2－1 101M408T 1. −2036；3x2+4x 2. −11 3. − +9 2i 4. 1, 1, 5, 5 , 7 35
2 2 2
± ± ± ± ± −；
5. 五；x=1,3 7或x≥ 6. ( 0 , 0 )；2+3i 7. (E) 8. (B) 9. (C) 10 (C)(E) 11(A)(C)(D) 12 17 13 (−6 , 8 , 2 ,−4 ) 14 ( 6 , 8 )− 15 −28x+17 16 (1 , 3 ,−2 , 5)
一、概念題
（共 10 格，每格 5 分）1 多項式x11+3x2除以x+2的餘式為 ，除以x5+2的餘式為 。
所求=f( 2)− = −( 2)11+ −3( 2)2= −2048 12+ = −2036
令x5= −2，則x11+3x2=( )x5 2x+3x2=3x2+4x
2.f x( ) 3= x4+14x3−19x2+1， ( 2)
f −3 = 。
3.設i= 1，f x( )=x57−2x36+7x18−x7，求 f i( )= 。
4 4 14 4 9 4 4 2 4 3
1 ( ) ( ) 2 ( ) +7 ( ) 2 7 9 2
i = ，f i = i ⋅ − ⋅i i ⋅ i ⋅ − × = − − + = − +i i i i i i
4.a、b∈Z， 方 程 式(2x3+ax2+5)(x3+ − =bx 7) 0的 所 有 可 能 最 簡 有 理 根 （ 即 分 數 根 ） 為 ，此方程式共有六個複數根（若有重根，則重複計算），此六個根的乘積 為 。
由牛頓定理得所有可能有理根為 1 1 5 5 7
2 2
± ，± ，± ，± ，±
由根與係數關係得六根乘積 5 7 35
2 2
= − × = −
5.多項式 f x( )的圖形如右，若方程式 f x( ) 0= 沒有虛根，則 ( )f x 的 次 數 最 少 可 為 次 ， 而 不 等 式 f x( ) 0≥ 的 解 則 為 。
f x( )在x=有重根，最少次數為1及x=3 2 2 1 5+ + =
看略圖得 f x( )≥0的解為， 或x=1 3 x≥7
6.實係數多項式 ( )f x ，若 (1 ) (1 ) 4
(1 ) (1 ) 6
f i f i ai
f i f i b i
+ + − = +
+ − − = +
，其中i
= − 1
，a、b∈R，則數對 ( , )a b =.
，且 f(1+ =i) 。
令 f(1+ = +i) c di，則f( 1− = −i) c di，相加相減只剩實部與虛部 故 f( 1+ +i) f( 1− =i) 4及， 解得f( 1+ −i) f( 1− =i) 6i f( 1+ = +i) 2 3i
二、單一選擇題
（共 3 題，每題 5 分）7.右圖的拋物線是下列哪一個二次函數的圖形？
(A)y=3x2+2x−1 (B)y= − +x2 4x−6 (C)y=4x2+12x+9 (D)y= −2x2+ +3x 1 (E)y= −x2 4x+5。
○1∵開口朝上 ∴(B)(D)不合
○2∵與 x 軸不相交 ∴判別式應小於 0 (A)D= − ⋅ ⋅ − >22 4 3 ( 1) 0
(C)D=122− ⋅ ⋅ =4 4 9 0 (E)D= −( 4)2− ⋅ ⋅ = − <4 1 5 4 0
∴選(E)
8.若a、b為方程式x2
+ 3
x+ = 1 0
之兩根，則計算( a− b)2的值為：(A)1 (B) 1 (C)2 (D) 5 (E) 5。
由判別式知 a、b∈R，由根與係數知a+ = −b 3且ab=1 ∴a<0且b<0，則
2 2
( a− b)2= a + b −2 a⋅ b= + +a b 2 ab= − + ⋅( 3) 2 1= − + ⋅3 2 1= − + = −3 2 1
∴選(B)
9. f x( )為實係數多項式，若 f(1)、 f(3)、 f(5)、 f(9)的函數值為正數， f(0)、 (4)
f 、 f(6)、 f(7)、f(11)的函數值為負數，且 f(2+ =i) 0，i= −1，則 f x( ) 的次數至少為幾次？
(A)6 次 (B)7 次 (C)8 次 (D)9 次 (E)10 次。
( )
y= f x 與x軸至少有6個交點，加上兩個共軛虛根
∴ ( )f x 至少為6+ =2 8次，選(C)
2 多項式函數
2－2
三、多重選擇題
（共 2 題，每題 5 分）10.設 f x( )= +x4 ax3+bx2+ +cx d，已知 f( 2 )− =i f(1 2 )+ i = − =f( 3) 0，i= −1，則以 下的推論哪些正確？
(A)f(2 ) 0i = (B)f(1 2 ) 0− i = (C)f(2− =a) 0 (D)若實數 p、q 滿足 ( ) ( ) 0
f p ⋅f q < ，則在p、q之間可找到實數r滿足 f r( )=0 (E)a、b、c、d 至少 有一個為虛數。
若 f x( )為實係數，則 f x( )=0有五個根，但 f x( )=0只到四次
∴ f x( )應為虛係數，則虛根不一定成對，也不能用勘根定理 由根與係數得四根之和為− = −a ( 2 )i + +(1 2 )i + − +( 3) α
∴另一根α = −2 a，得 f(2−a)=0 ∴選(C)(E)
11.二次函數 f x( )=a x b( + )2+c，其中a、b、c為實數， f( 1)− = f(5)<c，則下列哪 些選項為真？
(A)a<0 (B)b=2 (C)c= f(2) (D)f(1)> f(4) (E)f( 3)− < f(7)。
如右圖
(A)開口必朝下，合 (B)頂點在x=2處，應為b= −2，不合 (C) ( )f x 的Max= f(2)=c，合 (D) f(1)= f(3)> f(4)，合 (E)∵ 2 為−3與 7 的中點 ∴應為 f( 3)− = f(7)，不合 故選(A)(C)(D)
四、填充題
（共 5 格，每格 5 分）12.不等式(x2−4x+2)(2x−5)(2x−37) 0≤ 有 個整數解。
(x2−4x+2)=0的根為4 16 8 2 2 2
± − = ± ，
得2 2 5 x 2
− ≤ ≤ 或 37
2 2 x 2 + ≤ ≤
∵ 2≒1.414 ∴x=1，2，4，5，6，…，18，共 17 個整數
13.已知三次多項式 f x( )=ax3+bx2+ +cx d的圖形通過( 1 , 8 )− ，( 0 , 4 )− ，並在( 1 , 0 )處與x 軸相切，試求序組( , , , )a b c d = 。
∵切 x 軸於x=1 ∴x=1為 f x( )=0的二重根，即 f x( )有(x−1)2的因式 設 f x( )= −(x 1) (2 px q+ )， f( 1)− = − +4( p q)=8
得− + =p q 2， f(0)= ⋅ +1 (0 q)= = −q 4，則 p= −6
∴ f x( ) (= x−1 ) ( 62 − −x 4 )= −6 +8x3 x2+ −2x 4，(a b c d, , , )= −( 6 , 8 , 2 ,−4 )
14.a、b∈Z ，二次多項方程式 f x( )= + + =x2 ax b 0的根均為有理根，若 ( )3 (3) 0 f 2 ⋅ f < ， ( ) ( 19) 0
f π ⋅ f < ，則數對( , )a b = 。
由牛頓法得知有理根的分母必為 1 ∴其有理根必為整數根
∵ ( )3 (3) 0
f 2 ⋅f < ∴在3
2
、3 之間有根，即x=2為根
∵ f( )π ⋅f( 19) 0< ∴在π、 19之間有根，即x=4為根 得x2+ + = −ax b (x 2)(x− = − +4) x2 6x 8，a= −6，b=8
15.若 f x( + = +1) (x 2)3+3(x−1)2−7(2x+ −1) 15，求 f x( )除以(x2+2x−3)的餘式為 。
設 f x( ) (= +x 3)(x− ⋅1)Q x( ) (+ ax b+ )，所求即ax b+ 0
x= 代入得 f(0 1) 8 3 7 15+ = + − − = −11，得 f(1)= + = − ①a b 11 4
x= − 代入得 ( 4 1) ( 8) 75 ( 49) 15 101f − + = − + − − − = ，得 ( 3)f − = − + =3a b 101② 4a 11 101 4a 112 a 28 b 17
− 得 = − − ⇒ = − ⇒ = − ， =
① ②
∴所求= −28x+17
16.小明利用綜合除法要把 f x( )=ax3+bx2+ +cx d表示成(2x+1)的 多項式，右邊是他處理的過程，顯然他忘記老師的叮嚀，沒有 把過程中所得的商除以2，所得
3 2
( ) 8(2 1) 12(2 1) 4(2 1) 5
f x = x+ + x+ − x+ + 是錯誤的，若正確的 答案為 f x( )= p(2x+1)3+q(2x+1)2+r(2x+ +1) s
，請問序組(p q r s, , , )= 。
由小明的過程知正確的 ( )f x 為
3 2
1 1 1
( ) 8( ) 12( ) 4( ) 5
2 2 2
f x = x+ + x+ − x+ +
∴ f x( ) (2= x+ +1)3 3(2x+1)2−2(2x+ + 為正確的 1) 5
∴(p q r s, , , )=( 1 , 3 ,−2 , 5 )
