行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
非常態分配下多變量前置管制圖之研究
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC91-2416-H-006-029-
執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立成功大學統計學系（所）
計畫主持人： 潘浙楠
報告類型： 精簡報告
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 92 年 8 月 15 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
計畫編號：NSC 91-2416-H-006-029
執行期限：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：潘浙楠 國立成功大學管理學院統計學系、所
一、中文摘要
統計製程管制（Statistical Process Control，簡稱 SPC）是監控製程品質特性的 重要方法。透過管制圖（Control Charts）的監控，吾人能夠迅速地偵測出非機遇 原因何時發生或是製程何時改變，再及時予以修正即可防止不良品之產生，並減 少不必要的品質損失。相對於傳統之管制圖，前置管制圖著重於製程量產前製程 能力的評估及量產後對製程的及時監控。
現代化的產品及其生產過程日趨複雜，一個產品或製程的品質往往取決於兩 個或兩個以上彼此相關的品質特性，因此本研究首先針對品質特性服從多變量常 態分配時，比較多變量前置管制圖與 Hotelling T 管制圖在監控製程上之表現並2 利用平均串長度（ARL）進行評估。除了分別探討當製程處於穩定狀態下及製程 發生變動時，管制方法偵測到製程異常所需之樣本數外，本研究尚利用常態轉換 法，對品質特性呈非常態多變量分配下之資料作進一步之分析。
最後，我們提出一套修正原多變量前置管制圖之設定及監控準則的方式，可 供業界參考使用。
關鍵詞：多變量前置管制圖、Hotelling T 管制圖、平均串長度、常態轉換法。2
Abstr act
Statistical process control (SPC) is an important tool to detect the process change and prevent the defects from occurring by identifying and eliminating assignable causes of variation. In contrast to the traditional control charts, pre-control charts focus on evaluating the process capability during the set-up stage and detecting the process change during the mass production stage.
The quality of output of a production process is often measured by the joint level of several correlated characteristics. The main purpose of this research is to compare the performance of detecting process change using multivariate pre-control charts versus Hotelling T control charts when quality characteristics follow multivariate 2 normal distributions. This can be achieved by two statistical measures known as the out of control ARL (Average Run Length) =1/1-β, where β is the type-II error probability (the probability of not being able to detect the change when the process
mean has been shifted) as well as the in control ARL=1/α, where α is the type-I error probability (the probability of claiming the process is out-of-control when the process is actually in control). In addition, this research utilizes normal transformation to deal with the non-normal multivariate data.
Finally, this research proposes some new set-up and monitoring criteria for multivariate pre-control charts which may provide a useful reference for the industries.
Keywor ds : Multivariate Pre-control charts, Hotelling T control charts, Average Run 2 Length、Normal Transformation。
二、緣由與目的
統計管制圖在工業上已被廣泛的使用，尤其是最近這幾年，不論是生產者或 是消費者，對於產品品質均愈來愈注重。因為一個企業要有好的競爭力，其所生 產的產品一定要有好的品質，消費者才會有購買的意願。而傳統上一般最常被使 用的管制圖是 X-Bar 與 R 管制圖。
相對於傳統之管制圖，前置管制圖著重製程在量產前製程能力之評估及量產 後對製程的及時監控，使用前置管制圖之業者認為一個沒有良好製程能力的生產 製程，即使呈穩定的管制狀態，量產的結果必產生很多的不良品，而過多的不良 品不僅會增加生產者的生產成本，更會降低了整個企業的競爭力；且其在操作的 成本、時間、與便利性上，均較傳統的管制圖為佳。
而在現代化的製程及產品日趨複雜的情況下，一個製程或產品的品質往往決 定於兩個或兩個以上相關連的品質特性：例如化學製程的品質常常決定於雜質百 分比、溫度、濃度等等，而這些變量彼此間通常具有相關性，若僅考慮單一變量 進行製程的監控，判定製程是否合乎要求，極有可能導致錯誤的判斷，因此本研 究乃針對多變量前置管制圖之使用準則作進一步的研究與探討。
茲將本文之研究目的簡述如下：
1. 針對常態與非常態分配下多變量前置管制圖之設定與監控準則作深入探討並 加以修正。
2. 提出新的監控準則與原準則進行比較，以期找出在不同管制條件下，最佳的 監控準則供業界使用。
3. 將多變量前置管制圖與多變量 Hotelling T 管制圖在製程監控的表現上作一2 比較，並提出建議。
三、結果與討論
原前置管制圖第一階段設定準則是針對量產前之製程能力做一評估，以避免 量產後產生過多的不良品，當製程設定完成後，作業員應連續抽取五個樣本，五 個樣本都落於綠色安全區域，則製程設定無誤可進行量產；若五個樣本中，有一 個落在黃色警戒區域，則須再多抽一個，若此樣本落在綠色安全區域，表示製程
設定無誤可進行量產；五個樣本中，若有兩個落在黃色警戒區域或一個落在紅色 拒絕區域，則表示製程之設定可能產生問題，此時必須立即對製程進行調整。已 知單變量前置管制圖在Cp =1時，通過與拒絕設定準則的機率近乎各占一半，在 此情形容易產生誤判的情形，將製程能力不好的製程誤判為好的。為了減少誤判 的風險，可增加抽樣數來改善，吾人即針對應將抽樣數增至多少個即能有效的評 估製程之製程能力並減少誤判的情形發生進行深入的探討，進而推廣至多變量前 置管制圖時之情況。
單變量前置管制圖在Cp =1時，樣本數從 10 個增至 11 個時，增加抽樣數所 能提高通過設定準則之機率已降至 0.0318 以下，且抽 10 個樣本時其通過設定準 則的機率只有 23.8%，此時信心水準已提升至接近 0.8，其他製程能力指標之情 形亦然，在樣本數大於 10 個之後所能提高通過設定準則之機率已十分有限，因 此吾人建議將其設定準則抽樣數設為 10 個。而在多變量前置管制圖設定準則的 探討上，吾人參考潘及李 [1] 所提出多變量製程能力指標NMC 之設定，將管p 制界限綠色安全區定為製程區域面積之 0.86，黃色警戒區定為製程區域面積 0.86 至 0.999 間，超過 0.999 外之部分則為紅色拒絕域。NMCp =1時，多變量前置管 制圖通過設定準則之機率為(0.86)5 =0.4704，與單變量前置管制圖之設定一樣會 有誤判的情形，吾人擬採取與單變量前置管制圖相同之手法，將抽樣數增加至 10 個時，則其通過與拒絕設定準則的機率分別為 22.1%、77.9%，此時信心水準 亦接近 0.8，因此在討論多變量前置管制圖設定準則時，吾人亦將抽樣數定為 10 個。
而前置管制圖第二階段監控準則是製程設定無誤進行量產後，對製程是否產 生變化作持續的監控，其監控手法為連續抽取兩個樣本進行檢驗，茲說明如下:
1. 連續抽取兩個樣本都落於綠色安全區域，則表示製程呈穩定狀態，可繼續進 行量產。
2. 若連續抽取兩個樣本，一個落於綠色安全區域，另一個落於黃色警戒區域，
則仍可視製程呈穩定狀態，繼續進行量產。
3. 若連續抽取兩個樣本，均落在黃色警戒區域，表示製程平均產生偏移(二個均 落在同一警戒區中)或變異過大(一個落在上方之警戒區，另一個落在下方之 警戒區)，應立即停止製程重新調整。
4. 若連續抽取兩個樣本，其中一個落於紅色拒絕區域，則須即刻停止製程並找 出問題發生之原因。
吾人將提出新的監控準則與原準則在不同前置管制條件之設定下進行比較，
以期找出最佳的監控準則。Hubele [9] 在多變量前置管制圖一文中提出，綠色安 全區域為製程區域面積之 0.86，黃色警戒區域為製程區域面積之 0.86 至 0.999 間，紅色拒絕區為製程區域 0.999 外，而綠色安全區、黃色警戒區與紅色拒絕區 之設定可因製程不同做出適合其製程要求的調整。因此吾人另外提出兩種不同前
置管制條件，將綠色安全區域分別從 0.86 向上調至 0.9 及向下調整至 0.83。在此 三種不同前置管制條件下，進行新監控準則的比較，若所提出之新準則表現均較 原監控準則好，即表示新準則優於原監控準則。
量產後原多變量前置管制圖之監控準則是抽取兩個樣本，在不希望抽樣成本 的過多的考量下，考慮將監控時之抽樣數最多增加至 5 個(修正後設定準則抽樣 數之半)時，吾人提出下列六個新的監控準則
準則 1: 抽取三個樣本，分佈情形為:三綠、二綠一黃、一綠二黃時，表示製程穩 定，否則停止生產。
準則 2: 抽取三個樣本，分佈情形為:三綠、二綠一黃時，表示製程穩定，若一綠 二黃時，則再多抽取一個樣本，落在綠色區域表示製程穩定，否則停止生產。
準則 3: 抽取三個樣本，分佈情形為:三綠、二綠一黃時，表示製程穩定，若一綠 二黃時，則再多抽取兩個樣本，都落在綠色區域表示製程穩定，否則停止生產。
準則 4: 抽取四個樣本，分佈情形為:四綠、三綠一黃、二綠二黃時，表示製程穩 定，否則停止生產。
準則 5: 抽取四個樣本，分佈情形為:四綠、三綠一黃時，表示製程穩定，二綠二 黃則再多抽一個樣本，落在綠色區域表示製程穩定，否則停止生產。
準則 6: 抽取五個樣本，分佈情形為: 五綠、四綠一黃、三綠二黃時，則表示製 程穩定，否則停止生產。
吾人針對此六種新監控準則在三種不同前置管制條件下的表現與原準則進 行分析比較，比較結果以準則 3 的表現為最佳(抽取三個樣本，分佈情形為:三綠、
二綠一黃時，表示製程穩定，若一綠二黃時，則再多抽取兩個樣本，都落在綠色 區域表示製程穩定，否則停止生產)，且準則 3 之抽樣數只比原準則多一個，由 於一綠二黃的情況發生的機率很小，即多抽兩個的機會不大，不會增加過多抽樣 成本，因此吾人建議在使用多變量前置管制圖時，考慮以準則 3 作為量產時監控 之準則。而生產者亦可依其製程之需求，自行調整前置管制警戒區的設定，吾人 並將不同型 I 誤差下，多變量常態前置管制警戒範圍之設定彙整成表，供生產者 在選擇適當的多變量前置管制圖時之參考。
除了對多變量前置管制圖之設定與監控準則進行深入之探討，針對其缺失進 行修正，並提出新的準則供業界參考外，本研究尚比較多變量前置管制圖與多變 量 Hotelling T 管制圖在監控製程表現上的優劣，在三種不同前置管制條件下，2 Hotelling T 管制圖在監控製程的表現上均較多變量前置管制圖為佳，吾人根據2 比較之結果歸納出下列幾點：
1. 多變量前置管制圖在操作的成本、時間與便利性上均較 Hotelling T 管制圖2 為好，因此可視生產者對製程的特性與需求選擇適合的管制圖使用，例如生 產者所著重的是在產品是否符合規格，製程的製程能力與監控的便利性上，
則建議使用多變量前置管制圖；若對製程的穩定性有嚴格的要求，不希望有 太大的變異產生，且可建立自動化之資料的蒐集與分析系統，則建議使用 Hotelling T 管制圖。2
2. Hotelling T 管制圖與多變量前置管制圖，兩者可相輔相成，吾人亦可考慮2 結合二者之優點，在製程量產前採用多變量前置管制圖檢驗製程是否具有良 好的製程能力，而量產後則可利用 Hotelling T 管制圖對製程進行持續的監2 控。
最後，則討論製程呈多變量非常態時之處理方法，吾人將非常態製程利用多 變量常態轉換法 Andrews et al. [3]轉為常態，使得生產者能從這些轉成常態之資 料中獲知訊息進而利用多變量前置管制圖對量產前的製程能力與量產後的製程 進行評估與監控。由於某些特定分配如多變量韋伯、多變量指數分配等，目前沒 有一個好的常態轉換法將其轉為常態，所以此部份只針對資料服從多變量對數常 態與沒有任何先驗訊息的分配做一探討。
利用多變量常態轉換法將多變量對數常態分配轉為多變量常態時，會先對多 變量對數常態分配在 K-S 檢定法下做一檢定力分析，決定所需選取樣本數。因 為在品質特性服從常態分配下，設定與監控準則所需之樣本數只需 2 至 5 個，修 正後之設定準則亦只需 10 個，但品質特性若不服從常態分配，吾人必須利用常 態轉換法將資料轉為常態再進行製程之評估與監控，若採取相同之設定與監控準 則，則所取之樣本數不變，可能由於樣本數太少，使的轉換效果不佳進而影響到 製程能力之評估與製程監控之品質。因此吾人會先評估所使用之 K-S 檢定法對 於多變量對數常態分配在不同樣本數時之檢定力，找出所需之適當樣本數。再利 用決定之樣本數來評估 Andrews et al. [3] 常態轉換法及配合吾人所撰寫求解轉 換參數λ~
之程式將資料轉換後之轉換效果，做為非常態多變量前置管制圖設定與 監控準則制定之參考。
吾人利用電腦模擬出一筆多變量對數常態資料，在α =0.05下，求得樣本數 在 20 以上時，檢定方法之檢定力即在 0.82 以上，且資料經由常態轉換法轉為常 態後，轉換效果不錯，因此吾人決定以樣本數 20 來做為制定非常態分配下多變 量前置管制圖設定與監控準則之樣本數。當資料服從多變量對數常態分配與沒有 任何先驗訊息的非常態製程時，原本品質特性服從多變量常態分配時之多變量前 置管制圖的設定與監控準則即已不適用，吾人將另建議一套設定與監控準則以作 為資料為多變量對數常態分配或沒有任何先驗訊息時，多變量前置管制圖使用之 基準。此外，由於所需抽取之樣本數每次為 20，可能會對生產者造成生產成本 上的負擔，在成本的考量下，針對資料為多變量對數常態分配或沒有任何先驗訊 息時，使用多變量常態轉換法將其轉為常態後，再利用多變量前置管制圖進行量 產前製程能力之評估與量產後製程的監控，一般僅適用於非破壞性檢驗或檢驗成 本較低之製程。
1. 非常態分配下多變量前置管制圖之設定準則，針對常態分配下多變量前置管 制圖設定準則抽樣數所做的探討，將其設定準則之抽樣數由原先的 5 個建議增至 10 個，即能準確的對製程的製程能力作評估，並有效的避免誤判的情況發生。
然而，非常態製程由於須利用轉換後的資料進行分析，故每次所需抽取之樣本數
為 20 個方具有較高之檢定力，因此吾人建議其設定準則抽樣數亦為 20，即選取 20 個進行製程能力之評估。
2. 非常態分配下多變量前置管制圖之監控準則，在前置管制條件綠色安全區域 定為製程區域面積之 0.9 內、黃色警戒區域為製程區域面積之 0.9-0.999 間，紅色 拒絕區為製程區域面積 0.999 外，吾人建議之監控準則為:抽取 20 個樣本，樣本 所分佈之區域情形為:20 綠，19 綠 1 黃，18 綠 2 黃，17 綠 3 黃，16 綠 4 黃，15 綠 5 黃，14 綠 6 黃，13 綠 7 黃，則表示製程穩定，否則停止生產。在此前置管 制條件與監控準則下，其監控製程在型 I 誤差的表現上，型 I 誤差的發生機率為 0.020194，已有不錯之表現。
四、計劃成果自評
敝人在此研究所完成之工作詳列如下:
1. 本研究針對常態分配下多變量前置管制圖在評估製程能力的設定準則上做一 詳盡的探討，並建議設定準則的抽樣數可提高至 10 個，以減少誤判的發生。
2. 本研究對量產後常態多變量製程之監控，提出了表現較佳之新準則，並將不 同型 I 誤差下，多變量常態前置管制警戒範圍之設定彙整成表，方便業界參 考使用。
3. 針對多變量前置管制圖與 Hotelling T 管制圖在監控製程的表現上進行比2 較，並依不同生產之條件，提出結合二者優點的建議。
4. 針對資料為多變量對數常態或是沒有任何先驗訊息的非常態多變量之製程，
本研究透過檢定力之評估決定所需抽取之樣本數為 20，再利用多變量常態轉 換法配合吾人所撰寫之程式求解轉換參數λˆ，能有效的將非常態轉換為常 態，最後吾人建議一套非常態分配下多變量前置管制圖設定與監控準則供業 界使用之參考。
已有兩位碩士生藉由本計劃之補助取得碩士學位，本年度敝人與研究生姚仲 澤合著之“多變量前置管制圖之研究”一文將送往品質學報刊登。另外將考慮投稿 國外 SCI 期刊，謹對貴會人文社會處給予之支持與協助，敬表謝忱。
五、參考文獻
[1] 潘浙楠、李仁凱，「多重品質特性下製程能力指標之比較研究」，品質學報，
第 10 卷，第 1 期 (2003)。
[2] 連志偉，「非常態分配下前置管制圖之探討與研究」，國立成功大學統計學 研究所碩士論文 (2002)。
[3] Andrews, D. F., Gnanadesikan, R. and Warner, J. L., “Transformations Of Multivariate Data,”Biometrics, Vol. 27, 825-40 (1971).
[4] Box, G. E. P. and Cox, D. R., “An Analysis of Transformations,”Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 26, pp. 211-246 (1964).
[5] Bohte, K. R., “World Class Quality: Design of Experiments Made Easier, More
Cost Effective Than SPC,”American Management Association (1988).
[6] Ermer, D. C. and Roepke, J. R., “An Analytical Analysis of Pre-control,”ASQC Quality Congress transactions. American Society for Quality Control,
Milwaukee, WI, New York, pp. 522-525 (1991).
[7] Gnandesikan, R., Methods for Statistical Data Analysis of Multivariate Observations, Wiley, New York, NY (1977).
[8] Hotelling, H., “Multivariate Quality Control,”Techniques of Statistical Analysis, Edited by Eisenhart, Hastay and Wallis, McGraw-Hill, New York, NY, pp.
111-184 (1947).
[9] Hubele, N. F., “A Multivariate and Stochastic Framework for Statistical Process Control,”Statistical Process Control In Automated Manufacturing, Edited by Keats, J. B. and Hubele, N. F., Marcel Dekker, New York, NY, pp.129-151 (1986).
[10] Khoo, M. B. C. and Quah, S. H., “Proposed Short Runs Multivariate Control Charts for the Process Mean,” Quality Engineering, 14(4), 603-621 (2002).
[11] Ledolter, J. and Swersey, A., “An Evaluation of Pre-Control,”Journal of Quality Technology, Vol. 29, No. 2, pp. 163-171 (1997).
[12] Mackertich, N. A., “Precontrol versus Control Charting: A Critical Comparison,”
Quality Engineering, Vol. 2, pp. 253-268 (1990).
[13] Rupinski, M. T. and Dunlap, W. P., “Approximating Pearson Product-Moment Correlations from Kendall’s Tau and Spearman’s Rho,”Educational and Psychological Measurement, Vol. 56, No. 3, pp. 419-429 (1996).
[14] Prins, J. and Mader, D., “Multivariate Control Charts for Grouped and Individual Observations,”Quality Engineering, 10 (1), 49-57 (1997).
[15] Satterthwaite, F. E., “A Simple, Effective Process Control Method,” Report 54-1, Rath&Strong, Inc., Boston, MA (1954).
[16] Shainin, D., “Better than Good Old X and R charts Asked by Vendees,” ASQC Quality Congress Transactions. American Society for Quality Control,
Milwaukee, WI, pp. 302-307 (1984).
[17] Traver, R. W., “Pre-Control: A Good Alternative to X and R Charts,” Quality Progress, Vol. 17, pp. 11-14 (1985).
[18] Tracy, N. D., Young, J. C. and Mason, R. L., “Multivarate Control Charts for Individual Observations,” Journal of Quality Technology, Vol. 24, No. 2 (1992).
[19] Taam, W., Subbaiah, P. and Liddy, J. W., “A Note on Multivariate Capability Indices,”Journal of Applied Statistics, Vol. 20, pp. 339-351 (1993).
