弱無序銅鍺金薄膜之低溫電性傳輸行為研究

弱無序銅鍺金薄膜之低溫電性傳輸行為研究

學生：江品頁 指導教授：林志忠 教授

國立交通大學物理學系碩士班

摘 要

電子的傳輸行為在凝態物理領域中，是一重要且基礎的議題。電子在週期性 晶格中的傳輸行為，可由古典的波茲曼理論描述。隨著系統的無序程度增加，電 子散射率也增加，使得量子干涉的效應逐漸重要。著名的弱局域效應和電子—電 子相互作用，即為考慮此效應的結果。

我們製作一系列不同無序程度和不同厚度的CuGeAu 薄膜(原子百分比 93︰

4︰3)，測量其在低溫下電阻對溫度的關係、和電阻對磁場的關係。初步分析的 結果顯示出樣品的無序度在

k

_F

l ≈ 5 ~ 55

的範圍。將二維系統的量測結果，以上述 兩個物理理論預測做擬合分析，得出不同於理論預測的

α

_T值(

α

_T

= 1 . 26

，理論預 測值則為

α

_T

≤ 1

)。此結果隱含著系統中，除以上兩個效應之外，尚存在一個造成 低溫電導隨溫度變化有對數關係修正的其他機制，且此機制的大小不容被忽略。

同時，磁電阻在不同溫度下的變化情形，和弱局域理論所預測的結果幾乎相反，

顯然有其他機制在主導磁電阻的變化。另外，我們從實驗結果歸納出，當

k

_F

l

接 近或大於50 時，量子效應對低溫電導的修正即小於殘餘電阻的萬分之二倍。

本實驗室的黃旭明研究此系統的電子相位相干時間隨溫度的變化，得出此系 統存在二能級系統的結論。而二能級系統對二維樣品低溫電導的修正正是對數關 係，支持上述實驗結果

α

_T

= 1 . 26 > 1

的合理性。另外磁電阻在不同溫度時的奇異 行為，是否和二能級系統的存在相關，則待進一步的研究和討論。

Low-Temperature Electrical-Transport Properties of Weakly Disordered Cu93Ge4Au3 Films

Student：Pin-Ye Jiang Advisors：Prof. Juhn-Jong Lin

Institute of Physics

National Chiao Tung University

ABSTRACT

The electrical-transport property is one of the most important and fundamental problems in condensed matter physics. In a periodic structure, the transport property can be well described by the Boltzmann’s transport equation. With increasing degree of disorder, the electron scattering rate will increase, and lead to novel

quantum-interference effects between the conduction electron wavefunctions. The well known weak-localization and enhanced electron-electron interactions are the results of such quantum-interference effects.

We have fabricated a series of CuGeAu (the atomic percentage is 93︰4︰3) films with different degree of disorder and with different thickness, and have

measured the resistance versus temperature as well as the resistance versus magnetic field at low temperatures. The values of

k

_F

l

for our samples are

≈ 5 − 55

. The resistance vs. T in the 2D samples obey an “a-b log T” dependence at low

temperatures, which is consistent with the theoretical predictions of the

weak-localization and electron-electron interaction effects. Quantitatively, we fitteded the data in terms of these two theories and obtained a resistance slope

α

_T

= 1 . 26

, which was significantly larger than the predicted value of

α

_T

≤ 1

. This result implies that some extra mechanism must exit in our samples, which also caused a -log T dependent resistance. On the other hand, the behavior of the magnetoresistivity at different temperatures is opposite to the theoretical predictions of the

weak-localization effect. This observation again implies that other mechanism must exist to influence the magnetoresistivity. In addition, we found that, when the value of

l

k

_F approaches 50 or larger, the quantum-interference correction is less than 2 × 10-4 of the residual resistance.

Previously, Huang et al. have studied the electron phase-coherent time as a function of temperature in disordered CuGeAu thin films. They concluded that there existed two-levels tunneling systems in their samples. Since two-levels systems can also cause a “–logT” dependent resistance, our result of a large slope of α (= 1.26) _T is in line with their observation. How the anomalies in magnetoresistivities at

different temperatures might be explained in terms of two-level systems requires further theoretical and experimental studies.

誌 謝

首先誠摯的感謝指導教授林志忠老師，給我一個這麼優質做物理研究的機 會，且在討論結果時指點我正確的方向，使我能如期完成這份論文。老師對研究 的嚴謹更是我們學習的典範。

感謝林永翰學長，不厭其煩的指出我實驗中的缺失。感謝葉勝玄學長的大力 協助，總能在我迷惘困惑時，給出最好的解決方法。感謝黃旭明學長的幫忙，毫 無保留的提供過去做這薄膜的相關資訊，和多次用e-mail 為我解惑。感謝邱紹斌 學長，將你所知傾囊相授。感謝韓顏吉和陳劭其學長，於實驗技巧上給予我許多 幫助。

感謝洪舜治這兩年大大小小的幫忙，一起討論和成長。感謝孫羽澄和王詩雯 學妹、王兆圻和林伯聰學弟，你們的陪伴讓實驗室充滿人情溫暖。

感謝我家人的支持和鼓勵，成就我的學業。

這兩年研究生生涯，很充實也很精采，感謝各位。

目錄

頁次 中文摘要

英文摘要 誌謝 目錄 表目錄 圖目錄

第一章 緒論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 第二章 理論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 2.1 量子效應修正電導．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 2.1.1 電子波動性的顯現—相位相干．．．．．．．．．．．．．． 5 2.1.2 擴散運動．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 2.1.3 定義無單位之電導(dimensionless g)．．．．．．．．．．．． 10 2.1.4 量子效應和電導之關係．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 2.2 弱局域理論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13 2.2.1 弱局域之物理圖像．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 13 2.2.2 弱局域對電導之修正．．．．．．．．．．．．．．．．．． 17 2.3 相位破壞機制．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 20 2.3.1 外加磁場對電子相位的影響．．．．．．．．．．．．．．． 20 2.3.2 非彈性散射之電子—聲子散射．．．．．．．．．．．．．． 23 2.3.3 非彈性散射之電子—電子散射．．．．．．．．．．．．．． 26 2.3.4 自旋—自旋散射．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 26 2.3.5 自旋—軌道散射．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 27 2.4 磁電阻率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 30 2.5 電子—電子交互作用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 32 2.5.1 粒子—空穴通道(Diffusion Channel)．．．．．．．．．．．． 33 2.5.2 粒子—粒子通道(Cooper Channel)．．．．．．．．．．．．． 34 2.5.3 電子—電子交互作用對電導的修正．．．．．．．．．．．． 35

2.6 比擬近藤效應(Kondo effect)對電導修正的二能級系統．．．．．．． 35 2.6.1 二能級系統之物理圖像．．．．．．．．．．．．．．．．． 35 2.6.2 近藤效應對電導的影響．．．．．．．．．．．．．．．．． 36 2.6.3 二能級系統和近藤效應相對應的部分及對電導的修正．．．． 37 第三章 實驗方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 39 3.1 樣品的選擇．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 39 3.2 樣品製作過程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 42 3.2.1 濺鍍(sputtering)原理．．．．．．．．．．．．．．．．．． 42 3.2.2 濺鍍機整體構造．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 44 3.2.3 靶材與銅背板的接著(bounding)．．．．．．．．．．．．．． 47 3.2.4 薄膜濺鍍操作流程．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 49 3.2.5 膜厚校正．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 50 3.3 降溫量測原理與方式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 52 3.3.1 降低溫原理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 52 3.3.2 HelioxVL 的構造說明．．．．．．．．．．．．．．．．．． 55 3.3.3 降溫前的準備動作．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 58 3.3.4 降溫操作流程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 60 3.3.5 溫度計與溫控計．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 63 3.3.6 超導磁鐵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 65 3.3.7 量測系統．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 66 3.3.8 減少雜訊對量測訊號的干擾．．．．．．．．．．．．．．． 69 第四章 實驗結果與分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 70 4.1 Cu93Ge4Au3薄膜和CuZrAl 合金塊材的無序程度．．．．．．．．． 70 4.1.1 二維 Cu93Ge4Au3薄膜之無序程度分析．．．．．．．．．．． 70 4.1.2 不同厚度之 Cu93Ge4Au3薄膜無序程度分析．．．．．．．．． 72 4.1.3 CuZrAl 合金塊材之無序程度分析．．．．．．．．．．．．． 73 4.2 以量子力學干涉觀點對低溫電導進行修正．．．．．．．．．．．． 73 4.2.1 以弱局域和電子—電子交互作用對二維系統做定量上的分析． 73 4.2.2 以電子—電子交互作用對三維 CuZrAl 做定量上的分析．．． 80 4.2.3 不同厚度的 Cu93Ge4Au3薄膜之電導對溫度的結果與討論．．． 82 4.2.4 無序程度降低導致量子干涉對電導修正較小．．．．．．．． 89

4.3 定性討論磁電阻．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 90 4.3.1 二維 Cu93Ge4Au3薄膜於不同溫度下之磁電阻．．．．．．．． 90 4.3.2 二維磁電阻與

α

_T

(B = 0 T) > α

_T

(B = 4 T)

之關係．．．．．．．． 100 4.3.3 不同厚度的 Cu93Ge4Au3薄膜於不同溫度下之磁電阻．．．．． 102 4.4 存在二能級系統的相關討論．．．．．．．．．．．．．．．．．．108 第五章 結論．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 110 附錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 111 Ⅰ-1.二維 Cu93Ge4Au3薄膜電阻對溫度之詳細數值分析結果．．．．．． 111 Ⅰ-2.CuZrAl 合金塊材電阻對溫度之詳細數值分析結果．．．．．．．． 118 Ⅱ.Cu93Ge4Au3薄膜之熱電勢量測與費米能量分析．．．．．．．．．． 119 參考文獻．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 121

圖表目錄

頁次 (圖 1-1) 波茲曼傳輸理論所預測的電阻率隨溫度的變化圖。．．．．．．．． 3 (圖 1-2) 電阻於低溫部份開始往上升，而非波茲曼理論所預測的殘餘電阻率。 4 (圖 2-1)

k

_F

l

值粗略分為三種數量級。．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 (圖 2-2) (a)電子做一次彈性碰撞。(b)電子做擴散式運動。．．．．．．．．． 7 (圖 2-3) 以觀察的時間尺度將電子的運動方式分為三種。．．．．．．．．． 7 (圖 2-4) 電子從rr 點到 rr′ 點有很多種可能路徑。．．．．．．．．．．．．．．8 (圖 2-5) 以實線和虛線分別表示機率振幅和其共軛複數。．．．．．．．．． 9 (圖 2-6) 固定時間 t，電子從 0 點到空間各點的機率密度分部情形。．．．． 10 (圖 2-7) 機率振幅在空間上的交叉與否，影響彼此間是否能有干涉的機率。．12 (圖 2-8) 電子從 A 點傳導到 B 點有多種可能路徑。．．．．．．．．．．． 13 (圖 2-9) 兩個波函數於迴圈中走相反方向。．．．．．．．．．．．．．．． 14 (圖 2-10) 電子在實際空間的散射情形，相同路徑有兩種可能性。．．．．． 15 (圖 2-11) 電子在動量空間的動量改變情形。．．．．．．．．．．．．．． 15 (圖 2-12) 加進弱局域理論後，電子在空間的機率分佈圖。．．．．．．．． 16 (圖 2-13) Aharonov-Bohm experiment 的示意圖和概念式的想像圖。．．．．． 22 (圖 2-14) Washburn 和 Webb 所量測的系統結構圖和磁電阻測量之數據圖。．． 22 (圖 2-15) 鎂薄膜和空心圓柱狀樣品的磁電阻數據圖。．．．．．．．．．． 23 (圖 2-16) 電子吸收聲子增加能量的情形和產生聲子減少能量的情形。．．． 24 (圖 2-17) 電子從原點出發後在空間的機率分佈圖。．．．．．．．．．．． 29 (圖 2-18) 自旋—軌道效應甚強的系統，呈現正的磁電阻。．．．．．．．． 31 (圖 2-19) 存在自旋—軌道效應的系統之磁電阻變化。．．．．．．．．．． 32 (圖 2-20) 電子—電子交互作用中之粒子—空穴通道之物理圖像。．．．．． 33 (圖 2-21) 電子—電子交互作用中之粒子—粒子通道之物理圖像。．．．．． 34 (圖 2-22) 二能級系統之位能形式有兩個極小值。．．．．．．．．．．．． 36 (圖 2-23) 電子的自旋和磁性雜質的磁矩產生交互作用。．．．．．．．．． 37 (圖 2-24) 存在二能級系統下電阻隨溫度降低開始飽和的形式。．．．．．． 38 (圖 3-1) 濺鍍時所用之金屬遮罩(mask)。．．．．．．．．．．．．．．．． 40 (圖 3-2) 於濺鍍源電壓端所採二極式之規格之濺鍍情形。．．．．．．．．． 43 (圖 3-3) 於濺鍍源電壓端所採磁控式之規格之濺鍍情形。．．．．．．．．． 43 (圖 3-4) 濺鍍機的整體構造。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 45 (圖 3-5) 濺鍍機之磁控式濺鍍源。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 45 (圖 3-6) CuGeAu 靶材和銅背板接合後的圖形。．．．．．．．．．．．．． 48 (圖 3-7) 實際測量膜厚的機台︰α-step。．．．．．．．．．．．．．．．． 51 (圖 3-8) α-step 顯示介面所呈現的薄膜截面圖。．．．．．．．．．．．．． 51

(圖 3-9) ⁴He 的沸點和氣壓的關係圖。．．．．．．．．．．．．．．．．． 53 (圖 3-10) ⁴He 和³He 的沸點隨氣壓的關係圖。．．．．．．．．．．．．．． 53 (圖 3-11) 利用³He 的冷卻機制圖。．．．．．．．．．．．．．．．．．． 54 (圖 3-12) HelioxVL 的主要輪廓和內部重要結構。．．．．．．．．．．．． 56 (圖 3-13) 於 HelioxVL 放置樣品的部分(sample space)。．．．．．．．．．． 57 (圖 3-14) HelioxVL 上端構造之上視圖。．．．．．．．．．．．．．．．． 57 (圖 3-15) HelioxVL 上端構造之側視圖。．．．．．．．．．．．．．．．． 58 (圖 3-16) 將 HelioxVL 放進液氦桶內的透視圖。．．．．．．．．．．．．． 62 (圖 3-17) 超導磁鐵示意圖。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 66 (圖 3-18) 整個量測系統示意圖。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 68 (圖 4-1) 編號 1a 的 Cu93Ge4Au3薄膜於有無磁場下之R_square對溫度T 關係。． 76 (圖 4-2) 編號 1b 的 Cu93Ge4Au3薄膜於有無磁場下之R_square對溫度T 關係。． 76 (圖 4-3) 編號 2 的 Cu93Ge4Au3薄膜於有無磁場下之R_square對溫度T 關係。．． 77 (圖 4-4) 編號 3 的 Cu93Ge4Au3薄膜於有無磁場下之R_square對溫度T 關係。．． 77 (圖 4-5) 編號 4 的 Cu93Ge4Au3薄膜於有無磁場下之R_square對溫度T 關係。．． 78 (圖 4-6) 編號 5 的 Cu93Ge4Au3薄膜於有無磁場下之R_square對溫度T 關係。．． 78 (圖 4-7) 相同厚度不同R_square值的樣品無磁場下之R_square對溫度T 關係。．．． 79 (圖 4-8) 相同厚度不同R_square值的樣品4 T 磁場下之R_square對溫度T 關係。．． 79 (圖 4-9) CuZrAl 合金塊材於低溫下的數據圖。．．．．．．．．．．．．．． 81 (圖 4-10) A1-2 的樣品，其電阻率對

T

的數據與線性擬合圖。．．．．．．． 81 (圖 4-11) A2-2 的樣品，其電阻率對

T

的數據與線性擬合圖。．．．．．．． 82 (圖 4-12) 厚度為 500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．． 83 (圖 4-13) 厚度為 500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對溫度開根號作圖。． 83 (圖 4-14) 厚度為 1000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．． 84 (圖 4-15) 厚度為 1000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對溫度開根號作圖。． 84 (圖 4-16) 厚度為 1500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．． 85 (圖 4-17) 厚度為 1500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對溫度開根號作圖。． 86 (圖 4-18) 厚度為 3000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．． 87

(圖 4-19) 厚度為 3000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對溫度開根號作圖。． 87 (圖 4-20) 退火後的 1500 Å Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．． 88 (圖 4-21) 1500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜退火前後電導變化量和溫度的關係圖。． 88 (圖 4-22) 為 52.5 的 Cu93Ge4Au3 薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．．．． 89 (圖 4-23) 為 48.6 的 Cu93Ge4Au3 薄膜，其電阻率對對數溫度作圖。．．．． 90 (圖 4-24) 編號 1a 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結 果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 92 (圖 4-25) 編號 1a 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 92 (圖 4-26) 編號 1b 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結 果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 93 (圖 4-27) 編號 1b 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 93 (圖 4-28) 編號 2 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結 果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 94 (圖 4-29) 編號 2 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 94 (圖 4-30) 編號 3 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結 果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 95 (圖 4-31) 編號 3 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 95 (圖 4-32) 編號 3 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻變化量Δ 對磁場開根號R

B

於不同 溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 96 (圖 4-33) 編號 3 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其電阻變化量Δ 與對數尺度的磁場 B 於R 不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 96 (圖 4-34) 編號 4 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結 果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 97 (圖 4-35) 編號 4 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 97 (圖 4-36) 編號 5 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結 果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 98 (圖 4-37) 編號 5 的 Cu93Ge4Au3薄膜，其負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 98 (圖 4-38) 所有厚度皆為 150 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜於溫度0.26 K 的磁電阻曲 線。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 99 (圖 4-39) 所有厚度皆為 150 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜於溫度3.5 K 的磁電阻曲 線。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 99

(圖 4-40) 於圖 4-23 中增加了兩道箭頭方便討論。．．．．．．．．．．．．101 (圖 4-41) 於圖 4-1(a)中增加了兩道箭頭方便討論。．．．．．．．．．．．． 101 (圖 4-42) 厚度為 500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量 測結果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103 (圖 4-43) 厚度為 500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁 場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103 (圖 4-44) 厚度為 1000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的 量測結果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 104 (圖 4-45) 厚度為 1000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁 場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 104 (圖 4-46) 厚度為 1500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的 量測結果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 105 (圖 4-47) 厚度為 1500 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁 場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 105 (圖 4-48) 厚度為 1500 Å 且經過加熱退火的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的量測結果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 106 (圖 4-49) 厚度為 1500 Å 且經過加熱退火的 Cu93Ge4Au3薄膜之負的電導變化量

) 0 ( / ) (B R²

ΔR 對磁場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．． 106 (圖 4-50) 厚度為 3000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之電阻R 對磁場 B 於不同溫度下的 量測結果。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 107 (圖 4-51) 厚度為 3000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之負的電導變化量ΔR(B)/R²(0)對磁 場B 於不同溫度下的變化情形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 107 (圖 6-1) 編號 1a 的 Cu93Ge4Au3薄膜之R_square對溫度T 的數據與分析圖形。．．112 (圖 6-2) 編號 1b 的 Cu93Ge4Au3薄膜之R_square對溫度T 的數據與分析圖形。． 113 (圖 6-3) 編號 2 的 Cu93Ge4Au3薄膜之R_square對溫度T 的數據與分析圖形。．． 114 (圖 6-4) 編號 3 的 Cu93Ge4Au3薄膜之R_square對溫度T 的數據與分析圖形。．． 115 (圖 6-5) 編號 4 的 Cu93Ge4Au3薄膜之R_square對溫度T 的數據與分析圖形。．． 116 (圖 6-6) 編號 5 的 Cu93Ge4Au3薄膜之R_square對溫度T 的數據與分析圖形。．． 117 (圖 6-7) 厚度為 3000 Å 的 Cu93Ge4Au3薄膜之熱電勢對溫度的變化圖。．．． 120

(表 3-1) 為位於³He pot 之 RuO2溫度計之電阻和溫度的關係。．．．．．．． 64 (表 4-1) 二維 Cu93Ge4Au3薄膜樣品名與編號，分別對應到不同的無序程度。． 71 (表 4-2) 二維 Cu93Ge4Au3薄膜其無序程度相關之係數。．．．．．．．．．． 72 (表 4-3) 不同厚度之 Cu93Ge4Au3薄膜樣品其無序程度相關之係數。．．．．． 73 (表 4-4) CuZrAl 合金塊材其無序程度相關之係數。．．．．．．．．．．．． 73 (表 4-5) 不同無序程度的二維 Cu93Ge4Au3薄膜之有無磁場的α 值。．．．． 75 _T (表 4-6) CuZrAl 合金塊材於低溫時，電子的屏蔽係數。．．．．．．．．．． 80 (表 6-1) 二維樣品無外加磁場的數據，分析後的統計數值。．．．．．．．． 118 (表 6-2) 為此系列樣品外加 4 Tesla 磁場的數據，分析後的統計數值。．．．． 118 (表 6-3) CuZrAl 合金塊材於低溫下電阻和溫度的關係，分析後的統計數值。． 118 (表 6-4) 經由熱電勢對溫度的量測，透過分析可得到費米能量、電子濃度、和費 米速度的值。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 120

第一章 緒論

任何系統的導電特性，可藉由測量此系統的電阻、外加偏壓測量電流、外加 電流測量電壓…等方式，而有更多了解。而測量整個系統的導電特性，為大量電 子傳輸行為統計平均後的結果。因此研究電子的傳輸行為，便可藉由電性的量測 結果，作為深入的討論和分析。本篇論文研究的方向偏向電子於金屬性系統中的 傳輸行為，所以本章節從電子於完美晶格中，古典的傳輸行為作為開端。

最早開始討論微觀電子的運動情形對於導電特性的影響，是想像導電電子在 系統中被視為像氣體分子般的粒子，這些電子即處在一個靜電位勢到處都一樣的 空間中運動(假想系統為完美的晶格構成)，稱為自由電子氣模型(free electron gas model)。以古典的統計理論出發，假設電子在動量和位置空間中的分佈函數為

) , , (t

r p

f ，則電子於某個時間 t 在單位相空間的數量為 f(t,

r

(t),

p

(t))d

r

d

p

。假設 於某個時間內電子間沒有發生任何的碰撞，則電子的分佈函數隨時間的變化量為 零，即 =0

dt

df 。反之，當電子間發生了碰撞事件，則電子的分佈函數隨時間的變

化量不為零，即 ≠0 dt

df 。此時波茲曼作了一項近似︰分佈函數的變化量隨時間的 改變正比於分佈函數的變化量，且反比於回復時間，

) 1(

) (

0 f f0

dt f f

d − =− −

τ

， (1-1) 其中 f 為分佈函數的初始態， f 為改變後的分佈函數，τ 為回復時間。由此方程₀ 式可看成有一回復力使其回復到原本的狀態。而(1-1)式可進一步改寫為

) 1(

f0

dt f d f dt d f t f dt

df =− −

∂ +∂

∂ +∂

∂

=∂

τ p p r

r

， (1-2) )

1( f0

f f

t f

f + ⋅∇ + ⋅∇ =− −

∂

∂

τ

p

r

F

v

， (1-3)

波茲曼的的第二個假設為分佈函數是線性的︰ f(t,

r

,

p

)= f₀(

ε

)+ f₁(t,

r

,

p

)。則(1-3) 式可改寫為

0 1

1 1 1

)

( f

d f df

t f

τ ε

⁼⁻

⋅ +

∇

⋅

∂ +

∂

v

_r

F v

， (1-4)

其中

v

m p dp d m

p ⇒ = =

=

ε

ε

2

2

，所以

d v v df f dp d f dp df p f p

f f p f

ε ε

ε

ε

^{0 0 0}

0 0 1

0 )

( =

∂

=∂

∂

=∂

∂ =

≈∂

∂ +

=∂

∂

∂ (此部分假設

f

₁很小)。然而，在

一恆穩態的系統(steady state)，如考慮外加一直流通過系統

F = − e E

，則 ¹ =0

∂

∂ t

f 且

0

1 =

∂

∂ x

f 。那麼(1-4)式則可寫成

) 1 ( ) ) (

(

E v

⁰ f₁

p

d

e df

τ ε

ε

₌₋

⋅

− ， (1-5)

) ) (

(

0 1

p

E

v

f

d e ⋅ df =

ε

τ ε

。 (1-6)

根據電流密度的定義

j

=−evN，帶入上述的電子分佈函數可得

− Ω Ω =

− + Ω =

−

=

_v ∑ _v ∑ _v ∑

^p

j

1 1

0 )

( f

f e e f

e f ， (1-7)

將(1-6)式帶入式中的第三個等式，即為

∫

−

= dk

d v df e k

ε π

τ

_{2 2 0}

2 2

3

E

j

。 (1-8)

由歐姆定律

j

=

σ E

，則對(1-8)式計算後便可得電導的大小，

m

τ

σ

=

ρ

1 = ^ne

² 。 (1-9)

不同的散射事件(如彈性碰撞率1/

τ

_e、電子—聲子散射率1/

τ

_ep…等)對電阻的 貢獻是相加的，因此考慮所有的散射對電阻的貢獻為

1 1 ...

ep

e τ

ρ

=

τ

+

。不同的散射 事件對溫度的關係，使得由波茲曼理論預測的電阻率隨溫度的變化如圖1-1 所示。

(圖 1-1) 波茲曼傳輸理論所預測的電阻率隨溫度的變化圖。在溫度較高的部 分，

ρ

∝T；在溫度於中間某個範圍時，

ρ

∝T⁵；而當溫度到更低溫時，電阻率 只剩下為常數的殘餘電阻率。

當此系統不再為完美的單晶，即系統中存在缺陷、參雜其他元素，而導致系 統的無序程度增加時，電子於低溫下的傳輸行為，就不再如同波茲曼傳輸理論所 預測，如圖1-2 所示。此時就需要借助量子力學，考慮電子的波動性來修正。

於

第二章理論

的部分，討論考慮電子波動性影響電導的前提，且描述電子運

動狀態的物理模型，進而整理出目前因電子波函數干涉效應對電導和磁電阻造成 影響的理論和實驗相關文獻。

第三章實驗方法

，陳述如何設計和製作符合能測量 到電子波函數干涉的樣品，及介紹低溫量測的方法。

第四章實驗結果與討論

，以 第二章理論的部份當作知識背景，對量測結果進行分析討論，同時也指出目前無 法解釋仍需進一步研究的部份。

第五章結論

，對這份論文的研究作一個總結。而

附錄

的部份，包括第四章統計分析時的詳細數據結果、也放進Cu93Ge4Au3薄膜 的相關研究，如熱電勢測量。

(圖1-2) 電阻於低溫部份開始往上升，而非波茲曼理論所預測的殘餘電阻 率。(Giordano et al., 1979)

第二章 理論

2.1 量子效應修正電導

2.1.1 電子波動性的顯現—相位相干

在典型的波茲曼傳輸理論(Boltzmann transport theory)，電子於傳輸的軌道 中，其碰撞事件之間是彼此獨立的﹔如電子發生一次彈性碰撞所走的距離 l，甚 大於電子的波長λF(Fermi wavelength)，這時我們可以說電子在運動的過程中幾乎 感受不到自身的波動性。然而，隨著彈性碰撞的距離 l 縮短，電子的波動性就會 逐漸的清晰，波茲曼的傳輸模型就需要給予適當的修正。藉由比較彈性碰撞的距 離 l 和電子波長λF的大小，我們可以對任何系統給出一個定量的值，來描述波動 性介入傳輸所造成影響的大小﹔一般通用的方式，為計算

k

_F

l

值，由於

F F

= k λ π /

2

，

k

_F為電子的費米波向量(Fermi wave vector)，所以

k

_F

l

其實只是另一 種表達比值的方式(相差

2

π )，對於估計數量級有很大的幫助。

如圖2-1，當

k

_F

l >> 1

，電子彈性碰撞的距離 l 甚大於電子波長λF，亦即電子 與雜質或邊界的碰撞次數甚少，也就是所謂的彈道式傳輸，電子的傳輸方式即如 波茲曼傳輸理論所預測﹔在整個空間中，電子的傳輸行為可用延展態來描述，其 位於某個位置的不確定性為無窮大

∆x → ∞

。當

k

_F

l << 1

，相較之下，電子彈性碰 撞的距離 l 甚短，可想像成電子不斷的遇到碰撞事件，不斷受到碰撞的電子幾乎 被局域在某個空間，其為於某個位置的不確定性

∆ x

為有限值﹔電子波函數的干 涉效應明顯，這樣的現象首度於1958 年被 Anderson 所提出，他認為電子以指數 形式局域(exponentially localized)在某個空間。所以，我們已討論到兩種極端情 況，也使得電子分別對應到不同的態(states)，前者是延展態、後者是局域態﹔

由電子彈性碰撞的距離 l 大小，可換成電子碰撞事件的多寡，因此前者對應到的 是碰撞次數甚少的完美週期性晶格、後者對應到的是碰撞次數較多的無序系統。

而存在這兩種極端情形之間的是

k

_F

l ≥ 1

，電子的碰撞事件之間不能再視為獨立的 個別事件，電子波函數之間的干涉效應就不能再被忽略﹔此時，我們將電子的態 歸類為弱局域狀態，而對應到的系統為弱無序系統，同時，我們認為電子所做的

運動為擴散式運動，亦即隨機無規行走，因所遭受的碰撞是無規則的。在這裡，

我們所感興趣的正是弱無序系統，由不能再被忽略的電子波函數干涉效應中，我 們的確觀察到此效應對電導的修正。

(圖 2-1)

k

_F

l

值粗略分為三種數量級。

∆ x

為電子所在位置之不確定性，分 別對應到不同的

k

_F

l

值。

2.1.2 擴散運動

由上節，我們得到電子在弱無序系統的運動方式為擴散運動。因此，這一節 我們進一步討論擴散運動。

電子的平均彈性碰撞長度

l

，和平均彈性碰撞時間

τ

_e，以費米速度

v

_F作為連 結，l=v_F

τ

_e(如圖 2-2(a))﹔這是因為電子在兩次彈性碰撞之間，沒有其他的散射。

如果我們接著要關心的是經過時間 t 大於彈性碰撞時間

τ

_e，電子又做擴散運動，

那麼電子離出發點的距離 r，就不能再用費米速度和時間 t 做連結(如圖 2-2(b))，

而必須要用描述擴散運動的方程︰

Dt

r² = ， (2-1) D 為擴散常數，

D = v

_F

l / d

，d 是樣品的空間維度。即經過時間 t 電子離出發點的 距離為r= Dt。而透過這個關係式，當電子離出發點的距離為

L

，

L

又為樣品 實際的尺寸，那麼所經過的時間，便可說是電子感受到樣品空間為有限的時間，

換句話說為電子感受到邊界的時間，此時間稱為Thouless timeτ ， _D

D

D =L²/

τ

。 (2-2) 所以當我們所觀察的時間尺度小於τ ，電子就像在無限大的空間運動。如圖_D 2-3，所觀察的時間小於彈性碰撞時間

τ

_e，電子就如同彈道式傳輸﹔所觀察的時 間介於

τ

_e和τ 之間，電子的運動方式可用擴散方式來描述﹔若所觀察的時間大_D 於τ ，電子的運動方式為各種狀態都經歷(ergodic)。 _D

(圖 2-2) (a)電子做一次彈性碰撞，所走的距離

l

和所花的時間

τ

_e。(b)電子做 擴散式運動，所經歷的時間t > ，離出發點的距離 r﹔其中任兩次碰撞之間的距

τ

_e 離為彈性碰撞的距離

l

。

(圖 2-3) 觀察的時間尺度以彈性碰撞時間

τ

_e和Thouless timeτ 作劃分，可將_D 電子的運動方式分為三種。

電導是一個平均的物理量，可看成是測量電子橫跨整個系統的機率。縮小範 圍來看，我們想知道電子從 rr 點傳輸到 rr′ 點的機率為多少。首先，以量子力學的 計算方式，我們定義電子從 rr 點到 rr′ 點的機率振幅(probability amplitude)為

l

r l

(a) (b)

τ

e

t > τ

_e

t τe

ballistic diffusive ergodic τD

) ' , ( rr

P r r ，而電子從 rr 點到 rr′ 點有很多種可能性，如圖2-4，因此P( rrr,r')必須是各 種路徑機率振幅的和，

∑

′ =

j i j

e

j

r r

P ( r r , )

ψ ^θ ， (2-3)

j 為各種路徑。而電子從 rr點到 rr′ 點機率為

j j

j i

j j

i j j j

i

je e e

r r

P ^{− ′}

′ ′

∑

∑

⁺

′ =

ψ

^θ

ψ ψ

^{θ θ}

, 2 2

* )

,

( rr ， (2-4)

上式有和雙狹縫繞射一樣的數學形式。如圖2-5(a)為(2-4)式的第一項，機率振幅 和本身的共軛複數相位變化量相同，(2-4)式第二項如圖 2-5(b)為不同的軌跡 j 和 j′ 的干涉項，以古典的擴散運動而言，由於造成散射的雜質是隨機排列的，使得 第二項的相位關係也是隨機的，因此第二項因總和結果導致正負平均而被刪除，

這也是不考慮量子干涉的結果，

2 2

) ,

( ^{′ =}

∑

j i j

e j

r r

P ^{r r}

ψ

^θ 。 (2-5)

(圖 2-4) 電子從 rr 點到 rr′ 點有很多種可能路徑，不同路徑就有不一樣的機率 振幅，因此計算 rr 點到 rr′ 點的機率，就必須將不同路徑的機率振幅都給考慮進來。

(圖 2-5) 以實線和虛線分別表示機率振幅和其共軛複數，(a)為古典項，(b) 為干涉項。

從統計力學出發，在古典的擴散運動中，電子從單位體積內的 rr 點到單位體 積內 rr′ 點的機率密度為

(

Dt

)

^{d e r r Dt}

t r

r _/2 ^{' /4}

2

4 ) 1 ,' ,

(r r = ^−r−r

P π

， (2-6) 其中 D 為擴散常數、d 為電子所處在空間的維度。固定時間 t，電子從 0 點到空 間各點的機率密度分佈情形，如圖2-6 所示。如果我們特別在乎某一種特殊情形—

為電子從 rr 點再回到 rr 點，則此時的機率密度大小為

(

4

)

^/2

) 1 , ,

( _d

t Dt r

r^{r r =}

π

P

， (2-7)

為圖2-6 中，

x

軸原點所對應的 y 軸的值。

(2-6)式和(2-7)式所考慮的情形為單一擴散事件的情形，如果我們希望能總和 整個樣品空間所有回到各自原點的擴散事件數，則需將(2-7)式以 rr 做變數對整個 樣品空間積分，得到

(

4

)

^/2

)

( _d

t Dt

π

= Ω

P

， (2-8)

Ω 即為樣品的體積。

j j*

r

r’

j

j’*

r r’

(a) (b)

r P_H0,r,t_L

(圖 2-6) 固定時間 t，電子從 0 點到空間各點的機率密度分部情形。

2.1.3 定義無單位之電導(dimensionless g)

給定一電導值為 G，因為電導的單位和 e²/h 相同，所以可以引進一個沒有單 位的電導 g

se h

g= G₂ ， (2-9)

當考慮電子自旋時，s=2。由於 g 是沒有單位的，以下的討論將致力於把無單位 的電導 g 化成兩個體積的比值。

首先，先考慮古典Drude 模型下的電導率 σ0。從Einstein 的關係式，

0 2

0

ρ

σ

=se D ， (2-10)

D 是擴散常數、

ρ

0是單一自旋方向於費米能階(Fermi level)的能態密度(density of state)。假定樣品各個維度的長度皆為 L，則電導率 σ0和電導 G 的關係為

2

0 −

= L^d

G

σ

， (2-11)

再將(2-10)式帶入(2-11)式，其中(2-10)式的擴散常數 D 以(2-2)式所定義的 Thouless time τD來帶入，因此重寫的電導 G 為

D d d

D

L se L L

se

G

ρ ρ τ

τ

^{0 2 2 0 /}

2 2 =

= ⁻ 。 (2-12)

對於費米能階上的能態密度

ρ

0，我們用估算的方式來求得︰在樣品裡面所有能 態的數目約為

( )

k_FL ^d，所以單位能量有多少態

ρ

₀即為

1 1

0

1

−

− ≅

=

∝ _d

F F F d F F d F

v v k k

λ ρ ε

h

h 。 (2-13) 由(2-13)式的結果，無單位的電導 g 便可表示成

D F d F v g

λ

⁻¹

τ

∝ Ω ， (2-14)

為兩個體積的比值。Ω=L^d為整個樣品的體積；分母的部分為電子在τ 時間內_D 走的總長度，再乘上

λ

^d_F⁻¹的截面積，所構成的體積。此表示為兩體積之比值的無 單位電導g，在之後的章節可看到其對干涉效應的重要性。

2.1.4 量子效應和電導之關係

古典的擴散運動如2.1.2 節所示，忽略電子有相位的問題。然而，當兩個電 子波函數於某個短暫時間在空間上交會在一起時，於某個空間大小裡面，干涉項 只要不要被平均後消去，就有可能被保留。如圖2-7(a)，在空間上機率振幅沒有 交叉(crossing)在一起，相位之間無法產生干涉；而圖 2-7(b)表示，假如兩個機率 振幅一起進入圓形區域時，其相位一樣，又一起進入圓形區域內，於圓形區域內 兩個機率振幅分辨不出彼此，換句話說，機率振幅間可互易，則兩機率振幅在此 區域內形成建設性干涉。而此區域的大小，顯然和電子波長λF有必然的相關；

且兩機率振幅於某次遭受散射，進入此區域，又再次離開此區域為遭受下一次散 射，因此兩次散射間的平均碰撞長度l ，也和此區域大小有關。由此定義出此圓_e 形區域的大小為

λ

^d_F⁻¹l_e(d 為空間維度)，又稱為 Hikami box。

而估算量子干涉效應中建設性干涉對電導的修正的大小顯然是重要的，又估 算量子干涉須從機率振幅有交叉情形出發，因為有機率振幅的交叉才有建設性干

涉的可能性。令

p

_×為發生此交叉軌跡的機率(下標”×”為交叉的意思)，倘若時間 從 t 到 t+dt，其機率為

D F

d

F dt

g dt t v

dp

τ

λ

1

) (

1 ∝

= ⁻Ω

× ， (2-15) 為發生此單一事件的體積，除上整個樣品空間的體積，即發生此事件的機率。由 (2-14)式，引進無單位的電導 g，則(2-15)式可寫成第二部分。而考慮此單一事件 經歷Thouless time τD，發生此量子干涉的機率為

g t v

dp

p

^{D F D}

d F D

) 1 ( )

(

0

1

∝

= Ω

= ∫

^{× −}

×

τ λ τ

τ ， (2-16)

其中 τD是電子遇到邊界的時間，也就是兩個機率振幅所能保持相位相同的最長 時間(假定 τD <

τ

_ϕ)。因此，得到電子發生相位干涉的機率反比於電導！由此數 學上的證明和我們的物理直覺有一致結論。例如在一導電良好的金屬，我們知道 電導 g 是很大的，且電子的碰撞次數甚少，電子在樣品中的行為就近似圖 2-7(a)，

那麼所形成量子干涉，也就是機率振幅交叉的空間就甚小，因此古典波茲曼傳輸 模型即可給一正確的預測。另外，當電導 g 漸小而接近於 1 時，我們知道此時電 子所處的系統很無序，當然電子就處在不斷碰撞的環境，由不斷的碰撞事件中，

遭遇機率振幅交叉的情形必然增加，如同(2-16)式可看出機率振幅交叉的空間幾 乎要等於這個樣品大小，這時我們可以想像電子幾乎被侷限在某個空間。

(圖 2-7) 機率振幅在空間上的交叉與否，影響彼此間是否能有干涉的機率。

(a)兩機率振幅空間上沒有交叉；(b)兩機率振幅有交叉，在圓形區域內會有干涉 效應。

r r

1

’

(a) (b) r

r

2

’

2.2 弱局域理論

弱局域理論可修正以波茲曼理論做預測的電子行為，尤其當電子處在弱無序 的系統，此修正更為明顯。

2.2.1 弱局域之物理圖像

電子在傳導時，於空間中的某個A 點到 B 點，有很多種可能性，如圖 2-8 所示。在前幾節曾經多次強調，我們討論的範圍在弱無序的系統，即電子有多次 散射機會，做擴散運動。因此電子從A 點到 B 點的過程中有較高的散射機率，

就很有可能形成3 號路徑，於 A 到 B 的過程中，形成一個迴圈(loop)。此迴圈即 為整個弱局域理論的根源。

以概念式的觀點來看這個迴圈︰當有3 號路徑形成時，電子可選擇走 3’方 向，或是3”方向，3 號路徑的機率變為原本的兩倍，電子在 O 點的機率增加，

也就變成電子從A 點到 B 點的機率變小。電子傳導出去的機率變小，則可說整 個傳導空間的電阻上升。

(圖 2-8) 電子從 A 點傳導到 B 點有多種可能路徑，其中 3 號路徑形成迴圈。

電子走此路徑時便有兩個方向作為選擇。

若進一步探討微觀機制，可看成路徑為3 號的波函數，碰到迴圈形成兩個波 函數，於迴圈中有不同方向，在繞行完迴圈後，因所走的總路徑相同，且過程皆 為彈性碰撞，則會以相同相位同時進入如圖2-9 所示的圓形區域(位於迴圈下方 之線條較粗的圓形)。由 2.1.4 節，即兩波函數進入可發生干涉的區域—圓形區域，

又進入此區域的兩個波為相同相位，因此產生所謂的建設性干涉。

(圖 2-9) 實線和虛線表示兩個波函數於迴圈中走相反方向，而繞行完迴圈同 時進入下方圓形區域。

在實際的空間中，電子經由多個散射點而構成一個迴圈軌跡，如圖2-10 所 示，每個散射點則用數字表示。假設電子以

k r

h

的動量入射，離開此迴圈的動量 為

k r

− h

，電子可從第1 號散射點到 2 號、3 號…回到 8 號；也可從第 1’散射點到 2’號、3’號…回到 8’號，其 8 個散射點為相同的散射點。

兩波函數經歷相同散射點，只是運動軌跡的方向相反，那麼其動量變化量也 要是對稱的，即構成所謂時間反演對稱(time reversal symmetry)。假設進出迴圈的 動量變化為正負方向的變化，如圖2-11 所示，為電子在動量空間(k space)的示意 圖。電子的動量變化可由逆時針或順時針的方向，分別為(2-17)式和(2-18)式，其 中 qr 為造成散射的動量。

k q k k q k k

q k k q k k

i i n

n n

r r r r r

r r r

r r r

r

r^{→ + 1= 1′→ 1′+ 2 = 2′ →......→ ′+1+ = ′ = +}

∑

⁼⁻ (2-17)

k q k k q k k

q k k q k

kr r r_n r r r_n r r_n r_n r_n r r_i r

∑

⁼⁻

+

′′=

=

′′ +

→

′′→

=

′′+

′′→

= +

→ _{1 1 −1 2} ... ₊₁ (2-18)

(圖 2-10) 電子在實際空間的散射情形，相同路徑有兩種可能性。

(圖 2-11) 電子在動量空間的動量改變情形，可分為上下兩半部的情形。

由電子在迴圈的交叉處產生建設性干涉，代入(2-4)式，我們可以寫下從迴圈 開始點(O 點)到迴圈結束點(一樣是 O 點)的機率大小，

∑

∑

∑

∑

∑

=

+

=

+

=

′ ′

−

′ ′ ^′

j j

j j

j j j

j

i j

j

i j j j

i j

j j

j e e

e O

O P

2 , 2

, 2 2

2

*

* )

, (

ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ

^{θ θ θ}

， (2-19)

，j 為不同路徑，j’和 j 相同迴圈卻不同方向，其中

ψ

_j =

ψ

_j′。由(2-19)式可得到在 迴圈的交叉點處，電子的機率為古典不考慮干涉效應的兩倍。電子在整個空間的 機率分佈，如圖2-12 所示，在 O 點機率為原來的兩倍，而擴散到其他點的機率 則如原本的古典預測。而弱局域所加進的干涉項對電子從O 點回到 O 點的機率 變化大小，則和古典機率相等，(2-19)式中第二個等式兩項相等，

2 int

2 ( , )

) ,

(O O P O O

P_cl = ， (2-20)

cl 為古典項，int 為干涉項。

(圖 2-12) 加進弱局域理論後，電子在空間的機率分佈圖。

2.2.2 弱局域對電導之修正

由(2-20)式，我們知道干涉項在弱局域理論中所貢獻的機率和古典項相等，

而古典項的機率密度如(2-7)式所示，

( )

^/2

int 2

4 ) 1 , , ( ) , , ( )

, ,

( _{cl d}

cl O O t O O t O O t Dt

P ⁼

^P

⁼

^P

⁼

π

^。 (2-21)

因此將干涉項貢獻的機率對整個空間積分，雖然得到和(2-8)式的結果，然而 在這裡的意思是︰整個系統中，形成迴圈(即造成波函數交叉)的個數數量。

( )

( )

2 / 2

/

2 int /

4 4

4 ) 1

, , ( )

(

d D d

cl d

Dt t

Dt dr dr

t r r t

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

= Ω

=

=

∫ ∫

π τ π

P π P

， (2-22)

Ld

=

Ω 為系統的體積大小，最後的結果為將D 代(2-2)式而得。

在(2-16)式中，為計算發生單一波函數交叉事件的機率。而以弱局域的觀點，

整個系統發生波函數交叉的總事件如(2-22)式所計算，因此想要計算整個系統經 過 τ_D時間發生量子干涉的機率為

D D

t dt t g

dp t

p ^{D D}

τ

⁼

∫

0^τ int ^{× ∝}

∫

0^τ int

τ

0 1 ( )

) ( ) ( )

(

P P

， (2-23)

)

0( D

p

τ

下標”0”為迴圈的意思。而我們同時記得積分上限的時間不能大於相位破 壞的時間，也就是時間 t 需小於等於時間

τ

_ϕ(相位維持時間)。所以計算整個系統 發生量子干涉的機率改為

D D

t dt t g

dp t

p ^{D D}

τ

⁼

∫

^{τ τϕ × ∝}

∫

0^{min(τ ,τϕ)} int

τ

) , min(

0 int

0 1 ( )

) ( ) ( )

(

P P

， (2-24)

因此積分上限視哪個時間 τD或

τ

_ϕ較短而決定。

而到目前為止，我們的重點一直擺放在計算整個系統發生弱局域致量子干涉 機率，其原因在於弱局域效應對整個系統電導的修正等於系統中發生弱局域效應

的機率，

)

0(

0 0

τ

ϕ

σ

σ

p

G G =−

= ∆

∆ ， (2-25)

σ

∆

為電導率因弱局域效應的改變量，

σ

₀為殘餘電導率；

∆ G

為電導因弱局域的 效應的改變量，G 為殘餘電導。之所以在機率前有一負號，是因為此效應對電₀ 導的修正是負的。

因此可寫下電導的修正為

∫ ^⎜ _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^⎞

−

=

∆

^{min( , )}

2 / 0

4

τϕ

τ

τ π τ

τ

D

e D

d

D

dt

t g

G G

， (2-26)

其中積分下限改為一次彈性碰撞的時間

τ

_e，因為要產生弱局域效應需經歷一連串 的彈性碰撞，因此

τ

_e為最小的時間下限。決定電導修正之後，可分為兩個系統做 討論，其中一個是

τ

_D >>

τ

_ϕ、L>>L_ϕ；另一個是

τ

_D <<

τ

_ϕ、L<<L_ϕ，其中 L 為 樣品的某一維度的大小。

考慮

τ

_D >>

τ

_ϕ、L>>L_ϕ的情形。首先在一維的系統，將(2-26)式代入 d=1 的 條件，G /₀ g的值由(2-9)式，則電導的修正為

( )

L L h se h se h se

dt t h

G se

D e D

D e D

D D

e

ϕ ϕ

ϕ τ

τ

τ τ τ

τ

τ τ π τ

τ

τ π τ

ϕ

×

−

≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

×

−

≅

×

−

×

⎟ ×

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∆

∫

2 2 2

2 / 2 1

2 1 4

4

2 / 1

， (2-27)

其中 τ 和 L 的關係式如(2-1)式所定義r² =Dt，因此第三個等式的第一項可推到 第四個等式；而第三個等式的第二項因

τ

_e甚小，所以近似為零。所得到第四個等 式的結果為一維系統弱局域理論對電導的修正值。

在二維系統中，一樣是考慮

τ

_D >>

τ

_ϕ、L>>L_ϕ的情形，將(2-26)式帶入 d=2 的條件，則電導的修正為

e e

D e D

D D

l L h se

l L h

se h se

dt t h

G se

e

ϕ ϕ

ϕ τ

τ

π π

τ τ τ π

τ τ π τ

ϕ

ln 4 ln 1

ln 1 4

4

2

2 2 2

2 2

×

−

≅

×

×

−

=

×

⎟×

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∆

∫

， (2-28)

所得到第四個等式的結果為二維系統弱局域理論對電導的修正值。

而三維系統可以同樣的計算方式得出。將弱局域理論對一、二、三維系統的 電導修正列於如下，

一維， L

L h G=−se × ^ϕ

∆ ² ； (2-29)

二維，

le

L h

G se ^ϕ

π

^ln

2×

−

=

∆ ； (2-30)

三維， ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

×

−

=

∆

π

Lϕ

L l

L h G se

2 e 2

； (2-31)

其中

L

_ϕ

∝ T

^−n/2，T 為溫度，n 為某個整數。因此可以得到有名的弱局域理論對 二維系統電導的修正為

二維︰

∆ G ∝ ln T

， (2-32) 而

∆ R ∝ ∆ G

(正負號相反)，所以電阻對溫度的修正有一樣的形式。一個定量上且 為分析時廣泛被使用的結論為