一、選擇題 (每題 8 分) 1.( )

高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.10.31 班級 普三 班

範 圍

Book2-Chap2

三角函數(1) 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 8 分)

1.( ) 下列各值何者最小？

(A) cos50° (B) cos100° (C) cos250° (D) cos312° (E) cos( − 112°)。

Ans： (E) 解析： (B)

(C)cos (D)c (E)co

為減函數

cos100° =cos(180° − ° = −80 ) cos 80° <0 250° =cos(180° + ° = −70 ) cos 70° <0 os 312° =cos(360° − ° =48 ) cos 48° >0

s( 112 )− ° =cos112° =cos(180° − ° = −48 ) cos 48° <0

cosθ ⇒cos 48° >cos 50° > > −0 cos80° > −cos 70° > −cos 48°

2.( ) 設x² − (tanθ + cotθ) x + 1 = 0 有一根為 2 + 3 ，（0°< θ < 90°），下列何者正確？

(A) tanθ + cotθ = 4 (B) secθ cscθ = 4 (C) sinθ + cosθ = 2

5 (D) sinθ − cosθ = 2

3 (E)另一根為 2 − 3 (複選)

Ans： (A)(B)(C)(E) 解析：另一根為

3 + 2

1 = 2 − 3

(A) tanθ + cotθ = (2 + 3 ) + (2 − 3 ) = 4 (B) tanθ + cotθ =

θ θ cos sin +

θ θ sin cos =

θ θ

θ θ

cos sin

cos sin² + ²

=sinθcosθ

1 = 4⇒ secθcosθ = 4

(C) 1 + 2sinθcosθ = 2

3 ⇒ (sinθ + cosθ)² = 2

3 ⇒ sinθ + cosθ = 2

6

(D)1 − 2sinθcosθ = 2

1 ⇒ sinθ − cosθ = 2

± 2 3.( ) 已知 cot260° = k，下列何者正確？

(A) sin260° = − 1 2

1

+k (B) cos10° = 1 2

1

+k (C) tan10° = k (D) sec260° = −

k k

²

1+ (E) csc10° = −

k

k

² 1+ Ans： (A)(B)(C)(D)

解析： cot260° = k cot(270° − 10°) = k tan10° = k

∴(A) sin260° =

⇒ ⇒ ⇒

sin(270 10 ) cos10

= ° − ° = − °

1 2

1 +k

− ，

(B)cos10° = 1 2

1

+k (C) tan10° = k (D) sec260°= −csc10° =

k

k

− + ² 1

(E) csc10° =

k

k

² 1+

10^O

K 1

1+K²

二、填充題：(每題 10 分)

1.

θ

為銳角，x是實數，已知sec

θ

=

3 2

5 7 2 ²

+ + +

x x

x

，sin

θ

= 9

65，則x = 。

Ans：

2 1或−

4 7

解析： 由sin

θ

= 9

65 ⇒ cos

θ

= 9

4 ⇒ sec

θ

= 4 9

sec

θ

=

3 2

5 7 2 ²

+ + +

x x

x

=

4

9 ⇒ 8x² + 28x + 20 = 18x + 27⇒ x = 2 1或−

4 7

2.

°

−

° +

+

+

°

−

° +

°

45 cot log 2 45 sec log 2 36 2log 1 1

5 log 30 sin log 3 45 tan log 60 tan log

2 之值為 。

Ans： 1 解析：原式 =

1 log 2 ) 2 ( log 6 log 1

5 2 log log1 3 1 log 3 log 2

2− +

+

+

−

+ =

2 log 6 log 10 log

5 log 8 log 3 log

+ +

+

+ =

2) 6 10 log(

5) 8 3 log(

⋅

⋅

⋅

⋅

=log120 120 log = 1

3. 如圖，PQ，TA都垂直x軸，PR，

SB 都垂直y軸，A，T，B

在圓上，已知AT=

5

3，

OP

= 1，則OQ．

OS

+ BS 之值為

。 Ans：

3 10

解析：(1)令

θ

= ∠TOA = ∠OSB⇒ tan

θ

= OA AT =

5 3

⇒ sin

θ

= 34

3 ，cos

θ

= 34

5 ，cot

θ

= 3 5

sec

θ

= 5

34 ，csc

θ

= 3 34

(2) sin

θ

= OP

PQ=PQ= 3 =34

OS OB=

OS

1 ⇒ OS = 3 34

cos

θ

= OP

OQ=OQ= 34 5

sec

θ

= BS

OS ⇒ BS =OS cos

θ

= 3 34．

5 =34 3 5

(3)∴ OQ．

OS + BS =

34 5 ．

3 34+

3 5=

3 10

4. 設

2 cos 3 4

2

6 − ≤ θ ≤ ，求銳角

θ

的範圍_________________。

Ans：30°≤

θ

≤75°

解析：cos75° = 4

2

6− ，cos30° = 2

3

4 2

6− ≤ cos

θ

≤ 2

3 ⇒ cos75° ≤ cos

θ

≤ cos30° ∴ 75° ≥

θ

≥ 30°

5. θ是一個銳角，(1)滿足

θ θ

θ θ

cos sin

cos sin

2

− 3

3 +

2 = 3，求tanθ = ____________。

(2)滿足 6sin²

θ − 5 sinθ cosθ − 4cos

²

θ = 0，求tanθ = _______________。

Ans： (1) 7 9 (2)

3 4

解析：(1)由

θ θ

θ θ

cos sin

cos sin

2

− 3

3 +

2 = 3⇒ 2sinθ + 3cosθ = 9sinθ

− 6cosθ

∴ 9cosθ = 7sinθ ⇒ 7 9=

θ θ cos

sin ⇒ tanθ = 7 9

(2) 6sin²

θ − 5 sinθ cosθ − 4cos

²

θ = 0

⇒ 6

θ θ

2 2

cos sin

− 5

θ θ θ cos2

sin cos

− 4 = 0

⇒ 6tan²

θ − 5tanθ − 4 = 0

(2tanθ + 1)(3tanθ

− 4) = 0

tanθ =

⇒

⇒ 3

4

6. 設θ為銳角，若sinθ與cosθ為方程式 3x²

− 4x + k = 0 兩根，並且tanθ與cotθ也為方程式x

² + px + q = 0 兩根，則常數k = ，而數對(p，q) = 。

Ans：

6 7，(

−

7 18，1)

解析： 因為sinθ與cosθ為方程式 3x²

− 4x + k = 0 兩根

由根與係數關係知：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= 3

= +

θ k θ

θ θ

cos sin

3 cos 4 sin

．

c d

將c平方，得 sin²

θ + 2 sinθ cosθ + cos

²

θ =

9

16 ⇔ sinθ cosθ = 18

7

由d可得 k = 3 sinθ cosθ = 3．

18 7 =

6 7

其次，又因為tanθ與cotθ也為方程式x² + px + q = 0 兩根 同理知

由e可得 p =

− (tanθ + cotθ) = − (

⎩⎨

⎧

=

−

= +

q p θ θ

θ θ

cot tan

cot tan

．

……e

…f

θ θ cos sin +

θ θ sin

cos ) =

−

θ θcos sin

1 =

−

7 18

再由f可得q = tanθ．cotθ = 1 故數對(p，q) = (

−

7 18，1) 7. 已知 0°≤ θ≤45°且sinθ + cosθ =

3

1 17 ，則

(1) tanθ + cotθ = 。 (2) sinθ − cosθ = 。 Ans： (1)

4

9 (2)−

3 1

解析： (1) (sinθ + cosθ)² = sin²

θ + 2sinθcosθ + cos

²

θ

⇒ ( 3

1 17 )² = 1 + 2sinθcosθ

⇒ sinθcosθ = 9 4

tanθ + cotθ = θ θ cos sin +

θ θ sin cos =

θ θ

θ θ

cos sin

cos sin² + ²

=sinθ cosθ

1 =

9 4 1 =

4 9

(2) (sinθ − cosθ)² = sin²

θ − 2sinθcosθ + cos

²

θ= 1 − 2 ×

9 4=

9 1

∴ sinθ − cosθ = 3

±1

又 0°≤ θ≤45° ∴ sinθ < cosθ ⇒ sinθ − cosθ = − 3 1

8. 張老師從旗桿底O點的正西方A點測得桿頂T點的仰角為 30°，他向旗桿前進 30 公尺至B 點，再測得桿頂的仰角為 60°，則：

(1)旗桿高為(A) 15( 3 −1) (B) 15 3 (C) 3

20 (D) 15 2 (E) 15 公尺。

(2) B點與桿頂T的距離為(A) 30 (B) 3

40 (C) 10 (D) 22.5 (E) 30 3 公尺。

(3)他由B點回頭向A點走到C點，測得桿頂仰角為 45°，則 BC 的長為 (A) 15(3 − 5 ) (B) 15 (C) 15 2 (D) 15 3 (E) 15( 3 −1) 公尺。

(4)若他由B點向正南方走到D點，測得桿頂仰角為 45°，則BD的長為

(A) 15 2 (B) 15 3 (C) 15 (D) 15(3 − 3 ) (E) 15( 3 −1) 公尺。

(5) tan∠AOD的值為(A) 2

2 (B) 3 (C) 2 (D) 3

3 (E) 3

6 公尺。

Ans： (1)(B) (2)(A) (3)(E) (4)(A) (5)(C) 解析：

(1)如圖：∠BAT +∠BTA =∠TBO 30° +∠BTA = 60°

∠BTA = 30°，所以

⇔

⇒ BT =BA = 30 公尺

在△BOT中，由正弦定義知

OT

=

BT

sin60° = 30．

2

3 = 15 3 公尺

(2) B點與桿頂T的距離為

BT

=

OT

csc60° = 15

3 2

3． = 30 公尺

(3)在△COT中，∠OCT = 45°，故 BC 的長為

BC

=

OC

−

BO

=

OT

−

BO

=15 3−15 3cot60°

= 15 3 − 15

3 1

3． = 15( 3 − 1) 公尺

(4)在△DOT中，∠TDO = 45° ∴

OD

= OT =15 3 又因為在△BDO中，因為∠DBO = 90°，因此

BD= OD² −BO² = (15 3)² −(15 3cot60°)² = (15 3)² −(15)² =15 2

(5)在△BDO中，因為∠DBO = 90°，所以tan∠AOD = 2

60 cot 3 15

2

15 =

= °

BO BD

9. 山上有一塔，塔頂有一旗竿，已知旗竿長 10 公尺，今於地面上某點測得山頂、塔頂、

旗竿頂的仰角分別為30°，45°，60°，求山高 = 公尺。

Ans：

2 2

15 公尺；

3 3 2 − 1

解析：如圖所示，設

CH = h， AC = hcot75° = (2 − 3 )h

而 BC= hcot30° = 3 h。因為∠CAB = 90°

故由畢氏定理可得AC² +AB² =BC²，亦即 [(2 − 3 )h]² + (

1 3 2

+ )² = ( 3 h)² 解之，得h =

2 2

15 公尺，亦即塔高

2 2

=15

CH 公尺

其次，cos∠ACB =

3 3 2 3

3 2 3

) 3 2

( − =

− =

=

h

h BC

AC

− 1

故得cos∠ACB = 3

3 2 − 1

10. 地面上共線的三點A，B，C測得一塔頂的仰角各為 30°，45°，60°，已知A，B，C與塔 底不共線，且

AB

=

BC

= 600(公尺)，則塔高為 公尺。

Ans： 300 6 解析：

設塔為h ∴

3

3

h

CE h BE h

AE

= ， = ， =

在△ACE中，利用三角形中線定理 ∴

AE

² +

CE

² =2(

BE

²+

AB

²)

∴ ² )²

3 ( ) 3

(

h

h

+ = 2( h² + 600²)

∴

h = 300 6

11. sin120°cos150° − cos405°sin( − 225°) + tan2100°sec180° = 。

Ans： − 4 1+ 3

解析： cos405° = cos(360° + 45°) = cos45° = 2

2

tan2100° = tan(360° × 6 − 60°) = − tan60 =° − 3 ∴ 原式 =

2 3．

2

− 3− 2

2 ． 2

− 2 + ( − 3 )( −1) = − 4 1+ 3

設

12. 90°<

θ

<180°，cosθ = − 0.4152，cos65°20′ = 0.4173，cos65°30′ = 0.4147，則θ =

。 .11 Ans： 4°32′

cos65°20′ = 0.4173

147 解析：

cos

α

= 0.4152 cos65°30′ = 0.4

⇒ ¹⁰=

a 21

26 ⇒ a 8

α = 65°28′

° < <180 o = cos ° −

α

= 180° − 65°28′ = 114°32′

13. 設P( ，−

⇒

又 90

θ

c sθ −

α θ = 180

x

°， ⇒

3 )在標準位置角θ的終邊上，且cotθ = 3 ，則x = ，又cosθ =

。

−3 Ans： ；−

2 3 解析：

如上圖，根據廣義三角定義，得 cotθ =

−

x = 3

3

x = − 3

⇒ 而 cosθ =

OP x =

2

2 ( 3)

) 3 (

3

− +

−

− = −

2 3

14. 設f (x) = 3 sinx − cosx + 6，0 < x ≤ 2π，則y = f (x)圖形上的 標

最低點坐 為 。 Ans： (

3 5π

，4) 解析：

f (x) = 3 sinx − cosx + 6 = 2(

2

3 sinx − 2

1cosx) + 6= 2sin(x − 30°) + 6 當

x − 30°= 270° ⇒ x = 300° =

3

5π 時，f (x) = 4 為最小值

∴

y = f (x)圖形上的最低點坐標為(

3 5π

，4)

15. 設 0 ≤ x ≤ π，若函數f (x) = 4sinx − 2 3 sin(x − 6

π )在x = x1時有最大值M；在x = x2時有最 小值為m，則數對(x1，M) = ，(x2，m) = 。

Ans：(

6

π ，2)；(π，− 3 ) 解析：

f (x) = 4sinx − 2 3 sin(x −

6 π )

= 4sinx − 2 3 (sinx cos 6

π − cosx sin 6 π )

= 4sinx − 2 3 ( 2

3sinx − 2 1cosx)

= sinx + 3 cosx = 2(

2 1sinx +

2

3cosx)

= 2sin(x + 3 π )

因為 0 ≤ x ≤ π，所以 3 π ≤ x +

3 π ≤

3 4π

。因此 c當 x +

3 π =

2

π ，即

x =

6

π 時，f (x)最大值 M = 2

d當 x + 3 π =

3 4π

，即

x = π 時，f (x)最小值 m = − 3

16. sin(tan ^{− 1} 2

1 + tan ^{− 1} 3

1) = 。

Ans：

2 2

解析： 令

α

= tan ^{− 1} 2

1，

β = tan

^{− 1} 3 1

⇒ tan

α

= 2

1，tan

β

= 3

1 ⇒ tan(

α

+

β

) =

β α

β α

tan tan 1

tan tan

− +

=

3 1 2 1 1

3 1 2 1

×

−

+ =

6 5 6 5

= 1 ⇒

α

+

β

= 4 π

∴ sin(tan ^{− 1} 2

1 + tan ^{− 1} 3

1) = sin(

α

+

β

) = sin 4 π =

2 2

17. sin(sin ^{− 1} 2

1 + cos ^{− 1}( − 2

3)) = 。 Ans： 0

解析：sin(sin ^{− 1} 2

1 + cos ^{− 1}( − 2

3)) = sin(30° + 150°) = sin180° = 0

18. 若x⁵ = 1 有 5 個根，1，

ω

，

ω

²，

ω

³，

ω

⁴，且

ω

=

5 sin2 5

cos2π π

+i ，則下列各敘述何者為

正確？

(A)

ω

⁹⁰ = 1 (B) 1 +

ω

+

ω

² +

ω

³ +

ω

⁴ = 0 (C)(1 −

ω

)(1 −

ω

²)(1 −

ω

³)(1 −

ω

⁴) = 5

(D) 2

1 1 1

1 1

1 1

1

4 3

2 =

+ − + −

+ −

−ω ω ω ω (E) 1 + 2

ω

+ 3

ω

² + 4

ω

³ + … + 100

ω

⁹⁹ = 0 Ans： (A)(B)(C)(D)

解析：

因為 1，

ω

，

ω

²，

ω

³，

ω

⁴為x⁵ − 1 = 0 的 5 個根 故可知：1 +

ω

+

ω

² +

ω

³ +

ω

⁴ = 0，而

ω

⁵ = 1 (A)

ω

⁹⁰ = (

ω

⁵)¹⁸ = 1¹⁸ = 1

(B) 1 +

ω

+

ω

² +

ω

³ +

ω

⁴ = 0

(C)因為 1，

ω

，

ω

²，

ω

³，

ω

⁴為x⁵ − 1 = 0 的 5 個根

故得x⁵ − 1 = (x − 1)(x −

ω

)(x −

ω

²)(x −

ω

³)(x −

ω

⁴) = (x − 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) 上式兩邊約去x − 1

得(x −

ω

)(x −

ω

²)(x −

ω

³)(x −

ω

⁴) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 將x = 1 代入得(1 −

ω

)(1 −

ω

²)(1 −

ω

³)(1 −

ω

⁴) = 5

(D) _{2 3 4}

1 1 1

1 1

1 1

1

ω ω

ω

ω + −

+ − + −

−

= )

1 1 1

( 1 1 )

1 1

( 1 _{4 2 3}

ω ω

ω

ω + −

+ − + −

−

= ⁴ _{4 5 2}³ ₃ ²₅ 1

1 1

1

1 1

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

+

−

−

− + + −

+

−

−

− +

−

= ₄⁴ ₂² ₃³ 2

2 2

2

ω ω

ω ω ω

ω ω ω

−

−

− + −

−

−

−

−

= 1 + 1 = 2

(E) P = 1 + 2 + 3

ω

² + 4

ω

³ + … + 100

ω

⁹⁹

100 99

3 2

100 99

3 2

100 1

) 1 (

100 99

3 2 )

ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

− + + + + +

=

−

+ +

+ + +

=

−

P

…

P

= ¹⁰⁰ 100 ¹⁰⁰ 1

) 1

(

1

ω

ω ω

−

−

−

．

= − 100

∴

P =

1 100 1

100

= −

−

−

ω ω

故應選(A)(B)(C)(D) 19. 設z =

i i

3 1

3 +

− ，則

(1) z之極式為 。 (2) z¹⁰⁰

= 。

Ans： (1)

2

1 (cos105° + isin105°) (2) 64

3− 64

1

i

解析：(1)|z| = |

i i

3 1

1

−

+ | =

| 3 1

|

| 1

| i i

−

+ =

3 1

2 + =

2 2 =

2 1

∴ z = 2 1 (

i i

3 1

2 2

−

+ ) = 1 [2

) 3 1 )(

3 1 (

) 3 1 )(

2 2 (

i i

i i

+

−

+

+ ]

= 2 1 (

3 1

6 2 6 2

+

− +

+ i i

) =

1 [ (2 ^{6 2} 4

− − ) + ( 4

2 6+ )i]

=

1 [cos(180° − 75°) + isin(180° − 75°)]=2 2

1 (cos105° + isin105°)

(2) z¹⁰ = ( 2

1 )¹⁰(cos105° + isin105°)¹⁰ = ₅ 2

1 (cos1050° + isin1050°)

= 32

1 [cos (90°× 11 + 60°) + isin (90°× 11 + 60°)]

= 32

1 ( sin 60° − i cos 60°) = 32

1 ( 2

3− 2 1

i) =

64 3 −

64 1

i

20. ₃

4 6

) 40 sin 50

(sin

) 87 cos 87

(sin ) 78 cos 78

(sin

° +

°

°

−

°

° +

°

i

i

i

= 。

Ans： i

2 3 21 −

解析： 原式 = ⁶ ₃ ⁴

) 40 sin 40

(cos

) 3 sin 3

(cos ) 12 sin 12

(cos

° +

°

°

−

°

° +

°

i

i i

=

° +

°

°

− +

°

−

° +

°

120 sin 120

cos

)) 12 sin(

) 12 )(cos(

72 sin 72

(cos

i

i i

= cos(72° − 12° − 120°) + isin(72° − 12° − 120°) = cos(− 60°) + isin(− 60°)

= 2 1−

2 3

i

21. (1)試求 3 + 4i的兩個平方根_______________。

(2)利用(1)的結果求二次方程式x² + (4 − 3i)x + (1 − 7i) = 0 的解__________________。

Ans： (1)± (2 + i) (2) − 1 + 2i 或 − 3 + i

解析：(1)設a + bi(a，b∈

R)為 3 + 4i的平方根，則

(a + bi)²

= 3 + 4i ⇒ (a

² − b²) + 2abi = 3 + 4i⇒

又 | (a + bi)

⎩⎨

⎧

=

=

− 4 2

2 3

2

ab b

a

……c

…d

2 | = | 3 + 4i | ⇒ a² + b²

= 5……e

由c，e得a²

= 4，b

²

= 1，由dab = 2 知a與b同號

∴ (a，b) = (2，1)或(− 2，− 1) 故 3 + 4i的兩個平方根為 ± (2 + i) (2)方程式x² + (4 − 3i)x + (1 − 7i) = 0 中

D = (4 − 3i)² − 4(1 − 7i) = 16 − 24i − 9 − 4 + 28i = 3 + 4i 由(1)知，D = 3 + 4i的兩個平方根為 ± (2 + i)

由公式得方程式的兩個根為x =

2

) 2 ( ) 3 4

( − i ± +i

− = − 1 + 2i或 − 3 + i