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整數與數線 1

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Academic year: 2021

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(1)

見了美麗的熱帶魚群。如果海平面上方 20 公尺記為

20 公尺,則海平面下方 7 公尺該如何表示?

(2)

國小的時候,我們曾學習利用數來表 示溫度、長短、大小、輕重等數量,並學會 如何進行四則運算。但是當一個較小的數減 去較大的數時,要如何表示它們的差呢?

本章將介紹「負數」的概念及其在日 常生活中的運用,並學習「正、負整數」的 四則運算,最後介紹指數律與科學記號。

整 數 與 數 線

1-1

正負數與絕對值

正數與負數

數線 數的大小 相反數 絕對值

1-2

整數的加減

同號數相加

異號數相加

整數加法性質

整數的減法

整數加減法綜合運算

數線上兩點間的距離

1-3

整數的乘除

整數的乘法

整數的除法

整數的四則運算

1-4

指數律

指數記法 指數律

1-5

科學記號

科學記號

科學記號的四則運算

科學記號的應用

(3)

1 1 正負數與絕對值

國小時,我們學習了減法的應用。例如:「5 個蘋果比 3 個蘋果多 2 個」,我們會利用算式 5-3=2 來表示「多兩個」。如果要表示「1 個蘋果比 3 個蘋果少 2 個」,我們則利用算式 3-1=2 來表示「少兩個」。

「比… …多」和「比… …少」是相對的,但是我們沒有辦法在算式中區別 它們,一律用較大的數減去較小的數,然後藉由文字敘述來表達完整的意思。

在國中階段,我們要進一步學習如何表達較小的數減去較大的數的結果,

例如:「20-25」的答案是多少呢?

國小時,我們所學的數都是比 0 大的數,例如:

0 大 5 的數是 5,

0 大 13 的數是 1 3 ,

0 大 2.7 的數是 2.7,… … 相對地,

0 小 5 的數我們記為-5,讀作負五,

0 小 13 的數我們記為- 1

3 ,讀作負三分之一,

0 小 2.7 的數我們記為-2.7,讀作負二點七,… …

5 43 2

1 2 3 4 5

1 0

1 正數與負數

對應能力指標7-n-01

(4)

1

0 小的數稱為負數,例如-1、

5、- 13 、-2.7、……,

我們將這個「-」號稱作負號,

讀作「負」,「-」號不可省略。

0 大的數稱為正數,例如+1、

5、+ 13 、+2.7、……,

我們將這個「+」號稱為正號, 讀作「正」,但一般的記法中常 將「+」號省略。

0 不是正數,也不是負數 相對

正數與負數分別表示「大於 0」及「小於 0」的數,我們也常利用正、負 的相對性來表示生活中相對的量,例如:

1 以攝氏 0 度為基準點,溫度在「攝氏零度以上」與「攝氏零度以下」是相對 的,如果攝氏 35 度記為+35 ℃,則攝氏零下 15 度可記為-15 ℃。

-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50

10 10

0 0

-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50

-10 -10

-20 -30 -40 -50 20 30 40 50

10 10

0 0

-20 -30 -40 -50 20 30 40 50

-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50

10 10

0 0

-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50

-10 -10

-20 -30 -40 -50 20 30 40 50

10 10

0 0

-20 -30 -40 -50 20 30 40 50

1比 0 小 15 的數記為 2比 0 小 9.5 的數記為

3比 0 小 1 23 的數記為 4- 34 是比 0 小 的數。

-15 -9.5

-1 2

3 3

4

(5)

1 以海平面為基準點,若海平面上方 5 公尺記為+5 公尺,則海平面下方 3 公尺該如何表示?

2 以目前的氣溫為基準點,如果氣溫下降 20 ℃ 記為-20 ℃,則氣溫上 15 ℃ 該如何表示?

1

相對的量

2 「東方」與「西方」是相對的,如圖 1-1,若以杰倫為基準點,依林在杰倫 的東方 7 公里處,記為+7 公里,則慧欣在杰倫的西方 5 公里處,可記為

5 公里。

3 以「不賺不賠」為基準點,「賺錢」與「賠錢」是相對的,如果某商店上個 月賺了 10 萬元,記為+10 萬元,則這個月賠了 5 萬元,可記為-5 萬元。

  日常用語中的一些相反詞,例如:賺與賠、上與下、東與西、前進與後 退、收入與支出、右與左、勝與負等,都可應用數學上的「+」、「-」符號 來表示。

1-1

7公里 5公里

西

5公里 0 7公里

杰倫

慧欣 依林

0

5

海平面

1以海平面為基準點,「海平 面之上」與「海平面之下」

是相對的,如果海平 面 上 方 5 公 尺 記 為 +5 公尺,則 海平面下方 3 公尺可記為

3 公尺。

3

搭配習作P4 基礎題 1、2

(6)

判斷下列各小題中的兩數是同號數或異號數,並且在適當的空格內打勾:

1+5 和 +1.3 同號數 2-2 和 +4 同號數 □ 異號數 □ 異號數

3+ 1

2 和 -2 □ 同號數

4-3.5 和 -7 1

3 □ 同號數 □ 異號數 □ 異號數

  2以目前的氣溫為基準點,「氣溫上升」與「氣溫下降」是相對的,如 果氣溫下降 20 ℃ 記為-20 ℃,則氣溫上升 15 ℃ 可記為+15 ℃。

正數與負數都稱為有號數。當「+」、「-」

表示「 正 」、「 負 」的特性時,稱為性質符號。

性質符號相同的兩數稱為同號數,例如:

5 與+ 1

3 是同號數,-1 與-2.7 也是同號數;

而性質符號相異的兩數則稱為異號數,例如:

1 與-5 是異號數,- 1

3 與+2.7 也是異號數。

當「+」、「-」

表 示 「 加 」 、

「 減 」 運 算 時 , 稱為運算符號。

1盈餘(賺)與虧損(賠)是相對的,某貿易公司去年盈餘 30 億元,記為

30 億元,那麼今年虧損 10 億元,可記為

2 東方與西方是相對的,某人以車站為基準點,向西走 8 公里記為 -8 公里,那麼向東走 5 公里可記為

-10 億元

5 公里

L

L

L L

(7)

2 數線

生活中我們常將一條直線畫上刻度,用這些刻度來表示數的大小或位置,

例如:溫度計上的刻度表示溫度的高低,高速公路上的里程數表示所在的位 置。在數學上,我們利用直線上的點來表示數。

畫一直線,在直線上取一點 O 做為基準點(稱為原點),以箭頭表示正向

(反方向為負向)。O 點(原點)代表的數是 0,我們在 O 點下方標示 0,並稱 O 點的坐標為 0,記作 O (0)。以適當的固定長度當成 1 個單位 (稱為單位長)這條具備原點、正向 (箭頭) 和單位長的直線就稱為數線,如圖 1-2。

在數線上由原點 O 往正向,每隔 1 單位長做一個刻度,依序標示 1、2、

3、4、……;並從原點 O 往負向,每隔 1 單位長做一個刻度,依序標示-1、

2、-3、-4、……,如圖 1-3。

1-3 中,1、2、3、4、……,稱為正整數(亦稱為自然數),-1、-2、

-3、-4、……,稱為負整數,我們把正整數、0 及負整數統稱為整數,其中 1 為最小的正整數,-1 為最大的負整數。

1-3

0 1

1

2

3

4 2 3 4

O

我們可以看出:

O

1-2

0 1

原點

正向

在一條水平的數線上,若以向右為正向,則愈右邊的點代表的數愈大,

愈左邊的點代表的數愈小。

對應能力指標7-n-02、7-n-03、7-n-04

(8)

除了整數外,分數或小數也可以標示在數線上。也就是說,

給定一個數,就可以在數線上找到一個點來表示這個數。

例如:

1 在數線上標示代表 2

3 的點:

因為 0< 2

3 <1,所以我們將數線上 0 到 1 之間的長度分成 3 等分,則由 左而右兩個等分點分別代表 1

3 、 2

3 ,如圖 1-4,A 點代表的數是 2

3 ,所以 我們稱 A 點的坐標是 2

3 ,記為 A( 2 3 )。

4

2 在數線上標示代表-3.7 的點:

因為-4<-3.7<-3,所以我們將數線上-3 到-4 之間的長度分成 10 等 分,則由左而右九個等分點分別代表-3.9、-3.8、-3.7、-3.6、-3.5、

3.4、-3.3、-3.2、-3.1,如圖 1-5,B 點代表的數是-3.7,所以我們稱 B 點的坐標是-3.7,記為 B(-3.7)。

1-5

3.73 2 1 0 1

4 2 3 4

O B

若數線上一點 A 所代表的數是 a,則 A 點的坐標是 a,記作 A(a)。

0 1

1

2

3

4 1 2 3

3 1-4

O A 23

(9)

寫出下面數線上 A、B、C、D 四點的坐標。

數線上的坐標

2

答:A( )、B( )、C( ) 寫出下面數線上各點的坐標:

0 1

C B O A

2 3 4

1

2

3

4

5

6

A 點坐標:

3 和 4 之間分成 3 等分,A 點 是由 3 向右(正向)算起第 1 個等分點,所以 A 點的坐標為 3 13 ,記為 A(3 1

3 )。

B 點坐標:

1 和 2 之間分成 10 等分,B 點 是由 1 向右(正向)算起第 3 個等分點,所以 B 點的坐標為 1.3 或 1 310 ,記為 B(1.3)

B(1 310 )。

C 點坐標:

0 和-1 之間分成 4 等分,C 點是由 0 向左(負向)算起第 3 個等分點,所以 C 點的坐標 為- 34 ,記為 C(- 3

4 )。

D 點坐標:

1 和-2 之間分成 10 等分,

D 點是由-1 向左(負向)算 起第 7 個等分點,所以 D 點 的坐標為-1.7 或-1 710 ,記 為 D(-1.7)或 D(-1 710 )。

0

1

2

3 1 2 3 4

A B

C O

D

1 1

2 -1.6 -3 1

3

搭配習作P4 基礎題 4

(10)

國小時,我們已經學會判斷任意兩個正數的大小關係,例如:5>3、

4.6>4、2 1

4 >1、1> 2

3 等。那麼兩個負數的大小關係如何判斷呢?例如:

3 和-5 哪一個數較小呢?

我們先想想這個問題:「如果志豪和志明都是老師的外甥,志豪比老師小 25 歲,志明比老師小 27 歲,那麼志豪和志明誰的年紀比較小?」顯然志明的 年紀較小。若將小 25 歲表示為-25 歲,將小 27 歲表示為-27 歲,則可記為

「-27<-25」。

我們可以仿照這個思考方式來判斷-3 和-5 的大小關係。以 0 為基準來 看,-3 是比 0 小 3 的數,而-5 是比 0 小 5 的數,因此-5<-3。同理,

4.6<-4、-2 1

4 <-1、-1<- 2 3 。

因為所有的負數都是比 0 小的數,所以「負數<0」;而所有的正數都是 0 大的數,所以「0<正數」;由上述兩者,顯然「負數<正數」。也就是 說,

正數、 0、負數三者之間的大小關係為 「負數<0<正數」。

我比老師小 27 歲。

我比老師小 25 歲。

3 數的大小

對應能力指標7-n-03

(11)

數線上的坐標與數的大小關係

3

我們也可以將兩個數分別標示在數線上,利用 「數線上,愈右邊(正向)

的點代表的數愈大,愈左邊(負向)的點代表的數愈小」 的概念來比較大小。

比較下列各數的大小關係,在空格中填入「>、<或=」:

13 -4 2-7 0 3-4 -9

4-3.5 -3 12 5-2.7 -3 6-2.7 -2

1



 2 因為在數線上,愈右邊(正向)的點代表的數愈大,愈左邊(負向)的點 代表的數愈小,所以-5<-2 12 <-1.2<0<1 3

4 。 1 在數線上標出 A (-5)、 B (-1.2)、 C (-2 12 )、 D (1 3

4 ) 四點。

2將-5、-1.2、-2 12 、1 3

4 、0 由小到大排列。

0 1 O

A C B D

0 1 2 3

1

2

3

4

5

6

2 12 1.2 134

> < >

> <

搭配習作P4 基礎題 3

搭配習作P5 基礎題 5

(12)

甲、乙兩同學的身高分別為 a 公分及 b 公分,當比較兩人身高時,下面三 種情形會出現一種,且只會出現一種:甲比乙高、乙比甲高、甲跟乙一樣高。

也就是比較 a、b 兩數的大小關係時,三種情形 a > b 、 b > a、 a = b 會 出現一種,且只會出現一種,也就是恰好有一種會出現,我們將這種性質稱為 三一律。

我們在國小時就已經學習過:若 a > b 且 b > c,則 a > c (同樣地,若 a < b 且 b < c ,則 a < c ),我們將這個規則稱為遞移律。

1 在下面的數線上標出 A (-4)、 B (-1.3)、 C (1 13 )、 D (-5.1) 四點。

2將-4、-1.3、1 13 、-5.1、0 由小到大排列。

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

O O

1 小明比小英高,小英又比小華高,回答下列問題:

1 小明與小華誰高?

2三人之中誰最矮?

2有三種形狀的積木 、 、 ,若將此三 種積木放在天秤上,會有如右圖的結果。

則下列哪一個狀況可表示 與 的重量 關係?

A B C

5.1<-4<-1.3<0<1 13 B

D A C

5.11.3 1 13

小明 小華

B

搭配習作P5 基礎題 6

(13)

在例題 4 第 1 題中, A(6)、 B(-6)兩點分別在原點的左右兩側,且與 原點的距離相等 (都是 6 單位長),我們稱 6 與-6 互為相反數,即 6 的相反 數是-6,-6 的相反數是 6,如圖 1-6。

同樣地,第2 題的 C(2 45 )、D(-24

5 ) 兩點分別在原點的左右兩側,

且與原點的距離都是 2 45 單位長, 所以 2 4

5 與-2 45 互為相反數,如圖 1-6。

1 

  2

  3

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

B O A

0 1 2 3

1

2

3

D C

2 45 2 45

O

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

F E

4.3 4.3

O

1畫一條數線,並在數線上標出 A (6)、 B (-6)兩點。

2畫一條數線,並在數線上標出 C (2 45 )、 D (-2 4

5 )兩點。

3 畫一條數線,並在數線上標出 E (4.3)、 F (-4.3)兩點。

數線上的坐標

4

4.3 與-4.3 是否互為相反數呢?

4 相反數

搭配習作P5 基礎題 8 對應能力指標7-n-02

(14)

也就是說,

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

O 6

B D C A

2 45

2 45

6

1-6

2 45 2 45

4.1 4.1

5 12

5 12

5 12

5 12

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 O 2

圖中坐標為 2 的點與原點的距離為 2 單位長,在原點另一側與原點距離 2 單位長的點坐標為-2,所以 2 的相反數是-2。

坐標為-5 12 的點與原點的距離為 5 1

2 單位長,在原點另一側與原點距 離為 5 12 單位長的點坐標為 5 1

2 ,所以-5 12 的相反數是 5 1 2 。 同理,4.1 的相反數是-4.1。

試分別求出 2、-5 12 、4.1 的相反數。

5

求相反數

1 在數線上,位於原點兩側且與原點距離相等的兩個點,所表示的數互為相 反數。

2  0 的相反數為 0。

搭配習作P5 基礎題 7

(15)

我們說 6 的相反數是-6,看起來像是在 6 的前面加上一個「-」號而得 到它的相反數。如果-6 的相反數也是在前面再加上一個「-」號而得,那麼

6 的相反數就會寫成-(-6)。但是我們已經知道-6 的相反數是 6,因此 我們約定-(-6)=6。同理,-(-2 45 )=2 4

5 ,-(-4.3)=4.3。也就是說,

有了這項約定之後,我們也可以將相反數說成:

其實只要將一個數的性質符號改變,

就可以得到這個數的相反數了。

文字符號可以代表正數,

也可以代表 0 或負數。

a 為正數,則-(-a)=a。

不論 a 為正數、負數或 0, a 和 -a 互為相反數。

a 的相反數是-a,

-a 的相反數是 a。

數學是科學裡的皇后,算術則是數學中的女王。

—高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)

數學小語錄

試寫出下列各數的相反數:

15 的相反數為 。 2-2 13 的相反數為 。 3 125 的相反數為 。 4-8.9 的相反數為

-5 2 1

3 12

5 8.9

(16)

5 絕對值

數線上任一點 A(a) 與原點的距離,以符號a∣表示,讀作 a 的絕對值

「∣∣」稱為絕對值符號。例如:

1-7 中 A 點代表 6 這個數,A 點到原點的距離記為∣6∣(讀作 6 的絕對 值),而 A 點到原點的距離為 6 單位長,因此∣6∣=6。

1-7 中 B 點代表-6 這個數,B 點到原點的距離記為∣-6∣,而 B 點到原點 的距離為 6 單位長,因此∣-6∣=6。

1-7 C

E

B O D A

0 1 2 3 4 5 6 7

1

1.3

2

3

4

5

6

2 12 3 34

由圖 1-7 中可以看出:

C 點到原點的距離為 1.3 單位長,所以∣-1.3∣=1.3。

D 點到原點的距離為 3 34 單位長,所以

3 34

3 34 。

E 點到原點的距離為 2 12 單位長,所以

2 12

2 12 。

絕對值可代表數線上任一點與原點的距離,除了 0 以外,數線上任意一點 與原點的距離都大於 0。不論正數或負數,它們的絕對值都是正數,而 0 的絕 對值為 0。也就是說,a 為任意數,∣a∣≧0,此處的符號「≧」讀作「大於 或等於」,意思是「大於」或「等於」中有一種情形成立就可以。

數線上,在原點的正向,離原點愈遠的點代表的正數愈大,而其絕對值也 愈大。相對地,在原點的負向,離原點愈遠的點代表的負數愈小,但其絕對值 反而愈大。也就是說,

正數愈大,其絕對值愈大;而負數愈小,其絕對值愈大。

對應能力指標7-n-05、7-n-06、7-n-07

(17)

分別寫出-3.1、-7、4、-5 13 這四個數的相反數的絕對值,並和上面隨堂 練習的結果比較看看,說出你發現了什麼?

動動腦

動動腦

試分別寫出-3.1、-7、4、-5 13 的絕對值。

∣-3.1∣= ∣-7∣=

∣4∣= ∣-5 13 ∣=

我們知道:數線上,代表相反數的兩點分別在原點的兩側,且與原點的距 離相等。因此,互為相反數的兩數,其絕對值相等。

數線上代表-1 的點與原點的距離為 1 單位長,所以∣-1∣=1。

數線上代表 9 的點與原點的距離為 9 單位長,所以∣9∣=9。

數線上代表-7 的點與原點的距離為 7 單位長,所以∣-7∣=7。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

7 9

1 O 分別寫出-1、9、-7 的絕對值。

6

絕對值

分別寫出-3.1、-7、4、-5 13 這四個數的相反數的絕對值,並和上面隨堂 練習的結果比較看看,說出你發現了什麼?

搭配習作P6 基礎題 9

3.1 7

4 5 13

互為相反數的兩數的絕對值相等。

(18)

若∣甲數∣=5,則甲數是多少?

某數的絕對值

7

∣甲數∣=5 表示在數線上,代表甲數的點與原點的距離為 5 單位長,

所以甲數=5 或甲數=-5。

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

5 5

O

所以在數線上與原點距離小於 6 單位長的整數點有-5、-4、-3、-2、

-1、0、1、2、3、4、5。

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

O



1若∣甲數∣=3.5,則甲數是多少?

2若|乙數|=0,則乙數是多少?

若|甲數|+|乙數|=0,則甲數、乙數是多少?

在數線上標出絕對值小於 6 的所有整數點。

絕對值小於某數的整數點

8

搭配習作P6 基礎題 10、13

甲數=0,乙數=0

3.5 或 -3.5 0

搭配習作P6 基礎題 11

(19)

1在數線上標出絕對值為 4 的所有整數點。

2在數線上標出絕對值小於 4 的所有整數點。

0 1 2 3 4 5 6

O

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

O

!「+」與「-」:用來表示加減運算時,稱為運算符號;用來表示一 個數是正數或負數時,則稱為性質符號。

@有號數、同號數、異號數:正數與負數都叫做有號數。

  性質符號相同的兩數稱為同號數,例如:-1 與-2.7 是同號數;

  而性質符號相異的兩數則稱為異號數,例如:+1 與-5 是異號數。

#數線的基本要素:數線的基本要素包含原點、正向、單位長。

$數線上數的大小:在一條水平的數線上,若以向右為正向,則愈右邊 的點代表的數愈大,愈左邊的點代表的數愈小。

%三一律:a、 b 兩數的大小關係,a>b、a<b、a=b 三種情形恰好有 一種會出現。

^遞移律:有 a、b、c 三數,若 a>b 且 b>c ,則 a>c 。

&整數 :整數包含正整數(自然數)、 0、負整數。

*相反數:在數線上,位於原點兩側且與原點距離相等的兩個點,所表 示的數互為相反數。而 0 的相反數是 0。

不論 a 為正數或負數, a 和-a 互為相反數。即 a 的相反數是 -a , -a 的相反數是 a。

(絕對值:一個數的絕對值就是數線上代表這個數的點到原點的距離。

互為相反數的兩數,其絕對值相等。

(20)



1 以海平面為基準點,海平面之上與海平面之下是相對的,若甲地高出海平面 230 公尺記為+230 公尺,則乙地低於海平面 3 公尺可記為

2 贏球與輸球是相對的,若中華棒球代表隊在 2004 年奧運比賽中勝 3 場記為

3 場,則輸 4 場可記為

3 寫出下面數線上 A、B、C、D、E、F 各點的坐標。

4 在下面的數線上標出 A (5)、 B (-1.7)、 C (4 12 )、 D (-4)、 E (-3 1 2 )、 F (- 13 )六點,並比較這六點所代表的數的大小。

5寫出下列各數的相反數:

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

O

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

A E B O C D F

自 我 評 量 1-1 1-1

數 -2.5 7 80 - 53 0 相反數

3 公尺

4 場

A(-6 12 )、B(-1

2)、C(0.7)、D(2 34 )、E(-4.4)、F(64 5)

4<-3 12 <-1.7<- 1

3 <4 12 <5

2.5 -7 -80 5 0 3

E

D B F C A

(21)

6將下列各數由小到大排列:

 1-2 13 、∣-4∣、∣5∣、-∣-6∣、3

7回答下列問題:

1在數線上標出絕對值等於 8 的所有整數點。

2若∣甲數∣=7,則甲數=

3在數線上標出絕對值小於 7 的所有整數點,並將這些點所代表的數 列出來。

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

O

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

O

 2-30、25 13 、41、-50.8、-70

1-∣-6∣<-2 13 < 3<∣-4∣<∣5∣

2-70<-50.8<-30<25 13 <41

7 或 -7

-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6

參考文獻

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