單元

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 1 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

單元 4 指與對數函數 三年____班 座號：____ 姓名：

P69 是非：試判斷下列各敘述正確與否？

(1)2 ＋¹⁰ 2 ＝¹¹ 2 ²¹

(2)若 a＝2¹⁰⁰，b＝2²⁰⁰，則 b 為 a 的 2 倍 (3)若 a 為正實數且滿足a ³＝ 3 ，則a ＝3 ³

基 E1：設 x 為正實數且 k 為正整數，若 2^x＝1000 且 k＜x＜k＋1，則 k＝____

基 E2：(1)若

3 11 11 22

10

3 2 2

6 6

× × x

（ ） ＝ ，則 x＝____

(2)化簡 ³

1

729⁻ ＋ ⁵

2

32 ＋ ³

1

27)

( 1 ⁻ ＝_____

(3)若 )^x 3

(2 ＝ )^{2 3} 2

(3 ^x− ，則 x＝____

基 E3：試問共有多少組正整數(k，m，n)滿足2^k4^m8ⁿ＝512 (單選) (1) 1 組 (2) 2 組 (3) 3 組 (4) 4 組 (5) 0 組

基 E4：某個手機程式，每次點擊螢幕上的數 a 後，螢幕上的數會變成a 。當一開始時螢幕上的數² b 為正且連續點擊螢幕 三次後，螢幕上的數接近81 。試問實數³ b 最接近下列哪一個選項？(單選)

(1) 1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81 (已知 3≈ 1.732)

基 E5：下列哪一個數最接近 10×3¹⁰？

(1) 3¹⁰ (2) 3¹¹ (3) 3¹² (4) 3¹³ (5) 3¹⁴

P71 是非：下列各敘述中，選出正確的選項：

(1)設 a 為正實數，若a ＝8，則 x＝^x log_a8

(2)若 k＝

10 100

310

，則 k 為無理數

(3)若log ＝1.2，x logy＝2.1，則log(x+y)＝3.3 (4)若

log

a

(5)已知數列

a

b

a

b

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 3 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

基 E6：試求下列各式之值：

(1)log10³ 10＝______ (2)log1＝____ (3)10^log123＝_____

基 E7：若 loga＝3.8，logb＝5.8，則 b 為 a 的____倍

基 E8：(1)計算 2 3 log5－

4

log7＋2log3＋ 2

1 log49＝____

(2)計算 2

1 log4 2＋

log

2

4

基 E9：已知 k 為正整數且 k＜

log

1000

基 E10：若

log

3

1 ，則 k 之值＝____

基 E11：已知函數 f (x)＝10 ，g(x)＝^x log ，若x f ( 3

−7)＝a，則 g(a)＝______

基 E12：設正實數 b 滿足(log 100)(log b)＋log 100＋log b＝7。試選出正確的選項。

(1) 1≤ b ≤ 10 (2) 10≤ b ≤ 10 (3) 10 ≤ b ≤ 10 10 (4) 10 10≤ b ≤ 100 (5)100 ≤ b ≤100 10

基 E13：方程式 log(x+3)＋log ＝1 之解為 x＝_____ x

活 E1：目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設 E(γ)為地震芮氏規模 γ 時，震央所釋放的能量，E(γ)(單位：焦耳)與 γ 之關係為 log E(γ)＝4.8＋1.5γ。

(1)已知某次地震的芮氏規模為 2.8，試問其震央所釋放的能量 E(2.8)為多少？

(2)試問芮氏規模為 5 的地震，其震央所釋放的能量是芮氏規模為 3 的地震震央所釋放的能量的多少倍？

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 5 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

活 e1：聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m²)來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為 I₀＝10^{− 12} (W/m²)；當測得 的聲音強度為 I (W/m²)時，所產生的噪音分貝數 d 為 d(I)＝10．log

I0

I 。

(1)一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 10^{− 12}(W/m²)，求其產生的噪音分貝數。

(2)汽車製造廠測試發現，某新車以每小時 60 公里速度行駛時，測得的聲音強度為 10^{− 4}(W/m²)，試問此聲音強度 產生的噪音為多少分貝？

(3)棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為 70 分貝，則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大 約為多少分貝？

活 E2：已知 a＝10¹⁰⁰，b＝10¹⁰¹，則：

(1)logab＝_____

(2)若 m 為正整數且 m＜log(a+b)＜m＋1，則 m＝____

(3)若 n 為正整數且 n＜log(a² +b)＜n＋1，則 n＝____

活 e2：若正實數 x，y 滿足log₁₀ x＝2.8，log₁₀ y＝5.6，則log₁₀(x²+y)最接近下列哪一個選項的值？

(1) 2.8 (2) 5.6 (3) 5.9 (4) 8.4 (5) 11.2

P77 是非：試判斷下列各敘述正確與否：

(1)若 a＞b，r 為實數，則a ＞^r b^r (2)若 a＞b，r 為正實數，則r ＞^a r ^b (3) ²

1

2 ＞ ³

1

4 (4)若 a＝ ³

1

) 3

( ，則 a＜1

P77 是非：試判斷下列各敘述正確與否：

(5)函數 y＝

log

x

2

log1 的圖形對稱於 x 軸

(6)若(a，b)是對數函數 y＝log 圖形上一點，則點(2a，2b)也在該圖形上 x

(7)在坐標平面上，已知直線 L 與函數 y＝log 的圖形有兩個交點x P，Q，則直線 L 的斜率大於 0

(8)坐標平面上，若 A，B，C 為函數 y＝2 圖形上的相異三點，且其 x 坐標分別為 a，a＋1，a＋2，則直線 AB，^x 直線 BC，直線 AC 中，以直線 AC 的斜率最大

(9)坐標平面上，若 A，B 為函數 y＝2 圖形上的相異兩點，且直線 AB 的斜率小於 0，則 0＜a＜1 ^x

基 E14：已知 a＞1，且知當 0≤x≤2 時，

y ＝ a

8 ，則 a＝____

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 7 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

基 E15：以下各數何者為正？

(1)

2 −

2

log

3

2

1 (5)

2 log 1

3 1

基 E16：所有滿足log₂(x² +2x)≤ 3 的 x 值之範圍為___________

基 E17：設x ，₀ y 為正實數。若坐標平面上的點(10₀ x ，100₀ y )在函數 y＝₀ 10 的圖形上，則點(^x x ，₀ log y )會在直線 ₀ y＝ax＋b 的圖形上，其中 a，b 為實數。試問 2a－b 的值為何？

(1) 4 (2) 9 (3) 15 (4) 18 (5) 22

活 E3：方程式3 ＋^2x 3^x+1－54＝0 之解為 x＝_____

活 e3：方程式2 ＋^x 2^−x＝ 2

5，得解 x＝_____

活 E4：若 a＝2¹⁶，b＝16³，c＝2⁸×3⁵，d＝16!，則 a，b，c，d 的大小關係為_______

活 e4：下列選項的數，何者最大？(其中n!=n×(n−1)×LL×2×1) (1) 100¹⁰ (2) 10¹⁰⁰ (3) 50⁵⁰ (4) 50! (5)

! 50

! 100

活 E5：坐標平面上，直線 x＝k 與 x＝k＋3 (其中 k＞1)分別與 y＝log 的圖形交於 x A、B 兩點，且與 x 軸分別交於 C、D 兩 點。若四邊形 ACDB 的面積為3

2，則 k 之值為_____

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 9 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

活 e5：坐標平面上，直線 x＝2 分別交函數 y＝log₁₀x，y＝

log

x

log

x

(1)10 (2)11 (3)12 (4)13 (5)14

活 E6：已知log2≈0.3010，則滿足不等式 )ⁿ 4

(5 ＞10 的最小正整數 ⁷ n 為____

活 e6：試問有多少個整數 x 滿足10 ＜⁹ 2 ＜^x 9 ？ ¹⁰

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個

1 2 10 x y

y＝log₁₀x

P Q

R

y＝log₂x S

O

活E7：已知某新型冠狀病毒其感染人數隨時間呈指數函數P(t)＝P ×₀ 4¹⁰

t

，其中 P0 為某地區初始感染人數，P(t)為已感染人 數，t 為此病毒在某地區傳播的天數。在 12 月 8 日某地區出現了第 1 位感染者，試回答下列問題：

(a)該地區預估約在第幾天會開始超過 200 位感染者？(已知log2≈0.3010)(單選) (1) 26 天 (2) 39 天 (3) 51 天 (4) 99 天 (5) 200 天

(b)每間隔幾天，感染人數就會變成兩倍

活 e7：警方於早上 6：30 在歌舞伎町發現了一具屍體，此時法醫測量屍體的溫度為 30°C。早上 7：30 時，科南到了命案 現場，此時科南測得屍體的溫度是 28°C。這時科南說：「我們可以根據牛頓冷卻定律來推估死亡時間，牛頓冷卻 定律為 T(t)＝H＋(T0－H )⋅e^−kt，其中 T(t)為物體經過 t 小時後的溫度，T0 為物體的初始溫度，H 為物體周遭環境的 溫度，e 及 k 皆為常數。」若當時命案現場環境的溫度為 20°C，且人活著時的正常體溫為 36 °C，則下列選項何者 最接近此人的死亡時間？(已知 log2≈0.3010，log3≈0.4771)

(1)早上 1：30 (2)早上 2：30 (3)早上 3：30 (4)早上 4：30 (5)早上 5：30

活 E8：在實驗室進行球的反彈試驗，當乒乓球從 60 公分高的地方自然落下，第一次反彈的高度為 48 公分，接下來都是 以相同的比例反彈，則在第____次反彈後，其高度會低於 6 公分。(已知 log2≈0.3010，log3≈0.4771)

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 11 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

活 e8：幾個月前，從不涉足股市的李先生認為股價跌得差不多了，於是投入一百萬元買股票。不料股市崩盤，每個星期 損失1

3，若本星期李先生手中的股票市值低於一萬元，則李先生是在____個星期前投入股市。

(已知 log2≈0.3010，log3≈0.4771)

P82 是非：已知log5.438＝0.7354，則log5438＝_____

基E18：已知10^0.5 ≈3.16，則：

(1)若 p＝3.16×10⁸，則 p 的整數部分為_____位數 (2)若 q＝10^8.5，則 q 的整數部分為_____位數 (3)若log ＝8.5，則 r 的整數部分為_____位數 r

基 E19：已知 151875000＝2³×3⁵×5⁷，若 n＜log151875000＜n＋1，其中 n 為正整數，則 n＝_____

基 20：已知 log2 ≈0.3010，log3≈0.4771，試求：

(1) 3¹⁰⁰是_____位數 (2) 3¹⁰⁰之最高位數字為_____

活 E9：將(³ 49)¹⁰⁰寫成科學記號(³ 49)¹⁰⁰＝a×10ⁿ，其中 1≤a＜10，且 n 為正整數。若 a 的整數部分為 m，

則數對(m，n)＝_____(已知 log 2≈0.3010，log 3≈0.4771，log 7≈0.8451)

活 e9：已知不等式 1.253×10⁸⁴⁵＜7¹⁰⁰⁰＜1.254×10⁸⁴⁵ 成立，則：

(1) 7¹⁰⁰是_____位數 (2) 7¹⁰⁰之最高位數字為_____

111 上高三數(自)(單元 4 指數與對數函數) 第 13 頁 學測複習(新大滿貫)CJT

混合題：人類身體重量由脂肪組織重量(Fat Mass，FM)＋非脂肪組織重量(Fat－Free Mass，FFM)所構成。根據研究，這兩 者的關係為：FFM＝24 log (FM)＋14.2。試回答下列問題：

(1)已知魯伕的脂肪組織重量為 10 公斤，則魯伕的體重為_____公斤

(2)新聞報導某藝人 3 個月體脂肪大減 10 ％ (即脂肪組織重量減少 10 ％)，請問該藝人的非脂肪組織重量約減少 幾公斤？(四捨五入至小數點後第一位，且已知 log3≈0.4771)