單元

單元 4 條件機率 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：條件機率

緣由：一事件發生的機率常因另一事件的發生與否而有所改變，此為條件機率概念

1.定義：設 A，B 為樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)＞0，在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率稱為條件機率條件機率條件機率條件機率 記作 P(BA)＝ ( )

( ) n A B

n A

I ＝ ( ) ( ) P A B

P A

I ，意即 A∩B 在事件 A 中所占的比例，如右圖

註 1： ( ) ( ) n A B

n A

I 解讀成「在樣本空間 A 中，事件 A∩B 發生的機率」。

也就是說，在已知事件 A 發生的條件下，可以解讀成樣本空間由原先的 S 限縮到 A 註 2：P(BA)讀作『在 A 發生的情況下，B 發生的機率』

註 3：P(BA)與 P(AB)的意義不同 2.條件機率的性質：

(1) P(BA)＝ ( ) ( ) n A B

n A I ＝

) (

) (

) (

) (

S n

A n

S n

B A n ∩

＝ ( ) ( ) P A B

P A I

(2) 0 ≤ P(BA) ≤ 1

(3) P(B'A)＝1－P(BA) (4) P(B∪CA)＝P(BA)＋P(CA)－P(B∩CA)

◎古典機率與條件機率差異

例 1.1：(1)擲一粒公正骰子一次，試求擲出點數大於 3 事件的機率

(2)擲一粒公正骰子一次，在擲出點數為偶數的條件下，試求擲出點數大於 3 事件的機率

Ex1.1：(1)擲一粒公正骰子一次，試求擲出點數為奇數的機率

(2)擲一粒公正骰子一次，在擲出點數為質數的條件下，試求擲出點數為奇數的機率

◎條件機率

例 1.2：投擲一粒公正骰子一次，在出現點數為質數的條件下，求擲出點數小於 5 的機率為多少？

Ex1.2：一副撲克牌共有 52 張，從中隨機抽取 1 張。在抽到花色為紅心條件下，試求抽到點數為 6 的機率是多少？

S A B

A∩B

◎P(BA)與 P(AB)的意義不同

例 1.3：某公司員工的健康檢查中，有 40 人血壓正常，有 32 人血脂正常，有 24 人兩種都正常。今從該公司任選一員工，

試回答下列問題：

(1)已知此員工血壓正常，求他血脂也正常的機率 (2)已知此員工血脂正常，求他血壓也正常的機率

Ex1.3：班上學生某次期中考試中，有 33 人英文及格，有 28 人數學及格，有 18 人兩科都及格。今從班上任選一學生，

試回答下列問題：

(1)已知此學生的英文及格，求他數學也及格的機率 (2)已知此學生的數學及格，求他英文也及格的機率

◎性質

例 1.4：已知 A，B 為兩事件，P(A)＝

5

2，P(B)＝1

3，P(A∪B)＝ 5

12，則：(1) P(A∩ B) (2) P(AB)

Ex1.4：已知 A，B 為兩事件，P(A)＝

4

3，P(B)＝

7

2，P(A∪B)＝

14

12，則：(1) P(A∩ B) (2) P(BA)

例 1.5：已知 A，B 為兩事件，P(A)＝1

4，P(B)＝1

3，P(A∪B)＝ 5

12，則：

(1) P(BA) (2) P(AB) (3) P(A'B' )

Ex1.5：設 A，B 是樣本空間中的兩事件，P(A)＝

2

1，P(A∩B)＝

6

1，P(A∪B)＝

3

2，試求下列各機率：

(1) P(AB) (2) P(BA' )

◎應用題

例 1.6：某電影院統計：買票時，有 40％的觀眾會加買可樂，有 30％的觀眾會加買爆米花，有 24％的觀眾兩者都會加買。

今任選一觀眾，試回答下列問題：

(1)已知此觀眾有加買可樂，求他也加買爆米花的機率 (2)已知此觀眾有加買爆米花，求他沒有加買可樂的機率

Ex1.6：在訂購校慶紀念品中，有 3

2的人買馬克杯，有 5

4的人買徽章，有 2

1的人兩種都買。

今任選一人，試回答下列問題：

(1)已知此人買馬克杯，求他也買徽章的機率

(2)已知此人沒有買徽章，求他也沒有買馬克杯的機率

重點 2：條件機率的乘法法則

1.意義：假設 A，B 是同一樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)＞0，則 P(A∩B)＝P(A)P(BA) 註 1：由條件機率的定義 P(BA)＝ ( )

( ) P A B

P A

I ，移項得知 P(A∩B)＝P(A)P(BA)

註 2：兩事件 A 與 B 同時發生的機率 P(A∩B)等於「A 發生的機率」乘上「在 A 發生的條件下，B 發生的機率」

2.三個事件的乘法法則：

P(A1∩A2∩A3)＝P((A1∩A2)∩A³)＝P(A1∩A2)P(A3A1∩A2)＝P(A1)P(A2A1)P(A3A1∩A2) 即 P(A₁∩A2∩A3)＝P(A₁)P(A₂A1)P(A₃A1∩A2)

◎乘法法則

例 2.1：某人手機內存有歌曲共 8 首，其中 5 首為爵士樂，另外 3 首為抒情歌。今隨機播放歌曲，播過的歌不再播放，

設每首歌被播放的機率都相等，求下列各事件的機率：

(1)第一首與第二首都播到爵士樂 (2)第一首播到爵士樂，但第二首播到抒情歌

Ex2.1：某人手機內存有歌曲共 8 首，其中 5 首為爵士樂，另外 3 首為抒情歌。今隨機播放歌曲，播過的歌不再播放，

設每首歌被播放的機率都相等，求第一首與第二首都播到抒情歌的機率

◎利用樹狀圖求機率

例 2.2：籤筒內有 10 支籤，其中 2 支標示有獎，假設每支籤被抽中的機會均等。今甲、乙、丙三人依序各抽一支籤，

試求下列各事件的機率：(1)甲中獎 (2)乙中獎

Ex2.2：戳戳樂遊戲盒的 12 格中 5 格有獎。甲、乙兩人依序任意各戳 1 格，求下列各事件的機率：

(1)甲、乙兩人都中獎 (2)甲中獎，但乙未中獎

例 2.3：袋子裡有 3 顆白球，2 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 1 顆球，抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相 等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機率為何？ (102 學測)

(1)3

1 (2) 12

5 (3) 2

1 (4) 5

3 (5) 3 2

Ex2.3：甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3、4、5 個班級。從這 12 個班級中隨機選取一班參加國文抽考，再從未被抽 中的 11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項？

(1)21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29% (學測)

重點 3：獨立事件

前言：條件機率是一事件的發生與否，可能改變另一事件發生的機率，但是也有不互相影響的例子，稱兩事件為獨立 1.定義：若兩事件 A，B 滿足 P(A∩B)＝P(A)P(B)，則稱 A，B 為獨立事件，

若 A，B 不是獨立事件，則稱 A，B 為相依事件

註 1：A，B 為獨立事件，即「A 發生了也不影響 B 發生的機率」，⇒ P(B)＝P(BA)＝

) (

) (

A P

B A P ∩

註 2：獨立事件獨立事件獨立事件獨立事件是指兩事件互不干擾，而兩事件還是可能同時發生；

互斥事件 互斥事件

互斥事件互斥事件是指一個事件發生，另一個事件就不會發生 2.判斷獨立事件注意事項：

(1)判斷兩事件彼此之間是否獨立，無法依經驗來猜測，必須根據定義來檢驗 (2)若 A、B 為非空事件且為互斥事件，則 A、B 必不是獨立事件

(3)任一事件和空事件空事件空事件空事件必為獨立事件 (4)任一事件和全事件全事件全事件全事件必為獨立事件 3.性質：

(1)已知 A，B 為獨立事件，則 P(A)＝P(AB)，P(B)＝P(BA)

(2)設已知 A，B 為獨立事件，則：(1)A′，B 也是獨立事件 (2) A，B′也是獨立事件 (3) A′，B′也是獨立事件 (3)已知 P(A∩B)＝P(A)P(B)，則：(1) P(A′∩B)＝P(A′)P(B)，(2) P(A∩B′)＝P(A)P(B′)，(3) P(A′∩B′)＝P(A′)P(B′)

◎條件機率之獨立概念

例 3.1：投擲一粒公正骰子一次，令 A 表示「出現質數點」的事件，B 表示「出現 1 點或 2 點」的事件。試利用條件機率 之計算，說明事件 B 發生的機率不因事件 A 發生與否而受到影響，即稱 A、B 為獨立事件

Ex3.1：投擲一粒公正骰子一次，令 A 表示「出現質數點」的事件，B 表示「出現 1 點或 2 點或 3 點」的事件。試利用條 件機率之計算，說明事件 B 發生的機率是否因事件 A 發生與否而受到影響？

例 3.2：投擲一顆公正骰子一次，若 A 表示擲出奇數點的事件，B 表示擲出 1 點或 6 點的事件，C 表示擲出 2 點或 3 點或 5 點的事件，試問：(1) A 與 B 是否為獨立事件？ (2) A 與 C 是否為獨立事件？

Ex3.2：丟擲一枚均勻硬幣三次，若 A 表示至少出現兩次正面，B 表示三次都出現同一面。

試判斷 A 與 B 是否為獨立事件？

Ex3.21：某學校教師中，已婚男老師有 18 人，已婚女老師有 30 人，未婚男老師有 24 人，未婚女老師有 40 人，自該校教 師中任選一人，則選到男老師的事件與選到已婚老師的事件是否為獨立事件？

例 3.3：根據統計：新生兒會出現生理性黃疸的機率為 0.6。已知甲、乙皆為新生兒，且兩人出現生理性黃疸與否為獨立 事件，求下列各事件的機率：

(1)兩人都出現生理性黃疸 (2)至少有一人出現生理性黃疸

Ex3.3：根據統計：使用新手機後，三年內會換手機的機率為 0.8。已知甲、乙兩人同時各使用一支新手機，且兩人換手機 與否為獨立事件，求三年內：

(1)兩人都換手機的機率 (2)至少有一人換手機的機率

◎餘事件

例 3.4：設已知 A，B 為獨立事件，試證明 A′，B 也是獨立事件

Ex3.4：設已知 A，B 為獨立事件，試證明：(1)A，B′也是獨立事件， (2) A′，B′也是獨立事件

例 3.5：已知兩事件 A，B 為獨立事件，且 P(A)＝

2

1，P(A∪B)＝

3

2，試求下列各機率：

(1) P(B) (2) P(A'∩B) (3) P(A'∩B')

Ex3.5：已知兩事件 A，B 為獨立事件，且 P(A)＝

5

2，P(B)＝

4

3，試求下列各機率：

(1) P(A∪B) (2) P(BA) (3) P(A′B)

例 3.6：設甲、乙兩人射擊的命中率分別為 4 1、

5

1，今兩人同射一靶，每人各射擊一發，且兩人命中與否為獨立事件，

試求：(1)兩人都沒命中 (2)至少有一人命中

Ex3.6：設甲、乙兩人在罰球線投籃投進的機率分別為 0.4 與 0.2。已知兩人各投一球，且兩人投進與否為獨立事件，

試求下列各事件的機率：(1)兩人都投進 (2)恰有一人投進

◎選手贏得比賽的機率

例 3.7：甲、乙兩選手參加 5 戰 3 勝制(即先勝 3 盤者贏得比賽)的網球單打比賽。設甲單盤獲勝的機率為 4

3，且每盤的比 賽結果互不影響。已知甲選手前兩盤皆敗，求甲贏得比賽的機率

Ex3.7：甲、乙兩選手參加 3 戰 2 勝制(即先勝 2 盤者贏得比賽)的羽球單打比賽。設甲單盤獲勝的機率為 3

2，且每盤的比 賽結果互不影響。已知甲選手前兩盤皆敗，求甲贏得比賽的機率。

◎因故中止且不再比賽的獎金分配

例 3.8：甲、乙兩人比賽桌球(不得和局)，約定先勝 3 局者可得獎金 7200 元。設甲單局獲勝的機率為 3

2，且每局的比賽結 果互不影響。已知當比賽進行至甲勝 2 局、乙勝 1 局時，因故中止且不再比賽，至於獎金的分配，則依若繼續比 賽兩人贏得比賽的機率之比例來分配，求甲應分得多少獎金？

Ex3.8：甲、乙兩人比賽下棋(不得和局)，約定先勝 3 局者可得獎金 1600 元。設甲、乙兩人實力相當，且每局的比賽結果 互不影響。已知當比賽進行至前 2 局皆甲勝時，因故中止且不再比賽，至於獎金的分配，則依若繼續比賽兩人贏 得比賽的機率之比例來分配，求甲應分得多少獎金？

例 3.9：某校數學老師針對高三學生隨機選出 30 名男學生及 20 名女學生，做新教材適應性的調查，每一位學生都要填答，

且只能填答適應或不適應。結果有 35 名學生填答無法適應新教材內容。假設學生性別與適應狀況獨立，請完成下 列表格，使其最能符合上述假設。(104 指乙 C)

Ex3.9：假設某平台分析資料庫的 100 位訂戶中，對甲、乙兩部影片的喜好情形整理如下表：

求訂戶喜歡甲影片，也喜歡乙影片的機率 適應狀況

性別 適應 不適應

(35 人) 男生(30 人) ___ 人 ____ 人 女生(20 人) ___ 人 ____ 人

甲影片

乙影片 喜歡甲影片 不喜歡甲影片

喜歡乙影片 76 6

不喜歡乙影片 8 10

重點補充：三事件獨立

定義：若三事件 A，B 與 C 滿足：

(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)，即 A，B 為獨立事件 (2)P(B∩C)＝P(B)P(C)，即 B，C 為獨立事件 (3)P(A∩C)＝P(A)P(C)，即 A，C 為獨立事件 (4)P(A∩B∩C)＝P(A) P(B)P(C)

則稱三事件 A，B，C 彼此為獨立事件

註：由以上的定義可知，當三事件兩兩彼此獨立時，此時滿足以上定義的前 3 點，但是第 4 點不一定會成立

例：袋中有編號 1 到 9 的球各一個，自袋中任取一球，每球被取到的機會均等。設 A 為取到編號 1，2，3 號球的事件，

B 為取到編號 3，5，7 號球的事件，C 為取到編號 3，6，9 號球的事件，則三事件 A，B 與 C 是否為獨立事件？