2-2 多項式的四則運 算(1)

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高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.10.08 範

圍

2-2 多項式的四則運 算(1)

班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題’10 分 )

1. 設 f x 為一多項式﹐若 (( ) x+1) ( )f x 除以x²+ + 的餘式為 2x 1 x− ﹐則 ( )1 f x 除以x²+ + 的餘式為x 1 ____________﹒

解答 3x+ 2

解析 設 ( )f x 被x²+ + 除之餘式為 ax bx 1 + ﹐商式Q x

( )

f x = x + +x Q x + ax+ b

(x 1) ( )f x (x2 x 1) ( )(Q x x 1) (ax b x)( 1)

⇒ + = + + + + + +

=(x²+ +x 1) ( )(Q x x+ +1) a x( ²+ + +x 1) bx+ −(b a) =(x²+ +x 1)[Q x x( )( +1)+ +a] bx+(b−a)﹐ 此式表 (x+1) ( )f x 除以x²+ + 的餘式為x 1 bx+(b−a)﹐

得bx+ −(b a)=2x− ﹐故1 b= ﹐2 a= ﹐所求之餘式為3 ax+ =b 3x+ ﹒ 2 2. 多項式 f (x)滿足 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0﹐則 f (x)的常數項為____________﹒

解答 − 3

解析 f (x)的常數項為 f (0)

由 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0﹐代 x = 0

∴ 8 f (0) − 0 − 2 f (0) + 18 = 0 ∴ f (0) = − 3

3. 多項式 x³ − 4x² + 5x − 3 除以 f (x)的商式為 x − 2﹐餘式為 2x − 5﹐則 f (x) =____________﹒

解答 x² − 2x − 1

解析 x³ − 4x² + 5x − 3 = f (x)(x − 2) + 2x − 5 ⇒ f (x) =

2 2 3 4

3

− + +

−

x x

x = x² − 2x − 1

4. 求多項式x⁴−2x³+8x²+3x+18除以x²+ + 的(1)商 = ___________ (2)餘式 = ___________﹒ x 2 解答 (1)x²−3x+ ;(2)0 9

解析

1 3 9

1 1 2 1 2 8 3 18 1 1 2

3 6 3 3 3 6

9 9 18 9 9 18 0

− + + + − + + +

+ +

− + +

− − − + + + +

商為x²−3x+ ﹐餘式 0 9

5. 設多項式 ( )f x 除以x³+ 的餘式為1 2x²+ + ﹐求 ( )x 3 f x 除以x²− + 的餘式為____________﹒ x 1 解答 3x+ 1

解析 x³+ =1 (x+1)(x²− + x 1)

2 2 2 2

( ) ( 1)( 1) 2 3 ( ) ( 1) 2 3

f x ÷ +x x − +x "" x + + ⇒x f x ÷ x − +x "" x + +x

（但不符除法原理﹐餘式次數小於除式次數），所以再除

2 2

(2x + + ÷x 3) (x − +x 1)""3x+1﹐故餘式為 3x+ 1

第 2 頁 6. 設 f (x)為一多項式﹐a﹐b ∈ R﹐a ≠ 0﹐以 x −

a

b除 f (x)所得之商式為 Q(x)﹐餘式為 r﹐則以 x − b 除

f (a

x)所得之商式為____________﹒

解答 a

a Q(x)

解析 ∵ f (x) = (x − a

b)Q(x) + r ∴ f ( a x) = (

a x−

a b)Q(

a

x) + r = (x − b) a

a Q(x)

+ r

故以 x − b 除 f ( a

x)所得之商式為 a

a Q(x)

7. 設 f (x)以 x − a

b除之商為 q(x)﹐餘式為 r﹐則 x f (x) + 2 被(ax − b)除之商式為____________﹒

解答 a xq(x) +

a r

解析 f (x) = (x − a

b) q(x) + r

⇒ x f (x) + 2 = (x − a

b) xq(x) + xr + 2 = (ax − b) a

xq(x) + (ax − b)r a⁺

br

a + 2 (再除得之) = (ax − b)(

a xq(x) +

a r ) +

a br + 2

∴ x f (x) + 2 被(ax − b)除之商式為 a xq(x) +

a r

8. 設 x² − x + 2 除 x⁴ − x³ + x² + ax + 3 的餘式為 2x + b﹐a﹐b ∈ R﹐則數對(a﹐b) = ____________﹒

解答 (3﹐5)

解析 ∵ x² − x + 2 除 x⁴ − x³ + x² + ax + 3 的餘式為 2x + b

∴ x² − x + 2 | (x⁴ − x³ + x² + ax + 3) − (2x + b) = x⁴ − x³ + x² + (a − 2)x + (3 − b)

∴ a − 3 = 0 且 5 − b = 0 ∴ a = 3﹐b = 5

9. f (x) = 2x³ − 5x² − 8x + a﹐g (x) = x² − 4x + b﹐已知 f (x)是 g (x)的倍式﹐則 (1)a =____________﹒ (2)b =____________﹒

解答 (1)6;(2)2

解析 f (x) = 2x³ − 5x² − 8x + a 是 g (x) = x² − 4x + b 的倍式﹐即 g (x)整除 f (x)﹐用綜合除法

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餘式為 0﹐故 4 − 2b = 0﹐a − 3b = 0 得 b = 2﹐a = 6

10.若 x³ + 3x² + mx + 2 可被 x² + nx + 1 整除﹐則(m﹐n) = ____________﹒

解答 (3﹐1) 解析

∵ 整除 ∴ 1 3−n

= n m 1−

=1 2

，

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

− =

− = 1 2 1

1 2 1 3

n m

n

得

⎩ ⎨ ⎧

=

= 1

3

m ﹐故數對(m﹐n) = (3﹐1)

11.設

( 1 )( 2 )( 3 ) 1 2

−

−

−

+

−

x

x =

−1 x

A +

−2 x

B +

−3 x

C ﹐則實數序對(A﹐B﹐C) =____________﹒

解答 (1﹐− 7﹐8) 解析 利用

a b=

a

c ⇒ b = c

∴

( 1 )( 2 )( 3 ) 1 2

−

−

−

+

−

x

x =

) 3 )(

2 )(

1 (

) 2 )(

1 ( ) 3 )(

1 ( ) 3 )(

2 (

−

−

−

−

− +

−

− +

−

−

x x x

x x C x

x B x

x A

⇒ A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2) = 2x² − x + 1 令 x = 1﹐2A = 2 ∴ A = 1

令 x = 2﹐− B = 7 ∴ B = − 7 令 x = 3﹐2C = 16 ∴ C = 8

12.下式是小明利用綜合除法計算三次多項式 f (x)除以 x − 1 的算式﹐因不小心將飲料翻倒在計算紙 上﹐所以只能辨識部分數字：（無法辨識的數字以英文字母代替）若小明沒有計算錯誤﹐求 a + b + c + d 的值為____________﹒

1

) 5

3 8

a b c d

e f

g h

+ + +

+ + +

+ + −

解答 − 8

解析 a = g﹐g × 1 = 5 ∴ g = 5﹐b + 5 = 3 ∴ b = − 2﹐3 × 1 = e ∴ e = 3 又 c + e = h ∴ c + 3 = h﹐h × 1 = f﹐d + f = − 8

⇒ a + b + c + d = 5 + ( − 2) + (h − 3) + ( − 8 − f) = 5 + ( − 2) + (f − 3) + ( − 8 − f) = − 8 13.設 deg f (x) = 3﹐已知 f (1) = f (2) = f (3) = 4﹐f (4) = 34﹐則 f (x) =__________________﹒

第 4 頁 解答 5(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 4

解析 ∵ f (1) = f (2) = f (3) = 4 ∴ f (x)除以 x − 1﹐x − 2﹐x − 3 都餘 4 設 f (x) = a(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 4

∵ f (4) = 34 ∴ a(3)(2)(1) + 4 = 34 ∴ a = 5

∴ f (x) = 5(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 4

14.設 g(x) = 16x⁴ − 8x³ − 28x² + 16x + 5 = a(2x − 1)⁴ + b(2x − 1)³ + c(2x − 1)² + d(2x − 1) + e﹐則 (1)序組(a﹐b﹐c﹐d﹐e) = ____________﹒

(2) g(0.499) = ____________﹒（求近似值到小數第三位﹐第四位四捨五入）

解答 (1) (1﹐3﹐− 4﹐− 5﹐6);(2) 6.010 解析 (1)

得序組(a﹐b﹐c﹐d﹐e) = (1﹐3﹐− 4﹐− 5﹐6)

(2)由(1)﹐g(x) = (2x − 1)⁴ + 3(2x − 1)³ − 4(2x − 1)² − 5(2x − 1) + 6

則 g(0.499) = 6 − 5 × ( − 0.002) − 4( − 0.002)² + … = 6.009984…≒6.010