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立 政 治 大 學
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第四章 多重選區劃分
在這一章主要是說明多重劃分選區的觀念和面對的問題。在第 4.1 節先介紹多重劃分 選區的觀念，接下來我們會探討如何去劃分多重選區。第 4.2 節針對多重選區劃分的複 雜度去做計算。第 4.3 節中討論多重選區劃分產生的人口誤差問題。而在第 4.4 節我們 會分析多重選區劃分可能面臨的情況。
4.1 重複使用人口比例二分法
在這小節我們將介紹如何用人口比例二分法來多重劃分選區[4]。理論上多重選區的劃 分可以透過重複使用人口比例二分法來解決，譬如要劃分成三個選區，我們可以先將原 始行政區域劃分成人口比例為二比一的兩個選區，然後再將人口為兩份的區域劃分成兩 個人口比例為一比一的選區，最後成為三個人口大致相同的選區。如果要劃分成四個選 區，我們可以採用兩種人口比例的劃分方式：(1)先將原始行政區劃分成人口比例為三比 一的兩個選區，然後再將人口為三份的區域套用前述的例子劃分成三個人口比例大致為 一比一的選區，最後形成四個人口大致相同的區域；(2)先將原始行政區劃分成人口比例 為二比二的兩個選區，然後再將這兩個人口為兩份的區域分別利用人口比例二分法，各 自劃分成兩個人口比例大致為一比一的選區，最後形成四個人口大致相同的區域。
假設我們用 T(n)來表達將行政區域劃分成為 n 個人口大致相等的區域，同時假設我們 用 T(2, i:j)來表示行政區域劃分成人口比例為 i 比 j 的兩個區域，則上述劃分成三個選區 的例子可以表達成先用 T(2, 2:1)劃分成人口比例為二比一的兩個區域，接下來再用 T(2, 1:1)將人口數位兩份的區域劃分成人口比例為一比一的兩個區域。(在不致產生混淆的情 況下，我們將以 T(2)來表達 T(2, 1:1)。)因此我們可以用下列的關係式來表達 T(3)：
T(3) = T(2, 2:1) + T(2).
採用類似的說明，劃分成四個選區的例子，我們可以採用兩種方式：(1)先用 T(2, 3:1) 將原始行政區劃分成人口比例為三比一的兩個選區，然後再將人口為三份的區域套用 T(3)劃分成三個人口比例大致為一比一的選區，最後形成四個人口大致相同的區域；(2) 先用 T(2, 2:2)將原始行政區劃分成人口比例為二比二的兩個選區，然後再將這兩個人口 為兩份的區域分別利用 T(2, 1:1)各自劃分成兩個人口比例大致為一比一的選區，最後形 成四個人口大致相同的區域。
我們可以用下列的關係式來表達 T(4)：
T(4) = T(2, 3:1) + T(3) 或
T(4) = T(2, 2:2) + 2 T(2).
我們也可採用綜合式的表示法來表達 T(4)，如下列方程式 T(2, 3 :1) T(3) T(4) T(2, 2 : 2) 2T(2).
⎧ +
= ⎨⎩ +
或
參考附錄中的表一，以台灣地區的選區劃分而言，最複雜的台北縣將劃分成十二個選 區，其次為台北市的八個選區，桃園縣的六個選區與高雄市的五個選區等等。我們可以 用下列的綜合關係式來表達 T(5)，T(6)，T(7)，T(8)與 T(12)等較複雜的狀況：
T(2, 4 :1) T(4) T(5) T(2, 3 : 2) T(3) T(2).
⎧ +
= ⎨⎩ + + 或
T(2, 5 :1) T(5) T(6) T(2, 4 : 2) T(4) T(2)
T(2, 3 : 3) 2T(3).
⎧ +
=⎪⎨ + +
⎪ +
⎩
或 或
T(2, 6 :1) T(6) T(7) T(2, 5 : 2) T(5) T(2)
T(2, 4 : 3) T(4) T(3).
⎧ +
=⎪⎨ + +
⎪ + +
⎩
或 或
T(2, 7 :1) T(7) T(2, 6 : 2) T(6) T(2) T(8) T(2, 5 : 3) T(5) T(3) T(2, 4 : 4) 2T(4).
⎧ +
⎪ + +
= ⎨⎪⎪ + +
⎪ +
⎩
或 或 或
以及
T(2, 11:1) T(11) T(2, 10 : 2) T(10) T(2)
T(2, 9 : 3) T(9) T(3) T(12)
T(2, 8 : 4) T(8) T(4) T(2, 7 : 5) T(7) T(5) T(2, 6 : 6) 2T(6).
⎧ +
⎪ + +
⎪⎪ + +
= ⎨⎪ + +
⎪ + +
⎪ +
⎩
或 或 或 或 或
我們可採用下列通則來表達上述的式子：
T(2, i : j) T(i) T( j) i j, i+j = n T(n) T(2, i : j) 2T(i) i j, i+j = n.
+ + ≠
= ⎨⎧⎩ + =
上列方程式的意義為：劃分成 n 個選區，可先將原始行政區劃分成人口比例為 i 比 j 的 兩個區域，必須滿足 i+j = n。如果 i 等於 j，接下來對兩塊人口均為 i 份的區域各自採用 T(i)繼續劃分；如果 i 不等於 j，則各自採用 T(i)與 T(j)繼續劃分。
本論文後段的實驗中，我們對台中市與桃園縣作分析討論。由附錄中表一可知，台中 市應選席次為三席，桃園縣應選席次為六席，因此我們將採用 T(3)來分析並討論台中市 的選區劃分狀況，同時採用 T(6)來分析並討論桃園縣的選區劃分狀況，將於第六章中再 詳細說明。
4.2 複雜度分析
接下來 4.2 節將討論多重劃分選區的複雜度分析，我們已知人口比例二分法的複雜度 為n 的函數[4]，傳統上我們用3 O(n ) 的符號來表達。 3
在劃分成 n 個選區的時候:
T( )n =T(2,n−1:1) T(+ n− 1)
T( )n =T(2,n−1:1) T(2,+ n−2 :1) T(+ n− 2) #
T( )n =T(2,n−1:1) T(2,+ n−2 :1)+ +" T(2,1:1) 又因為人口比例二分法的複雜度為O(n ) : 3
3 3 3 3
( ) ( ) (( 1) ) (( 2) ) (1 ) O n =O n +O n− +O n− + +" O
故重複使用人口比例二分法的複雜度為O n( 4)
4.3 人口誤差
除了人口比例二分法本身需要考慮人口誤差，在做多重劃分的處理時，因為需要重複 使用人口比例二分法，因此人口誤差值必須被額外再考慮。考慮第一次二分選區的情 況，代入人口數誤差± ，但是第二次二分選區時，人口誤差值必須有所調整，因為拿ε 已經套入人口誤差的人口數，再根據人口誤差百分比去做多重劃分將會產生錯誤。
假設有一個 300 人的行政區劃分成 3 個選區，第一次劃分最大差距值是 215 和 85 人。
然後第二次劃分若是 215 人的部分再代入 15%的人口誤差值時，將不滿足總人口的 15%
的範圍。
所以多重劃分選區時的總人口誤差值應該將人口上下限當作程式的參數，而不是以人 口誤差百分比做為程式的參數。亦即 (1−ε)pa ≤ p V( j)≤ +(1 ε)pa，其中 ( )p V 為選區人口j 數。
4.4 多重選區劃分之特性
多重選區劃分的處理方式與一般選區劃分不同，我們將會分成形狀完整性和連接性兩個 部份來探討:
對形狀完整性的影響
多重劃分選區會分成多次人口比例劃分以完成選區劃分，而人口比例二分法可依據任 何比例劃分 2 塊選區。這裡假設一塊圓形的選區欲分成 3 個選區。在第一階段中先劃出 人口比例為二比一的兩塊選區，選區 1 和選區 2。因為人口比例二分法是使用扇形劃分 選區[4]的幾何概念，可能會產生一些形狀不理想的選區（如圖 4.1）。如果在每次人口比 例劃分都作形狀完整性的檢查，將會認定此為形狀不佳的選區，存在傑利蠑螈的問題。
圖 4.1 人口比例二分法劃分之選區
但是在第一次的人口比例二分法之後，在形狀完整性所認定的不良選區劃分，經過第 二次的人口比例二分法之後不一定是不良的劃分方式。在圖 4.2 中，對選區 1 做第二次 人口比例二分法，劃出成兩個人口比例為一比一的選區，選區 1 和選區 3，而這樣 3 塊 均勻的選區是很好的劃分結果。
因此雖然可以每次人口比例二分法當中都作形狀完整性的檢查以減少解的數目，但是 我們會失去圖 4.2 這種結果。所以本論文在多重選區劃分得出最終結果之後，再做形狀 完整性的檢查。
對連接性的影響
對於選區劃分的連接性定義，飛地是不被允許的，在多重選區劃分中，每次使用人口 比例二分法之後都做連接性檢查，並將不符合連接性的結果加以去除，但是這樣的作法 將會失去一些劃分結果。
假設我們將一塊行政區域劃分為三個選區。考慮下面這種劃法，我們在第一階段先二 分選區為人口比例為二比一的兩塊選區，接著第二階段再將人口為兩份的區域，劃分為 兩個人口比例為一比一的選區，而完成三塊選區的劃分。但是圖 4.3 的飛地情形產生時 加以剔除不一定是正確的決定。當飛地產生時，在第二階段劃分劃分中有消除飛地的可 能性(如圖 4.4)，在圖 4.3 中的飛地由於選區 1 再度的執行人口比例二分法，將選區 1 劃 分成選區 1 和選區 3，而圖 4.3 的飛地因此消失而產生圖 4.4 這種滿足連接性的選區。
圖 4.3 飛地經第二階段劃分後 圖 4.4 飛地經第三階段劃分後
在實驗的過程中發現圖 4.4 的情形是十分少見的，在不具連接性的劃分方式下再去 作劃分其實大部分都不會滿足連接性。因此在本研究中採用在每次的人口比例劃分之後 都做連接性檢查，不僅可以減少資料量而且可以降低電腦處理上的複雜度。雖然會犧牲 圖 4.4 的結果，但損失的結果很少，程式的效率卻可以大幅提升，更重要的是在後面 6.1 節會討論的巨量解集合的問題，所以也必須先做連接性檢查。
