見了美麗的熱帶魚群。如果海平面上方 20 公尺記為
+20 公尺,則海平面下方 7 公尺該如何表示?
國小的時候,我們曾學習利用數來表 示溫度、長短、大小、輕重等數量,並學會 如何進行四則運算。但是當一個較小的數減 去較大的數時,要如何表示它們的差呢?
本章將介紹「負數」的概念及其在日 常生活中的運用,並學習「正、負整數」的 四則運算,最後介紹指數律與科學記號。
整 數 與 數 線
1-1
正負數與絕對值
• 正數與負數
• 數線 • 數的大小 • 相反數 • 絕對值
1-2
整數的加減
• 同號數相加
• 異號數相加
• 整數加法性質
• 整數的減法
• 整數加減法綜合運算
• 數線上兩點間的距離
1-3
整數的乘除
• 整數的乘法
• 整數的除法
• 整數的四則運算
1-4
指數律
• 指數記法 • 指數律
1-5
科學記號
• 科學記號
• 科學記號的四則運算
• 科學記號的應用
1 1 正負數與絕對值
國小時,我們學習了減法的應用。例如:「5 個蘋果比 3 個蘋果多 2 個」,我們會利用算式 5-3=2 來表示「多兩個」。如果要表示「1 個蘋果比 3 個蘋果少 2 個」,我們則利用算式 3-1=2 來表示「少兩個」。
「比… …多」和「比… …少」是相對的,但是我們沒有辦法在算式中區別 它們,一律用較大的數減去較小的數,然後藉由文字敘述來表達完整的意思。
在國中階段,我們要進一步學習如何表達較小的數減去較大的數的結果,
例如:「20-25」的答案是多少呢?
國小時,我們所學的數都是比 0 大的數,例如:
比 0 大 5 的數是 5,
比 0 大 13 的數是 1 3 ,
比 0 大 2.7 的數是 2.7,… … 相對地,
比 0 小 5 的數我們記為-5,讀作負五,
比 0 小 13 的數我們記為- 1
3 ,讀作負三分之一,
比 0 小 2.7 的數我們記為-2.7,讀作負二點七,… …
-5 -4-3 -2
1 2 3 4 5
-1 0
1 正數與負數
對應能力指標7-n-011
比 0 小的數稱為負數,例如-1、
-5、- 13 、-2.7、……,
我們將這個「-」號稱作負號,
讀作「負」,「-」號不可省略。
比 0 大的數稱為正數,例如+1、
+5、+ 13 、+2.7、……,
我們將這個「+」號稱為正號, 讀作「正」,但一般的記法中常 將「+」號省略。
0 不是正數,也不是負數 相對
正數與負數分別表示「大於 0」及「小於 0」的數,我們也常利用正、負 的相對性來表示生活中相對的量,例如:
1 以攝氏 0 度為基準點,溫度在「攝氏零度以上」與「攝氏零度以下」是相對 的,如果攝氏 35 度記為+35 ℃,則攝氏零下 15 度可記為-15 ℃。
-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50
10 10
0 0
-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50
-10 -10
-20 -30 -40 -50 20 30 40 50
10 10
0 0
-20 -30 -40 -50 20 30 40 50
-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50
10 10
0 0
-10 -20 -30 -40 -50 20 30 40 50
-10 -10
-20 -30 -40 -50 20 30 40 50
10 10
0 0
-20 -30 -40 -50 20 30 40 50
1比 0 小 15 的數記為 。 2比 0 小 9.5 的數記為 。
3比 0 小 1 23 的數記為 。 4- 34 是比 0 小 的數。
-15 -9.5
-1 2
3 3
4
1 以海平面為基準點,若海平面上方 5 公尺記為+5 公尺,則海平面下方 3 公尺該如何表示?
2 以目前的氣溫為基準點,如果氣溫下降 20 ℃ 記為-20 ℃,則氣溫上 升 15 ℃ 該如何表示?
例
題1
相對的量2 「東方」與「西方」是相對的,如圖 1-1,若以杰倫為基準點,依林在杰倫 的東方 7 公里處,記為+7 公里,則慧欣在杰倫的西方 5 公里處,可記為
-5 公里。
3 以「不賺不賠」為基準點,「賺錢」與「賠錢」是相對的,如果某商店上個 月賺了 10 萬元,記為+10 萬元,則這個月賠了 5 萬元,可記為-5 萬元。
日常用語中的一些相反詞,例如:賺與賠、上與下、東與西、前進與後 退、收入與支出、右與左、勝與負等,都可應用數學上的「+」、「-」符號 來表示。
圖 1-1
7公里 5公里
西 東
-5公里 0 +7公里
杰倫
慧欣 依林
0
+5
海平面
1以海平面為基準點,「海平 面之上」與「海平面之下」
是相對的,如果海平 面 上 方 5 公 尺 記 為 +5 公尺,則 海平面下方 3 公尺可記為
-3 公尺。
-3
搭配習作P4 基礎題 1、2
判斷下列各小題中的兩數是同號數或異號數,並且在適當的空格內打勾:
1+5 和 +1.3 □ 同號數 2-2 和 +4 □ 同號數 □ 異號數 □ 異號數
3+ 1
2 和 -2 □ 同號數
4-3.5 和 -7 1
3 □ 同號數 □ 異號數 □ 異號數
2以目前的氣溫為基準點,「氣溫上升」與「氣溫下降」是相對的,如 果氣溫下降 20 ℃ 記為-20 ℃,則氣溫上升 15 ℃ 可記為+15 ℃。
正數與負數都稱為有號數。當「+」、「-」
表示「 正 」、「 負 」的特性時,稱為性質符號。
性質符號相同的兩數稱為同號數,例如:
+5 與+ 1
3 是同號數,-1 與-2.7 也是同號數;
而性質符號相異的兩數則稱為異號數,例如:
+1 與-5 是異號數,- 1
3 與+2.7 也是異號數。
當「+」、「-」
表 示 「 加 」 、
「 減 」 運 算 時 , 稱為運算符號。
1盈餘(賺)與虧損(賠)是相對的,某貿易公司去年盈餘 30 億元,記為
+30 億元,那麼今年虧損 10 億元,可記為 。
2 東方與西方是相對的,某人以車站為基準點,向西走 8 公里記為 -8 公里,那麼向東走 5 公里可記為 。
-10 億元
+5 公里
L
L
L L
2 數線
生活中我們常將一條直線畫上刻度,用這些刻度來表示數的大小或位置,
例如:溫度計上的刻度表示溫度的高低,高速公路上的里程數表示所在的位 置。在數學上,我們利用直線上的點來表示數。
畫一直線,在直線上取一點 O 做為基準點(稱為原點),以箭頭表示正向
(反方向為負向)。O 點(原點)代表的數是 0,我們在 O 點下方標示 0,並稱 O 點的坐標為 0,記作 O (0)。以適當的固定長度當成 1 個單位 (稱為單位長), 這條具備原點、正向 (箭頭) 和單位長的直線就稱為數線,如圖 1-2。
在數線上由原點 O 往正向,每隔 1 單位長做一個刻度,依序標示 1、2、
3、4、……;並從原點 O 往負向,每隔 1 單位長做一個刻度,依序標示-1、
-2、-3、-4、……,如圖 1-3。
圖 1-3 中,1、2、3、4、……,稱為正整數(亦稱為自然數),-1、-2、
-3、-4、……,稱為負整數,我們把正整數、0 及負整數統稱為整數,其中 1 為最小的正整數,-1 為最大的負整數。
圖 1-3
0 1
-1
-2
-3
-4 2 3 4
O
我們可以看出:
O
圖 1-2
0 1
原點
正向
單位長
在一條水平的數線上,若以向右為正向,則愈右邊的點代表的數愈大,
愈左邊的點代表的數愈小。
對應能力指標7-n-02、7-n-03、7-n-04
除了整數外,分數或小數也可以標示在數線上。也就是說,
給定一個數,就可以在數線上找到一個點來表示這個數。
例如:
1 在數線上標示代表 2
3 的點:
因為 0< 2
3 <1,所以我們將數線上 0 到 1 之間的長度分成 3 等分,則由 左而右兩個等分點分別代表 1
3 、 2
3 ,如圖 1-4,A 點代表的數是 2
3 ,所以 我們稱 A 點的坐標是 2
3 ,記為 A( 2 3 )。
4
2 在數線上標示代表-3.7 的點:
因為-4<-3.7<-3,所以我們將數線上-3 到-4 之間的長度分成 10 等 分,則由左而右九個等分點分別代表-3.9、-3.8、-3.7、-3.6、-3.5、
-3.4、-3.3、-3.2、-3.1,如圖 1-5,B 點代表的數是-3.7,所以我們稱 B 點的坐標是-3.7,記為 B(-3.7)。
圖 1-5
-3.7-3 -2 -1 0 1
-4 2 3 4
O B
若數線上一點 A 所代表的數是 a,則 A 點的坐標是 a,記作 A(a)。
0 1
-1
-2
-3
-4 1 2 3
3 圖 1-4
O A 23
寫出下面數線上 A、B、C、D 四點的坐標。
數線上的坐標
例
題2
答:A( )、B( )、C( ) 寫出下面數線上各點的坐標:
0 1
C B O A
2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
求 A 點坐標:
3 和 4 之間分成 3 等分,A 點 是由 3 向右(正向)算起第 1 個等分點,所以 A 點的坐標為 3 13 ,記為 A(3 1
3 )。
求 B 點坐標:
1 和 2 之間分成 10 等分,B 點 是由 1 向右(正向)算起第 3 個等分點,所以 B 點的坐標為 1.3 或 1 310 ,記為 B(1.3)
或 B(1 310 )。
求 C 點坐標:
0 和-1 之間分成 4 等分,C 點是由 0 向左(負向)算起第 3 個等分點,所以 C 點的坐標 為- 34 ,記為 C(- 3
4 )。
求 D 點坐標:
-1 和-2 之間分成 10 等分,
D 點是由-1 向左(負向)算 起第 7 個等分點,所以 D 點 的坐標為-1.7 或-1 710 ,記 為 D(-1.7)或 D(-1 710 )。
0
-1
-2
-3 1 2 3 4
A B
C O
D
1 1
2 -1.6 -3 1
3
搭配習作P4 基礎題 4
國小時,我們已經學會判斷任意兩個正數的大小關係,例如:5>3、
4.6>4、2 1
4 >1、1> 2
3 等。那麼兩個負數的大小關係如何判斷呢?例如:
-3 和-5 哪一個數較小呢?
我們先想想這個問題:「如果志豪和志明都是老師的外甥,志豪比老師小 25 歲,志明比老師小 27 歲,那麼志豪和志明誰的年紀比較小?」顯然志明的 年紀較小。若將小 25 歲表示為-25 歲,將小 27 歲表示為-27 歲,則可記為
「-27<-25」。
我們可以仿照這個思考方式來判斷-3 和-5 的大小關係。以 0 為基準來 看,-3 是比 0 小 3 的數,而-5 是比 0 小 5 的數,因此-5<-3。同理,
-4.6<-4、-2 1
4 <-1、-1<- 2 3 。
因為所有的負數都是比 0 小的數,所以「負數<0」;而所有的正數都是 比 0 大的數,所以「0<正數」;由上述兩者,顯然「負數<正數」。也就是 說,
正數、 0、負數三者之間的大小關係為 「負數<0<正數」。
我比老師小 27 歲。
我比老師小 25 歲。
3 數的大小
對應能力指標7-n-03數線上的坐標與數的大小關係
例
題3
我們也可以將兩個數分別標示在數線上,利用 「數線上,愈右邊(正向)
的點代表的數愈大,愈左邊(負向)的點代表的數愈小」 的概念來比較大小。
比較下列各數的大小關係,在空格中填入「>、<或=」:
13 -4 2-7 0 3-4 -9
4-3.5 -3 12 5-2.7 -3 6-2.7 -2
1
2 因為在數線上,愈右邊(正向)的點代表的數愈大,愈左邊(負向)的點 代表的數愈小,所以-5<-2 12 <-1.2<0<1 3
4 。 1 在數線上標出 A (-5)、 B (-1.2)、 C (-2 12 )、 D (1 3
4 ) 四點。
2將-5、-1.2、-2 12 、1 3
4 、0 由小到大排列。
0 1 O
A C B D
0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-2 12 -1.2 134
> < >
> <
=
搭配習作P4 基礎題 3
搭配習作P5 基礎題 5
甲、乙兩同學的身高分別為 a 公分及 b 公分,當比較兩人身高時,下面三 種情形會出現一種,且只會出現一種:甲比乙高、乙比甲高、甲跟乙一樣高。
也就是比較 a、b 兩數的大小關係時,三種情形 a > b 、 b > a、 a = b 會 出現一種,且只會出現一種,也就是恰好有一種會出現,我們將這種性質稱為 三一律。
我們在國小時就已經學習過:若 a > b 且 b > c,則 a > c (同樣地,若 a < b 且 b < c ,則 a < c ),我們將這個規則稱為遞移律。
1 在下面的數線上標出 A (-4)、 B (-1.3)、 C (1 13 )、 D (-5.1) 四點。
2將-4、-1.3、1 13 、-5.1、0 由小到大排列。
0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
O O
1 小明比小英高,小英又比小華高,回答下列問題:
1 小明與小華誰高?
2三人之中誰最矮?
2有三種形狀的積木 、 、 ,若將此三 種積木放在天秤上,會有如右圖的結果。
則下列哪一個狀況可表示 與 的重量 關係?
A B C
-5.1<-4<-1.3<0<1 13 B
D A C
-5.1 -1.3 1 13
小明 小華
B
搭配習作P5 基礎題 6
在例題 4 第 1 題中, A(6)、 B(-6)兩點分別在原點的左右兩側,且與 原點的距離相等 (都是 6 單位長),我們稱 6 與-6 互為相反數,即 6 的相反 數是-6,-6 的相反數是 6,如圖 1-6。
同樣地,第2 題的 C(2 45 )、D(-24
5 ) 兩點分別在原點的左右兩側,
且與原點的距離都是 2 45 單位長, 所以 2 4
5 與-2 45 互為相反數,如圖 1-6。
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
B O A
0 1 2 3
-1
-2
-3
D C
-2 45 2 45
O
0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
F E
-4.3 4.3
O
1畫一條數線,並在數線上標出 A (6)、 B (-6)兩點。
2畫一條數線,並在數線上標出 C (2 45 )、 D (-2 4
5 )兩點。
3 畫一條數線,並在數線上標出 E (4.3)、 F (-4.3)兩點。
數線上的坐標
例
題4
4.3 與-4.3 是否互為相反數呢?
4 相反數
搭配習作P5 基礎題 8 對應能力指標7-n-02
是
也就是說,
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
O 6
B D C A
2 45
-2 45
6
圖 1-6
2 45 2 45
-4.1 4.1
5 12
-5 12
5 12
5 12
0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
2 O 2
圖中坐標為 2 的點與原點的距離為 2 單位長,在原點另一側與原點距離 為 2 單位長的點坐標為-2,所以 2 的相反數是-2。
坐標為-5 12 的點與原點的距離為 5 1
2 單位長,在原點另一側與原點距 離為 5 12 單位長的點坐標為 5 1
2 ,所以-5 12 的相反數是 5 1 2 。 同理,4.1 的相反數是-4.1。
試分別求出 2、-5 12 、4.1 的相反數。
例
題5
求相反數1 在數線上,位於原點兩側且與原點距離相等的兩個點,所表示的數互為相 反數。
2 0 的相反數為 0。
搭配習作P5 基礎題 7
我們說 6 的相反數是-6,看起來像是在 6 的前面加上一個「-」號而得 到它的相反數。如果-6 的相反數也是在前面再加上一個「-」號而得,那麼
-6 的相反數就會寫成-(-6)。但是我們已經知道-6 的相反數是 6,因此 我們約定-(-6)=6。同理,-(-2 45 )=2 4
5 ,-(-4.3)=4.3。也就是說,
有了這項約定之後,我們也可以將相反數說成:
其實只要將一個數的性質符號改變,
就可以得到這個數的相反數了。
文字符號可以代表正數,
也可以代表 0 或負數。
若 a 為正數,則-(-a)=a。
不論 a 為正數、負數或 0, a 和 -a 互為相反數。
即 a 的相反數是-a,
-a 的相反數是 a。
數學是科學裡的皇后,算術則是數學中的女王。
—高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)
數學小語錄
試寫出下列各數的相反數:
15 的相反數為 。 2-2 13 的相反數為 。 3 125 的相反數為 。 4-8.9 的相反數為 。
-5 2 1
3 - 12
5 8.9
5 絕對值
數線上任一點 A(a) 與原點的距離,以符號∣a∣表示,讀作 a 的絕對值,
「∣∣」稱為絕對值符號。例如:
圖 1-7 中 A 點代表 6 這個數,A 點到原點的距離記為∣6∣(讀作 6 的絕對 值),而 A 點到原點的距離為 6 單位長,因此∣6∣=6。
圖 1-7 中 B 點代表-6 這個數,B 點到原點的距離記為∣-6∣,而 B 點到原點 的距離為 6 單位長,因此∣-6∣=6。
圖 1-7 C
E
B O D A
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-1.3
-2
-3
-4
-5
-6
-2 12 3 34
由圖 1-7 中可以看出:
C 點到原點的距離為 1.3 單位長,所以∣-1.3∣=1.3。
D 點到原點的距離為 3 34 單位長,所以
∣
3 34∣
=3 34 。E 點到原點的距離為 2 12 單位長,所以
∣
-2 12∣
=2 12 。絕對值可代表數線上任一點與原點的距離,除了 0 以外,數線上任意一點 與原點的距離都大於 0。不論正數或負數,它們的絕對值都是正數,而 0 的絕 對值為 0。也就是說,a 為任意數,∣a∣≧0,此處的符號「≧」讀作「大於 或等於」,意思是「大於」或「等於」中有一種情形成立就可以。
數線上,在原點的正向,離原點愈遠的點代表的正數愈大,而其絕對值也 愈大。相對地,在原點的負向,離原點愈遠的點代表的負數愈小,但其絕對值 反而愈大。也就是說,
正數愈大,其絕對值愈大;而負數愈小,其絕對值愈大。
對應能力指標7-n-05、7-n-06、7-n-07
分別寫出-3.1、-7、4、-5 13 這四個數的相反數的絕對值,並和上面隨堂 練習的結果比較看看,說出你發現了什麼?
動動腦
動動腦
試分別寫出-3.1、-7、4、-5 13 的絕對值。
∣-3.1∣= ∣-7∣=
∣4∣= ∣-5 13 ∣=
我們知道:數線上,代表相反數的兩點分別在原點的兩側,且與原點的距 離相等。因此,互為相反數的兩數,其絕對值相等。
數線上代表-1 的點與原點的距離為 1 單位長,所以∣-1∣=1。
數線上代表 9 的點與原點的距離為 9 單位長,所以∣9∣=9。
數線上代表-7 的點與原點的距離為 7 單位長,所以∣-7∣=7。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
7 9
1 O 分別寫出-1、9、-7 的絕對值。
例
題6
絕對值分別寫出-3.1、-7、4、-5 13 這四個數的相反數的絕對值,並和上面隨堂 練習的結果比較看看,說出你發現了什麼?
搭配習作P6 基礎題 9
3.1 7
4 5 13
互為相反數的兩數的絕對值相等。
若∣甲數∣=5,則甲數是多少?
某數的絕對值
例
題7
∣甲數∣=5 表示在數線上,代表甲數的點與原點的距離為 5 單位長,
所以甲數=5 或甲數=-5。
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
5 5
O
所以在數線上與原點距離小於 6 單位長的整數點有-5、-4、-3、-2、
-1、0、1、2、3、4、5。
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
O
1若∣甲數∣=3.5,則甲數是多少?
2若|乙數|=0,則乙數是多少?
若|甲數|+|乙數|=0,則甲數、乙數是多少?
在數線上標出絕對值小於 6 的所有整數點。
絕對值小於某數的整數點
例
題8
搭配習作P6 基礎題 10、13
甲數=0,乙數=0
3.5 或 -3.5 0
搭配習作P6 基礎題 11
1在數線上標出絕對值為 4 的所有整數點。
2在數線上標出絕對值小於 4 的所有整數點。
0 1 2 3 4 5 6
O
0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
!「+」與「-」:用來表示加減運算時,稱為運算符號;用來表示一 個數是正數或負數時,則稱為性質符號。
@有號數、同號數、異號數:正數與負數都叫做有號數。
性質符號相同的兩數稱為同號數,例如:-1 與-2.7 是同號數;
而性質符號相異的兩數則稱為異號數,例如:+1 與-5 是異號數。
#數線的基本要素:數線的基本要素包含原點、正向、單位長。
$數線上數的大小:在一條水平的數線上,若以向右為正向,則愈右邊 的點代表的數愈大,愈左邊的點代表的數愈小。
%三一律:a、 b 兩數的大小關係,a>b、a<b、a=b 三種情形恰好有 一種會出現。
^遞移律:有 a、b、c 三數,若 a>b 且 b>c ,則 a>c 。
&整數 :整數包含正整數(自然數)、 0、負整數。
*相反數:在數線上,位於原點兩側且與原點距離相等的兩個點,所表 示的數互為相反數。而 0 的相反數是 0。
不論 a 為正數或負數, a 和-a 互為相反數。即 a 的相反數是 -a , 而 -a 的相反數是 a。
(絕對值:一個數的絕對值就是數線上代表這個數的點到原點的距離。
互為相反數的兩數,其絕對值相等。
1 以海平面為基準點,海平面之上與海平面之下是相對的,若甲地高出海平面 230 公尺記為+230 公尺,則乙地低於海平面 3 公尺可記為 。
2 贏球與輸球是相對的,若中華棒球代表隊在 2004 年奧運比賽中勝 3 場記為
+3 場,則輸 4 場可記為 。
3 寫出下面數線上 A、B、C、D、E、F 各點的坐標。
4 在下面的數線上標出 A (5)、 B (-1.7)、 C (4 12 )、 D (-4)、 E (-3 1 2 )、 F (- 13 )六點,並比較這六點所代表的數的大小。
5寫出下列各數的相反數:
0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
A E B O C D F
自 我 評 量 1-1 1-1
原 數 -2.5 7 80 - 53 0 相反數
-3 公尺
-4 場
A(-6 12 )、B(-1
2)、C(0.7)、D(2 34 )、E(-4.4)、F(64 5)
-4<-3 12 <-1.7<- 1
3 <4 12 <5
2.5 -7 -80 5 0 3
E
D B F C A
6將下列各數由小到大排列:
1-2 13 、∣-4∣、∣5∣、-∣-6∣、3
7回答下列問題:
1在數線上標出絕對值等於 8 的所有整數點。
2若∣甲數∣=7,則甲數= 。
3在數線上標出絕對值小於 7 的所有整數點,並將這些點所代表的數 列出來。
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
O
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
O
2-30、25 13 、41、-50.8、-70
1-∣-6∣<-2 13 < 3<∣-4∣<∣5∣
2-70<-50.8<-30<25 13 <41
7 或 -7
-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6