圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質

數學傳播 43卷2期, pp. 97-100

圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質

胡 穎

圓外切四邊形有許多優美的性質, 本文給出的是與它內切圓和四個旁切圓相關的一個性質。

如圖一所示, 圓外切四邊形 ABCD, 與四邊形的一邊及它的兩條相鄰邊的延長線都相切 的圓稱為四邊形的一個旁切圓, 共有四個旁切圓。 旁切圓的三個切點構成的三角形稱為這個旁 切圓的切點三角形。 四邊形的內切圓與各邊的切點構成的四邊形稱為切點四邊形。 設四個旁切 圓半徑依次是 r1, r₂, r₃, r₄, 相對應的四個切點三角形面積依次為 S1, S₂, S₃, S₄, 內切圓半 徑為 r, 切點四邊形面積為 S, 則有如下性質:

S₁ r₁ +S₃

r₃ = S₂ r₂ +S₄

r₄ = S r.

圖一

為了證明上面這個性質, 首先證明一個引理。

引理: 設三角形的內切圓和旁切圓半徑分別為 r1 和 r2,相對應的切點三角形面積分別為 S1 和

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S₂,則有 S₁ r₁ = S₂

r₂ ( 圖二)。

圖二 圖三

為了證明上面的引理, 先給出並證明下面幾個結論。

結論一: 如圖三, 兩個切點三角形分別是 DEF 和 GHK, 則有 ∠EDF + ∠HGK = 180^◦。 當然也有 sin ∠EDF = sin ∠HGK。

證: ∠EDF = 180^◦ − ∠EDC − ∠F DB = 180^◦ − 1

2(180^◦ − ∠ACB) − 1

2(180^◦ −

∠ABC) = 1

2∠ACB + 1

2∠ABC, 同樣可得, ∠HGK = 1

2∠KCB + 1

2∠HBC, 這樣就得 到: ∠EDF + ∠HGK = 1

2∠ACB +1

2∠ABC +1

2∠KCB + 1

2∠HBC = 180^◦。

結論二: 如圖四, 三角形內切圓和旁切圓圓心為 O1 和 O2,連 O1D, O₁E, O₁C, O₂C, O₂K 則有

DE

GK = O₁C

O₂C, DF

GH = O₁B O₂B.

圖四

證: 不難看出, O1, D, C, E 四點共圓, 則 ∠KCG = ∠EO1D, 又有 CK = CG, O1E = O₁D,從而 KCG ∼ EO1D, 由此得 DE

GK = O₁E

CK,又由 O1C⊥O2C,可得 ∠EO1C =

∠KCO2, 從而 RtEO1C ∼ RtKCO2, 由此得 O₁E

CK = O₁C

O₂C, 即有 DE

GK = O₁C O₂C, 同

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理可證 DF

GH = O₁B O₂B 。

結論三: O1B · O1C = O₁O₂· r1, O₂B· O2C = O₁O₂· r2 。

證: 如圖五, 不難看出 O1, B, O₂, C 四點共圓, 則 ∠O1O₂C = ∠O1BD, 由此得: O1B· O₁C = O₁B·O1O₂·sin ∠O1O₂C = O₁O₂·O1B·sin ∠O1BD = O₁O₂·O1D = O₁O₂·r1, 同理可證 O2B · O2C = O₁O₂· r2 。

圖五

現在證明引理。 綜合以上三個結論, 由圖二及圖三, 即有 S₁

S₂ = 1

2DE· DF · sin ∠EDF 1

2GK· GH · sin ∠HGK

= DE GK · DF

GH = O₁C

O₂C · O₁B

O₂B = O₁C· O1B O₂C· O2B

=O₁O₂· r1

O₁O₂· r2

= r₁ r₂.

有了上面的引理, 證明本文的性質就容易了。 我們分兩種情形來說明。

情形一: 圓外切四邊形的兩組對邊分別交於一點;

圖六

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如圖六, 圓外切四邊形的兩組對邊分別交於 P 和 Q 點, 四邊形 ABCD 內切圓的切點四 邊形為 EF GH, 連接 EG, 對於 P AB, 由引理得: S₁

r₁ = ^{SEF G}

r , 對於 P CD, 由引理 得: S_EGH

r = S₃

r₃, 由此得: S₁ r₁ +S₃

r₃ = S_{EF G}

r +S_EGH

r = S_{EF G}+ S_EGH

r = S

r。 同 理可證, S₂

r₂ + S₄ r₄ = S

r, 即 S₁ r₁ + S₃

r₃ = S₂ r₂ + S₄

r₄ = S r。

情形二: 圓外切四邊形的兩組對邊有一組對邊平行或兩組對邊分別平行。

圖七

如圖七, 圓外切四邊形 ABCD 的對邊 AD//BC, 切點四邊形為 KHIJ, 面積為 S, 內 切圓半徑為 r。 與 AB 相切的旁切圓半徑為 r1, 切點三角形為 EF G, 面積為 S1。 與 CD 相 切的旁切圓半徑為 r3, 切點三角形為 LMN, 面積為 S3。 顯然 r1 = r₃ = r。 連接 KI, 容易 證明 EF G  IKH( 本文略去這個證明), 從而 S1 = S_IKH, 同樣得 S3 = S_IKJ。 這樣就有: S₁

r₁ + S₃

r₃ = S₁+ S₃

r = S_IKH + S_IKJ

r = S

r。 如果 AB//CD, 則同理可證 S₂

r₂ + S₄ r₄ = S

r, 如果 AB 與 CD 延長線相交於一點, 則由引理可得 S₂ r₂ +S₄

r₄ = S

r。 總之我 們證明了 S₁

r₁ + S₃ r₃ = S₂

r₂ + S₄ r₄ = S

r。

參考文獻

1. 王家傳。 圓外切四邊形對邊和定理及其應用。 中小學數學(初中版), 2009 年 10 期。

2. 趙海雲。 圓外切四邊形的性質及應用。 河北教研 , 1999 年 4 期。

3. 王之任。 一個圖形中的三個類似結論。 中學數學教學, 2000 年 3 期。

4. 鄭金海。 用 《幾何畫板》 探究一道競賽題。 中學生數學, 2002 年 23 期。

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