等差變額系列分析

(1)

3 3 --2121

• 一系列現金流每期規律的增加或縮減金額G

• 自第2期起到第N期，每期現金流會比前一期 增加金額G

等差變額系列分析

假設每期利率為 i

1 2 3 4 . . . N

G

2G

3G

(N-1)G 0

3 3 --2222

1 2 3 4 . . . N

G

2G

3G

(N-1)G 0

1 2 3 4 . . . N

F

0

轉換為

等差變額系列分析

如果我在帳戶中，自1期起每期存入總額分別為0、G、

2G、…、(N-1)G，在第N期期末我會累積多少錢 (F)？

透過複利總額因子而等值 已知G ，F為何？

3 3 --2323

• 此現金流圖可拆為 N-1組”等額多次付款”現金流 系列

– 第一組 (等額為G) 從第2~N 期 – 第二組 (等額為G) 從第3~N 期 – 第三組 (等額為G) 從第4~N 期

...

– 第N-1組 (等額為G) 從第N~N 期

已知G ，F為何？

G 2G

3G

(N-3)G (N-2)G

(N-1)G

1 2 3 4 N-2 N-1 N

0

3 3 --2424

已知G ，F為何？

G

2G 3G

(N-3)G (N-2)G

(N-1)G

1 2 3 4 N-2 N-1 N

0

• 只需針對每一組系列運用等額多次付款系列的複利因子：

F== G(1+ i)^N−1−1 i

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ + G(1+ i)^N−2−1 i

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ + ...+ G(1+ i)¹−1 i

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

= G(1+ i)^N− Ni −1 i²

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

= G(^{F /G,i,N})

(這是一個等比系列！)

等差變額系列複利總額因子

(2)

3 3 --2525

例題

• Bell-Boeing Joint Program Office從美國海軍得到 一筆合約 (從2005年開始)，以7億美元的價格出售 九架MV-22飛機 (Osprey)。假設在交貨時會收入 每架飛機的售價 (7,780萬美金) ，其中，預計交貨 時程為：2006年 (底) 2架，2007年3架，2008年4 架。請問這些收入的等值未來值 (2008) 為何？假 設半年利率為6% 。

資料來源：“Boeing/Bell Joint Venture Gets $850M Navy Pact,” The Wall Street Journal Online, January 24, 2005.

3 3 --2626

解答

• 繪製現金流圖：

$155.6M

F=?

0 1 2 3

$233.4M

$311.2M

$155.6M

F_A=?

0 1 2 3

F_G=?

0 1 2 3

$77.8M 2($77.8M)

= +

$155.6M $155.6M

3 3 --2727

解答

• 年度等額系列：

• 等比系列：

• 總計：

F_A= A (1+ i)^N−1 i

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = $155.6M(1+ 0.1236)³−1 0.1236

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = $526.87M

3

2 2

(1 ) 1 (1 0.1236) 3(0.1236) 1

$77.8M

0.1236 $243.02M

N G

i Ni

F G

i

⎡ + − − ⎤ ⎡ + − − ⎤

= ⎢ ⎥= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

F= F_A+ F_G= $526.87M + $243.02M = $769.89M i=(1+6%)²-1

3 3 --2828

公式以外的另一種選擇

• 使用離散性複利計算與離散性現金流的表格來查閱因子值

• 利用試算表 (沒有Excel公式)：

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E F G

Example: Military Aircraft Purchase Input

A $155.60 million

Period Cash Flow F G $77.80 million

0 -- -- Interest Rate 12.36% per semi-annual

1 $155.60 $196.44 Periods 3 semi-annual

2 $233.40 $262.25

3 $311.20 $311.20 Output

F $769.89 million

(summed)

(3)

3 3 --2929

• 現金流會從第1期的初始值 A₁，以固定比 率g增加或縮減

等比變額系列分析

0 1 2 3 N

A₁

A₁(1+g)

A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

3 3 --3030

0 1 2 3 N

F

0 1 2 3 N

A₁ A₁(1+g) A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

等比變額系列分析

轉換為

如果在帳戶中連續N期存入A₁, A₁(1+g), …, A₁(1+g)^N-1，在N期結束會累積多少錢？

透過複利總額因子而等值

3 3 --3131

已知A

₁

與g ，F為何？

等比變額系列

0 1 2 3 N

A₁ A₁(1+g) A₁(1+g)²

A₁(1+g)^N-1

1 2 2 1

1 1 1 1

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

= ( / , , , ),

N N N N

N N

F A i A i g A i g A g

i g

A A F A g i N i g

i g

− − − −

= + + + + + + + + + +

⎡ + − + ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦ ≠

等比變額系列複利總額因子

1 2 2 1

1 1 1 1

1 1

When ,

(1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )(1 ) (1 )

(1 )

N N N N

N

i g

F A i A i g A i g A g

NA i

− − − −

−

=

= + + + + + + + + + +

= +

3 3 --3232

例題

• BOC從印度的Jindal Vijaynagar Steel Ltd.取得 一筆合約，在15年中每日供應1,400噸的氧氣與氮 氣供煉鐵使用。假設年度現金流以250日/年計 算，第一年每噸13元美金，之後每年增加3%，

年利率12%。

資料來源：Pitcher, L., “BOC Group Unveils Two Deals In Further Asian Expansion,” Dow Jones Newswires, January 13, 2005.

(4)

3 3 --3333

解答

• 繪製現金流圖：

F= $4.55M (1+ 0.12)¹⁵− (1+ 0.03)¹⁵ 0.12− 0.03

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = $197.96M

$4.55M

F=?

0 1 2 15

$4.69M

$6.88M ($13/噸)*(1400噸/日)*(250日/年)*15年

3 3 --3434

公式以外的另一種選擇

• 本書書後沒有相關表格，因為此狀況共有三個未 知數 (i、g、N)。

• 利用試算表 (沒有Excel函數)：

1 2 3 4 5 6 7 8 109 11 12 13 14 15 16 17 18 19

A B C D E F

Input

A1 $4.55 million

Period Cash Flow g 3% per year

0 -- Annual Prod 0.35 million tons

1 $4.55 Time One Price $13 per ton

2 $4.69 Interest Rate 3% per year

3 $4.83 Periods 15 years

4 $4.97

5 $5.12 Output

6 $5.27 F $103.23 million

7 $5.43 (programmed)

8 $5.60

9 $5.76

10 $5.94

11 $6.11

12 $6.30

13 $6.49

14 $6.68

15 $6.88

Example: Gas Supply Contract

3 3 --3535

現值因子

• 目的：將一組現金流轉換為現在或時間零的等值現金流

• 折價意味著金錢在時間中向後倒回移動 (金 額隨正值利率而縮水).

3 3 --3636

單筆款項分析

假設每期利率i

0 1 2 3 . . . N

P

0 1 2 3 . . . N

F

轉換為

透過現值因子而等值

問題：如果要在N期結束時從帳戶中取出 (F)，那麼現在要 存入多少錢 (P)？

(5)

3 3 --3737

現值因子

單筆款項 -- 已知F ，P為何？

0 1 2 3 . . . N

P=?

F

單筆未來款項的折價

0 1 2 N-1

. . .

N

F 1/(1+i) 1/(1+i) 1/(1+i)

P=? ₃_{3 -}_-₃₈₃₈

已知F，P為何？

我們已經有”已知P，求F=?”的公式與因子：

單筆款項現值因子

(1 )^N F =P +i ⇒

1 ( / , , )

(1 )^N

P F F P F i N

i

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦=

3 3 --3939

例題

• 挪威Aker Kvaerner ASA工程承包商從

UPM林業公司取得一筆2,000萬歐元的合

約，出售一具動力鍋爐。這具鍋爐運用氣泡式流體技術，將會汰換一具位於芬蘭

Rauma造紙廠的1960年代燃煤鍋爐。如果

這具鍋爐會於2007年底交貨，請問其現值 為何？假設每月i=1.25% (令2006年1月1日 為時間零)？

資料來源： “Aker Kvaerner Gets EUR20M To Deliver Boiler To UPM,” Dow Jones Newswires, January 25, 2005.

3 3 --4040

解答

繪製現金流圖：

24

= ( / , 0.0125, 24) (1 )

20M $14.84M (1 0.0125)

N

P F F P F

= i +

= =

+

P=?

EUR 20M 0 ……… 24

月

(6)

3 3 --4141

公式以外的另一種選擇

• 利用試算表 (Excel的PV函數)：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A B C D E F

Example: Boiler Replacement Input

P 20.00million

Period Cash Flow Interest Rate 1.25%per month

0 -- Periods 24 months

1 --

2 -- Output

3 -- P 14.84million

… -- (programmed)

23 --

24 20.00 P 14.84million

(PV function)

3 3 --4242

等額多次付款系列分析

0 1 2 3 . . . N

P=?

0 1 2 3 . . . N A A A . . . A

轉換為

問題：如果想從帳戶中連續N期領出 (A)，那麼在 時間零時要存入多少錢 (P)？

3 3 --4343

現值因子

等額多次付款系列 -- 已知A，P為何？

已知N筆大小為A之連續現金流，請問時間0的現值 P為何？

0 1 2 3 N

A A

( / , , )( / , , )

(1 ) 1 1 (1 ) 1

(1 ) (1 )

( / , , )

N N

P A F A i N P F i N

i i

A A

i i i i

A P A i N

=

⎡ + − ⎤⎡ ⎤ ⎡ + − ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ + ⎥⎦= ⎢⎣ + ⎥⎦

=

由A轉換為F (F/A,i,N) 由F轉換為P

(P/F,i,N)

等額多次付款現值因子 ³^{3 -}^-⁴⁴⁴⁴

例題

• Lloyds TSB同意與IBM簽署一筆七年5億元 英鎊的合約，以外包其音訊及資料網路。

假設此項金額是以平均分配於七年的方式付款。請問其現值為何？假設年利率

18%。

資料來源：Spikes, S. “ Lloyds TSB May Hire Fugjitsu for Desktop IT Outsourcing,” Dow Jones Newswires, January 5, 2005.

(7)

3 3 --4545

解答

P=?

£71.43M

0 1 2 ………….……….. 7

£71.43M

7 7

(1 ) 1

( / , , ) (1 )

500M (1 0.18) 1

272.25M

7 0.18(1 0.18)

500M 500M

or ( / , 0.18, 7) (3.8115) 272.25M

7 7

N N

P A i A P A i N

i i

P A

⎡ + − ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦=

⎡ + − ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦=

= = =

3 3 --4646

公式以外的另一種選擇

• 利用試算表 (Excel的PV函數)：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A B C D E F

Example: Voice and Data Network OutsouInput

A ?1.43 million

Period Cash Flow Interest Rate 18% per year

0 -- Periods 7 years

1 ?1.43

2 ?1.43 Output

3 ?1.43 P ?72 million

4 ?1.43 (programmed)

5 ?1.43

6 ?1.43 P ?72 million

7 ?1.43 (PV function)

3 3 --4747

等差變額系列分析

轉換為

3G

(N-1)G

1 G2 3 4 . . . . . . . N 2G

0

1 2 3 4 . . . N

P=?

0

問題：如果從帳戶中連續N期分別要領出0, G, 2G, …, (N-1)G，那麼在時間零要存入多少錢 (P) ？

3 3 --4848

現值因子

等差變額系列 -- 已知G ，P為何？

3G

(N-1)G

1 G2 3 4 . . . . . . . N 2G

0

由G轉換為F (F/G,i,N) 由F轉換為P

(P/F,i,N)

2 2

( / , , )( / , , )

(1 ) 1 1 (1 ) 1

(1 ) (1 )

( / , , )

N N

P G F G i N P F i N

i Ni i Ni

G G

i i i i

G P G i N

=

⎡ + − − ⎤⎡ ⎤ ⎡ + − − ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ + ⎥⎦= ⎢⎣ + ⎥⎦

= 等差變額系列現值因子

(8)

3 3 --4949

例題

• Volvo取得一筆合約，供應150輛Volvo

B9TL雙層巴士給新加坡的SBS Transit Ltd。其底盤會在瑞典的Boraas建造，車身

則在新加坡由Comfort DelGro Engineering 組裝。這些巴士會從2005年8月開始交貨，

持續12個月。假設8月底會交貨7輛，之後 每月的交貨量都較前月增加1輛。請問這筆 合約的時間零 (2005年初) 價值為何？

• 假設利率12%，每月複利計算，每輛巴士 售價為20萬美元。資料來源：“Volvo Gets Singapore Bus Order,” Dow Jones Newswires, December 28, 2004.

3 3 --5050

解答

7

P=?

1 2 …… 8 9 ………… 19 月 8

18輛

0

= +

1

P_G=?

1 2 … 7 8 9 10……. 19

2 11

0

P_A=?

7 7 7

0

1 2 …. 7 8 9 ………… 19

P_7G=?

P_7A=?

3 3 --5151

解答

• 年度等額系列 (到8月初)：

• 等差系列 (到8月初)：

• 總計：

7 ( / , , ) 7($200 )( / ,1%,12) $1400 (11.2551) $15.76M

PA A P A i N K P A K

= =

7 ( / , , ) 1($200 )( / ,1%,12)

$200 (60.569) $12.11M PG G P G i N K P G

K

= =

7 7

0 7

$15.76M $12.11M

$25.99M (1 ) (1 0.01)

A G

N

P P

P i

+ +

= = =

+ +

3 3 --5252

公式以外的另一種選擇

• 利用試算表 (沒有Excel公式)：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A B C D E F G

Input

A $1.40 million

Period Cash Flow P G $0.20 million

0 -- -- Interest Rate 1% per month

1 $0.00 $0.00 Periods 19 months

2 $0.00 $0.00

3 $0.00 $0.00 Output

4 $0.00 $0.00 P $26.00 million

5 $0.00 $0.00 (summed)

6 $0.00 $0.00

7 $0.00 $0.00

8 $1.40 $1.29

9 $1.60 $1.46

10 $1.80 $1.63

11 $2.00 $1.79

12 $2.20 $1.95

13 $2.40 $2.11

14 $2.60 $2.26

15 $2.80 $2.41

16 $3.00 $2.56

17 $3.20 $2.70

18 $3.40 $2.84

19 $3.60 $2.98

Example: Bus Sales