高一下數學(108 下)單元 6 古典機率 第 1 頁 翰林版 CJT
單元 6 古典機率 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：樣本空間(sample space)
1.隨機試驗：在未知現象上，求出一個結果或觀察對象的過程都稱為「試驗」；其結果事先無法確定，且可能不只一種 結果，又在同一條件下，可以重複進行試驗，稱為隨機試驗(random experiment)
2.樣本空間：一個隨機試驗的所有結果所有結果所有結果所成的集合，稱為樣本空間所有結果 樣本空間樣本空間，通常以 S 表示。 樣本空間
3.樣本點：樣本空間中的每一元素(即每一個可能發生的結果)稱為一個樣本點樣本點樣本點樣本點(sample point)，或簡稱為樣本樣本樣本樣本(sample) 如：設投擲一枚均勻的硬幣，可能出現正面或反面，則：
「投擲一粒公正的骰子並觀察可能出現的點數」稱為一個試驗試驗試驗試驗，可能的結果以集合 S＝{1，2，3，4，5，6}表示，
稱為這個試驗的樣本空間樣本空間樣本空間樣本空間，集合 S 中的每一個元素，稱為樣本點樣本點樣本點樣本點或簡稱為樣本樣本樣本樣本 例 1.1：投擲一枚均勻硬幣二次，則：
(1)觀察每次出現的是正面或反面，寫出其樣本空間與樣本點的個數 (2)觀察出現正面的次數，寫出其樣本空間與樣本點的個數
例 1.2：箱中裝有編號 1∼4 號的四張卡片，今分別依下列方法從箱中取出卡片並觀察其號碼，求以下各試驗中的樣本空間 與樣本點的個數：
(1)取卡片二次，每次一張，卡片取出後不放回 (2)同時取出兩張卡片，取出的卡片無次序之分
重點 2：事件(event)
1.事件：樣本空間的部份樣本(子集，部分集合)均為樣本空間的一子集，簡稱事件事件事件事件(event)，通常以 E 表示。
註：(1)一個試驗下，可以有許多不同的事件，常以大寫 A、B、……等表示不同事件
(2)設 A 為一事件，試驗結果屬於 A 的其中一個樣本點時，則稱事件 A 發生，否則稱事件 A 不發生 2.基本事件：只含一個樣本點的事件，稱為基本事件基本事件基本事件(elementary event)，又稱為單一事件。 基本事件
註：基本事件的個數＝樣本空間 S 的個數
全事件：樣本空間 S 本身是自己的一個子集，稱 S 為全事件全事件全事件全事件(sure event)，又稱為必然事件必然事件必然事件 必然事件
空事件：在試驗中不可能發生的事件，稱為空事件空事件空事件空事件(impossible event)，或稱為不可能事件不可能事件不可能事件，即空集不可能事件 空集空集空集合合合合∅
例 2.1：在擲一粒骰子的試驗中，觀察其出現之點數，則：
(1)試寫出此試驗的樣本空間 (2)試寫出擲出 1 點的事件
(3)試寫出出現點數為偶數的事件 (4)試寫出出現點數為奇數的事件
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重點 3：事件的運算
已知樣本空間 S，若 A，B 為兩事件，則：
1.和事件：A∪B 表示事件 A 與 B 的和事件(sum event)。A∪B 表示 A 或 B 發生的事件
2.積事件：A∩B 表示事件 A 與 B 的積事件(product event)。A∩B 表示 A 與 B 同時都發生的事件
3.互斥事件：若 A∩B＝∅，表示事件 A 與事件 B 為互斥事件互斥事件互斥事件(mutually exclusive event)，或稱 A 與 B 互斥(disjoint) 互斥事件 註：A 與 B 為互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件，表示 A 與 B 不可能同時發生
4.餘事件：
一事件 A 在樣本空間 S 的餘集(或稱補集)A′，稱為 A 在 S 的餘事件(complement of an event)，簡稱為 A 的餘事件餘事件餘事件餘事件 註：(1)A 的餘事件表示 A 沒有發生的事件，即 A′＝S－A，其中 S 為樣本空間
(2)A，B 互為餘事件時，必然是互斥事件
5.差事件：差集合 A－B，表示在一試驗中，事件 A 發生，但事件 B 不發生的事件，稱為事件 A 對事件 B 的差事件差事件差事件差事件
例 3.1：設甲、乙兩人各擲一粒骰子一次，設 A 表示甲、乙兩人擲出的點數和大於 9 的事件；B 表示甲、乙擲出相同點數 的事件。(1)用集合表示事件 A 與事件 B (2)寫出 A 與 B 同時發生的事件 (3)寫出事件 A∪B
例 3.2：投擲一枚公正硬幣二次，觀察每次出現的是正面或反面。設 A 表示恰好出現一次正面的事件，B 表示出現兩次反 面的事件。
(1)寫出 A 不發生的事件。 (2)事件 A 與 B 是否為互斥事件？ (3)事件 A 與 A′是否為互斥事件？
重點 4：(拉普拉斯)古典機率
1.定義：設一隨機試驗的樣本空間為 S，且樣本空間的每一個基本事件出現之機會均等出現之機會均等出現之機會均等出現之機會均等，
則事件 A 發生的機率為 P(A)，記作 P(A)＝
) (
) (
S n
A
n 或
|
|
|
| S
A ，讀作事件 A 發生的機率，
其中 n (S)表示樣本空間 S 之(樣本點)個數，n(A)表示事件 A 之個數 註：古典機率的定義是由法國數學家拉普拉斯(Laplace，1749~1827)所提出的
註：隨機試驗中，公正的骰子(各點出現的機會均等)、一副撲克牌(每張被抽出的機會均等)、勻稱的硬幣(硬幣出現正反 面的機會均等)、……等，古典機率都假設試驗所用的東西是公正公正公正公正或勻稱勻稱勻稱勻稱的。
2.複合事件的機率：
由基本事件所組成的子集，稱為複合事件複合事件複合事件複合事件，其形成新的樣本空間中，樣本點為兩兩互斥的複合事件，發生的機率也 就不一定均等
A S
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例 4.1：投擲一粒公正的骰子(每個面出現的機會均等)，觀察所出現的點數，求下列各事件的機率：
(1)擲出 6 點的機率 (2)擲出的點數是質數的機率
例4.2：在丟擲硬幣的試驗中，求下列各事件的機率：
(1)丟擲一枚硬幣二次，出現一正面一反面的機率 (2)丟擲一枚硬幣三次，恰出現兩次正面的機率
例 4.3：同時丟擲兩枚硬幣，觀察出現正面或反面的情形，求出現一正面一反面的機率
例 4.4：同時擲兩粒骰子，觀察所出現的點數和，求下列各事件的機率：
(1)點數和為 9 (2)點數和為 7
◎複合事件
例 4.5：袋中有 5 顆大小相同的球，其中紅球 3 顆，白球 2 顆，求下列各事件的機率：
(1)取一球後不放回，再取一球，兩球都是紅球的機率 (2)從袋中同時取出兩球，兩球都是紅球的機率
◎排列組合的方法計算樣本點的個數
例 4.6：同時擲三粒骰子，觀察所出現的點數，求下列事件的機率：
(1)三粒骰子的點數均不相同 (2)恰有兩粒骰子的點數相同
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重點 5：(古典)機率的性質
設 S 為某一試驗的樣本空間，其樣本點為有限多個。事件 A，B⊂ S。則有：
1.機率的範圍 0≤P(A)≤1
2.全事件 P(S)＝1，空事件 P(∅)＝0
3.餘事件 P(A′)＝1－P(A)，其中 A′是事件 A 的補集， A∩ = ∅A′ ，A 與 A′是互斥事件 4.機率的單調性：若 A⊂ B，則 P(A)≤P(B)
5.排容原理：
(1)若 A，B 為 S 的二事件，則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
(2)若 A，B，C 為 S 的三事件，則 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(A∩B)－P(B∩C)－P(A∩C)＋P(A∩B∩C) 6.若 A，B 為 S 的兩互斥事件(即 P(A∩B)＝0)，則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
若 A，B，C 為 S 的兩互斥事件，則 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
例 5.1：設 A，B 為樣本空間的兩個事件，且P(A)＝1
3，P(B)＝1
2，則：
(1) P(A′ ) (2)已知 P(A∩B)＝
6
1，求 P(A∪B) (3)已知 P(A∪B)＝
6
5，求 P(A∩B)
◎A，B 為互斥事件，即 P(A ∩B)＝P(∅)＝0
例 5.2：購物商場花車裡的 10 件 T 恤中，有 4 件是瑕疵品。今從中任取 3 件，求至多只取到 1 件瑕疵品的機率。
◎P(A)＝1－P(A′)
例 5.3：明朝宣德皇帝喜好擲骰子遊戲，其規則如下：臣子向缽內同時擲三粒骰子並觀察所出現的點數，當三粒中至少有 兩粒點數相同時，就可得到獎賞。求臣子玩遊戲一次即可獲得獎賞的機率。
