單元 1 離散型隨機變數 三年___班 座號：____ 姓名：
重點 1：離散型隨機變數
1.隨機試驗：當一項試驗可在相同的條件下重複進行，每次試驗的可能結果不只一種，且試驗前無法確定哪一種結果會 出現時，稱此試驗為隨機試驗隨機試驗隨機試驗隨機試驗
2.隨機變數：將隨機試驗所有可能發生的結果(即樣本空間)對應到一個實數值的函數關係稱為隨機變數隨機變數隨機變數隨機變數，通常以 X 表示 例如：令 X 表示丟一枚硬幣兩次正面出現的次數，那麼 X 的值可為 0，1，2
其中「X = 0」表示「正面出現 0 次的事件」
「X = 1」表示「正面出現 1 次的事件」
「X = 2」表示「正面出現 2 次的事件」
即利用符號「X＝x」表示「隨機變數 X 取值為 x 的所有樣本點所成的事件
註：隨機變數 X 所有可能的取值可以一一列出，如此的隨機變數稱為離散型隨機變數離散型隨機變數離散型隨機變數離散型隨機變數 3.隨機機率：設隨機變數 X，則計算事件 X＝x 發生的機率，以符號 P(X＝x)＝
樣本空間個數 事件個數 =
) (
) (
S n
x X n =
表示其機率機率機率機率
◎隨機試驗
例 1.1：下列哪些是隨機試驗，並指出其可能試驗的結果
(1)擲一粒公正骰子 (2)投擲一枚公正硬幣兩次
(3)從只裝有紅球與白球的袋中取一球 (4)連續擲一粒骰子，擲到 6 點才停止
例 1.2：袋中裝有大小相同的紅球 2 顆，白球 4 顆。從袋中任取 2 顆球，並令隨機變數 X 表示取得紅球的顆數 (1)寫出 X 所有可能的取值 (2)描述 X＝0 所表示的事件
Ex1.2：從 52 張撲克牌中隨機抽出 5 張牌。令隨機變數 X 表示抽到點數「K」的張數 (1)寫出 X 所有可能的取值 (2)描述 X＝1 所表示的事件
◎隨機變數的機率
例 1.3：丟一枚均勻硬幣 3 次，並令隨機變數 X 表示正面出現的次數
(1)寫出 X 所有可能的取值 (2)求機率 P(X＝1)及 P(X＝3 )的值
Ex1.3：丟一枚均勻硬幣 4 次，並令隨機變數 X 表示正面出現的次數
(1)寫出 X 所有可能的取值 (2)求機率 P(X＝2)及 P(X＝3)的值
重點 2：機率質量函數、機率分布表
1.機率質量函數：將隨機變數 X 所有可能的取值 x 對應到其機率的函數關係稱為隨機變數 X 的機率質量函數機率質量函數機率質量函數機率質量函數 2.機率分布表：將率質量函數列表表示，稱此表為機率分布表機率分布表機率分布表機率分布表
若隨機變數 X 所有可能的取值為x ，1 x ，…，2 x ，且n P(X＝xi)＝p ，i＝1，2，…，n i 則以列出隨機變數 X 的機率分布表機率分布表機率分布表機率分布表如右：
3.機率質量函數 P(X＝xi)＝p 性質： i (1) 0≤pi≤ 1，i＝1，2，…，n
(2)
∑
= n
i
pi 1
＝p ＋1 p ＋…＋2 p ＝1 n
註：若隨機變數 X 所有可能的取值為x ，1 x ，…，2 x ，…，且n P(X＝xi)＝p ，i＝1，2，…，n，…，則： i (1) 0≤pi≤ 1，i＝1，2，…，n，…
(2)
∑
= n
i
pi 1
＝p ＋1 p ＋…＋2 p ＋…＝1 n
◎機率分布表
例 2.1：袋中有大小相同的白球 2 顆、紅球 3 顆，每次從袋中任取一球，取後不放回，直到取到紅球才停止，稱此為一輪 操作。已知每顆球被取到的機會均等，並令隨機變數 X 表示一輪操作中所取出的總球數
(1)寫出隨機變數 X 的機率分布表 (2)求機率 P(X ≤ 2)的值
Ex2.1：甲、乙兩人各從 1，2 與 3 三個數字中任選一個數字，可重複選取。已知每個數字被選到的機會均等，並令隨機變 數 X 表示甲、乙所選數字的差之絕對值
(1)寫出隨機變數 X 的機率分布表 (2)求機率 P(X ≥ 1)的值
重點 3：隨機變數的期望值
1.意義：隨機變數 X，常利用「期望值」、「變異數」與「標準差」等數值來代表該隨機變數 X 的某些特性 2.期望值：設隨機變數 X 的機率分布表如下：
定義隨機變數 X 的期望值為 E(X)＝x1 p ＋1 x2 p ＋…＋2 xn p ＝n
∑
= n
i i ip x
1
註：(1)期望值的單位與機變數 X 相同
(2)當隨機變數 X 的取值有無限多個時，則期望值為 E(X)＝x1 p ＋1 x2 p ＋…＋2 xn p ＋…＝n
∑
∞=1 i
i ip x
◎隨機變數 X 的期望值
例 3.1：已知裝有 100 元、200 元與 300 元的紅包袋各有 1，2，1 個，任取 2 個紅包袋，且每個紅包袋被取到的機會均等，
並令隨機變數 X 表示取出兩個紅包袋的總金額，求 X 的期望值。
Ex3.1：盒中有 8 顆巧克力，其中 3 顆的內餡為杏仁，自盒中任取兩顆，且每顆巧克力被取到的機會均等，並令隨機變數 X 表示取到杏仁內餡巧克力的顆數，求 X 的期望值
例 3.2：袋中有 100 元代幣 3 枚、50 元代幣 6 枚與 20 元代幣 n 枚。從袋中抽出一枚代幣，且每枚代幣被取到的機會均等，
並令隨機變數 X 表示抽出代幣的金額。已知 X 的期望值為 40 元，求 n 的值
Ex3.2：擲一粒公正的骰子一次，當出現 1，2 或 3 點時，可得 200 元；出現 4 或 5 點時，可得 500 元；出現 6 點時，可得 k 元。設隨機變數 X 表示擲骰子一次所得的金額。已知 X 的期望值為 400 元，求 k 的值
重點 4：隨機變數的變異數與標準差
1.平均數：設有 n 個數據取值為x ，1 x ，…，2 x ，則其平均數n µ＝ n
1(x ＋1 x ＋…＋2 xn)
2.變異數：將離均差平方乘上其對應的機率之總和，稱為隨機變數 X 的變異數，以符號 Var(X)或σ2(X)表示 設隨機變數 X 的機率分布如右表，且期望值為 E(X)＝µ
(1)變異數公式 I：
定義隨機變數 X 的變異數為 Var(X)＝
∑
= n −
i
i
i p
x
1
)2
( µ 即 Var(X)＝(x －1 µ 1
) p ＋(2 x －2 µ 2
) p ＋…＋(2 x －n µ )2pn
(2)變異數公式 II：
變異數 Var(X)＝E(X )－2 µ2 說明：變異數 Var(X)＝
∑
= n −
i
i
i p
x
1
)2
( µ ＝
∑
=
+
n −
i
i i
i x p
x
1 2 2
) 2
( µ µ ＝
∑
= n
i
i
i p
x
1
2 －
∑
= n
i i ip x
1
2µ ＋µ2
∑
= n
i
pi 1
＝
∑
= n
i
i
i p
x
1
2 －2µ×µ＋µ2×1＝
∑
= n
i
i
i p
x
1
2 －µ2＝E(X )－2 µ2
註：當隨機變數 X 的取值有無限多個時，
則 Var(X)＝(x －1 µ 1
) p ＋(2 x －2 µ 2
) p ＋…＋(2 x －n µ )2pn＋…＝
∑
∞=
−
1
)2
(
i
i
i p
x µ
3.標準差：σ (X)＝ Var( X)
註：隨機變數 X 的標準差是用來衡量該變數的值與期望值的離散程度。
一般而言，如果標準差較大，則該變數的值與期望值較分散；如果標準差較小，則該變數的值與期望值較接近
◎數據之平均數＝期望值
例 4.1：設 6 個數據為 4，5，7，5，4，5，求此 6 個數據的平均數與期望值
Ex4.1：設 6 個數據為 4，5，7，5，4，5，求此 6 個數據的變異數
◎隨機變數的期望值、變異數與標準差
例 4.2：袋中有編號 2，4，6，8 的球各一顆。今從袋中取出一球，且每球被取到的機會均等。設隨機變數 X 表示取出球 的編號，求 X 的期望值、變異數與標準差
Ex4.2：摸彩箱中裝有標示 5，6，7，8 折的球分別各有 1，2，3，4 顆。從箱中取出一球，且每球被取到的機會均等。
設隨機變數 X 表示取出球所代表的折扣數(例如標示 7 折的球所對應的 X 為 7)，求 X 的期望值、變異數與標準差
◎變異數公式 II
例 4.3：投擲一粒不公正的骰子，其各點數出現的機率與該點數成正比。設隨機變數 X 表示擲一次骰子所出現的點數，
求 X 的期望值與變異數
Ex4.3：袋中裝有大小相同、編號 1，2，3，4 的球各一顆，自袋中任取兩顆球，且每球被取到的機會均等 隨機變數 X 表示取出兩顆球中的最大編號，求 X 的期望值、變異數與標準差
重點 5：期望值、變異數與標準差的性質(線性變換)
1.意義：設 X 為隨機變數且其機率分布表如表(1)，a，b 為常數，Y＝aX＋b 也會是隨機變數，其機率分布表如表(2)
則滿足：
(1) E(Y )＝aE(X )＋b (2) Var(Y )＝a2Var(X ) (3)σ (Y )＝aσ (X ) 2.說明：(1) E(Y )＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(ax ＋b)n p n
＝a(x1＋x2＋…＋x )＋b(n p1＋p2＋…＋)p ＝aE(X )＋b n 同理(2) Var(Y )＝a2Var(X )與(3)σ(Y )＝aσ (X )
註：每一個 Y 的取值y ＝i axi＋b 出現的機率也會與x 出現的機率相同 i Y＝aX＋b
表(1) 表(2)
◎期望值、變異數與標準差的線性變換
例 5.1：同時丟兩枚均勻的硬幣一次，每出現一枚正面可得 200 元，每出現一枚反面可得 100 元。設隨機變數 X 表示正面 出現的枚數；Y 表示所得的金額，則：
(1)求 X 的期望值 E(X)與標準差σ (X)
(2)已知 X 與 Y 的關係可表示成 Y＝aX＋b，求 a，b 的值 (3)利用(1)與(2)，求 Y 的期望值 E(Y)與標準差σ (Y)
Ex5.1：已知隨機變數 X 滿足 E(－2X＋3)＝47，Var(－2X＋3)＝196，求 X 的期望值 E(X)、變異數 Var(X)與標準差σ(X)
