

∴ c = 48=4 3﹒

2. 已知 a = ﹐4 b = ﹐a ﹑b 的夾角為 60° ﹐求(1) a t b3 + 的最小值為_____﹔(2)此時 t= ____﹒

解答 (1) 2 3 ;(2) 2

− 3 解析

2

a +t b =⎛⎜⎝ a +t b ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ a +t b ⎞⎟⎠

2 2

a t a b t b

= + ⋅ +

=4²+ ⋅ ⋅ ⋅2 4 3 cos 60°⋅ + ⋅t 3² t² =9t²+12t+16

2 2

9 12

t 3

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠ +

當 2

t= − 時﹐可得最小值為 2 3 ﹒ 3

3. u = ﹐3 v = ﹐ 24 u + v =2 7﹐則 u ﹐ v 之夾角為____________﹒

解答 120°

解析

2 2 2

2 u + v =28⇒4 u + v +4 u ⋅ v =28

^⇒^{36 16}⁺ ⁺^{4 3 4 cos}

(

^{⋅ ⋅} ^θ

)

⁼²⁸ ^cos ¹

θ 2

⇒ = − ﹐∴θ =120° ﹒

4.設 a 與 b 是平面向量﹐ a = ﹐3 b = ﹐且2 a +2 b = 21﹐則 3 a− b = ____________﹒

解答 91

解析

2

2 21 9 4 4 4 21

a + b = ⇒ + ⋅ + a⋅ b = ﹐∴ a⋅ b = − ﹐ 1

2

( )

3 a − b = ⋅ + − − =9 9 4 6 1 91﹐∴ 3 a − b = 91﹒

5 △. ABC 中﹐AB= ﹐2 BC= ﹐4 AC= ﹐則(1) AB AC3 ⋅ = __________﹔(2) AB+2AC = ___________﹒

解答 (1) 3

− ;(2) 34 2 解析 (1)

2 2 2

2 3 4 3

2 3 cos 2 3

2 2 3 2

A + −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −

⋅ ⋅ ﹒

(2)

2 3

2 4 4 9 4 4 36 6 34

AB+ AC = + ⋅ + ⎛⎜⎝−2 ⎞⎟⎠= + − = ﹒

6. a ﹐ b 為平面上二向量﹐ a ⊥ b ﹐ a = ﹐2 b = ﹐若1 ^a ⁺

(

^t²⁺³

)

^b ^{與 a} ⁺^{t b} ^{互相垂直﹐}

(3)

則 t= ____

解答解析

7.一圓之圓解答解析

作

8 △. ABC 中 (1) BC= _

解答

解析

9.設平行四

________﹒

− 1 ∵^⎡_⎢⎣ ^a ⁺

(

^t²

∴^⎡_⎢⎣ ^a ⁺

(

^t

2

⇒ a +

3 3

t t

⇒ + +

⇒ 為實數t 圓心為 O ﹐ A

− 32

作

OH⊥AB OA AB⋅ = −A

= −

= − 中﹐AB= ﹐3 ___________

(1) 13 ;(2

(1) BC=A

2

BC

∴ BC

(2) AB AC⋅

(3) CA CB⋅

四邊形 ABCD

)

2+3 b ⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⊥

)

2 3

t + b ⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⋅

(

² ³

)

t t + b

4 0 + = ^⇒

(

^t

數﹐∴ t= − AB 為一弦﹐

B

﹐

AO AB⋅

c AO ⋅ AB ⋅

1 AB⋅2 AB =

﹐AC= ﹐4 __﹔(2) AB A⋅

) 6 ;(3)

10

AC AB−

2

AC AB

= −

= 13﹐即 B

C= AB ⋅ AC

2

2 CA CB B

+

=

D 中﹐已知 A

a t b

⎡ + ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦﹐

a +t b ⎤⎥⎦=

2

= （ a ⊥0

) (

²

1 t t 4

+ − +

1 ﹒

若AB= ﹐8

cos OAB∠ =

8 4 32

= − ⋅ = −

60

∠BAC= ° AC = ______

2 2

AC A

= +

13 BC= ﹒

cos 60 C ⋅ ° 3=

2 2

2 B − AB

=

B = ﹐AC⋅8

﹐

0

⊥ b ﹐∴ a

)

4 = 0

則 OA AB⋅ =

AB AO

− ⋅

2

﹒

° ﹐求 _______﹔(3

2

2 AB − AC

3 4 1 6

⋅ ⋅ = ﹒2

16 13 9 2 + −

=

20 BD= ﹐則

0 a ⋅ b = ）⇒

= _________

cos OAB

⋅ ∠

3) CA CB⋅ = _

cos 6 C ⋅ AB ⋅

=10﹒

則 BC 之長為

⇒^{4 t t}⁺

(

²⁺

____﹒

___________

0° 16 9= +

為_________

)

3 1 0⋅ =

__﹒

9 2 4 3 1

− ⋅ ⋅ ⋅2

_﹒

=13

(4)

解答 2 21 解析

AC BD⋅ =⎛⎜⎝AB BC+ ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ AD AB− ⎞⎟⎠ =⎛⎜⎝AD AB+ ⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ AD AB− ⎞⎟⎠

2 2

AD AB

= −

﹐

2 2

20= AD −64⇒ AD =84

﹐

AD =2 21

﹐即

BC=2 21

﹒

10.△ABC中﹐ D 為 BC 上一點且CD=3BD﹐ G 為 AC 中點﹐若 GD r AB s AC= + ﹐ r ﹑ s 為實數﹐

則數對

( )

^{r s}^, = ____________﹒

解答 3 1 4, 4

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

解析

GD=AD AG− 3 1 1 4AB 4AC 2AC

⎛ ⎞

=⎜⎝ + ⎟⎠−

3 1

4AB 4AC

= − ﹐

故

( )

^, ³^, ¹

4 4 r s =⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠﹒

11.若 D 為△ABC內部一點﹐且△ABD的面積：△ACD的面積 2 : 3= ﹐又 AD 之延長線與 BC 相交 於 E ﹐若 AE=x AB y AC+ ﹐則數對

( )

^{x y}^, = ____________﹒

解答 3 2 5 5,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ 解析

: : 2 : 3

BE CE=△ABD △ACD= ﹐

∴ 3 2

5 5

AE= AB+ AC﹐

故

( )

^, ^{3 2}^,

x y ⎛5 5⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

12.△ ABC 中﹐ D 為 BC 中點﹐ E 在 AC 上﹐且 AE ：EC= ：3﹐ AD 交 BE 於點 P ﹐ CP 之延長線1 與 AB 交於 Q 點﹐則

(1)若 CP=x CA y CB+ ﹐則數對

(

^{x y}^,

)

= ____________；(2) CP ： PQ = ____________﹒

解答 (1) 3 1 5 5,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠;(2)4：1 解析

(5)

(1) CP=x CA y CB+ ﹐

2 4 3

CP x CA y CD CP x CE y CB

⎧ = + ⎜⎛ ⎞⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎪⎨

⎛ ⎞

⎪ = ⎜ ⎟+

⎪ ⎝ ⎠

⎩

﹐ ∵

A ﹑ P ﹑ D 共線且 B ﹑ P ﹑ E 共線﹐

∴

2 1

4 1

3 x y

x y + =

⎧⎪

⎨ + =

⎪⎩ ⇒

(

,

)

^{3 1}, x y ⎛5 5⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

(2)設 3

5 5

t t

CQ=t CP= CA+ CB

∵ A ﹑ Q ﹑ B 共線﹐∴3 5 5 1

t+ =t ⇒ 5 t= ﹐ 4

即 5

CQ=4CP﹐故 CP ：PQ= ：1﹒ 4

13.△ ABC 中﹐ D 在 AB 上且 AD ：DB= ：3﹐ E 在 AC 上﹐且 AE ：2 EC= ：3﹐又 BE 與 CD 交5 於 P 點﹐若 AP=x AB y AC+ ﹐其中 x ﹑ y 皆為實數﹐則數對

(

^{x y}^,

)

= ____________﹒

解答 1 1 5 2,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ 解析 SOL 一

由孟氏定理：3 8 2 3 1

EP

⋅ ⋅PB = ﹐

∴ EP ：PB= ：4﹐∴1 1 4

5 5

AP= AB+ AE 1 4 5 5AB 5 8⎛ AC⎞

= + ⎜⎝ ⎟⎠﹐

故

(

,

)

^{1 1}, x y ⎛5 2⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

SOL 二

設 BP ： PE= ：1 x

△ ABE 中﹐ 1 1 5 5

1 1 1 2 1 8

x x

AP AB AE AP AC

x x x x

= + = ⋅ + ⋅

+ + + +

∵ D ﹑ P ﹑ C 三點共線﹐∴

(

⁵

) (

⁵

)

¹

2 1 8 1

x

x + x =

+ + ⇒ x= 4

1 4 1 4 5 1 1

(6)

14.如圖﹐ D 而 AD 與

解答

解析

15.設 G 為△

(1)若 AG=

(2)若 AG=

(3)若 AG=

解答解析

D ﹑ E ﹑ F 依 與 EF 交於 P

2 4 15 15,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 AD=3AB 又

AP=t AD

∵ F ﹑ P

∵ 2

AP=5

△ ABC 之重 x AB y AC

= +

x AB y BC

= +

x BC y CA

= +

(1) 1 1 3 3,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠;

(1)△ ABC 1 AM =2

2 AG=3 ∴

(

^{x y}^,

(2)由(1)﹐

(3)由(2)﹐

1 3BC

= − −

依次分別為 P ﹐設 AP=x

2

B+3AC﹐

1 2

3 3

D= t AB+

﹑ E 三點共 2 1 AD 5 3⎛ A

= ⎜⎝

重心﹐求 C ﹐則數對

C ﹐則數對

A ﹐則數對

(

;(2) 2 1 3 3,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠;(

C 中﹐

1 1

2AB+2AC

2 2 1

3AM 3 2⎛

= ⎜⎝

)

^{1 1}^,

y ⎛3 3⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

1 AG=3AB+

2 AG=3AB 2

3CA

− ﹐ ∴

BC ﹑ CA ﹑ x AB y AC+

2 1 3

3t AC=3t⎛⎜⎝2 共線﹐∴1

2t+ 2 AB+3AC⎞⎟⎠=

(

^{x y}^,

)

^{= ____}

(

^{x y}^,

)

^{= ____}

(

^{x y}^,

)

^{= ____}

(3) 1 2 3, 3

⎛− − ⎞

⎜⎝ ⎠

﹐

1 AB+2AC⎞⎟⎠

﹒

1 3AC

+ 1

3A

= 1 3BC

+ 2

3

= ⎜⎛⎝

∴

(

^{x y}^,

)

^{= −}^⎛_⎜

⎝

AB 上的點

﹐則數對

(

^x

3 2

2AF⎞⎟⎠+3t⎛⎜⎝ 2t 1 + = ⇒ t =

2 4

15AB 15

= +

_________﹔

_________﹒

⎞⎟

⎠

⎞⎟

⎠

1 1

3AB 3A

= +

1 AB+3⎛⎜⎝AB+

AC CB

⎛ + ⎞⎟+

⎝ ⎠

1 2 3, 3

− − ⎟⎞⎠﹒

﹐ AF ： FB

)

,

x y = _____

3 1

AE ⎛2t

⎛ ⎞ =⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ 2

= ﹐ 5 AC ﹐∴

(

^x^,

﹒

AC ﹐

BC⎞ + ⎟⎠

2 3AB

= 1 3BC

+ 2

= −3

B=BD： DC ________﹒

( )

²

t AF⎞⎟⎠ + t A

)

²^, ⁴

15 15 y ⎛

= ⎜⎝

1

B+3BC﹐∴

2 CA−3BC+

C=CE： EA

AE ﹐

5

⎞⎟

⎠﹒

∴

(

^,

)

²

x y ⎛3

= ⎜⎝ 1

3BC

2 A= ：1﹐

2 1, 3 3

⎞⎟

⎠﹒

(7)

16.

如右圖﹐ AD ：DB= ：3﹐ AE ：2 EC= ：4﹐ BE 與 CD3 交於 P ﹐若 AP=x AB y AC+ ﹐則

(

^{x y}^,

)

= ____________﹒

解答 8 9 29 29,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

解析 AP=x AB y AC+ ⇒

7 3 5 2

AP x AB y AE AP x AD y AC

⎧ = + ⎜⎛ ⎞⎟

⎪⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ = ⎜ ⎟+

⎪ ⎝ ⎠

⎩

﹐

∴ B ﹑ P ﹑ E 共線且 C ﹑ P ﹑ D 共線﹐∴

7 1 3

5 1

2 x y

x y

⎧ + =

⎪⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩

⇒

(

^,

)

⁸ ^, ⁹

29 29

x y ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

17.直線上三點 A ﹑ B ﹑ C ﹐ A B C− − ﹐若 3AB=2BC﹐ O 為任一點﹐求 (1)若 OA=x OB y OC+ ﹐則數對

( )

^{x y}^, = ____________﹔

(2)若 OB=hOA k OC+ ﹐則數對

( )

h k, = ___________﹒

解答 (1) 5 2 3, 3

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠;(2) 3 2 5 5,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

解析 ∵ 2

3 2

3 AB BC AB

BC

= ⇒ = ﹐

由分點公式 3 2

5 5

OB= OA+ OC﹐

3 2

5OA=OB−5OC 5 2

3 3

OA OB OC

⇒ = − ﹐

∴(1)

( )

, ⁵, ² 3 3 x y =⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠﹒

(2)

( )

^, ^{3 2}^,

h k ⎛5 5⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

18. A ﹑B ﹑C 三點不共線﹐x ﹑y 為實數﹐若

(

^x⁺¹

)

^AB⁺

(

³^y⁻⁶

)

^AC⁺

(

²^x⁻^{y BC}

)

⁼ ⁰ ^﹐則數對

( )

x y, =

(8)

_____﹒

解答

( )

^2,1

解析

(

^x⁺¹

)

^AB⁺

(

³^y⁻⁶

)

^AC⁺

(

²^x⁻^y

)

^⎛_⎜^{AC AB}⁻ ^⎞_⎟⁼ ⁰

⎝ ⎠ ﹐

(

^x^{+ −}^{1 2}^x⁺^{y AB}

)

⁺

(

³^y^{− +}^{6 2}^x⁻^{y AC}

)

⁼ ⁰ ^﹐

∴ 1

2 2 6

x y x y

− + = −

⎧ ⇒

⎨ + =

⎩

2 1 x y

=

= ﹐∴

( ) ( )

x y, = 2,1 ﹒

19.若△ABC中﹐AB= ﹐4 AC= ﹐5 BC= 且 A6 ∠ 的角平分線 AD 交 BC 於 D 點﹐則 AD = _________﹒

解答 10 3 解析

4 5 BD AB DC = AC =

∵ ﹐

∴ 5 4

9 9

AD= AB+ AC﹐

2 2

5 4

9 9

AD = AB+ AC 25 ² 16 ² 40

81 AB 81 AC 81AB AC

= + + ⋅

= 25 16 40 16 25 36

16 25 4 5

81 81 81 2 4 5

+ −

⎛ ⎞

⋅ + ⋅ + ⎜⎝ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟⎠

900 100 81 9

= = ﹐∴ 10

AD = 3 ﹒

20.

在△ABC之三邊上分別取 D ﹑E ﹑F 三點﹐使 AF 1 2FB

= ﹐ 1

AE=3AC﹐

且 D 為 BC 之中點﹐若 G 為△DEF之重心且 AG=x AB y AC+ ﹐則 (1) x = ____________﹔(2) y = ____________﹒

解答 (1) 5 18;(2) 5

18

解析 ∵ G 為△DEF之重心﹐

∴ 1 1 1

3 3 3

AG= AD+ AE+ AF 1 1 1 1 1 1 1 3 2⎛ AB 2AC⎞ 3 3AC 3 3AB

= ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⋅ + ⋅

5 5

18AB 18AC

= + ﹐

∴ 5

x=18﹐ 5 y=18﹒

21.

(9)

如圖﹐平行四邊形 ABCD 中﹐ 1

DE=3DC﹐ F 為 AB 中點﹐

BE ﹑ CF 交於 P ﹐若 AP=x AB y AD+ ﹐則數對

(

x y,

)

= ____________﹒

解答 5 3 7 7,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

解析由圖⇒ BP ：PE= ：4﹐ 3

∴ 4 3 4 3

7 7 7 7

AP= AB+ AE= AB+ ⎛⎜AD DE+ ⎞⎟

⎝ ⎠

4 3 3 1 7AB 7AD 7 3⎛ AB⎞

= + + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 3

7AB 7AD

= + ﹐

∴

( )

^, ^{5 3}^,

x y ⎛7 7⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

22. I 為△ ABC 的內心﹐a= ﹐3 b= ﹐5 c= ﹐若 BI x BA y BC6 = + ﹐則數對

(

^{x y}^,

)

= ____________﹒

解答 3 3 14 7,

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

解析 3 6

14 14

a c

BI BA BC BA BC

a b c a b c

= + = +

+ + + + ﹐

∴

(

^,

)

^{3 3}^,

x y ⎛14 7⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠﹒

範 圍 一、選擇題