用微分計算泰勒多項式 單維彰‧

用微分計算泰勒多項式

單維彰‧2015 年 5 月

前面學習的擴張型基本公式，現在就要派上用場了！我們已經知道 ( )f x 可 以寫成泰勒形式：

2 3 4

0 1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x c c xa c xa c xa c xa 

(1) 代入x ，我們可以發現a c₀  f a( ) (2) 將左右兩式微分，則可得到

2 3

1 2 3 4

( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) f x  c c xa  c xa  c xa 

代入 x ，我們發現a c₁  f a( )。 (3) 再將左右兩式微分，則可得到

2

2 3 4

( ) 2 6 ( ) 12 ( ) f x  c  c x a  c x a 

代入 x ，我們發現a ₂ 1 2 ( )

c  f a 。 (4) 繼續將左右兩式微分，則可得到

3 4

( ) 6 24 ( ) f x  c  c x a 

代入 x ，我們發現a ₃ 1 6 ( )

c  f a 。

依此類推，讀者很容易觀察一條規律。因為基本公式的接續運作，使得以上 係數的分母，有累積的效果：2 源自於 2 1 ，而 6 源自於3 2 1  。同學們也許已 經可以猜想 ₄ 1 ⁽⁴⁾

24 ( )

c  f a ，而 24 源自於4 3 2 1   。一般而言，令 n 為正整數，

1 2 3  n的累積稱為 n 階乘，記作 n!。所以2!2，3! 6 ，4!24。為了 符號系統的方便，數學家「規定」0! 1 。

綜合以上所述，我們得知：若函數 ( )f x 以 a 為參考點的泰勒多項式為

2 3

0 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )

f x c c xa c xa c xa 

則每一項的係數是

1 ( )

! ( )

k

ck f a

 k

通常我們不須要做到很高次項，而前幾項就是

2 3

1 1

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 6

f x  f a  f a x  a f a xa  f a xa 

而如果 f x( )a x_n ⁿ   c₀ c x a_n(  )ⁿ，因為等式兩側的x 項各只有一個：ⁿ

n

a x 和n c x ，可見泰勒形式的最高次項係數就是_n ⁿ c_n  。這個特例不須要採用前a_n 述的公式來算；而且，套用c 的微分公式，我們知道 _n

1 ( )

! ( )

n

f a an

n  。

先前我們已經知道 f^{( )n} ( )x 將是 0 次多項式函數，亦即非零常數；現在我們更知 道了

( )ⁿ ( ) n! _n f x   。 a

因為 f^{( )n} ( )x 是一個常數，所以再次確認了 f^(n1)( )x  。 0 現在，我們總算徹底明白泰勒多項式的計算公式了。

其實，只要有公式，電腦就會算。Maxima 計算泰勒多項式的指令就是「泰 勒」的英文名字 Taylor。其指令形式有四個參數，如下：

taylor( P, x, a, n)

其中 P 表示被轉換的函數式子，x 表示變數的名字，a 表示泰勒多項式的參考點，

而 n 表示泰勒多項式的次數。例如 taylor( x^2, x, a, 2 )

就是計算 f x( ) x²以xa為參考點的二次泰勒多項式，得到結果

2 2

2 ( ) ( ) a  a xa  xa  符合我們所知的

2

0 ( )

c  f a a ， c₁  f a( )2a， c₂ a₂  1

但是我們知道其泰勒多項式就只是二次多項式，沒有其他項了，但是 Maxima 在 此有點笨，它一律會在泰勒多項式後面寫…。你也可以把此處的 … 當作 0。但 如果下指令

taylor( x^4, x, -1, 3)

就是計算 f x( ) x⁴以x 1為參考點的三次泰勒多項式，得到結果

2 3

1 4( x 1) 6(x1) 4(x1) 

這裡的 … 就不是 0 了。我們現在可以反過來，從泰勒多項式的係數推論導數。

例如，從以上(x1)²的係數可以推論

1 ( 1) 6 ( 1) 12 2 f      f