數 學 甲

【試題．答案】

依據大考中心公布內容

出　版∕民國一○九年七月

發行所∕_{7 0 2 4 8} 臺南市新樂路 76 號 編輯部∕_{7 0 2 5 2} 臺南市新忠路 8 -1 號 總召集∕陳彥良

總編輯∕李心筠 主　編∕吳崇欽

10 ₉

10 指 ⁹ 考

數 學 甲

忠明高中 / 陳冠州老師

一 回顧與歷屆試題分析

　　首先我們先回顧一下，102 年指定科目考試是第一次依 99 課綱命題，至 108 年 指考各章命題分數統計如下：

範圍 102 年 103 年 104 年 105 年 106 年 107 年 108 年

數與式 0 0 0 0 0 0 0

多項式函數 14 2 8 6 0 0 0

指數與對數函數 6 6 6 6 6 8 12

機　率 6 6 8 7 6 6 8

三　角 0 14 11 0 0 6 6

直線與圓 6 6 8 4 7 6 8

平面向量 0 0 8 11 8 6 8

空間向量 14 22 6 ◎7 6 ◎8 2

空間中的平面與直線 ◎8 0 0 8 7 12 10

矩　陣 ◎12 ◎12 ◎6 ◎8 ◎12 6 ◎6

機率統計 6 8 6 7 7 6 6

三角函數 8 0 6 13 14 8 6

極限與函數 8 6 13 8 7 8 8

多項式函數的微積分 12 18 14 15 20 20 20

◎：表第四冊中雙圈內容（此部分為指考範圍，不在學測範圍）

　　由以上各章命題分數，分析數點歸納如下：

1 除了數與式、多項式函數這兩章外，幾乎每章每年都會被命題。

2 雙圈◎雖不為學測範圍，但指考每年必考，尤其是矩陣中的線性變換：旋轉矩 陣、鏡射矩陣。指考中雙圈◎配分少則 6 分，多則 20 分，建議程度好的學子在高 二學習雙圈◎範圍時，也應認真念，以免面對指考時此部分失分，無法獲高分。

3 六冊中以選修數學甲（下）配分最重，約占四分之一。偏偏此時很多學子為了準 備個人申請入學第二階段，而忽略此冊，故建議學子仍要分配時間認真學習，不

數 學 甲

4 若以數學領域分類，以微積分兩章（極限與函數、多項式函數的微積分）每年配 分最多，接著向量三章（平面向量、空間向量、空間中的平面與直線）合計配分 居次。

5 近年來出題，著重圖形及重要觀念應用，愛用數學專業用語描述問題（這點跟學 測不同），計算量較以前減少。基本型題目在課本都可找到類似題，先弄懂課本題 目就有基本分。非選擇題每年考兩題，用小題引導解題，第1小題都是出自課本 重要題目，著重概念性及程序性知識，建議學子務必把握；非選擇題第二題每年 大都出自多項式函數的微積分，可見命題教授看重微積分，此也為大學微積分課 程鋪路。

二 109 指定科目考試數學甲試題分析

　　大考中心所列指定科目考試測驗六目標：概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力，109 指定科目考試數學甲占 六目標比率依次為 6 ％、18 ％、6 ％、6 ％、20 ％、44 ％，主要測驗高層次目標：

解決問題的能力，占了整份試卷的 44 ％，跟以往比較稍高，預估本年數學甲是這十 年來最難的！！

109 數學甲試題分配章節表

範圍 類型

數與式 －

多項式函數 －

指數與對數函數 單選 3

機　率 －

三　角 單選 1、選填 C

直線與圓 －

平面向量 多選 4、選填 B

空間向量 非選二

空間中的平面與直線 選填 A、非選二

矩　陣 ◎多選 8

機率統計 單選 2

三角函數 單選 1、多選 7

極限與函數 多選 5

多項式函數的微積分 多選 6、非選一

10 ₉

　　由上表試題分配章節表可知：

1 配題：試題大部分在高二或高三數學，其中以多項式函數的微積分命題 20 分最 多，雙圈◎命題 8 分，但高一數學僅命題 6 分。若以數學領域分析，向量三章

（平面向量、空間向量、空間中的平面與直線）考 32 分最多，微積分兩章（極限 與函數、多項式函數的微積分）考 28 分次之。比較意外的是數學甲全為純數學題 目，這跟大考中心一直推動的素養與跨領域的精神有偏差，所以明年應該要有素 養題出現才對。

2 難易度：中間偏難，與去年比較難度略增。計算量大的題目，如選填 C、非選 二，若無採用到好的解題策略，計算量就會偏大。預估各標略降為頂標 65 分、前 標 53 分、均標 39 分、後標 25 分、底標 18 分，請同學參考。

3 新特色：數學甲微積分考題很像大學微積分，如多選 5 考高斯符號與極限，這是 大學微積分的常考題；多選 6 考微積分觀念的對錯判別，跟以往著重計算方向不 同，很多學子不習慣！所以提醒學子微積分（即數學甲下全部）不能再只會算就 好，管它為什麼，還是要知道公式、觀念弄清楚，最好方式就是會證明公式，至 少要看的懂，否則再遇到類似題，還是不會！

三 110 指定科目考試數學甲展望

（b：109 年為預估值）

　　從上圖走勢觀察發現近八年的前標在 60 分上下震盪，表示題目難易度尚穩定，

預估明年指考依舊維持近年的難易度，微積分仍是命題最多分處，但今年沒有出現的

素養題要多加注意，所以學子要關心一下時事了！

_F

數 學 甲

忠明高中 / 陳冠州老師

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 18 分）

說明： 第1題至第3題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 已知 45n＜q＜50n，且設 a＝1－cos² q、b＝ 1

cos q －cos q、c＝ tan q

tan² q＋1 。關 於 a，b，c 三個數值的大小，試選出正確的選項。

1 a＜b＜c 2 a＜c＜b 3 b＜a＜c 4 b＜c＜a 5 c＜a＜b

答　　案

5

命題出處 第三冊第一章　三角、選修數學甲（上）第二章　三角函數

測驗目標 三角函數比大小

難 易 度 中偏易

詳 解 a＝1－cos² q＝ sin² q 1 b＝ 1

cos q －cos q ＝ 1－cos² q

cos q ＝ sin² q cos q

c＝ tan q

tan² q＋1 ＝ tan q sec² q ＝

sin q cos q

（

）

^{（分子，分母同乘} sin q cos q）

＝ sin² q sin q cos q

∵45n＜q＜50n　∴0＜cos q＜sin q＜1 a，b，c 分母大小為 cos q＜1＜ sin q

cos q ，得 b＞a＞c

2 有 A，B 兩個箱子，其中 A 箱有 6 顆白球與 4 顆紅球，B 箱有 8 顆白球與 2 顆 藍球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）：

（一） 先在 A 箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從 B 箱中抽 取一球；

（二） 先在 B 箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從 A 箱中抽 取一球；

（三） 同時分別在 A，B 箱中各抽取一球。

給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得 50 元獎金；若只抽到 藍球得 100 元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得 100 元獎金；若都沒抽到，

則無獎金。將上列（一）、（二）、（三）這 3 種抽獎方式所得獎金的期望值分別 記為 E1、E2、E3，試選出正確的選項。

1 E1＞E2＞E3 2 E1＝E2＞E3 3 E2＝E3＞E1

4 E1＝E3＞E2 5 E3＞E2＞E1 答　　案

3

命題出處 選修數學甲（上）第一章　機率統計

測驗目標 期望值

難 易 度 中偏易

詳 解 （一）

E1＝3 5×1

5×100＋2

5×50＝32（元）

（二）

E2＝4 5×2

5×50＋1

5×100＝36（元）

（三） E3＝3 5×4

5×0＋3 5×1

5×100＋2 5×4

5×50＋2 5×1

5×100 ^{A 白 B 白 A 白 B 藍 A 紅 B 白 A 紅 B 藍}

＝36（元）

由（一）、（二）、（三）可知 E2＝E3＞E1

3 根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量平均每 3.5 小時會擴增為 2.4 倍。假設實 驗室的試管一開始有此種細菌 1000 隻，根據指數函數模型，試問大約在多少小 時後此種細菌的數量會到達 4×10¹⁰ 隻左右？（註：log 2~0.3010，

log 3~0.4771）

1 63 小時 2 70 小時 3 77 小時 4 84 小時 5 91 小時

答　　案

2

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 指、對數的應用—成長率

難 易 度 易

詳 解 設 t 小時後到達 4×10¹⁰ 隻

∴1000×（2.4）^3.5t ＝4×10¹⁰ !（2.4）^3.5t ＝4×10⁷ 等號兩邊取 log 得 t

3.5 log 2.4＝7＋log 4………（＊）

log 2.4 ＝log 2³×3 10

＝3 log 2＋log 3－log 10

~3×0.301＋0.4771－1

＝0.3801

log 4＝log 2²＝2 log 2~2×0.301＝0.602 代回（＊）得 t

3.5 ×0.3801~7＋0.602

! t~ 7.602

0.3801 ×3.5＝20×3.5＝70（小時）

故選2

二、多選題（占 40 分）

說明： 第4題至第8題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，

得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4 在坐標平面上，設 O 為原點，且 A、B 為異於 O 的相異兩點。令 C1，C2，C3 為 平面上三個點，且滿足

z

z

z

1

z

2 OC1 ＜OC2 ＜OC3

3

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

答　　案

45

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量的定義、內積

難 易 度 中

詳 解 1 ×：分析：當

z

z

z

z

z

z

z

z

2 ×：反例：當

z

z

z

z

z

z

z

z

z

!OC1 ＝2OB，OC2 ＝OB，OC3 ＝0

!OC1 ＞OC2 ＞OC3

3 ×：

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

∵|

z

z

z

z

z

z

z

5 ○：由平面向量的線性組合及下圖可知，C1，C2，C3 在同一直線上

故選45

5 對一實數 a，以 [ a ] 表示不大於 a 的最大整數，例如：[ 1.2 ]＝[a2 ]＝1，

[ －1.2]＝－2。考慮無理數 q＝g10001 ，試選出正確的選項。

1 a－1＜[ a ]Na 對任意實數 a 均成立 2數列 bn＝[ nq]

n 發散，n 為正整數 3數列 cn＝ [ －nq]

n 發散，n 為正整數 4數列 dn＝n q

n 發散，n 為正整數 5數列 en＝n －q

n 發散，n 為正整數

答　　案

15

命題出處 選修數學甲（下）第一章　極限與函數

測驗目標 無窮數列的極限、夾擠定理

難 易 度 難

詳 解 1 ○：由定義得知正確

2 ×：由1知：nq－1＜[nq]Nnq 除以 n ! q－1

n＜ [nq]

n Nq

∵_{n → ∞}

lim （

）

^lim

∴由夾擠定理知：_{n → ∞}

lim

n ＝q，即數列 bn 收斂 3 ×：由1知：－nq－1＜[－nq]N－nq

除以 n !－q－1

n＜[ －nq]

n N－q

∵_{n → ∞}

lim （

）

^lim

∴由夾擠定理知：_{n → ∞}

lim

n ＝－q，即數列 cn 收斂 4 ×：當 n 很大時，n q

n ＝n[0.××……]＝n．0＝0

∴_{n → ∞}

lim

n ＝0，即數列 dn 收斂 5 ○：當 n 很大時，n －q

n ＝n[－0.××……]＝n．（－1）＝－n

∴_{n → ∞}

lim

n ＝_{n → ∞}

lim

6 設 F（x）、f（x）皆為實係數多項式函數。已知 F'（x）＝f（x），試選出正確的選 項。

1若 aM0，則 F（a）－F（0）＝

∫

2若 F（x）除以 x 的商式為 Q（x），則 Q（0）＝f（0）

3若 f（x）可被 x＋1 整除，則 F（x）－F（0）可被（x＋1）² 整除 4若對所有實數 x，F（x）M x²

2 都成立，則對所有實數 x，f（x）Mx 也都成立 5若對所有 x＞0，f（x）Mx 都成立，則對所有 x＞0，F（x）M x²

2 也都成立

答　　案

12

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 微分公式、微積分基本定理

難 易 度 難

詳 解 1 ○：由微積分基本定理知此式成立

2 ○：∵F（x）除以 x 的商式為 Q（x），餘式為 F（0）

∴F（x）＝x．Q（x）＋F（0）

等號兩邊各別微分! F'（x）＝1．Q（x）＋x．Q'（x）

! f（x）＝Q（x）＋x．Q'（x）

令 x＝0 代入! f（0）＝Q（0）

3 ×：反例：取 f（x）＝x＋1，F（x）＝ x² 2 ＋x

! f（x）可被 x＋1 整除，

但 F（x）－F（0）＝ x²

2 ＋x 無法被（x＋1）² 整除 4 ×：反例：取 F（x）＝x⁴＋ x²

2 ! f（x）＝F'（x）＝4x³＋x

! F（x）M x²

2 恆成立，

但 f（x）＝4x³＋xMx 不恆成立

（例如：x＝－1 時，就不成立）

5 ×：反例：取 f（x）＝x，F（x）＝ x² 2 －1

! f（x）Mx 恆成立，但 F（x）＝ x²

2 －1M x²

2 不成立

7 在複數平面上，設 O 為原點，且 A、B 分別表示坐標為複數 z、z＋1 的點。已 知點 A、點 B 都在以 O 為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。

1直線 AB 與實數軸平行 2△OAB 為直角三角形 3點 A 在第二象限 4 z³＝1

5坐標為 1＋ 1

z 的點也在同一單位圓上

答　　案

145

命題出處 選修數學甲（上）第二章　三角函數

測驗目標 複數平面、複數的極式及其乘、除法

難 易 度 中

詳 解 依題意可在單位圓上找到 2 組 A，B 令其為（A1﹐B1），（A2﹐B2），如右圖 1 ○：∵點 A 向右平移 1 單位得到點 B　

∴FAB7實數軸

2 ×：∵OA＝OB＝1＝AB　

∴△OAB 為正三角形 3 ×：點 A 在第二或第三象限

4 ○：先說明 z13＝1，相同方法亦可說明 z23＝1：

z1 的主輻角 ＝∠A1OC

＝∠A1OB1＋∠B1OC

＝∠60n＋∠A1B1O（∵內錯角相等）

＝60n＋60n＝120n

又|z1|＝1　∴z1＝cos 120n＋i sin 120n

∴z13＝cos 360n＋i sin 360n＝1

5 ○：先說明 z＝z1 時選項成立，相同方法亦可說明 z＝z2 時成立：

1 z1

＝ cos 0n＋i sin 0n cos 120n＋i sin 120n

＝cos（－120n）＋i sin（－120n）＝z2

∴1＋ 1 z1

＝1＋z2，即 B2 點，在單位圓上 故選145

8 設二階實係數方陣 A 代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足 A³＝ 0 －1

－1 0 ；另 設二階實係數方陣 B 代表坐標平面的一個（以原點為中心的）旋轉變換且滿足 B³＝ －1 0

0 －1 ，試選出正確的選項。

1 A 恰有三種可能 2 B 恰有三種可能 3 AB＝BA 4二階方陣 AB 代表坐標平面的一個旋轉變換 5 BABA＝ 1 0

0 1

答　　案

25

命題出處 第四冊第三章　矩陣

測驗目標 旋轉矩陣、鏡射矩陣

難 易 度 難

詳 解 1 ×：∵A 為鏡射矩陣　∴A²＝I

兩邊同乘 A ! A³＝A　∴A＝ 0 －1

－1 0 ，只有 1 種 2 ○： 設 B＝Rq＝ cos q －sin q

sin q cos q ，0Nq＜360n，B³＝R（3q）

－1 0

0 －1 ＝ cos 180n －sin 180n sin 180n cos 180n

＝R180n＝R（180n＋360n×n），n 為整數

∵B³＝ －1 0

0 －1 　∴3q＝180n＋360n×n

! q＝60n＋120n×n＝60n，180n，300n（取 0Nq＜360n）

∴B＝R60n，R180n，R300n 有 3 種 3 ×：AB ＝ 0 －1

－1 0 cos q －sin q

sin q cos q ＝ －sin q －cos q

－cos q sin q BA＝ cos q －sin q

sin q cos q 0 －1

－1 0 ＝ sin q －cos q

－cos q －sin q

∴AB_BA

4 ×： AB＝ －sin q －cos q

－cos q sin q ＝ cos（270n－q） sin（270n－q）

sin（270n－q） －cos（270n－q）

為鏡射矩陣，非旋轉矩陣

〈另解〉

∵旋轉矩陣與鏡射矩陣之積為鏡射矩陣 AB，BA 均為鏡射矩陣

三、選填題（占 18 分）

說明： 1 第 A. 至 C. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（9～19）。

2每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 在坐標空間中，設 O 為原點，且點 P 為三平面 x－3y－5z＝0、x－3y＋2z＝0、

x＋y＝t 的交點，其中 t＞0。若 OP＝10，則 t＝　9al0q　。（化成最簡根 式）

答　　案

4s10

命題出處 第四冊第二章　空間中的平面與直線

測驗目標 三元一次聯立方程式

難 易 度 易

詳 解

x－3y－5z＝0 ...1 x－3y＋2z＝0 ...2 x＋y＝t ...3 2－1

7 ! z＝0，代回1! x－3y＝0 再與3聯立，得 x＝3

4 t，y＝ t

4　∴P（x﹐y﹐z）＝

（

）

因為 OP ²＝10²，所以

（

）

（

）

! 10

16 t²＝100 ! t²＝160 ! t＝±4s10 （負不合　∵t＞0）

B. 考慮坐標平面上相異三點 A、B、C，其中點 A 為（1﹐1）。分別以線段 AB、AC 為直徑作圓，此兩圓交於點 A 及點 P（4﹐2）。已知 PB＝3s10 且點 B 在第四象 限，則點 B 的坐標為（w﹐er）。

答　　案

（ 7﹐－7）

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量的定義

難 易 度 易

詳 解 ∵

z

z

∴

z

又|

z

∴

z

故點 B 坐標為（4﹐2）＋（3﹐－9）＝（7﹐－7）

〈另解〉

∵∠APE＋∠BPD＝∠BPD＋∠PBD（＝90n）

∴∠APE＝∠PBD

又∠PEA＝∠PDB＝90n　

∴△EPA∼△DBP（AA 相似）

PA＝

sl

∵PA：PB＝s10 ：3s10 ＝1：3 且 AE＝3，PE＝1

∴PD＝3×3＝9，BD＝1×3＝3

∴點 B 坐標為（4＋3﹐2－9）＝（7﹐－7）

C. 有一個三角形公園，其三頂點為 O、A、B，在頂點 O 處有一座 150 公尺高的觀 景臺，某人站在觀景臺上觀測地面上另兩個頂點 A、B 與 AB 的中點 C，測得其 俯角分別為 30n、60n、45n。則此三角形公園的面積為　tyuialo　平方公 尺。（化成最簡根式）

答　　案

7500 a2

命題出處 第三冊第一章　三角

測驗目標 立體測量

難 易 度 中

詳 解 1 令觀景臺的位置為 H，且 OH ＝150

∵P 測出 Q 的俯角為 q v Q 測出 P 的仰角為 q

∴∠HAO＝30n，∠HBO＝60n，∠HCO＝45n 在直角△AOH 中，AO＝150×a3 ＝150a3 在直角△COH 中，CO＝OH＝150

在直角△BOH 中，BO＝150

a3 ＝50a3 2 作 CO' ＝CO＝150 ! OAO'B 為平行四邊形

∴△AOB＝△ AOO'

3 利用海龍公式計算△AOO' 面積：

s＝（150a3 ＋50a3 ＋150×2）÷2＝100a3 ＋150

△AOO' 面積為

al

＝7500a2 ＝△AOB 面積

故三角形公園的面積為 7500a2 平方公尺

〈另解〉

1 令觀景臺的位置為 H，且 OH ＝150＝h

∵P 測出 Q 的俯角為 q v Q 測出 P 的仰角為 q

∴∠HAO＝30n，∠HBO＝60n，∠HCO＝45n

在直角△AOH 中，AO＝a3 h ，在直角△COH 中，CO＝h 在直角△BOH 中，BO＝ h

a3 2 在△AOB 中，設 AC＝BC＝x

由中線定理知：（a3 h）²＋

（

）

! x＝a6

3 h ! AB＝2a6 3 h

cos B＝

（

）

（

）

2× h

a3 ×2a6 3 h

＝0 ! ∠B 為直角

∴ △AOB 的面積為 1

2× h

a3 ×2a6

3 h＝ a2

3 h²＝ a2

3 ×150²＝7500a2 平方公尺 第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明： 本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1 、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚 辨識，其後果由考生自行承擔。每一子題配分標於題末。

一、 坐標平面上，由 A、B、C、D 四點所決定的「貝茲曲線」（Bézier curve）指 的是次數不超過 3 的多項式函數，其圖形通過 A，D 兩點，且在點 A 的切線通 過點 B，在點 D 的切線通過點 C。令 y＝f（x）是由 A（0﹐0）、B（1﹐4）、

C（3﹐2）、D（4﹐0）四點所決定的「貝茲曲線」，試回答下列問題。

1 設 y＝f（x）的圖形在點 D 的切線方程式為 y＝ax＋b，其中 a，b 為實數。

求 a，b 之值。（2 分）

2 試證明多項式 f（x）可以被 x²－4x 所整除。（2 分）

3 試求 f（x）。（4 分）

4 求定積分

∫

答　　案

1 a＝－2，b＝8；2略；3 f（x）＝ 1

8 x

－ 3

2 x

＋ 4x；4 56

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 微分公式、切線斜率、積分技巧

難 易 度 中偏難

詳 解 1 過 D 之切線 L2 的斜率 m2＝2－0

3－4＝－2 L2：y－0＝－2（x－4）! y＝－2x＋8

∴a＝－2，b＝8

2 ∵ y＝f（x）的圖形通過 A（0﹐0），D（4﹐0）

兩點

∴f（x）可被（x－0）（x－4）＝x²－4x 整除 3 設 f（x）＝（x²－4x）（px＋q）

! f '（x）＝（2x－4）（px＋q）＋p（x²－4x）

∵過 A（0﹐0）之切線 L1 的斜率 m1＝4－0 1－0＝4

∴f '（0）＝4 !－4q＝4 ! q＝－1

∵過 D（4﹐0）之切線 L2 的斜率 m2＝－2

∴f '（4）＝－2 ! 4．（4p－1）＝－2 ! p＝1 8 代回 f（x）＝（x²－4x）

（

）

4 8f（x）＝x³－12x²＋32x

∫

∫

＝

∫

∫

＝

（

）|

（

）|

＝（64－36）－（36－64）＝56

二、 一個邊長為 1 的正立方體 ABCD－EFGH，點 P 為稜邊 CG 的中點，點 Q、R 分別在稜邊 BF、DH 上，且 A，Q，P，

R 為一平行四邊形的四個頂點，如右圖所示。

今設定坐標系，使得 D、A、C、H 的坐標分別為

（0﹐0﹐0）、（1﹐0﹐0）、（0﹐1﹐0）、（0﹐0﹐1），

且 BQ＝t，試回答下列問題。

1 試求點 P 的坐標。（2 分）

2 試求向量

z

3 試證明四角錐 G－AQPR 的體積是一個定值（與 t 無關），並求此定值。

（4 分）

4 當 t＝1

4 時，求點 G 到平行四邊形 AQPR 所在平面的距離。（4 分）

答　　案

1 P （ ^{0﹐1﹐ 1} ₂ ） ^；2 （ ^{－ 1﹐0﹐ 1} ₂ ^{－ t} ） ^{；3 證明略， 1} ₆ ^{；4 a2} ₃

命題出處 第四冊第一章　空間向量、第四冊第二章　空間中的平面與直線

測驗目標 立體圖形、三角形面積公式、平面方程式、點到平面的距離公式

難 易 度 難

詳 解 先將正立方體坐標化，如右圖

1 ∵P 為 CG 的中點　∴P

（

）

2 平行四邊形 AQPR 中，

z

z

（

）

3 四角錐 G－AQPR 的體積

＝（A－GPQ 的體積）＋（A－GPR 的體積）

三角錐 A－GPQ 的體積

＝1

3×△GPQ 面積×（高 AB）

＝1

3×

（

）

相同方法，三角錐 A－GPR 的體積同樣為 1 12 則四角錐 G－AQPR 的體積＝ 1

12＋ 1 12＝1

6 為一個定值

4 當 t＝1

4 時，

z

（

）

（

）

平面 AQPR 之 x、z 截距各為 1、1 4

∴設平面 AQPR：x 1＋ y

b＋ z 1 4

＝1 ! x＋y

b＋4z＝1

將 P

（

）

代回平面 AQPR：x－y＋4z－1＝0

故 d（G﹐平面 AQPR）＝ |0－1＋4－1|

al

〈另解一〉

平面 AQPR 之法向量

＝

z

z

＝

（

）

（

）

＝

（

）

∴平面 AQPR：x－y＋4z＝

^{（ 1﹐0﹐0）}

al

〈另解二〉

△APQ 的面積為 1

2|

z

z

2

|（

）

（

）|

＝1

2

|（

）|

∵三角錐 A－GPQ 的體積為 1

3×△APQ 面積×d（G﹐平面 AQPR）

∴ 1 12＝1

3×3a2

8 ×d（G﹐平面 AQPR）

! d（G﹐平面 AQPR）＝a2

3

^F