為什麼要研究動力系統 ?
演講者 : Keonhee Lee 教授 ( 韓國國立中南大學 ) 時 間 : 民國 108 年 11 月 21 日
地 點 : 中研院數學所 6 樓演講廳
數學無所不在, 它讓我們更深入地了解世界。
數學的世界
表達成為−−−−−→
數學公式
• 方程式 : F = ma
• ODE 或 PDE : NSE, RDE, 等等
−−−−→抽象化
• 動力系統
• 遍歷理論
• 代數, 拓樸 等
自然現象
↓
根據維基百科, 動力系統 (dynamical system) 可定義如下。
定義: 動力系統是描述相空間 (phase space) X 裡的點如何隨時間變動的系統; X 可以是拓 樸空間、 平滑流形、 測度空間或函數空間等等。
根據選取時間的不同方式, 動力系統可分類為 : 離散動力系統、 連續動力系統 (或稱流 (flow)), 及群作用 (group action) 動力系統。
動力系統由微分方程驅動, 而微分方程包括常微分方程 ODE 及偏微分方程 PDE。 考慮 Rn 上的微分方程組:
(A) x = X(x) ⇔
x1 = X1(x) ... xn = Xn(x), x(0) = x0 ∈ Rn
要找到給定之方程組的精確解 (exact solution) 並不容易。 即使能找到精確解, 要推導解曲線 的週期性、 遞迴性等長期行為 (long time behavior) 仍極其困難。
19 世紀末, Poincar´e 引介新方法, 在無法找到方程組的精確解的情況下, 仍可獲致解曲線 的定性資訊; 亦即, 設向量場 X 夠平滑, 使得方程組的解有存在唯一性:
H. Poincar´e (1854.4∼1912.7)
∀ x0 ∈ Rn, ∃! x : R → Rn, 使得 x(0) = x0,
且解連續地依賴於初始值, 則可將方程組 (A) 所有的解寫為一個函數:
φ : Rn× R → Rn, φ(x0, t) = x0(t),
其中 x0(t) 是通過 x0 的唯一解。 如此的函數 φ : Rn× R → Rn 是連 續的, 滿足
(1) φ(x, 0) = x, ∀ x ∈ Rn,
(2) φ(φ(x, s), t) = φ(x, s + t), ∀ s, t ∈ R.
我們稱 φ 為方程組 (A) 所誘發 (induce) 的 Rn 上的動力系統。 將這些想法抽象化後, 可建構 出拓樸空間的動力系統。
動力系統的理論被應用到非常廣泛的領域, 涵蓋物理、 生物、 化學、 工程、 經濟、 醫學等。
但這些應用主要侷限於 ODE 誘發的有限維度動力系統。 始自 1980 年代初期, 類似的技巧系 統地應用到 PDE 誘發的無限維度動力系統。 我們希望援用有限維度動力系統的技巧及洞見, 來研究無限維度動力系統。
考慮 Ω ∈ Rn 上的偏微分方程
(B)
∂tu − ∆u = f (x, u), 於 Ω × (0, ∞), u = 0, 於 ∂Ω × (0, ∞), u(x, 0) = 0, 於 Ω,
其中 u0 ∈ L2(Ω)。 要找到給定之方程組的解很不容易, 要推斷解曲線的漸進行為 (asymptotic behavior) 更是困難。 我們考慮下列根本性問題:
• 適定性 (well-posedness)
− 解的存在性
− 解的唯一性
− 解連續依賴於初始值
• 解的正則性 (regularity) 假設 PDE (B) 具有適定性, 亦即,
− ∀ u0 ∈ L2(Ω), PDE (B) 存在唯一的大域解 u(t) 使得 u(0) = u0
− 弱解 (weak solution) 連續依賴於初始值, 則可將 PDE (B) 所有的解寫成一個函數:
S : L2(Ω) × [0, ∞) → L2(Ω), S(u0, t) = u(t), 其中 u(t) 是通過 u(0) = u0 的 PDE (B) 的唯一解。 我們知道
(1) S 對每個變數都為連續,
(2) S(t) ◦ S(s) = S(t + s), ∀ t, s ∈ [0, ∞), (3) S(0) = id,
且稱 S 為 PDE (B) 所誘發的 L2(ω) 上的無限維動力系統。 將這些想法抽象化, 可建構出 Banach 空間的無限維動力系統。 我們有:
動力系統的抽象定義: 拓樸空間 X 上的動力系統是一個具有下列性質的映射 φ : X × R → X
− φ 為連續,
− (x, 0) = x, ∀ x ∈ X,
− φ(φ(x, s), t) = φ(x, s + t), ∀ s, t ∈ R.
而集合 {φ(x, t), t ∈ R} 是 φ 通過 x ∈ X 的軌道 (orbit)。
主要目標、 基礎知識
動力系統理論的主要目標, 是由下列觀點了解 φ 的軌道的長期行為
− 拓樸觀點 : 拓樸動力學,
− 幾何觀點 : 可微動力學,
− 測度論觀點 : 可測動力學,
− 數值觀點 : 數值動力學,
− 統計觀點 : 統計動力學,
− 保測映射之動力學 : 遍歷理論。
預備知識包括 : 拓樸、 微分方程、 線性代數、 微分拓樸及微分流形、 測度論、 泛函分析、 偏微分 方程、 數值分析、 統計學。
可微 (differentiable) 動力系統
動力系統的軌道的長期行為可用多種方式來描述。
1960 年代 Steve Smale 提出其中一種方式。 他援用 微分拓樸的基本知識, 提出可微動力系統的理論。 他 的想法是 : 在微積分裡, 若要了解一個函數 f : R → R, 往往藉助於 f 的微分 f′ 或積分R
f 。 據此, 他用 微分映射 (the derivative map)
Dφt: T M → T M Steve Smale (1930.7.5∼) 1966 年獲費爾茲獎 來理解動力系統 φ : M × R → M, 其中 M 為 C∞ 流形。
定義: 設 M 為 C∞ 流形, 且令 X1(M) 為 M 上的所有 C1 向量微分場在 C1 拓樸下形成的 空間, 則向量場 X ∈ X1(M) 的可積曲線誘導出動力系統 φ; 這裡 φ : M × R → M 為滿足 下式的 C1 映射:
∂φ
∂t(x, t) = X(φ(x, t)), ∀ (x, t) ∈ M × R.
向量場 X 所生成的動力系統, 被稱為 M 上的可微動力系統, 記為 Xt。
S. Smale 援用切線叢 T M 上的動力系統, 來了解 M 上的動力系統。 就此而言, 切線叢動力 學裡的雙曲性 (hyperbolicity) 最為有用且重要。
切線叢動力學的雙曲性 (hyperbolicity, HYP)
定義: 稱一個緊緻不變集 (invariant set) Λ ⊂ M 對向量場 X ∈ X1(M) 具雙曲性, 若且唯 若下述的連續分拆 (continuous splitting) 存在:
∀ p ∈ Λ, TpM = Eps⊕ EpuhX(p)i, 其中 hX(p)i 是 X(p) 所生成的一維空間, DXt 在 Eps 是收縮的 (contractive), 亦即, 存在常數 0 < λ < 1 及 C > 0 使得
∀ v ∈ Eps, kDXt(v)k ≤ Ce−λtkvk, t > 0,
DXt 在 Epu 是擴張的 (expansive), 亦即, 存在常數 0 < λ < 1 及 C > 0 使得
∀ v ∈ Eps, kDX−t(v)k ≤ Ce−λtkvk, t > 0.
例一: 雙曲環體自同構 (Hyperbolic toral automorphism) 設 A = (aij) ∈ GLN(Z) 有 det A = ±1, 且設 A 沒有任何模 1 (modulus 1) 的固有值, 則 A 誘導出環體自同構 (toral automorphism) LA : Tn → Tn。 此 n 維環體 Tn 對 LA 具雙曲性。
例二: Smale 的馬蹄 (horseshoe)1 令 f : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] 為馬蹄微分同胚 (horseshoe diffeomorphism), 且令 Λ = ∩n∈Zfn(D), 則 Λ 對 f 是雙曲的。
藉由拓樸及遍歷理論的論點, 雙曲型動力系統已被深入理解。
1編註 : 該映射在 x-軸方向收縮, 在 y-軸方向上展開並折疊, 如圖所示, 將正方形映射成馬蹄形:
雙曲性之外的動力學 (dynamics beyond hyperbolicity, BHYP)
雙曲性之外的動力學是近日的新研究題材。 此中一 位關鍵人物是 Jacob Palis。 他是 Steve Smale 的學生, 1999 至 2002 年擔任國際數學聯盟 (IMU) 主席, 現任 職於巴西 Instituto Nacional de Matem´atica Pura e Aplicada (IMPA)。 另一位關鍵人物 Arthur Avila
師承 J. Palis 及 De Melo, 在 2014 年獲費爾茲獎。 Arthur Avila (1979.6.29∼)
動力系統領域的費爾茲獎得主
動力系統領域的費爾茲獎得主包括:
• 2010 ICM 的 Lindenstrauss : 遍歷理論及數論
• 2014 ICM 的
− Arthur Avila : 主要研究動力系統
− Mirzakhani : 黎曼曲面的動力學及幾何學
• 2018 ICM 的 Venkatesh : 遍歷理論、 表示論等等。
J. Palis 的猜想
動力學世界
存在稠密集合 D ⊂ BHY P 使得 ∀ φ ∈ D,
− 允許同宿相切2 (homoclinic tangency)
− 允許異質維度 cycle3 (hetero dimensional cycle)。
2編註 : 具相同雙曲周期的穩定流形及不穩定流形的交點被稱為 「同宿」, 而如果該相交不是橫向的 (transverse), 則稱之為 「同宿相 切」。
3編註 : 由具有不同 indices 的雙曲周期鞍 (saddle) 組成的 cycle。
可測度動力學
C. A. Morales (IMPA) 於 2013 年提出可擴張測度 (expansive measure) 的想法。
他嘗試以測度論的觀點來描述拓樸動力系統, 箇中概念涵蓋可擴張性 (expansiveness)、 跟蹤 性4 (shadowing property)、 拓樸穩定性 (topological stability)、 結構穩定性 (structural stability)、 鍊回歸性5 (chain recurrence) 及傳遞性 (transiveness) 等等。
可擴張流 (expansive flow) 的定義
Bowen 及 Walters 的定義 (1972): 稱流 φ 是可擴張流, 若且唯若 ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 使得 Γφδ(x) ⊂ φ(−ǫ,ǫ)(x), ∀ x ∈ X,
其中 Γφδ(x) = n
y ∈ X | d
φt(x), φc(t)(y)
≤ δ, ∀ t ∈ Ro
, 而 c : R → R 為連續的且 c(0) = 0。
Ruggiero 的定義 (1994): 稱流 φ 是 R-可擴張流, 若且唯若 ∃ δ > 0 使得 Γφδ(x) ⊂ φR(x), ∀ x ∈ X.
測度可擴張流 (measure expansive flow) 的定義
Carasco-Olivera 及 Morales 的定義 (2014): 設 M(X) 為 X 上的所有 Borel 機率測度所 成的集合, 具弱∗拓樸。 我們稱流 φ 是測度可擴張的, 若且唯若 ∃ δ > 0, 使得所有使軌道測度 為 0 的 µ ∈ M(X), 亦即 µ(φR(x)) = 0, ∀ x ∈ X, 都有 µ(Γφδ(x)) = 0, ∀ x ∈ X。
注意: 可擴張性 ⇒ 測度可擴張性。
4編註 : 設 (X, d) 為緊緻度量空間, 且設 f : X → X 為同胚。 序列 (yn) ⊂ X 為 f 的 δ-擬軌道 (δ-pseudo-orbit), 若且唯若 d(f (yn), yn+1) ≤ δ, ∀ n ∈ Z。 而 f 具跟蹤性, 若且唯若 ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0, 使得任意 f 的 δ-擬軌道都存在軌道 (xn) ⊂ X 具 d(xn, yn) < ǫ, ∀ n ∈ Z。
5編註 : 設 (X, d) 為緊緻度量空間。 點 x ∈ X 具鍊回歸性, 若且唯若 ∀ ǫ, T > 0, 存在某個以 x 為起始點的 ǫ-軌跡, 在某個大於 T 的時刻 Tǫ返回 x。
µ Γφδ(x)
= 0
流的奇異點 (singularities): 測度可擴張流的奇異點為孤立的 (isolated)。 因此, 在緊緻流形 上, 測度可擴張流不具奇異點。
我們將介紹另一類型的可擴張性, 使得流在測度觀點下可包含非孤立的奇異點。
擴張測度的(measure expanding) 流的定義: 我們稱流 φ 是擴張測度的流, 若且唯若 ∃ δ > 0 使得 ∀ µ ∈ M(X),
µ Γφδ(x)\φR(x)
= 0, ∀ x ∈ X.
擴張不變測度 (invariant measure expanding) 的流: 我們稱 µ ∈ M(X, φ), 若且唯若 µ ∈ M(X) 且 µ 與流 φ 的弱跟蹤性相容。 我們稱流 φ 是擴張不變測度的, 若且唯若 ∃ δ > 0 使得 ∀ µ ∈ M(X, φ),
µ(Γφδ(x)\φR(x)) = 0, ∀ x ∈ X.
注意: 可擴張性 ⇒ 擴張測度的 ⇒ 擴張不變測度的。
例 (擴張測度的 6⇒ 可擴張性): 對所有 n ∈ N, 令 An = {an0, an1} 為 R+ 上的兩點所成的 集合, 使得 n 6= m 時, An∩ Am= ∅, 且在 Hausdorff 度量下 An→ {0}, 令
X = [
n∈Z
{−n, . . . , n} × An [
(Z × {0})[ {∞}.
則 X 是球 R2∪ {∞} 的子空間。
...
. . . . . . . . .
. . .
· · · -n -2 2 n · · ·
(n, an1) (n, an0) (2, a21)
(2, a20)
X = [
n∈Z
{−n, . . . , n} × An [
(Z × {0})[ {∞}.
設 f : X → X 為下圖的位元移動映射 (shift map)
...
. . . . . . . . .
. . .
· · · -n -2 2 n · · ·
(n, an1) (n, an0) (2, a21)
(2, a20)
可證明 : 同胚 f 的懸架流6 (suspension flow) φ 是擴張測度的。 但因為 f 不是擴張的, 所以 φ 不是擴張的。
新特點 : 擴張不變測度的流可包含非孤立的奇異點
例: 令 φ 為球面 S2 上的流
φ(x, y, z) = (xz, yz, −x2− y2), 則對任意 x ∈ S2\{p, q}, 奇異點集合
Sing(φ) = {p, q}, ω(x) = {q}, 且 α(x) = {p}.
我們注意到 : 任意 φ-不變測度 µ ∈ M(S2) 都有 supp(µ) = {p, q}。 因此, M(S2, φ) =
λδp+ (1 − λ)δq; λ ∈ [0, 1]
其中 δp 為位於 p 點的 Dirac 測度。 而對任意 µ ∈ M(X, φ), 我們都有 µ Γφδ\φR(x)
= 0, x ∈ S2. 因此流 φ 是擴張不變測度的流。
6編註 : 設 X 為度量空間, f : X → X 為連續函數, r : X → R+ 取值遠離 0。 考慮商空間 Xr:= {(x, t), 0 ≤ t ≤ r(x), x ∈ X}/(x, r(x)) ∼ (f (x), 0)。 懸架流 (X, f ) 是時間位移 Tt: (x, s) → (x, s + t) 誘導出的半流 (semiflow) ft: Xr→Xr。
近期的研究主題
我們近期的研究主題, 首先是要經由測度論的觀點, 來了解及發展拓樸動力系統或可微動 力系統的結構。 其次是藉由所謂的大域吸子 (global attractor) 或慣性流形 (inertial mani- fold), 來了解無限維動力系統的軌跡之長期漸進行為。
回顧下述定理。
Smale 的譜分解定理 (1967): 設 f 是緊緻 C∞ 流形上的公設 A 微分同胚 (Axion A diffeo- morphism), 亦即, 非遊蕩集7 (nonwandering set) Ω(f ) 具雙曲性且 Ω(f ) = {f 的週期點}, 則存在 f 的譜分解 Ω(f ) = 互斥聯集 Ω1∪ · · · ∪ Ωn, 其中 Ωi, 1 ≤ i ≤ n, 為封閉且的不變 集, 且 f 在拓樸上傳遞 Ωi, 1 ≤ i ≤ n。
注意: 若 f 是公設 A 微分同胚, 則 f 是可擴張的且在 Ω(f ) 具跟蹤性。
我們將對流提出上述定理的測度論版本。 拓樸上, 我們有如下的推廣:
Akoi 的定理 (1983): 若 f : X → X 是可擴張的且在 Ω(f ) 具跟蹤性, 則存在 f 的譜分解。
Komuro 的定理 (1984): 若 φ : X × R → X 是可擴張的且在 Ω(φ) 具跟蹤性, 則存在 φ 的 譜分解。
這兩個定理的證明有疏失; 若圖補救, 可用鍊回歸集 CR(φ) 來取代非遊蕩集 Ω(φ)。 事實上, 我們有
Sing (φ) ⊂ {φ 的週期點} ⊂ Ω(φ) ⊂ CR(φ).
主要定理 (Lee-Nguyen): 若流 φ 是擴張不變測度的且在 CR(φ) 具跟蹤性, 則存在 φ 的譜分 解。
系理: 若 φ 是可擴張的且在 CR(φ) 具跟蹤性, 則存在 φ 的譜分解。
注意: 測度可擴張性 +CR(φ) 的跟蹤性 6⇒ 譜分解。
例: 令 Σ2 = {0, 1}Z, 且 σ : Σ2 → Σ2 為位元移動映射。 對任意 n ∈ N, 選取週期為 n 的週 期點 pn, 記其軌道為 Oσ(pn)。 令
E = [
n∈Z
Oσ(pn).
複製 E 得到副本 F 使得 Σ2∩ F = ∅, 令 X = Σ2∪ F 。
7編註 : 設 (X, Σ, µ) 為測度空間。 點 x ∈ X 被稱為非遊蕩點 (nonwandering point), 若且唯若對所有包含 x 的開集合 U 及所 有正整數 N , 存在 n > N 使得 µ(fn(U ), U ) > 0。
定義 X 上的度量 D 為
D =
d0(x, y) 若 x, y ∈ Σ2, 1
n + d0 x, σk(pn)
若 x ∈ Σ2, y ∈ qn,k, 1
n + 1
m + d0 σk(pn), σℓ(pm)
若 x ∈ qn,k, y ∈ qm,ℓ,
在此度量之下, 度量空間 (X, D) 為緊緻的且 f : X → X 為同胚。 可證明 f 可跟蹤, f 的懸 架流是測度可擴張且可跟蹤的, 但不存在 f 的譜分解。
若要證明主要定理, 需要下述結果。
命題 1: 若 φ 在 CR(φ) 上是擴張不變測度的, 則它在 X 上是擴張不變測度的。
命題2: 若 φ 在 CR(φ) 上是擴張不變測度的且可跟蹤的, 則 φ 的奇異點在 CR(φ) 上俱為孤 立; 亦即,
∀ p ∈ Sing(φ), ∃ ǫ > 0, 使得 B(p, ǫ) ∩ CR(φ) = {p}.
備註: φ 在 Ω(φ) 上為擴張不變測度的 6⇒ 在 X 上為擴張不變測度的。
例: 對任意 n ∈ N, 令 Sn為 R2上以 (0, 1/n) 為圓心、 半徑為 1/n 的圓, 且令 X =S∞
n=1Sn, 令 φ 為滿足下列條件的流:
Sing(φ) = {0}, 且 ω(x) = α(x) = {0}, ∀ x ∈ X\{0}.
則 φ 在 Ω(φ) 上是擴張不變測度的, 但在 X 上不是擴 張不變測度的。 (證明 : 令 xn = (0, 1/n), ∀n ∈ N, 則 ∀ δ > 0, ∃ 夠大的 n ∈ N 使得 0 ∈ Γφδ(xn), 則 δ0 Γφδ(xn)\φR(xn)
> 0, 其中 δ0 是 φ-不變的 Dirac 測 度。)
在可微動力系統的應用
令 M 為緊緻 C∞ 黎曼流形, 且令
X1(M) = {M 上的 C1 向量場}, 具 C1-拓樸, X1
∗(M) = {X ∈ X1(M) : Sing(X) = ∅}, Xt 為 X ∈ X1 的積分流。
我們稱 Xt 為 C1- 穩定地擴張測度 (C1-stably measure expanding), 若且唯若存在 X ∈ X1(M) 的 C1- 鄰域 U(X) 使得所有 Y ∈ U(X) 都有擴張測度的 Yt。
定理2: X ∈ X1(M) 的積分流 Xt 為 C1- 穩定且不變地擴張測度, 若且唯若 X 為 Ω- 穩定。
定理3: C1 下一般來說, X ∈ X1(M) 的積分流 Xt不變地擴張測度, 若且唯若 X 為 Ω- 穩定。
