第四章每日計息雙區間可贖回債券

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第四章每日計息雙區間可贖回債券

本章與下一章為商品個案分析，應用第三章的研究方法對已經在市場上發行的結構型商品進行評價。本章使用 LIBOR 市場模型來評價英國勞埃德銀行發行的每日計息雙區間可贖回債券，並分析發行商之避險策略與商品之敏感性分析。

第一節商品介紹

此「每日計息雙區間可贖回債券」是由英國的勞埃德銀行(Lloyds TSB Bank Plc.)所發行，採每日計息的方式，即每天都需確認是否同時落入兩個區間中，若分別都落入區間中，則當日則算入計息天數。此債券連結兩個標的，分別為三個月的美元 Libor 及三十年期與兩年期美元交換利率利差，三個月的美元 Libor 的區間為 0%~7%，三十年期與兩年期美元交換利率利差要大於等於 0%，若同時符合此兩條件，則當日列入計息天數。表 4-1 為此商品之公開說明書內容。

表 4-1「每日計息雙區間可贖回債券」商品說明書商品名稱五年期每日計息雙區間可贖回票券

發行機構英國勞埃德銀行 Lloyds TSB Bank Plc.

Lloyds TSB Bank Plc.為英國知名銀行，擁有資產達 2530 億英鎊，

集團市值約 244 億英鎊，穆迪評鑑為 Aaa。

投資本金 ¾ 美元 10,000/per Note

¾ 最小交易金額：美金 100,000 發行價格 100.00%

投資期間五年發行日 2005/11/29

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到期日 2010/11/29

連結標的 Index 1：USD 3m LIBOR

以倫敦時間上午 11:00 Telerate Page 3750 所顯示之 USD 3m LIBOR 為準

Index 2：USD 30y Swap Rate - USD 2y Swap Rate

此 30 年與 2 年美元交換利率為半年付息之利率交換，30/360 basis，以倫敦時間上午 11:00

ISDAFIXI 路透社頁面所顯示之 USD 3m LIBOR 為準利息計算每季計息，以 30/360 為計算基礎

付息點 ¾ 每季付息，第一次付息日為 2006/02/28

¾ 2006 年到 2010 年的 02/28、05/29、08/29、11/29 為付息日計息方式 Year 1-5: Coupon n

N

×⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

Period Range 1 Range 2 Coupon Year 1-5 0-7.00% 0.00% 7.50%

n=每季 Index 1 落入 Range 1 且 Index 2 落入 Range 2 的天數 N=計息期間內之總天數，在此為一季，90 天

每季利息： 1 n

7.50%

4 N

× ×⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

贖回金額 100.00%

提前贖回條款

發行者可在每個付息日行使提前贖回權，並以 100%本金贖回，但須在付息日前五個營業日通知付息機構，且當期配息一併支付給投資人。

產品風險 ¾ 若 Index 1 和 Index 2 其中有一個沒有落入相對應的區間，則當日不計息

¾ 非營業日不計息

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圖 4-1 與圖 4-2 將 USD 3m LIBOR 和 USD 30y Swap Rate - USD 2y Swap Rate 在發行日過去一年半的歷史資料畫成走勢圖以供參考。

0%

1%

2%

3%

4%

5%

2004/3/1 2004/6/1 2004/9/1 2004/12/1 2005/3/1 2005/6/1 2005/9/1

圖 4-1 三個月美元 LIBOR 走勢圖來源：British Bankers' Association (BBA)

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

2004/3/12 2004/6/12 2004/9/12 2004/12/12 2005/3/12 2005/6/12 2005/9/12 30CMS 2CMS Spread

圖 4-2 美元三十年與兩年期交換利率走勢圖來源：Datastream

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第二節商品評價與分析

(一) 評價過程

在 LIBOR 市場模型架構下，我們使用蒙地卡羅模擬法估算未來五年內每天的一連串遠期利率，因此未來五年內每天的三個月美元即期 Libor(商品連結標的一) 可直接模擬出來，而三十年期與兩年期的美元交換利率(商品連結標的二)可透過公式藉由一連串的遠期利率計算出來。接下來判斷每季同時落入兩區間的可計息天數，即可計算出每季的票面利息，最後使用最小平方蒙地卡羅法來判斷發行商的贖回時點，將模擬一萬次的債券價格平均，得到此商品的理論價格。以下將詳細描述評價的過程與方法：

Step 1：估計殖利率曲線

遠期利率需要藉由殖利率才能估計出來，而估計殖利率所需要的市場資料為商品發行日當天的六個月美元 Libor 和一年美元 Libor 報價，與各年期的交換利率報價，列於表 4-2 與 4-3。

表 4-2 2005/11/29 LIBOR 市場報價 LIBOR 市場報價

USD 6m LIBOR 4.58%

USD 12m LIBOR 4.73938%

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表 4-3 2005/11/29 交換利率市場報價交換利率市場報價

1y 4.775% 9y 4.965%

2y 4.79% 10y 4.995%

3y 4.805% 12y 5.04%

4y 4.835% 15y 5.1%

5y 4.865% 20y 5.155%

6y 4.895% 25y 5.18%

7y 4.915% 30y 5.19%

8y 4.94%

使用 Matlab 程式軟體中的非線性內插法(Cubic Spline)函數指令，內插出每半年的交換利率，再使用公式(4.1)與(4.2)，以拔薛法(Bootstrapping)重覆相同步驟直到找出三十年期內每半年的殖利率。

0 0.5 0 1 0 1.5 0 1.5

0 0.5 0 1 0 1.5 0 2 0 2

0.5 1 1.5 1.5

1.5 1.5 1.5

0.5 1 1.5 2 2

2 2 2 2

1 1 1

1 1 (4.1)

2 2 2

1 1 1 1

1 1 (4.2)

2 2 2 2

r r r r

r r r r r

S e S e S e e

S e S e S e S e e

− × − × − × − ×

− × − × − × − × − ×

× × + × × + × × + × =

× × + × × + × × + × × + × =

#

公式(4.1)中，S 代表_1.5 1.5 年期的交換利率，_{0 0.5}r 代表市場上六個月的殖利率，

0 1r 代表市場上一年的殖利率，其中_{0 0.5}r 與_{0 1}r 為已知(即市場上當日的 USD 6m LIBOR 與 USD 12m LIBOR 報價)，S 也為已知(以非線性內插法求出)，則我們_1.5 可求出唯一的未知數_{0 0.5}r ，也就是1.5 年期的殖利率。求出 1.5 年期的殖利率後，

在公式(4.2)中，_{0 2}r 為唯一的未知數，即可求出2 年期的殖利率，依照相同步驟，

求出三十年間每半年的殖利率列於表 4-4。

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表 4-4 每半年期殖利率曲線估計值估計每半年期殖利率曲線

0.5y 4.5800% 8y 4.8942% 15.5y 5.0972% 23y 5.1775%

1y 4.7394% 8.5y 4.9080% 16y 5.1068% 23.5y 5.1803%

1.5y 4.7287% 9y 4.9227% 16.5y 5.1154% 24y 5.1827%

2y 4.7345% 9.5y 4.9401% 17y 5.1232% 24.5y 5.1850%

2.5y 4.7404% 10y 4.9580% 17.5y 5.1302% 25y 5.1870%

3y 4.7496% 10.5y 4.9736% 18y 5.1364% 25.5y 5.1888%

3.5y 4.7641% 11y 4.9871% 18.5y 5.1421% 26y 5.1904%

4y 4.7809% 11.5y 4.9994% 19y 5.1472% 26.5y 5.1918%

4.5y 4.7967% 12y 5.0114% 19.5y 5.1519% 27y 5.1929%

5y 4.8126% 12.5y 5.0238% 20y 5.1563% 27.5y 5.1938%

5.5y 4.8295% 13y 5.0367% 20.5y 5.1604% 28y 5.1946%

6y 4.8448% 13.5y 5.0497% 21y 5.1643% 28.5y 5.1951%

6.5y 4.8559% 14y 5.0626% 21.5y 5.1680% 29y 5.1954%

7y 4.8663% 14.5y 5.0750% 22y 5.1714% 29.5y 5.1954%

7.5y 4.8796% 15y 5.0866% 22.5y 5.1746% 30y 5.1953%

因為市場上的交換利率報價只到 30 年期，我們只能求出 30 年以內的殖利率，

但是此商品為五年期，必須觀察第五年最後一天的三十年期交換利率，所以需要一條長達 35 年的殖利率曲線。因為殖利率曲線越長年期越平緩，因此我們假設第 30.5 年、第 40 年，一直到第 35 年的殖利率都與第 30 年的殖利率相等。圖 4-3 為殖利率曲線走勢圖，圖中的圓圈，前 30 年為表 4-3 估計出的每半年殖利率資料，

30 年以後為假設的水平殖利率；實線部份則為使用 Matlab 程式軟體插補出每天的殖利率而畫成。

(7)

0 5 10 15 20 25 30 35 0.045

0.046 0.047 0.048 0.049 0.05 0.051 0.052

Maturity

YTM

cubic spline data

圖 4-1 美元殖利率曲線

Step 2：估計遠期利率

1. 計算未來某天的 USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate 需要那天的一連串遠期利率，此商品所連結的三十年期交換利率與兩年期交換利率為半年付息一次之交換利率，因此所需的遠期利率，為一連串的六個月遠期利率。例如計算未來第一天的 USD 30y Swap Rate，需要 F(1;1,181)¹、F(1;181,361)、

F(1;361,541)、…、F(1;12241,12421)共 60 個遠期利率；計算未來第一天的 USD 2y Swap Rate，需要 F(1;1,181)、F(1;181,361)、F(1;361,541)、F(1;541,721)共 4 個遠期利率。

我們需要先估計發行日當天的一連串六個月遠期利率，才能往前模擬出未來五年每天的一連串六個月遠期利率，進而計算出未來五年內每天的 USD 30y Swap

1 F(1;1,181)代表在未來第一天的時點，從未來第一天開始生效，在第 181 天到期的六個月遠期利率，即未來第一天的六個月即期利率。 F(1;181,361)代表在未來第一天的時點，從未來第 181 天開始生效，在第 361 天到期的六個月遠期利率。

(8)

Rate 與 USD 2y Swap Rate。利用步驟一插補出的每天殖利率，再經由公式(4.3)計算出在發行日當天，一天後、二天後、三天後直到第 34.5 年的六個月遠期利率，

即 F(0;1,181)、F(0;2,182)、F(0;3,183)、…、F(0;12420,12600)共 12420 個(34.5×360) 六個月遠期利率。

(

1 2

)

⁰ ² ² ⁰ ¹ ¹

2 1

0; , r^t t r^t t F t t

t t

× − ×

= − (4.3)² 例如，一天後的六個月遠期利率使用公式(4.4)即可求得：

( )

^{0 181} ^{0 1}

181 1 360 360 0;1,181

181 1 360 360

r r

F

× − ×

=

−

(4.4)

2. 此商品連結的另一個標的為 USD 3m LIBOR，故必須模擬出未來五年內每天的 USD 3m LIBOR，以遠期利率的符號可表示為 F(1;1,91)、 F(2;2,92)、

F(3;3,93)、…、F(1800;1800,1890)共 1800 個美元三個

月即期利率。進行模擬時使用在發行日當天的一連串三個月遠期利率 F(0;1,91)、F(0;2,92)、F(0;3,93)、…、F(0;1800,1890)來往前模擬

得到未來每天的三個月即期利率。F(0;1,91)、F(0;2,92)、F(0;3,93)、…、

F(0;1800,1890)使用公式(4.3)即可求得，例如一天後的三個月遠期利率使用公式(4.5)即可求得：

( )

^{0 91} ^{0 1}

91 1

360 360

0;1, 91

91 1

360 360

r r

F

× − ×

=

− (4.5)

2

( )

0 2 2 01 1 1 2 2 1

2 1

(0; , ) ( )

0 2 0 1 1 2 2 1

0 2 0 1

1 2

2 1

(0; , ) ( ) 0; ,

^r^t ^t ^r^t ^t ^F ^{t t} ^t ^t

t t

e e e

r t r t F t t t t

r t r t

F t t

t t

− × = − × × − × −

⇒ × = × + × −

× − ×

⇒ =

−

(9)

Step 3：波動度校準

在此篇論文中，我們假設遠期利率的波動度不隨著時間而改變，即每個遠期利率的波動度為常數，我們透過市場上價平的利率上限選擇權(Caps)報價來進行波動度的校準。市場上利率上限選擇權是以波動度來報價，此報價即為利率上限選擇權包含區間內的平均波動度，例如發行日當天的到期期限兩年的 Cap 報價為 17.26%，代表此兩年間 Cap 的平均波動度為 17.26%。

以六個月 Libor 為標的的一年期 Cap，包含一個 Caplet，二年期的 Cap 包含三個 Caplet，三年期的 Cap 則包含五個 Caplet，依此類推。利用市場上以六個月 Libor 為標的的各年期 Cap 報價可反推出各個包含不同區間的 Caplet 波動度，也就是我們所要校準的六個月遠期利率波動度。校準方法的理論基礎如下：

假設各個遠期利率的波動度為常數，等於相同區間的 Caplet 波動度，在 LFM 模型架構下，Caplet 的理論價值為：

(

0, _i 1, _i

) (

0, _i

)

_i

(

, _i

( )

0 , _i

)

Caplet T₋ T =P T τ Black K F ν (4.6)

( ) ( )

( ( ) ) ^{( )} ( ( ^{( )} ) ) ( ( ^{( )} ) )

( ( ) ) ( ^{( )} )

[ ]

1 1

1

1 2

2 1

1 1

0 0; ,

, 0 , 0 , 0 , , 0 ,

ln 0 / / 2

, 0 ,

, 此處

為以 , 為區間的波動度

i i

i i i

i i i i i i i

i i

i

i i T caplet T caplet i i

F F T T

Black K F F N d K F K N d K F

F K

d K F

T T T caplet

ν ν ν

ν ν

ν

ν ν ₋ ν ₋

−

− − − −

=

= −

= +

=

因為 Cap 的價值是其所包含的 Caplets 價值的加總，所以T 年期的 Cap 理論_j 價值為：

( ) ⁽ ⁾ ( ^{( )} )

( ) ( ( )

¹ ¹

)

0, , 0, , 0 ,

0, , 0 ,

j j

i=1 j

i=1

i

i i i i

i i i i T caplet

Cap T K P T Black K F

P T Black K F T

τ ν

τ ₋ν ₋₋

=

∑

(4.7)

此處^K ⁼^S^0,^j

( )

⁰ ⁼^S

(

^0;^{T T}⁰^, ^j

)

，為根據公式(3.20)所求得之交換利率

(10)

因為市場上的 Cap 報價為期間內的平均波動度，因此將報價帶入 Cap 的理論價值公式中可求得 Cap 的市場價格為：

^Market

(

^{0, ,}^j

)

^j

⁽

^0,

⁾ (

^,

^{( )}

^{0 ,} ¹ ^j

)

i=1

i i i i T cap

Cap T K =

∑

P T τ Black K F T₋ν ₋ (4.8) 此處

Tj cap

ν ₋ 為T 年期的 Cap 報價 _j

利用 Cap 的理論價值應等於市場價格，可得式(4.9)之等式關係，並可求算出各遠期利率的波動度。

( ) ( ( ) )

1 -1-

1

0, , 0 ,

j

i=1 j

i=1

i i i i Ti caplet

i i i i T cap

P T Black K F T

τ ν

−

− −

=

∑

(4.9)

舉例說明如何求得第一年到第二年之間的波動度：

一年期的等式關係：

( ( ) )

0.5 0.5-

0.5 1-

0.5 (0, 0.5) , 0 , 0.5 0.5 (0, 0.5) , 0 , 0.5

_caplet

cap

P Black K F

ν ν

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ (4.10)

二年期的等式關係：

(

( )

) (

^{( )}

)

(

( )

)

(

( )

) (

^{( )}

)

0.5 0.5- -

.5 .5-

0.5 - -

0.5 (0, 0.5) , 0 , 0.5 0.5 (0, ) , 0 ,

0.5 (0, .5) , 0 , .5

0.5 (0, 0.5) , 0 , 0.5 0.5 (0, ) , 0 ,

0.5 (0, .5)

1 1

2 1 2

+ 1 1

+ 1

caplet caplet

caplet

cap caplet

P Black K F P Black K F

P Black K F

P

ν ν

ν

ν ν

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ^⋅^{Black K F}

(

^, ¹^.5( )^{0 ,} ¹^.5^ν²^-^cap

)

(4.11)

由一年期的等式關係，可得到ν_0.5-caplet=ν_1-cap 接下來將二年期等式中的ν_0.5-caplet以ν_{1 cap}_- 代入，並假設

- .5- -

1_caplet= 1 _caplet= (1 2)_caplet

ν ν ν ，其中ν(1 2)caplet_- 為第一年到第二年間的波動度。

(11)

則二年期的等式改寫為：

改寫二年期的等式關係：

(

( )

) (

^{( )}

)

(

( )

)

(

( )

) (

^{( )}

)

0.5 - -

.5 -

0.5 - -

0.5 (0, 0.5) , 0 , 0.5 0.5 (0, ) , 0 ,

0.5 (0, .5) , 0 , .5

0.5 (0, 0.5) , 0 , 0.5 0.5 (0, ) , 0 ,

0.5 (0, .5)

1 1 (1 2)

1 (1 2)

2 1 2

+ 1 1

+ 1

cap caplet

caplet

cap caplet

P Black K F

P

ν ν

ν

ν ν

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅^{Black K F}

(

^, ¹^.5( )^{0 ,} ¹^.5^ν²^-^cap

)

(4.12)

因為ν_{1 cap}_- 與ν_{2 cap}_- 為已知，所以可求出ν(1 2)caplet_- ，即為第一年到第二年間的波動度。依照上述步驟，利用市場上一到十年期的 Cap 報價，可求得十年內各年間的遠期利率波動度。因為評價此商品需要三十五年內的波動度結構，且利率波動度越長天期越趨於平緩，我們假設十年以後的波動度與第九年到第十年間的波動度相等。將商品發行日當天的各年期 Cap 波動度報價以及校準過後的波動度結構列於表 4-5 及 4-6。

表 4-5 2005/11/29 Cap 市場報價及理論履約價各年期 Cap 的 ATM 報價及理論履約價

Maturity Vol.(%) Strike

1 13.30% 4.740%

2 17.26% 4.735%

3 19.06% 4.749%

4 19.95% 4.778%

5 20.27% 4.807%

6 20.14% 4.837%

7 20.43% 4.856%

8 20.07% 4.881%

9 19.93% 4.905%

10 19.85% 4.934%

資料來源：Bloomberg

(12)

表 4-6 校準後之遠期利率波動度結構校準後之遠期利率波動度結構

0-1 年 13.30% 5-6 年 19.70%

1-2 年 18.50% 6-7 年 21.70%

2-3 年 21.00% 7-8 年 18.70%

3-4 年 21.50% 8-9 年 19.10%

4-5 年 21.09% 9-10 年 19.30%

Step 4：相關係數校準

因為無法得知未來遠期利率的相關係數，因此採用過去的歷史資料求得歷史相關係數矩陣，本文採用商品發行日過去 180 個交易日的市場歷史資料。首先找出過去 180 個交易日每天的美元六個月與一年 Libor 報價以及各年期交換利率報價，依照步驟一及步驟二所述方法，使用非線性插補法插補出每半年的交換利率，

再使用拔靴法以及插補法得到殖利率曲線，最後利用預期理論求出過去 180 天每天的一連串六個月遠期利率，即可求得不同期限遠期利率之間的歷史相關係數矩陣。

所求出之歷史相關係數矩陣為非正定矩陣(non-positive definite)，但是經由使用第三章研究方法中 Peter Weigel(2004)所提出的降秩(rank)在歷史相關係數矩陣上，我們發現在秩降到 6 的時候，即可得到另一個相同矩陣大小，且為正定的近似相關係數矩陣，以此近似矩陣進行 Cholesky 分解，來產生具有相關性的隨機亂數並進行遠期利率的模擬。

Step 5：蒙地卡羅模擬

1. USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate 的模擬

我們由步驟二所求出的 12420 個六個月遠期利率開始進行模擬，依據

模型設定及模擬之便，將遠期利率分為 180 組，每組有 69 個不同期限的遠期利率，

(13)

如表 4-7。

表 4-7 六個月遠期利率模擬分組

組別一組有 69 個互相關聯的遠期利率

1 F(0;1,181) F(0;181,361) ^" F(0;12061,12241) F(0;12241,12421) 2 F(0;2,182) F(0;182,362) ^" F(0;12062,12242) F(0;12242,12422)

# # # # # #

179 F(0;179,359) F(0;359,541) ^" F(0;12239,12419) F(0;12419,12599) 180 F(0;180,360) F(0;360,540) ^" F(0;12240,12420) F(0;12420,12600)

模擬時使用公式(3.24)來模擬遠期利率每日的變動，由於每組內的 69 個遠期利率互有關聯，因此在模擬時，每組需要產生 69 個互為相關的亂數，且使亂數之間符合歷史相關係數。

( )

, 1 2

( ) ( )

( ) ( ) exp[ ( )

1 ( )

( )( ( ) ( ))]

2

k t

k i i i i

t t

k k k t

i j i i

k

k k k

t F t

F t t F t t t

F t

t t t Z t t Z t

ρ τ σ

σ τ

σ σ

= +

+ = ×

+

− + + −

∑

⁺

+ +

+ + +

+ +

(4.12)

程式在進行模擬時，為 180 組同時往前一天天模擬，而每往前模擬一天，

就需自標準常態抽出 180 組，每組 69 個的亂數，且使用 Cholesky 分解³，使每組亂數都符合各組的歷史相關係數矩陣。

3 參見附錄

(14)

以第一組為例，解說模擬的過程：

期初 F(0;1,181) F(0;181,361)"F(0;12061,12241) F(0;12241,12421)

模擬第 1 天 F(1;1,181) F(1;181,361) "F(1;12061,12241) F(1;12241,12421)

模擬第 2 天 F(2;181,361) "F(2;12061,12241) F(2;12241,12421) #

模擬第 12061 天 F(12061;12061,12241) F(12061;12241,12421) #

模擬第 12241 天 F(12241;12241,12421)

圖 4-2 模擬流程圖

往前模擬第一天後，F(0;1,181)成為已到期的 F(1;1,181)，故由組中剔除，不需再往前模擬，一直繼續往前模擬到第 12241 天後，第 69 個遠期利率也已到期成為 F(12241;12241,12421)為止。因此 180 組一起模擬時，需要往前模擬到第 12420 天才結束。模擬完成後，以公式(3.14)計算未來五年內每天的 USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate，第一天的交換利率是用第一組往前模擬一天的結果，第二天的交換利率是用第二組往前模擬二天的結果，以此類推。

2. USD 3m LIBOR 的模擬

我們只需要模擬出未來五年內每天的 USD 3m LIBOR，因此由步驟二所求出的 1800 個三個月遠期利率開始模擬，如表 4-8。

(15)

表 4-8 三個月遠期利率模擬共 1800 個遠期利率

F(0;1,91) F(0;2,92) F(0;3,93)" F(0;1000,1090) " F(0;1800,1890)

每往前模擬一天，就有一個遠期利率到期成為那一天的即期利率(即

USD 3m LIBOR)，剔除後剩下的遠期利率再繼續往前模擬，直到最後一個遠期利率 F(0;1800,1890)成為 F(1800;1800,1890)，模擬才結束。

3. 模擬完連結的兩個標的後，即可知道每季有多少天計入付息天數，且

計算出每季付息金額。使用蒙地卡羅法時，模擬次數越多，所得到的平均價格越接近理論價格，模擬一萬次後，使用最小平方蒙地卡羅法來判斷發行商的贖回時點，其中折現率使用模擬出的即期三個月 LIBOR，一期期折回。最後將模擬一萬次所得到的價格予以平均，即為「每日計息雙區間可贖回債券」之理論價格。

(二) 評價結果

模擬一萬次的結果，「每日計息雙區間可贖回債券」之理論價格為 10074.028 美元，較本金 10000 美元大約有 0.74%的溢價，若加上 1%的手續費，則發行商大約有 0.26%的利潤。而不含贖回權的債券價值為 10356.3748 美元，因此贖回權的價值為 282.3468 美元。

由評價結果，發現使用發行日當天的市場資料進行模擬後，若不加上 1%的手續費，發行商還會有些微的損失，且在模擬次數中，有八成以上都在第一期被贖回。因此，商品的固定配息率有太高的可能，我們試著調整商品的固定配息 7.5%，

來檢視此連動債的價格變動情形，由表 4-9 可看出，當固定配息降低為 4.5%時，

發行商可獲得 1.0529%的利潤；當固定配息降到 3.5%時，發行商可獲得 1.3031%

的利潤，因此，若發行商想賺取更多利潤，可將商品的固定配息率降低，圖 4-5

(16)

為發行商調整固定配息利率後的總利潤率變化。發行商發行此檔商品的動機及考量，將會在本章第四節中加以探討。

表 4-9 連動債券價值變動調整固定配息之連動債券價值變動

固定配息利率連動債價格利潤(含 1%手續費) 總利潤率

10.5% 10147.5092 -47.5092 -0.4682%

9.5% 10116.8713 -16.8713 -0.1668%

8.5% 10108.1412 -8.1412 -0.0805%

7.5% 10074.028 25.9720 0.2600%

6.5% 10046.5091 53.4909 0.5324%

5.5% 10016.9980 83.0020 0.8286%

4.5% 9994.7643 105.2357 1.0529%

3.5% 9970.0830 129.9170 1.3031%

2.5% 9942.2161 157.7839 1.5870%

-1.0%

-0.5%

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5% 3.5% 4.5% 5.5% 6.5% 7.5% 8.5% 9.5% 10.5%

固定配息利率發行商總利潤率

圖 4-5 發行商總利潤率變化走勢

(17)

第三節避險參數分析

(一) Delta

Delta 是指當殖利率曲線平移一單位時，商品價值變動的方向及幅度。

V V¹ V⁰ Delta

r r

−

= Δ =

Δ Δ (4.13) 以 1bp 為一單位，我們將殖利率曲線向上平移 10bp，即 0.1%，則「每日計息雙區間可贖回債券」的理論價值由原本的 10074.028 美元變為 10067.3028 美元，

根據 Delta 公式，此連動債券的 Delta 值為：

¹ ⁰ 10067.3028 10074.028

0.6725 10

V V r

− = − = −

Δ (4.14) 代表當殖利率曲線往上平移 1bp，此連動債券的價值會減少 0.6725 美元。

由圖 4-6 可看出，當殖利率曲線往上平移時，連動債券的價值降低，主要原因是因為連動債的配息已固定為 7.5%，若殖利率曲線往上平移，則投資人領取到的利息及本金折回期初時，現值將會減少，換句話說，因為市場報酬率上升，因此投資人所領到的利息相對變少，使得連動債券價值下降。另一個原因是當殖利率曲線往上平移時，將會影響到 USD 3m LIBOR 的模擬結果，使得模擬出來的 USD 3m LIBOR 超過 7%的可能性增加，因此配息減少，「每日計息雙區間可贖回債券」的價值降低，這種情形在殖利率曲線平移幅度由 0.02 到 0.03 時最為明顯。

(二) Gamma

是指當殖利率曲線平移一單位時，Delta 參數變動的方向及幅度。

( )

2 0 1

2

V V V

Gamma

r

− +

= Δ (4.15)

以 1bp 為一單位，我們將殖利率曲線向上與向下平移 10bp，向上平移後，「每日計息雙區間可贖回債券」的理論價值由原本的 10074.028 美元變為 10067.3028 美元(V₁)；向下平移後，價值變為 10092.1115 美元(V₂)，根據 Gamma 公式，此連動債券的 Gamma 值為

(18)

2

( )

0 1

2 2

2 10092.1115 - 2 10074.028 10067.3028

0.1135 10

V V V

r

− + × +

= =

Δ (4.16)

代表當殖利率曲線往上平移 1bp，此連動債券的 Delta 參數會增加 0.1135。

(三) Vega

是指當波動度結構平移一單位時，商品價值變動的方向及幅度。

V V¹ V⁰ Vega σ σ

−

= Δ =

Δ Δ (4.17) 以 1bp 為一單位，我們將波動度結構向上平移 10bp，即 0.1%，則「每日計息雙區間可贖回債券」的理論價值由原本的 10074.028 美元變為10077.1608美元，根據 Vega 公式，此連動債券的 Vega 值為：

¹ ⁰ 10077.1608 -10074.028

0.3133 10

V V σ

− = =

Δ (4.18) 代表當波動度結構往上平移 1bp，此連動債券的價值會減少 0.3133 美元。

因為「每日計息雙區間可贖回債券」連結的兩個標的與區間分別是：「USD 3m LIBOR」要落在「0-7.00%」以及「USD 30y Swap Rate - USD 2y Swap Rate」要大於 0.00%，當波動度結構往上平移時，利率的變動幅度也變大，使得 USD 3m LIBOR 超過 7.00%的可能性增加，同時 USD 30y Swap Rate 小於 USD 2y Swap Rate 的可能性也增加，這兩種情況都會使得同時落入區間的天數減少，降低配息，因此「每日計息雙區間可贖回債券」的價值也會下降。

(19)

每日計息雙區間可贖回債券價值

9400 9500 9600 9700 9800 9900 10000 10100 10200 10300

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

殖利率曲線平移幅度

圖 4-6 殖利率曲線平移對債券價值的影響

(20)

第四節發行商風險及策略分析

(一)發行商的風險

對於發行商而言，發行此「每日計息雙區間可贖回債券」的風險在於：

¾ 利息的支付決定於連結標的未來的走勢，最高每年付息 7.5%。

¾ 若市場殖利率下跌，則商品的固定配息率 7.5%則相對較高，使發行商成本提高。

但是因為商品具有發行商可贖回條款，若上述情況發生以致成本過高，

發行商可向投資人強制贖回。

(二)發行商的發行策略

根據評價結果，若不加上 1%的手續費，發行商面臨虧損的機率非常大，為何發行商仍願意發行此商品，以下試探討其原因：

¾ 利率模型在模擬利率未來走勢時，儘管使用市場資料進行參數校準，但也只能在起始點設定而已，對於過去長久以來的歷史走勢以及現實情況，並不能將其反映在模型當中，因此模擬的結果仍需加上使用者在金融市場上所觀察到的現象，才能將評價的結果與實務做最佳的配合。

¾ 在發行日當天，USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate 之間仍有 0.4%的差距(5.19%-4.79)，而 USD 3m LIBOR 為 4.41%，皆與商品所定的區間界線有不小的差距，因此以發行日當天的市場報價為起始點來模擬，將會使得模擬後的「USD 30y Swap Rate -USD 2y Swap Rate」和「USD 3m LIBOR」落在區間外的機率太小，導致評價出的理論價格過高。

¾ 從圖 4-5 可看出，USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate 之間的差距，從過去到發行日，一直呈現縮小的趨勢，因此發行商很有可能預期未來差距仍會繼續縮小，造成 USD 30y Swap Rate 小於 USD 2y Swap Rate 的情形，若預

(21)

期正確，則發行商可減少利息支出的成本。圖 4-5 圈起來的部份為發行日過後四個月的 USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate 走勢，可看出差距仍然持續縮小，且有 USD 30y Swap Rate 小於 USD 2y Swap Rate 的情形，發行商的預期正確。

¾ 從圖 4-7 可看出，USD 3m LIBOR 在發行日前呈現直線上升的趨勢，已長達一年半的時間，因此若發行商預期 USD 3m LIBOR 在未來仍持續上升，則很有可能達到 7%以上，減少付息的成本。從圖 4-7 圈起來的部份可清楚看到 USD 3m LIBOR 果真如發行商所預期，仍然呈現直線上升的態勢。

¾ 商品的高配息條款，能夠吸引到投資人的眼光。

¾ 若未來走勢不符合發行商之預期，發行商仍具有強制贖回的權利。

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

3/1/04 6/1/04 9/1/04 12/1/04 3/1/05 6/1/05 9/1/05 12/1/05 3/1/06 6/1/06

圖 4-7 三個月美元 LIBOR 走勢圖 (含發行日過後) 資料來源：British Bankers' Association (BBA)

(22)

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

3/12/04 6/12/04 9/12/04 12/12/04 3/12/05 6/12/05 9/12/05 12/12/05 3/12/06 30CMS 2CMS Spread

圖 4-8 發行日後美元三十年與兩年固定年期交換利率走勢圖資料來源：Datastream

(23)

第五節投資人風險及報酬分析

(一) 投資人的報酬分析

此由英國勞埃德銀行(Lloyds TSB Bank Plc.)所發行的「每日計息雙區間可贖回債券」，是屬於美元結構型存款商品，本金保證百分之百償還，而利息則視其連結的兩個標的未來表現而定。在發行日之前，USD 30y Swap Rate - USD 2y Swap Rate 已持續四年半為正值，USD 3m LIBOR 還未達到到 5%，且商品的固定配息率高達 7.5%，因此商品的條款對投資人來說，是非常具有吸引力的。

(二) 投資人的風險

對投資人來說，投資於「每日計息雙區間可贖回債券」可能會面臨到的風險有以下幾種：

¾ 被贖回風險

由於條款中有發行商可在每個付息日執行贖回的權利，投資者在被高配息率吸引的同時，必須要考慮被發行商提早贖回的風險，雖然商品長達五年，但在高配息的情況下，極有可能在第一期就被贖回。

¾ 匯率風險

由於此商品是以美元計價，投資及配息都以美元支付，因此到時若需將美元換成台幣，投資人必須面臨匯兌損失的風險。

¾ 市場利率風險

此連動債券價格受到美元利率所影響，當美元利率上升時，債券價值會下降，

若低於期初投資金額，投資人會遭受到資本損失。

¾ 信用風險

若發行商倒閉或違約，投資人可能拿不回原始投資的本金，故投資人在投資時，必需考慮發行商倒閉或違約的可能性。

(24)

¾ 本章小結

評價「每日計息雙區間可贖回債券」的結果，發現幾乎每次模擬都在第一個付息點被贖回，第一個原因為 USD 3m LIBOR 的區間 0%-7%太寬，且模擬出的 USD 30y Swap Rate - USD 2y Swap Rate 小於 0%的天數很少，造成落入區間的計息天數太多；第二個原因為商品的固定配息 7.5%太高，這兩個原因都使得利息太多以致於在第一期就會發生被贖回的情況。

觀察 USD 3m LIBOR 和 USD 30y Swap Rate - USD 2y Swap Rate 過去的歷史走勢，發現 USD 3m LIBOR 持續呈現上升狀態，而 USD 30y Swap Rate 與 USD 2y Swap Rate 的差距也逐漸持續縮小。因為商品投資期間長達五年，

發行商也許是合理預期未來的走勢若不變，則可藉由高固定配息吸引投資人，即使到時付息成本太高，也可行使贖回權將商品贖回。當投資人被寬區間及高配息吸引之際，必須注意到被發行商贖回的風險，若在第一期就被贖回，則完全無法享受到優厚的付息條件。

第四章 每日計息雙區間可贖回債券