勾股定理證明-G150

(1)

勾股定理證明-G150

【作輔助圖】

1. 分別以BC , AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形 ABKH .

2. 過 C 點作與AB 垂直的直線，分別交 HK , AB , GF 於 L 點, M 點, N 點。

3. 連 CH , CK 與連 NA , NB .

A B

H

C

K

D E

G

F

N L

M

【求證過程】

分別以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 、正方形 ACFG 與正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於長方形 LKBM 的面積加上長方形 LHAM 的面積，證明 長方形 LKBM 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時長方形 LHAM 的面積也與正方形

ACFG 的面積相等，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明四邊形 KBNC 與四邊形 CNAH 皆為平行四邊形：

在 CFN 中，因為FCN ACM 90^ CAB ACM ，所以 FCN  CAB， 又 CFN  ACB, CF CBBF   a (b a) b AC，可推得

CFN ACB

   (ASA 全等), 即 CN c。因為 CN // KB , CN KBc，所以

(2)

四邊形KBNC為平行四邊形。

因為 CN // HA , CN HAc，所以

四邊形CNAH為平行四邊形。

2. 證明三角形 KCB 面積等於1 ²

2a 且三角形 NCA面積等於1 ² 2b ： 在 ACB 中，由母子相似性質知MB AB CB², MA AB CA²，即

2 2

CB a MB AB  c ,

2 2

CA b

MA AB  c ，因此

2

1 2 1 2 1 . 2

KCB KB MB

c a c a

   

  

 面積且

2

1 2 1 2 1 . 2

NCA CN MA

c b c b

   

  

 面積 3. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

2 2

1 1

2 2

ABKH LKBM LHAM

KBNC CNAH

KCB NCA

a b

 

   

   



正方形面積形面積形面積

形面積形面積

長方長方

平行四邊平行四邊

面積面積

a²b², 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍：

(3)

J. M. Richardson(1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 15.

2. 心得：此證明先將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形面積，再分別轉換成平行四 邊形面積，然後再分別轉換成兩個三角形面積，最後都轉換成正方形面積。

此證明利用面積相等的關係，一步驟一步驟慢慢地推導，最後就能得到勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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