1-1 數列

1-1 數 列

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設〈a 〉﹐〈_n b 〉都是等差數列﹐試問下列何者是等比數列？ _n (1)〈a_n+ 〉 (2)〈 32 a 〉 (3)〈_n a_n + 〉 (4)〈 2b_n ^an〉﹒

解：^設a_n=a1+(n−1)d﹐b_n= +b₁ (n−1)t﹐

(1)a_n+ =2 (a₁+2)+(n−1)d﹐首項a₁+ ﹐公差 d﹒ 2 (2)3an =3a1+(n−1)3d﹐首項3a ﹐公差₁ 3d ﹒

(3)an+bn =(a₁+b₁)+(n−1)(d+ ﹐首項t) a1+ ﹐公差 d tb1 + ﹒

(4)2^an =2^{a1+ −(n1)d} =2^a1⋅(2 )^{d n−1}是首項2^a1﹐公比 2^d的等比數列﹒故選(4)﹒

2. 設〈c 〉﹐〈_n d 〉都是等比數列﹐試問下列何者不一定是等比數列？ _n (1)〈c_n + 〉 (2)〈 32 c 〉 (3)〈_n c_n²〉 (4)〈c_n⋅d_n〉﹒

解：^設 1 ¹ n

cn= ⋅c r ⁻ ﹐d_n= ⋅d k₁ ⁿ⁻¹﹐

(1)c_n+ = ⋅2 c r₁ ⁿ⁻¹+ ﹐不一定是等比數列﹒ 2 (2)3c_n=3c r₁⋅ ⁿ⁻¹﹐首項3c ﹐公比 r﹒ ₁

(3)c_n²=c₁²⋅(r²)ⁿ⁻¹﹐首項c ﹐公比₁² r ﹒ ²

(4)c_n⋅d_n=(c d₁⋅ ₁)(rk)ⁿ⁻¹﹐首項c d ﹐公比 rk﹒故選(1)﹒ _{1 1}

3. 數列〈a 〉中﹐已知_n a₁ = ﹐試問下列何者使〈2 a 〉是等差數列？ _n (1)a_n+1 =a_n+ (2)2 a_n+1=2a_n (3)a_n+1=a_n+ (4)n a_n+1 =2a_n + ﹒ 2 解：⁽¹⁾an+1=an+ ﹐2 an=2n﹐為等差數列﹒

(2)a_n+1=2a_n﹐a_n= ﹐為等比數列﹒ 2ⁿ (3)a_n+1=a_n+ ﹐不是等差數列﹒ n

(4)a_n+1=2a_n+ ﹐不是等差數列﹒故選(1)﹒ 2

4. 在 −5 與 28 之間插入 10 個數﹐取a₁= − ﹐5 a₁₂=28﹐使a₁, a₂,", a₁₂成為等 差數列﹐試問第五項a 的值﹒₅

解：a12 =a1+11d﹐由 28= − +5 11d﹐ 知公差d = ﹐ 3

5 1 4

a =a + d = − +5 12= ﹒ 7

5. 數列〈a 〉為一等比數列﹐已知_{n 4} ¹

a =2﹐ ₅ ¹

a =3﹐試問第十項a 的值﹒₁₀ 解：^因a5=a4⋅ ﹐得r 2

r= ﹐ 3

3

4 1

a = ⋅ ﹐得a r ₁ 27 a =16﹐

9

10 1

a = ⋅ a r 27 2 ⁹ 32 16 ( )3 729

= ⋅ = ﹒

6. 設數列〈a 〉滿足_n ¹

1

1

(2 1)

n n

a

a ₊ a n

⎧ =

⎨ = + +

⎩ ﹐試求一般項a ﹒ _n 解：^由a_n+1=a_n+(2n+1)﹐知a_n+1−a_n=2n+1﹐

得a_n=a₁+(a₂−a₁)+(a₃−a₂)+"+(a_n−a_n−1) 1 3 5 (2n 1)

= + + +"+ − n2

= ﹒

（每題 5 分﹐共 45 分）

1. 若三數 a, b, c 的和為 39﹐當三數依序減去 1, 2, 12 時﹐a−1, b−2, c−12成為 等差數列﹐試問 b 的值﹒

解：三數的和為 39﹐知a+ + =b c 39……c 又a−1,b−2, c− 成等差數列﹐ 12

2(b−2)=(a− + −1) (c 12)……d 由cd得b=10﹒

2. 設數列〈a 〉滿足_n a₁= 且1 a_n+1=a₁+a₂+ +" a_n﹐試求第十項a 的值﹒₁₀ 解：a1= ﹐1 a2 =a1= ﹐1 a3= +a1 a2 = ﹐ 2

2

4 1 2 3 ( 1 2) 3 2 3 2

a = +a a +a = a +a +a = a = ﹐ 同理a₅=2a₄﹐知a_n+1=2a_n（n≥ ）﹐ 2

3 10

2

10 1

1 2 9

a a

a a a

a a a

= × × × ×"

1 1 2 2 28 256

= × × × × =" = ﹒

3. 設數列〈a 〉滿足_n ¹

1

2

3 2

n n

a

a ₊ a

⎧ =

⎨ = +

⎩ ﹐

(1)若將遞迴關係式改寫為(a_n+1+k)=3(a_n+ ﹐試問 k 值﹒（2 分） k) (2)試求數列的一般項a ﹒（3 分）_n

解：(1)a_n+1+ =k 3a_n+3k﹐即a_n+1=3a_n+2k﹐ 由 2k= ﹐知2 k= ﹒ 1

(2)因(an+₁+ =1) 3(an+ ﹐知1) ¹ 1 1 3

n n

a a

+ +

+ = ﹐

3 2

1

1 2 1

1 1

1 ( 1) 1

1 1 1

n n

n

a a

a a a

a a a₋

+ +

+ = + × + × × ×

+ + " + = × × × =3 3 " 3 3ⁿ﹐ 得a_n =3ⁿ− ﹒1

4. 設數列〈a 〉滿足_n ¹ _{2 1}

1

2 2 ⁿ

n n

a

a ₊ ⁺ a

⎧ =

⎨ = ⋅

⎩ ﹐試求一般項a ﹒_n 解：^由a_n+1=2²ⁿ⁺¹× 知a_n ⁿ¹ 2²ⁿ¹

n

a a

+ = + ﹐

3 2 1

1 2 1

n n

n

a a

a a a

a a a ₋

= × × × ×"

3 5 2 1

2 2 2 2 ⁿ⁻

= × × × ×"

1 3 5 (2 1) 2

2^{+ + + + n−} 2ⁿ

= ^" = ﹒

5. 已知1³+2³+ + +3³ " n³ = + + + +(1 2 3 " n)²﹐試問：

(1)1³+2³+ + +3³ " 15³的值﹒（2 分）

(2)16³+17³+18³+ +" 24³的值﹒（3 分）

解：(1)1³+2³+ + +3³ " 15³

2 2

(1 2 3 15) 120 14400

= + + + +" = = ﹒ (2)16³+17³+18³+ +" 24³

3 3 3 3 3 3 3 3

(1 2 3 24 ) (1 2 3 15 )

= + + + +" − + + + +"

2 2

(1 2 3 24) (1 2 3 15)

= + + + +" − + + + +"

2 2

300 120 75600

= − = ﹒

6. 觀察下列數列﹐並善用遞迴關係﹒

1 1

a = ﹐a₂ = + + ﹐1 2 1 a₃= + + + + ﹐1 2 3 2 1 a₄ = + + + + + + ﹐…﹐ 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 ( 1) ( 1) 3 2 1

an = + + + + − + + − + + + +" n n n " ﹒ (1)試問a_n+1與a 的關係﹒（2 分） _n

(2)試將a 表成 n 的函數﹒（3 分） _n

解：(1)a_n+1= + +1 2 "+(n− + +1) n (n+ + +1) n (n− +1) "+ +2 1 =an+(n+ + ﹐ 1) n

知an+₁=an+(2n+ ﹒ 1)

(2)an=a₁+(a₂−a₁)+(a₃−a₂)+"+(an−an−₁) 1 3 5 (2n 1) n2

= + + + +" − = ﹒

7. 請善用數學歸納法﹐證明：

對所有正整數 n﹐8ⁿ +6恆為 7 的倍數﹒

證：(1)當n= 時﹐得1 8¹+ =6 14是 7 的倍數﹒

(2)設 n= 時成立﹐即 8k ^k + = 是 7 的倍數﹐ 6 7t 則n= + 時﹐ k 1

8^k+1+ = ⋅ + =6 8 8^k 6 8(8^k + −6) 42= ⋅ −8 7t 42=7(8t− 也是 7 的倍數﹒ 6) 故n= + 時原式成立﹐由數學歸納法得證﹒k 1

8. 已知 n 是正整數﹐且 3 7⋅ ⁿ+ ⋅2 2ⁿ恆為某質數 P 的倍數﹒

(1)試求質數 P﹒（2 分）

(2)請用數學歸納法證明你的推測﹒（3 分）

解：⁽¹⁾n= 時﹐得 3 7 2 2 251 ⋅ + ⋅ = ﹐推得P= ﹒ 5 (2)cn= 時﹐原式 251 = 是 5 的倍數﹒

d設 n k= 時成立﹐即 3 7⋅ ^k + ⋅2 2^k = 是 5 的倍數﹐ 5t 則n= + 時﹐k 1 3 7⋅ ^k+1+ ⋅2 2^k+1

=21 7⋅ ^k + ⋅4 2^k =2(3 7⋅ ^k + ⋅2 2 ) 15 7^k + ⋅ ^k = ⋅ + ⋅2 5t 15 7^k =5(2t+ ⋅3 7 )^k ﹒

故n= + 時原式成立﹐由數學歸納法得證﹒k 1

9. 請善用數學歸納法﹐證明：

對所有正整數 n﹐1 4 2 5 ( 3) ^{( 1)( 5)} 3 n n n

n n + +

⋅ + ⋅ + +" + = ﹒

證：(1)當n= 時﹐左式 41 = ﹐右式 4= ﹐原式成立﹒

(2)設 n= 時成立﹐即k ( 1)( 5)

1 4 2 5 ( 3)

3 k k k

k k + +

⋅ + ⋅ + +" + = ﹐ 則n= + 時﹐1 4 2 5k 1 ⋅ + ⋅ +"+k k( + +3) (k+1)(k+4)

( 1)( 5)

( 1)( 4) 3

k k k

k k

+ +

= + + +

1

[ ( 5) 3( 4)]

3

k+ k k k

= ⋅ + + +

( 1)( 2)( 6) ( 1)[( 1) 1][( 1) 5]

3 3

k+ k+ k+ k+ k+ + k+ +

= = ﹒

故n= + 時原式成立﹐由數學歸納法得證﹒k 1

（共 25 分）

1. 某種細菌在培養過程中﹐每 1 小時分裂一次（一個分裂成兩個）﹐已知最初 培養皿中的細菌只有 1 個﹐試問欲使細菌的個數超過 1000 個時﹐至少需要 幾小時才能達到？（取整數）（8 分）

解：第 1, 2, ", n小時﹐細菌的個數分裂為2, 2 ,² ", 2ⁿ﹐ 知 2ⁿ >1000﹐得n≥10﹐至少需要 10 小時﹒

2. 假設世界人口自 1980 年起﹐50 年內每年增長率均固定﹐已知 1987 年世界 人口達 50 億﹐1999 年第 60 億人誕生在賽拉佛耶﹒請根據這些資料推測 2023 年世界人口最接近幾億？（取整數）（8 分）

解：1987﹐1999﹐2011﹐2023 年的人口成等比數列 50﹐60﹐ 60r ﹐60r ﹐知² r =1.2﹐

得 2023 年的人口為 60 1.2 1.2 86× × ≈ （億）﹒

3. 圖中的黑點分別落在正五邊形的頂點 或邊上﹐且同一邊上任兩相鄰的黑點等 距離﹐圖(一)有 5 個黑點﹐圖(二)有 12 個黑點﹐圖(三)有 22 個黑點﹐令a 表_n 示第 n 個圖中的黑點總數﹒

(1)試問a_n+1與a 的關係﹒（4 分） _n (2)試將a 表成 n 的關係﹒（5 分）_n

解：(1)a₁= ﹐5 a₂= + ﹐a₁ 7 a₃=a₂+10﹐…﹐

1 (3 4)

n n

a+ =a + n+ ﹒

(2)an=a₁+(a₂−a₁)+"+(an−an−₁) = + +5 7 10+ +" (3n+1) 1 2

(3 5 2) 2 n n

= + + ﹒