單元

單元 4 函數性質的判定 習題 三年___班 座號：____ 姓名：

觀念澄清：

關於多項式函數 f (x)，下列敘述對的打「○」，錯的打「×」

( )(1)若點(1，f (1))為 f (x)圖形的反曲點，則 f ′′(1)＝0 ( )(2)若 f (x)在 x＝2 處有極值，則 f ′(2)＝0

( )(3)若 f ′(3)＝0，則 f (x)在 x＝3 處有極值

( )(4)函數 f (x)在閉區間[5，7]上有最大值也有最小值 ( )(5)若 f ′(4)＝0 且 f ′′(4)＜0，則 f (x)在 x＝4 處有極大值

一、基礎題：

1.關於函數 f (x)＝－2x ＋3³ x ＋12x－10，選出所有正確的選項。 ²

(1) f (x)在區間[－1，2]上是遞增函數 (2) f (x)在區間[2，∞)上是遞減函數 (3) f (x)在區間(1，∞)的圖形是凹口向下 (4) f (x)圖形的反曲點為(1，3)

2.已知 f (x)＝2x ＋a³ x ＋bx＋3，在區間[2，5]上為遞減函數，在區間[－3，2]與[5，8]上為遞增函數，求實數 a，b 的值 ²

3.已知點(1，8)為三次函數 f (x)＝x ＋a³ x ＋bx＋1 圖形的反曲點，求實數 a，b 的值 ²

4.描繪下列各函數的圖形：

(1) f (x)＝x －3³ x ＋2 ² (1) f (x)＝−x⁴＋8x －3 ²

5.求下列各函數的極大值與極小值：

(1) f (x)＝x －9³ x ＋15x＋7 ² (1) f (x)＝3x －8⁴ x ＋6³ x ＋5 ²

6.求函數 f (x)＝－x ＋3x 在閉區間[0，2]上的最大值與最小值 ³

7.已知函數 f (x)＝2x ＋a³ x ＋12x＋b 在 x＝1 處有極大值 3，求實數 a，b 的值 ²

8.已知三次函數 f (x)在 x＝2 處有極小值－2，且此函數的圖形在(3，2)與直線 y＝9x－25 相切，求 f (x)

9.設服用某藥物後，體溫會隨著吸收劑量變化。已知吸收劑量 x 毫克與體溫變化 f (x)度的關係式為 f (x)＝x²(1－

3

x)，其中 0≤ x ≤ 3，試問當吸收劑量為多少毫克時，體溫變化最大？

10.要將一根直徑為 30 吋的圓柱形木材鋸成長方體的橫梁，截面是矩形，如圖所示。

設截面是寬為 x 吋、高為 y 吋的矩形，且橫梁的強度 S 和 xy²成正比，即 S＝kxy²， 其中 k 是一個固定的正數。請回答下列問題。

(1)寫出 x 與 y 的關係式 (2)求 x 的範圍

(3)已知橫梁的強度 S 為 x 的函數 f (x)，求 f (x) (4)當 x 與 y 分別為多少時，橫梁的強度 S 最大？

二、進階題

11.已知三次函數 f (x)在 x＝－1 處有極大值 3，且(0，－1)是其圖形的反曲點，求 f (x)

12.已知函數 f (x)＝x －3x＋k 的圖形與直線 y＝3 相切，求實數 k 的值 (兩解) ³

13.設多項式函數 f (x)滿足 f '(x)的圖形為開口向下的拋物線，且該拋物線通過(1，0)與(2，0)二點。選出所有正確的選項。

(1) f (x)為三次多項式函數

(2)在 f (x)的圖形上，以(3，f (3))為切點的切線之斜率為正數 (3) f (x)的圖形恰有一個反曲點(

2 3，f (

2 3))

(4) f (x)在 x＝1 處有極大值

(5) f (x)在區間(2，∞)的圖形是凹口向下

14.咳嗽是利用氣管收縮所產生的壓力差，加速氣體流動，進而將氣管中的氣體或異物排出體外。假設原來氣管的半徑為 1 單位，當氣管收縮後的半徑為 x 單位時，氣體流動的速度 V(x)可用函數 V(x)＝c(1－x)x 表示，其中⁴ c 是一個固定的 正數。當氣管收縮後的半徑 x 為多少單位時，氣體流動的速度最大？

15.如右圖，已知在拋物線 y＝x 、x 軸及直線 x＝3 所圍成的區域內，P 是拋物線 y＝² x 上一點， ²

△ABC 是以 P 為切點的切線、x 軸及直線 x＝3 所圍成的直角三角形，

求△ABC 面積的最大值，及此時 P 點的坐標

16.如下圖，將邊長為 12 的正方形剪去圖(a)中的白色部分，剩下四個全等的等腰三角形，並用四個全等的等腰三角形作成 一個開口的四角錐形容器，如圖(b)所示：

設等腰三角形的底邊長為 y，四角錐的高為 x，四角錐的體積為 f (x) (1)設 x，y 滿足ax²＋by²＝144，求實數 a，b 的值

(2)求 x 的範圍 (3)寫出函數 f (x)

(4)當 x 為多少時，四角錐的體積 f (x)會最大？

(四角錐的體積等於其底面積與高之乘積的三分之一)