一、選擇題 (每題 8 分) 1.( )

高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.11.07 班級 普三 班

範 圍

Book2-Chap2

三角函數(2) 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 8 分)

1.( ) 設x² − (tanθ + cotθ) x + 1 = 0 有一根為 2 + 3 ，（0°< θ < 90°），下列何者錯誤？

(A) tanθ + cotθ = 4 (B) secθ cscθ = 4 (C) sinθ + cosθ = 2

5 (D) sinθ − cosθ = 2

3

(E)另一根為 2 − 3 Ans： (D)

解析：另一根為

3 + 2

1 = 2 − 3

(A) tanθ + cotθ = (2 + 3 ) + (2 − 3 ) = 4 (B) tanθ + cotθ =

θ θ cos sin +

θ θ sin cos =

θ θ

θ θ

cos sin

cos sin² + ²

=sinθcosθ

1 = 4⇒ secθcosθ = 4

(C) 1 + 2sinθcosθ = 2

3 ⇒ (sinθ + cosθ)² = 2

3 ⇒ sinθ + cosθ = 2

6 (D)1 − 2sinθcosθ =

2

1 ⇒ sinθ − cosθ = 2

± 2

2.( ) 已知 cot260° = k，下列何者正確？(複選) (A) sin260° =

1 2

1

+k (B) cos10° = 1 2

1

+k (C) tan10° = − k (D) sec260° = −

k k²

1+ (E) csc10° = k

k² 1+

Ans： (B) (D) (E)

解析： cot260° = k cot(270° − 10°) = k tan10° = k

∴(A) sin260° =

⇒ ⇒ ⇒

sin(270 10 ) cos10

= ° − ° = − °

1 2

1 +k

− ，

(B)cos10° = 1 2

1

+k (C) tan10° = k (D) sec260°= −csc10° = k

k

− + ² 1

(E) csc10° = k

k² 1+

10^O

K 1

1+K²

3.( ) 設△ABC 中的三頂點 A，B，C 所對邊長分別為 a，b，c，AH為高，則AH之長 為 (A) b．sinB (B) c．sinC (C) b．sinC (D) c．sinB (E) a．sinA

Ans： (C)(D) 解析：

如圖，在△AHB 中，可得AH = csinB 而在△AHC 中，可得AH = bsinC 故(C)(D)為真

二、填充題：(每題 10 分)

1. 設θ為銳角，若sinθ與cosθ為方程式 3x² − 4x + k = 0 兩根，並且tanθ與cotθ也為方程式x² + px + q = 0 兩根，則常數k = __ ，而數對(p，q) = ___ 。

Ans：

6 7，(−

7 18，1) 解析：

因為sinθ與cosθ為方程式 3x² − 4x + k = 0 兩根 由根與係數關係知

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

= 3

= +

"

"

"

"

θ k θ

θ θ

cos sin

3 cos 4 sin

．

c d

將c平方，得 sin²θ + 2 sinθ cosθ + cos²θ = 9

16 ⇔ sinθ cosθ = 18

7 由d可得 k = 3 sinθ cosθ = 3．

18 7 =

6 7

其次，又因為tanθ與cotθ也為方程式x² + px + q = 0 兩根 同理知

由e可得p = − (tanθ + cotθ) = − (

⎩⎨

⎧

=

−

= +

"

q p θ θ

θ θ

cot tan

cot tan

．

……e

…f θ θ cos sin +

θ θ sin

cos ) = −

θ θcos sin

1 = − 7 18 再由f可得q = tanθ．cotθ = 1 ，故數對(p，q) = (−

7 18，1) 2. 已知ABCD為一圓內接四邊形，AC 為直徑，若 AC = 5，AB= 4，

ADB = θ，則 sinθ + cosθ =

∠ ___ 。

Ans：

5 7 解析：

如上圖所示：因為ABCD為一圓內接四邊形，而AC 為直徑，

AC= 5，AB= 4，故由畢氏定理可得 BC = 3

∠ACB及∠ADB為同弧所對的圓周角，故∠ACB =∠ADB = θ 在△ABC中，因為∠ABC = 90°，於是sinθ + cosθ =

5 4+

5 3=

5 74.

3. θ是一個銳角，滿足 6sin²θ − 5 sinθ cosθ − 4cos²θ = 0，求tanθ = _______________。

Ans：3 4

解析： 6sin²θ − 5 sinθ cosθ − 4cos²θ = 0 ⇒ 6

θ θ

2 2

cos sin − 5

θ θ θ cos2

cos

sin − 4 = 0 ⇒ 6tan²θ − 5tanθ − 4 = 0

⇒ (2tanθ + 1)(3tanθ − 4) = 0 ⇒ tanθ = 3 4

4. 設 0°< θ < 90°，且sinθ．cosθ = 2

1，試求下列各式之值：

(1) secθ + cscθ ____________。

(2)

= θ +sin 1

1 +

θ +cos 1

1 ___________。 =

Ans： (1) 2 2 (2) 4 − 2 2 解析：

因為sinθ．cosθ = 2

1，而sin²θ + cos²θ = 1，故得

(sin²θ + cos²θ) + 2 sinθ cosθ = 1 + 2．

2

1 ⇔ (sinθ + cosθ)² = 2 因為 0°< θ < 90°，故sinθ + cosθ = 2

(1) secθ + cscθ = θ cos

1 + θ sin

1 =

θ θ

θ θ

sin cos

cos

sin + =

2 1

2 = 2 2

(2)其次，因為sinθ + cosθ = 2 且sinθ．cosθ = 2 1，故

θ +sin 1

1 +

θ +cos 1

1 =

) cos ( ) sin (

) sin ( ) cos (

θ θ

θ θ

+ 1 +

1

+ 1 + +

1

． =

θ θ θ

θ

θ θ

sin cos ) sin (cos

) sin (cos

+ ． +

+ 1

+ +

2

=

2 +1 2 + 1

2 +

2 =

2 2 + 3

2 + 2

2( )= 4 − 2 2

5. 地面上共線的三點A，B，C測得一塔頂的仰角各為 30°，45°，60°，已知A，B，C與塔底 不共線，且AB=BC = 400(公尺)，則塔高為 公尺。

Ans： 200 6 解析：

設塔為h ∴

3

3 h

CE h BE h

AE= ， = ， = 在△ACE中，利用三角形中線定理 ∴ AE² +CE² =2(BE²+ AB²)

∴ ² )²

( 3 ) 3

( h

h + = 2( h² + 400²)

∴ h = 200 6

6. 設f (x) = 3 sinx − cosx + 6，0 < x ≤ 2π，則y = f (x)圖形上的最低點坐標為 。 Ans： (

3 5π

，4)

解析：f (x) = 3 sinx − cosx + 6 = 2(

2

3sinx − 2

1cosx) + 6= 2sin(x − 30°) + 6 當x − 30°= 270° ⇒ x = 300° =

3

5π 時，f (x) = 4 為最小值

∴ y = f (x)圖形上的最低點坐標為(

3 5π

，4)

7. 有一塔高 150 公尺，石頭A在塔的正東方，石頭B在塔的正南方，若自塔頂測得A，B的俯 45°，30°，則AB

角各為 = 公尺。

Ans：

解析

A測塔頂的仰角為 4 ° 30°

300

：

自 5 ，自B測塔頂的仰角為

如圖，AD = 150，BD =150 3 =

∴

，但∠ADB 90°

2 2

2 AD BD

AB = + = 150 (1 + 3) = 4(150^{2 2}) AB = 2 150 = 300(公尺)

∴ ×

在船之北 東，此船往北行駛 20 公里後，發現島在南

30°

8. 一島

60 東，則船與島之最近距離為° 公里。

Ans：5 3

30° 解析：

設島為原點O，如右圖

− °60 − °90 定理知OB=10，OA=10 3

∴ 5 3

20 3 10

10 =

= ．　 OH

) 360 sin(

) 180 sin(

) 180 cot(

) 90 tan(

θ θ

+

°

°

− −

) 180 cos(

) 270 sin(

°

−

°

− θ

θ ₌

°

−

−

° θ

θ ₋

9. 化簡 。

Ans：3 解析：

) 180°− sin(

) 360 sin(θ − °

θ ₋ tan(θ 90 ) ) 180 cot( °+θ

°

− −sin( −270°) ) 180 cos(θ − °

θ ₌

θ sin

θ sin −

θ θ cot

−cot −

θ θ

−cos

cos = 1 + 1 + 1 = 3

10. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 之三對邊長分別為 a，b，c，若滿足 3(a − b + c) = 14(sinA − + sinC)，則此三角形的外接圓半徑 R =______________。

sinB Ans：3

7

解析：

A a =

sin B

b =

sin C

c = 2R，

∴ a − + sin

b c = 2R (sinA − sinB + sinC)=

3

14(sinA − sinB + sinC) R =

∴ 3

7

11. 圓內接四邊形ABCD中，AB= 12， BC = 5， AC = 13，∠BAD = 60°，則：

(1)BD= ___ 。 (2)AD= ______ 。

(1)

Ans： ¹³2³ (2) 2

12 + 3 5

C三邊長，若 2a − b − c = 0 且a − 4b + 2c = 0，求cosA：cosB：cosC = 12. a，b，c為△AB

。

⎩⎨

⎧

= +

−

=

−

−

0 2 4

0 2

c b a

c b

a ⇒ a：b：c =

Ans：.19：25：7 解析：

2 4

1 1

−

−

− ：

1 2

2

−1

： 1 4 1 2

−

−

= ( 6)：( − 5)：( − 7) = 6 設

∴ C

=

− ：5：7

a = 6k，b = 5k，c = 7k cosA：cosB：cos

) 7 )(

5 ( 2

) 6

−(

+(7 ) ： )

5

( ^{2 2 2}

k k

k k

k

) 7 )(

6 ( 2

) 5 ( ) 7 ( ) 6

( ^{2 2 2}

k k

k k

k + −

： 2(6 )(5 ) ) 7 ( ) 5 ( ) 6

( ^{2 2 2}

k k

k k

k + −

=5 7 38 ：

× 6 7

60

× ：

5 6

12

×

13. A

__ _。 ( 半徑_________。

(3)

= 19：25：7

設△ BC 中，已知 a = 14，b = 10，c = 6，試求△ABC 之

(1)面積___ _____ 2)外接圓的

BC 邊上的中線_____________。 (4)最大內角的度量_____________。

15 3 (2)¹⁴ 3 (3) 19 Ans： (1)

3 (4)∠A = 120°

解析：

= 6

(1) a = 12，b = 10，c ⇒ s = 2 1 +

由海龍

(a b + c) = 15 公式△= 15⋅1⋅5⋅9= 15 3

(2)由△= R

abc ⇒

4 15 3=

R 4

6 10 14⋅ ⋅

⇒ R = 3 60

14 60⋅

=14 =3 3

3 14

(3)BC 邊上之中線= 200+72−196 = 19 2

= 1

− 2 +

1 2 _{2 2 2}

a c b 最大邊為a

由餘弦定理

2 (4)

cosA =

bc a c b² + ²

2

− ²

= 2⋅10⋅6 196

− 36 +

100 = −

2 1

⇒ 最大角 ∠ A = 120°

自塔之東一點A，測得塔

14. 頂之仰角為 45°；在塔之南 60°東一點

仰角為 30°。設A、B兩點相距 1000 公尺，則塔

B，測得塔頂之

高為 公尺。

Ans：

解析

1000 公尺

：

如圖：設塔高OP = h公尺

於△OAP中，∠OAP = 45°　　⇒ 　OA = h

O OBP 30°

於△ BP中，∠ = ⇒　　OB = 3 h 於△OAB中，∠AOB = 30 ，由餘弦定理°

AB2=OA²+OB²− OA．OB ．cos30° 2

2 2 2

⇒ 1000 = h + 3h − 2．h． 3 h．

2³= h ∴ h = 1000 ²

山麓測得山頂的仰角為 30°，今沿山麓循 15°斜坡上行 100 公尺，再測得山頂的 為 60°，則山高為

15. 某人於

仰角 公尺。

Ans：50 2 解析

∠

∠BAQ = 15°，∠ABM = 75°

∠ABQ = 135°，∠BQA = 30°

：

BAM = 15°

⇒

⇒

) 2 6 ( 30 50

sin 10

siBQ 0 ⇒ =

15 −

= °

° 　　 　　BQ

∴ 山高 = n

BQsin60° + 100sin15

=

°

4 2 100 6

2 ) 3 2 6 (

50 − + − = 50 2