國中生一元一次方程式補救教學研究

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國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

碩士論文

指導教授:鄭承昌 博士

國中生一元一次方程式補救教學研究

研究生:楊淑如 撰

中 華 民 國 一 ○ 五 年 六 月

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國立臺東大學教育學系 教育行政碩士在職專班

碩士論文

國中生一元一次方程式補救教學研究

研 究 生:楊淑如 撰 指導教授:鄭承昌 博士

中 華 民 國 一 ○ 五 年 六 月

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謝 誌

回憶兩年前,個人帶著沉澱的心情來讀書,轉眼間二年就這樣過了,說實在 的,當初因為家庭外務太多,自己並沒有想到會寫到論文這一關,就這樣跟著同 學找指導教授,竟然我完成了我的碩士論文,我即將畢業,這一切都要先歸功於 每星期四辛苦指導我的指導教授鄭承昌老師。

另外,也要感謝師母在我們每次跟老師 meeting 時,都會泡茶給我們喝,還 有師母和善的笑容,降低了我們跟老師討論的緊張氣氛,還有感謝學伴華詩、俊 瑋這一年的相互勉勵及加油打氣,所以,今天我完成了不可能的任務,我即將畢 業。更要感謝的是三位口試委員-章明哲老師與蔡東鐘老師與鄭承昌老師細心的 審閱,建議與修改,讓我的論文內容更加豐富與完整。

其次,我要感謝我鹿中導師室的好同事們:鳳治、彥仲、文俊、崇豪、聖珍、

爭貞,謝謝你們的幫忙、鼓勵與加油,讓我有勇氣繼續完成我的論文。尤其是鳳 治,我的好姊妹,如果沒有你的鼓勵與支持,我可能就叫楊中輟了吧!

接著,我要感謝照顧我可愛、無憂無慮的老爸,李佩玲居服員,因為你的細 心照料,讓我減輕不少壓力,我才能很順遂的完成我的學業。還有我的公公,謝 謝您這兩年,在我上課期間照顧奕晨,最後我更要感謝我親愛的家人,大小寶貝 善政、奕晨,因為有你們倆的支持,不吵不鬧,尤其是小寶貝奕晨,在我晚上寫 論文期間,自己一個人勇敢的上樓睡覺,有時還會親親我,並給我加油打氣,我 好幸福,因為有大家的幫忙協助,我的的論文才能順利如期完成。最後僅以這篇 論文,獻給我在天上的媽媽,我愛您!

楊淑如 謹誌于 國立台東大學教育學系

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國中生一元一次方程式補救教學研究

作 者 : 楊 淑 如

國 立 臺 東 大 學 教 育 學 系 (所 )

摘要

本研究採個案研究法,目的是透過補救教學,協助低成就學生用 具體實物操作方式了解抽象概念,釐清以往錯誤及迷思概念,建立正 確觀念。

本研究利用一元一次方程式試題,對某國中兩班進行紙筆測驗,

以了解分析學生在該單元時所產生的錯誤類型與迷思概念,並從中找 出學習困難的七位學生進行補救教學。根據這七位接受補救教學學生 的迷思概念,設計自編教案,以直接教學法加上具體實物操作方式,

呈現一元一次方程式概念;並以遊戲融入教學活動方式,採多元評量 方式,達成課堂上所設定的教學目標。

研究結果發現採用直接教學法、具體實物操作、遊戲融入教學方 式、以及採用多元評量,能讓低成就的學生建立正確觀念。最後,藉 由實際教學後的省思,提出教學上的建議。

關鍵字:一元一次方程式、迷思概念、補救教學、錯誤類型、實物操作

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A study of remedial teaching towards simple equation in junior high school

Author: Youn SuRu Abstract

This study adopted case study, using remedy teaching method to assist low-achieving students with hands-on operation to understand abstract concepts, to clarify misconceptions and mistakes, and to establish the correct concept.

In this study, two classes of junior high school students were tested on linear equation with one unknown (simple equation) in a paper-pencil format, in order to understand and analyze the types of errors and misconceptions students have made. After the test, seven students with learning difficulties were identified and then remedial teaching was employed. Based on misconceptions these seven students made, a self-design lesson plans with direct instruction plus hands-on operation was used to demonstrate the concept of simple equation. Games were played through teaching activities. Multiple assessment approach was adopted.

The results show that the direct teaching approach, hands-on operation, game into the teaching activities, and the use of multiple assessment, allow low-achieving students to establish a correct concept. Finally, by reflection on the actual teaching, recommendations on pedagogy were made.

Keywords: simple equation, misconception, remedy teaching, types of errors,

hands-on operation

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目 次

摘 要... i

Abstract ... i

目 次... i

表 次... iii

圖 次... v

第一章 緒論... 1

第一節 研究背景與動機 ... 1

第二節 研究目的 ... 3

第三節 待答問題 ... 4

第四節 名詞釋義 ... 4

第五節 研究範圍與限制 ... 5

第二章 文獻探討... 7

第一節 一元一次方程式內涵及定義 ... 7

第二節 一元一次方程式錯誤類型及迷思概念 ... 12

第三節 數學補救教學與相關研究 ... 17

第三章 研究設計... 21

第一節 研究設計 ... 21

第二節 研究對象 ... 24

第三節 研究工具 ... 26

第四節 教學規劃 ... 32

第五節 研究流程 ... 33

第四章 研究結果與討論 ... 35

第一節 一元一次方程式錯誤類型與迷思概念 ... 35

第二節 分析補救學生一元一次方程式的迷思概念 ... 48

第三節 一元一次方程式補教教學之實施歷程 ... 58

第四節 評量分析研究對象之迷思概念改變情形 ... 72

第五節 一元一次方程式補救教學綜合討論 ... 77

第五章 結論與建議 ... 83

第一節 結論 ... 83

第二節 建議 ... 86

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參考文獻... 89

壹、中文部分... 89

貳、外文部分... 92

附錄... 94

附錄 1 一元一次方程式專家試題審閱 ... 94

附錄 2 前測試題 ... 101

附錄 3 正式試題 ... 106

附錄 4 教師觀察紀錄表 ... 110

附錄 5 各單元學習單評量卷 ... 111

附錄 6 後測試題 ... 112

附錄 7 一元一次方程式教案(一) ... 116

附錄 8 一元一次方程式教案(二) ... 120

附錄 9 一元一次方程式教案(三) ... 125

附錄 10 一元一次方程式教案(四) ... 134

附錄 11 一元一次方程式教案(五) ... 136

附錄 12 一元一次方程式教案(六) ... 148

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表 次

表 1 代數符號階段發展特色及其代表作 ... 8

表 2 七位學生的家庭背景及數學學習狀況 ... 24

表 3 研究工具總表 ... 26

表 4 一元一次方程式基本概念測驗試題雙向細目表 ... 27

表 5 專家效度名單 ... 27

表 6 專家審題修改對照表 ... 28

表 7 預試後刪除的題目 ... 29

表 8 教學規劃摘要表 ... 32

表 9 國中七年級學生一元一次方程式的迷思概念測驗之結果分析(

N=42 ) 36 表 10 學生在「文字符號的意義」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 37

表 11 學生在「文字符號的列式」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 38

表 12 學生在「文字符號的簡記及運算」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 39

表 13 學生在「一元一次方程式的意義」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 41

表 14 學生在「列一元一次方程式」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 41

表 15 學生在「方程式解的意義」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 42

表 16 學生在「求式子的值」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 43

表 17 學生在「解一元一次方程式」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 44

表 18 學生在「文字代數題」中,各試題之統計表(

N

=42) ... 46

表 19 接受補救學生之前測分析表 ... 48

表 20 補救教學學生在「文字符號的意義」作答情形 ... 49

表 21 補救教學學生在「文字符號的列式」作答情形 ... 50

表 22 補救教學學生在「文字符號的簡記及合併」作答情形 ... 51

表 23 補救教學學生在「一元一次方程式的意義」作答情形 ... 52

表 24 補救教學學生在「列一元一次方程式」作答情形 ... 52

表 25 補救教學學生在「方程式解的意義」作答情形 ... 53

表 26 補救教學學生在「求式子的值」作答情形 ... 54

表 27 補救教學學生在「解一元一次方程式」作答情形 ... 55

表 28 補救教學學生在「文字代數題」作答情形 ... 57

表 29 教學活動設計表 ... 58

表 30 接受補救學生之後測分析表 ... 72

表 317 位學生前、後測作答情形(總題數 23 題) ... 73

表 32 一、文字符號的列式前、後測答題情形 ... 73

表 33 一元一次方程式的列式前、後測答題情形 ... 74

表 34 文字符號的簡記與合併前、後測答題情形 ... 74

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表 35 求式子值前、後測答題情形 ... 75

表 36 解一元一次方程式前、後測答題情形 ... 75

表 37 文字應用題前、後測答題情形 ... 76

表 38 前、後測的平均答錯率成績比較 ... 77

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圖 次

圖 3-1 研究架構圖 ... 22

圖 3-2 筆記本... 31

圖 3-3 研究流程圖 ... 33

圖 4-4 教師直接教學法搭配具體實物操作及遊戲融入教學的方式... 59

圖 4-5 遊戲方式取代紙筆測驗... 60

圖 4-6 多元評量... 61

圖 4-7 問題教學法學列式步驟 1 ... 62

圖 4-8 問題教學法學列式步驟 2 ... 63

圖 4-9 問題教學法學列式步驟 3 ... 63

圖 4-10 列式的學習策略 ... 65

圖 4-11 筆記本 ... 66

圖 4-12 小組討論 ... 66

圖 4-13 重新建立分數運算概念 ... 70

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第一章 緒論

本研究的目的是為探討國中學生學習一元一次方程式單元時,常見的錯誤 類型及迷思概念的補救教學研究。希望透過補救教學的實施,能使學生在這個 單元之學習過程了解自己錯誤的原因,並建立正確概念,更期盼能經由此種補 救教學法,能夠將學生的迷思概念清楚的澄清,提升學生對學習數學的興趣,

喜愛上數學課,進而增進學生學習數學的自信心。也希望研究者藉由補救教學 過程中的教學省思與學生的晤談,能更加瞭解學生為何會恐懼害怕數學,甚至 討厭數學的原因,做為日後教學的參考及改進的依據。另外藉由教學過程中,

除了幫助學生解除疑惑之外,研究者也能提升數學教學上的專業能力,也就是 教育學所說的教學相長。

本章陳述研究者之動機、目的與待答問題,並針對重要名詞與研究範圍與 限制加以說明,全章共分為五節:一節說明研究背景與動機;第二節為研究目 的;第三節待答問題;四節為名詞釋義;第五節為研究範圍與限制。

第一節 研究背景與動機

根據教育部(2011)實施的課綱微調中,為了提升學生對數學的學習興趣 及減少對數學的挫折感,將國中數學課程內容減少並簡單化,也就是說,希望 透過課程的簡化,能提升學生對數學的學習興趣。但研究者在實際的教學現場 上發現:雖然教材內容已越來越簡單,學生對數學的厭惡程度並未從此就降低,

反而有逐步上升的趨勢,且對大部分的學生而言,數學是所有學科中最難理解 的一門科目,幾乎會有一半的學生,會在國中階段就放棄學習數學,杜佳真

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得無助感(Learned helplessness),放棄學習數學的情況也相當常見。這也是研 究者努力想在教學上改變此現象的重要原因。

研究者根據多年的教學經驗發現,學生對學習沒有興趣,最主要原因是對 自己沒信心,認為數學是一門非常艱澀的學科,而且日常生活中又用不到,所 以學習心態偏消極,造成了再簡單的單元,依然也是學不會,形成了一種惡性 循環的怪現象。為了改變此現象,研究者分析正式課程綱要中,國中數學教材 內容可分成四大部分:一是「數與量」、二是「代數」、三是「幾何」、四是「機 率與統計」;決定挑選「代數」部分,因為代數在國中三年的教材佔了極為重要 的地位。而在代數領域中,又以國中七年級上學期的一元一次方程式的單元最 為重要,因為一元一次方程式是國中代數的基礎,也是代數的起點。基於上述 理由,研究者決定從一元一次方程式開始探討。

Herscovics&Kieran(1980)一元一次方程式的學習,是學生從算術的思考 轉進到代數思考模式的一個重要階段,也就是從具體概念到抽象化概念的一個 重要階段。一元一次方程式的學習,也如同是一座重要橋梁弦繫著算術的思維 建構至代數思維模式。另外 Bell(1995)強調方程式學習的重要性,因為他認為 利用方程式的方法來解決問題,比起用算數的方法簡單又容易許多,讓人一看 到式子,就一目了然,正所謂淺顯易懂。因此,國民中學階段的數學學習目標 之一,即是熟練代數的基本運算及解方程式。由此可知,一元一次方程式是其 他許多重要數學概念的基礎,如配方法、函數。總而言之,一元一次方程式的 學習對國中學生學習數學的重要性,這也就是研究者為何研究此議題的原因。

倘若學生剛剛開始學習以文字符號代表數時,即剛開始建構代數思維的重 要關鍵時期中,學生就遇到了學習上的困難,又若老師無法及時適時地指導或 再次提供學習的機會,學生很有可能就會產生迷思概念,這樣不僅會使學生在 往後的學習路上產生挫折,降低學習的興趣,甚至有可能成為班上學習緩慢的 學生,就會完全不想學習,成為教室的過客。

根據教育部(2008)所推行的九年一貫課程綱要中強調數學教學目標是:培

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養學生獨立思考、解決問題的能力。也就是期盼學生在日常生活中遇到困難時,

能運用課堂上所學的數學精神,大膽假設、小心求證及分析、推論、歸納演繹 的積極心態處理問題,這就是我們所熟知的「帶得走」的數學能力,這是我們 教育的本質,也是活用的知識。由此可知,培養學生「帶得走」的數學能力,

是所有在教育現場的數學老師所努力的目標之一。

研究者想藉由學生學習的迷思概念,設計補救教學課程,期盼能改變學生 的迷思概念,從而建立正確概念,增加解題的答對率,讓學生增加其學習信心,

打破學生對數學艱澀、不易近人的刻版印象。根據馮莉雅(2002)的研究,了解 學生學習的迷思概念,並針對學生所產生的迷思概念,設計一系列的補救教學 課程計畫,教導學生正確的學習策略,可以有效的矯正、治療學生的迷思概念,

進而建立正確的概念,將有助於增進學生對數學的學習興趣。

第二節 研究目的

本研究係對台東縣某國中兩個七年級班級的學生進行測驗,了解學生在學 習一元一次方程式時,所產生的錯誤類型及其錯誤原因,並試圖找出在一元一 次方程式單元學習上有迷思概念的學生,來進行補救教學。期望藉由這樣的補 救教學,能了解學生在學習此單元時所產生的迷思與困難,以及經過補救教學 之後,學生迷思概念的改變情形,及在補救教學實施的過程中,進行教學反思,

來增進自己在教學上的專業能力。因此,在分析迷思概念時,以教育部頒布的 課綱及九年一貫所訂定的能力指標為主,依據國中七年級數學科翰林版的一元 一次方程式單元為內容,設計一些符合接受補救教學學生程度的教學計畫及教 學活動,如學習單或實際操作演練,來幫助學生學習,更希望班上學習能力較 弱的孩子,能透過這樣的補救教學過程,漸漸地愛上數學課,找回對數學的學

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故本研究的研究目的有以下二點:

一、瞭解國中生學習一元一次方程式的錯誤類型及迷思概念。

二、探討老師針對學生的迷思概念,設計教學活動進行補救教學及教學的成效。

第三節 待答問題

根據以上的研究動機及目的,本研究將提出以下待答問題,作為研究設計 及探討的依據,其待答問題有以下二點:

一、國中生學習一元一次方程式的常見錯誤類型有哪些?發生錯誤的迷思概念 為何?

二、探討老師如何針對學生的迷思概念設計教學活動﹖使用何種教學法教學﹖

教學成效如何觀察﹖

第四節 名詞釋義

關於本研究的相關名詞界定如下:

一、一元一次方程式:

一個式子中只有一個未知數,而且未知數的最高次數為一次式,且中間有 等號,也可以有幾個相同的未知數做同類項的化簡,這樣的式子稱為一元一次 方程式。

二、迷思概念:

學生在學習一項新的概念時,可能自己建構或發展出自己認為是對的概 念,但與專家學者所認定的正確概念並不一樣,這樣的概念就可稱為「迷思概念

」。

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三、錯誤類型:

在數學解題的過程中所產生的錯誤,依據所錯誤的關鍵性做成某幾種分類 的類型,就稱之為錯誤類型。

四、補教教學:

老師在實際教學的過程當中,發現學生學習上的困難或錯誤觀念,經由診 斷後,了解其問題所在,並針對此問題,設計適合之相關教學活動,來幫助學 生解決問題,使其能達成設定之教學目標。本研究先透過前測試卷分析學生的 迷思概念,再針對學生迷思概念設計補救教學課程,期盼能釐清學生在一元一 次方程式所產生的迷思概念。

五、國中七年級學生:

指 103 學年度入學的新生,已學習過「一元一次方程式」 單元的學生。

第五節 研究範圍與限制

本研究的研究範圍以研究對象、研究設計、教材內容與研究工具四個項目 為主,研究限制則以人力考量時間因素逐一說明:

一、研究範圍

(一)研究對象

研究對象先以台東縣某國中的七年級學生共兩班四十二位學生作為研 究對象,探討學生學習一元一次方程式的錯誤類型及迷思概念,之後 從中 找出在一元一次方程式的學習上有相當程度迷思概念的七位學生,作為補救 教學的對象。

(二)研究設計

此研究採個案研究法,先分析接受補救教學學生的迷思概念,再根

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(三)教材內容

以教育部公布的數學科補救教學為主,以國中數學翰林版一元一次方 程式單元為教材內容,教材共分四個概念,分別為以符號代表數、未知數 的基本運算、方程式的意義、方程式的運算及應用題。

(四)研究工具

參考文獻資料及歷屆基測會考試題,以及康軒、翰林版國中七年級數 學課本,編制前測試卷,並請專家審閱,進行預試,最後形成正式試卷,

進行施測,了解學生學習之迷思概念。

二、研究限制

(一)人力考量:

本研究的樣本採用研究者所服務的學校以台東縣某國中的七年級學 生兩班共四十二位學生作為研究對象,針對國中一元一次方程式單元為範 圍,探討學生學習此單元的錯誤類型及迷思概念,以及找出接受補救教學 的學生。因考量研究者本身人力,研究對象僅以七位學生為補救教學的對 象,又因受限於研究者研究為某偏鄉學校,因此在結果的引用只能推論到 與研究者研究樣本相似的學生,故不宜過度引用。

(二)時間因素

本研究課程僅以國中數學翰林版一元一次方程式單元為教材內容,探 討學生的迷思概念。因受限於研究者的時間因素,無法針對學生的迷思概 念進行循環式的教學歷程,只能以單次的教學歷程進行教學活動。

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第二章 文獻探討

本研究的主要目的是探討國中七年級學生對於一元一次方程式單元學習錯 誤類型及迷思概念進行補救教學之個案研究。希望透過此補教教學能夠澄清學 生在學習一元一次方程式相關概念,建立正確觀念,以利後續的學習。因此,

本章文獻探討分為三個部分,第一節探討一元一次方程式內涵及定義,第二節 一元一次方程式的錯誤類型及迷思概念,第三節探討補救教學之相關研究,說 明本研究補救教學的理念、對象及學習特質、實施歷程、設計原理及教學策略 作為補救教學設計及教學流程的參考。

第一節 一元一次方程式內涵及定義

本節將一元一次方程式分成三大部分:文字符號、方程式、文字代數題即 應用題,分別說明如下:

一、文字符號(未知數)的發展

文字符號在數學領域是不可或缺的,而它的使用正是學習代數數學的重要 基礎,而人類究竟是從甚麼時間開始使用文字符號來列式解決數學問題,目前 尚無定論,也就是說目前尚待考證 。但根據國內外學者(方吉雄 ,2001;

Kieran,1992)的研究,將代數的發展分成三大階段 (一)文辭代數(rhetorical algebra) (二)簡單代數(syncopated algebra) (三)符號代數(symbolic algebra)

各階段發展的特色及代表作整理如下表 1:

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表 1

代數符號階段發展特色及其代表作

階段 階段發展特色 代表作

文辭代數 使用一般語言敘述特殊問題的

解決方法,此階段大部分是為了 解決日常生活中的問題,如交換 商品、 計算農地長度面積等。

巴比倫泥板(約公元前 2000 年)。

埃及草片文書(約公元前 1700 年)。

中國古代的九章算術(約 公元前 100 年)。

簡單代數 古希臘數學家丟番圖用文字縮

寫表示未知量至十六世紀末左 右稱為簡單代數階段。在文藝復 興時期用 pp 代表 plus,m 代表 minus 此階段已用較簡 單符號來代替文字。

古 希 臘 數 學 家 丟 番 圖

(Diophantus)之代數,

又稱為代數之父。

元朝李治完成「測圓海 鏡」十二卷及「益古演段」

三卷。

符號代數 法國數學家韋達(Vieta)在 1595 年創立符號法則,也是第一個有 系統使用符號的人。

法國笛卡兒(Descartes)

建 議 利 用 英 文 字 母 如

(x、y 和 z)倒數幾個小 寫的字母來表示未知數 而利用英文字母開頭 的幾個小寫字母如(a、b 和 c)來表示已知數,也 就是我們現今所使用的 符號記法。

從文字的發展歷史來看,數學能成為全世界共通的語言,要歸功於文字符 號的誕生。文字符號不僅是代數數學的入門基礎而已,它也是幫助我們節省時 間及加快計算速度來解決數學問題,它更是能夠精確且深刻地表達某種概念,

方法及邏輯關係,也就是數學的精神,由繁到簡,一目了然。

二、文字符號的概念

文字符號在國中數學教材內容中佔有一席之地,原因是它是學生學習數學 從具體演算到抽象概念的一個重要的步驟。Collis(1975)從學生的觀點,將文 字符號的概念分成六種不同的使用層次:

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一、文字符號是可算出來的值(letter evaluated),意指文字符號代表某一個數值 如:a+8=12 中的 a 。

二、文字符號可忽略而不用(letter ignored),意指文字符號雖然出現在題目中,

但在解題的過程中可以不用考慮就可解出答案。如:a+b=7,求 a+b-1=?,

在本例中,已知題目與要求的題目中均有 a+b,故可忽略,直接將 a+b 改 成 7 ,即可算出答案為 7-1=6。

三、文字符號當作是物體(letter as object),意指文字符號為某一代表物的簡寫 或標記(label)。 如:n 代表某一三角形的一邊,在此例中 n 代表邊長,而 不是數字。

四、文字符號當作是特定的未知數(letter as special unknown),意指文字符號可 以直接加以運算。如:一個正 n 邊形,其一邊長為 10,則正 n 邊形的周 長為 10n,這是可以直接加以運算的。

五、文字符號當作一般化的數字(letter as generalized number),意指文字符號代 表一組數字而非單一數值。如:x、y 均為正整數,若 x+y=16 且 x>y,則 的範圍為何?在此例中,x 代表大於 8 的數,也就是說 可以是 9,10,11,

12,13,14,而非單一數值。

六、文字符號當作變數(letter as variable),意指文字符號代表某一未定的數值。

如:2n 和 3n 的大小比較。

其中前三者是屬於較具體層面的,後三者是屬於偏向抽象思考。

另外,國內學者袁媛(1993)針對高雄市國一學生 132 位為對象,進行文字 符號概念發展的測驗,結果研究指出國一學生對文字符號的理解有很大的差 別,不管國一學生是 piaget 認知發展理論中的哪一個層次,對文字符號當作一 般化的數字,以及文字符號當作變數都感到相當困擾,難以接受。本研究為探 討學生學習一元一次方程式單元所產生迷思概念進行補救教學之個案研究,故 將重心著重在 Collis(1975)將文字符號分類的前四者,以增強學生的學習信 心。

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三、方程式(等號)

數學研究的兩大主題:「數」、「幾何」,其中「數」又分成「算數」與「代 數」,算數是精確地計算,而代數則是對未知量的探究,其目的是希望學生在學 習過程中,透過算數的基礎上尋找一套有系統化的制度能將問題簡化,發現數 學的規律性 察覺到數量模式寫成通則 建立秩序 並利用其特性來幫助我們 解決日常生活所遇到的各種問題。而一元一次方程式屬於方程式的一種,而方 程式又屬於代數的範疇。而方程式的產生是為了要解決我們日常生活所遇到的 問題,故方程式在代數的領域中扮演重要的地位(Polya,1945)。

距今四千多年前巴比倫人也曾利用方程式的概念解題,其當時典型的題目 為 已知長方形的周長及面積,求其長方形的長與寬。西元三世紀,古希臘丟 番圖(Diophantus)的墓碑也寫了一道一元一次方程式的題目。而方程一詞最早 出現在中國數學的「九章算數」中,其“卷第八”即名“方程”。數學中的方 程可以簡單的理解為含有未知數的等式,也就是等號的意義。換言之,一個式 子中含有一個未知數,而其未知數的最高次數是一次式,且中間有等號,這樣 的一個式子,就稱為一元一次方程式。

一元一次方程式中所謂的『元』,是指方程式中,代表未知數的符號,如 x,

y,z 等;而方程式中所謂的『次』,是指方程式中代表未知數的符號最高的次數,

如果未知數的符號只有一個,而且最高次數為一次,如 3x+1=8,即為一元一次 方程式。又如 2y-x=-9 即為二元一次方程式。例如 x

2

+2x=1,即為一元二次 方程式(林敏雪,1998)。一元一次方程式是一種平衡的觀念,但因為大部分的 學生剛接觸一元一次方程式代數的學習,經常會受到以前算術經驗的影響,往 往只注意到等號是一種解題中的結果或是答案,完全沒有數學上等價關係,也 就是沒有左右平衡的概念。

因此,Kieran(1989)、Booth(1988)、Engliash&Harford 等學者認為「等 號」是關鍵。Kieran 發現部分學生解方程式時,可能誤解教師的意思,而在解 題時產生錯誤,造成迷思概念。例如在解方程式 x+1=7,教師告訴學生「移項

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時要換邊變號」,本來教師預期學生會將 1 換邊且變號,也就是加變成減,得到 x=7-1,但有部分同學卻在此誤解了教師的意思,於是變成了 x=7+1,學生的 理由是:「教師說要變號啊!」,可見學生缺乏方程式等價(平衡)概念。

四、代數文字題(應用題)

在數學中有關代數文字題的出現最早可追溯到古埃及時期,Sanford(1927)

在探討文字問題演進的過程,發現文字題的題目一直困擾著教師與學生 。 Hammer(1957)的研究中證實約有百分之七十五的學生無法清楚了解真正的問 題。Simon(1980)研究中發現學生缺乏用文字去表示未知數的能力。

Clement,Lochhead&Monk(1981)研究指出,學生將簡單句子轉譯成方程 式時,呈現很大的失敗比例。如:將『學生人數(S)是教授人數(P)的六倍』

的敘述轉換成方程式,最常出現的錯誤類行為“6S=P”。學生之所以出現錯誤 的答案,不是簡單代數技能或是比例問題,而是在將文字轉換成方程式的過程 當中所產生的。所以,學生在解數學文字題所犯的錯誤主要的原因在於對題目 表徵結構的轉譯產生錯誤,較少是因為計算錯誤。

Muth(1991)研究指出:學生對於代數文字題的解題能力會因為文字題中 無關訊息的干擾而無法解決問題。也就是說文字題的題目較長,原本的意思是 要敘述得更清楚,讓學生明白找到關鍵詞句,但因為學生在觀念上普遍認為文 字題中任何訊息都會被使用到 反而造成學生更大的負擔,因而造成問題整合 的困難。

林碧珍(1990)的調查結果研究指出:學生解代數文字題的能力比基本計算 能力差,尤其是班上低成就的學生,勉強會閱讀題目,但不懂其意,所以不會 有解題計畫,也就是缺乏概念性的理解。

由上述文獻探討,可以知道解文字代數題對學生而言是相當難的一部份,

學生會因為看不懂題目而無法解題,或是解題錯誤。本研究是探討學生學習此 單元所產生迷思概念來進行補救教學之個案研究。因研究者研究的對象為低成

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的題目加以教學,其他的題目不列入補救教學的課程中。

第二節 一元一次方程式錯誤類型及迷思概念

本節將一元一次方程式所涉及的錯誤類型及迷思概念分成三大部分說明:

文字符號的迷思概念、一元一次方程式的迷思概念及文字代數題(應用題)的 迷思概念,分述如下:

一、文字符號的迷思概念

文字符號是學習代數數學的基礎,而代數課程在國中數學教材中占有重要 的一席之地,也就是說,代數的學習是由數的具體思考模式轉化成抽象的思維 方式而此思維方式幫助我們節省時間及加快計算速度來解決數學問題,它更是 能夠精確且深刻地表達某種概念及邏輯關係。根據 Booth(1986)研究指出學生 先前學習數的運算經驗會影響其文字符號的學習。如化簡 8×y-4=?,有些學 生會將答案寫成 8y-4=4y,是受到先前數的減法運算規則所產生的迷思概念。

另外 Booth 也觀察到有些學生會將 abc-ab 寫成 c。可見,學生對於文字符號不 了解其意義,而在此產生了迷思概念。

根據國內許多學者研究的研究發現(王如敏,2004;王釋緯,2012;陳盈言,

2001;馮婉萍,2012;楊榮達,2007;戴文賓,1999)學生學習一元一次方程式時 文字符號的迷思概念為:不了解文字符號的意義、同類項的意義與合併規則、

去括號的意義及乘法對加法分配律的使用方式。如:求值問題中,學生會將 3x 當成是 3+x。在式子的化簡中,學生會將 3x+2 寫成 5 或是 5x,也就是說學生剛 學習以文字符號代表數時,無法接受含有加號的式子當作答案,所以再次運算 至單項式。又如:化簡 2(x-3)的式子中,有些學生很容易會將 2 乘以 x,得 2x-3,卻忽略了 2 也要分配給 3,形成迷思概念。另外也有些學生不了解 2(x

-3)的意義,造成解題困難。其實 2(x-3)的意思就是 2 乘上(x-3)。

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王如敏也指出學生對文字符號缺乏真正理解,只會運算卻不知其意義。如 果學生對正負數的四則運算觀念不熟練或錯誤,就容易造成文字符號的簡記或 合併產生錯誤,即會造成解題錯誤。如果又遇到結構較複雜的問題時,學生往 往會因對文字符號缺乏有意義的了解,而無法正確地使用,因此,形成解題的 困難與迷思概念。又例如:化簡 2(x-3)-(x-5)=?,有些學生會寫出 2x

-3-x-5=x-8 的答案,有些學生的答案為 2x-11 或 x+1,都是概念不清楚 的原因。

郭汾派(1988)參考英國 CSMS 小組所設計的題目修改成適合台灣國情的題 目,對全國國中生進行分區抽樣施測,發現學生在文字符號概念上的錯誤類 型,其常見迷思概念有:

一、受帶分數思考模式之影響。例如:國小帶分數加法運算 3+

2 1

2

3 1

,所以

3+x=3x。

二、文字係數分別處理。如:2x+3y=5xy,3(x-2)=3x-2=1x。

三、不同類項仍可進行加減運算。如:a+a+a+b=3ab。

四、不知如何使用代數運算規則。如:4(p-1)=4p-1。

五、忽視數據資料。如:c+d=8,且 c<d,求 c=?,答案多為 8-d。

六、難以接受不同文字有相同的答案。如:k+m+n=m+p+k,學生對 n=p 的 答案,感到相當困難,認為不同的文字沒有相等的可能。

七、將文字當特定的未知數處理。學生認為文字符號一定就是一個特定的未知 數,沒有變數及一般化公式的概念。

八、受定義影響。學生看題目在轉譯時有時會誤解其題意,或是不明白題目的 意思以致產生迷思概念。

九、對文字符號有刻板印象。如:習慣以 x,y,z 表示未知數,若轉換成 a,b,

c 或其他符號,認知就會有不同,因而產生迷惑。

十、無法辨別符號與物品。如:x 牌籃球一顆 500 元,買 x 顆 x 牌籃球,共要付

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十一、把文字符號當作有次序的特定數。如:甲+1=乙,則甲+2=?,學生 會將+1 當成乙,+2 理所當然就是丙,因此甲+2 的答案為丙。

十二、認為文字符號只是正數的數字。如:c+d=8,且 c<d,求 c=?,大部 份的學生會回答 0,1,2,3 或 1,2,3。

根據上述文獻探討,發現學生對文字符號的運算存在著許多觀念上的迷 思,值得教師在教授此單元時,做為參考的依據。並期盼透過教材的設計及教 學的省思能改善學生的迷思概念,建立學生正確觀念,以利相關單元的學習。

二、方程式的迷思概念

學生剛學一元一次方程式時常會將等號視為運算的結果,而不了解其實在 方程式下,等號就是一種等價關係,也就是左邊的式子等於右邊的式子。根據 國外許多學者的研究發現(Behr,Erlwanger&Nichols,1976;kieran,1992)學生在 學習方程式時,會受到以往數的學習經驗,認為方程式等號右邊就是運算之後 的答案。所以對學生而言,等號的意義是一種做「某一件事」(do something),

也就是表示要運算出的答案,當然對學生而言等號只是一種做出結果的符號而 已。

Benander&Clement(1985)發現學生在解方程式時常有以下的錯誤類型:

一、對未知數係數為 1 的察覺失敗:學生不知道 1x=x,所以常會將 3x+x 的答 案寫成 3x 或是 3x

2

二、 的迷思( confusion):當學生解方程式得到 a=a 時,可能會做 出 a=1 或 0 的結論。

三、無法分辨同類項:學生在解方程式運算中,對同類項的合併產生困難,於 是會將 5+x 合併為 5x。

四、切換逆運算失敗:學生在解方程式 3y=4 運算中,會將 y=4-3=1 的方式 解出 y=1。

國內學者林麗雯(2001)也發現學生在解一元一次方程式時常有的迷思概 念為對「等號」的誤用,也就是說學生在解方程式時,經常將計算過程往等號

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右邊一直寫下去。例如 5x-2x=6=3x=6=x=2,也就造成解方程式的迷思概 念。所以,學習解方程式最重要的觀念來自於等號的等價概念,也就是等號左 邊的式子等於等號右邊的式子。另外王如敏(2004)發現學生常會將未知數的 化簡運算與方程式兩大部分混淆,如化簡 8-4×y=?,學生會將答案寫成 2,

形成迷思概念。

Kieran(1989)&Vergnaud(1984)都強調方程式等價的重要性,認為等價 概念是學生學習代數的基礎,也是學習解方程式重要的基礎。具有等價概念方 能對方程式有結構性的認識。而解一元一次方程式的方法不外乎等量公理及移 項法則兩方式,蔡育霖(2004)研究發現雖然課本以等量公理說明解方程式的 運算規則,但大多數的學生卻習慣用移項法則來解一元一次方程式。楊榮達

(2007)也指出學生在解一元一次方程式問題時,以移項法則使用的次數最多,

偶而才會使用等量公理。廖瓊菁(2001)在教學過程中發現學生不理解移項法 則的意義,只是死背其法則,如正的數移項後要變負的數;負的數移項後要變 正的數;乘的變成除;除的變成乘,結果導致解題時出現錯誤,造成迷思概念。

如求一元一次方程式 9x+16=16x-40 的解為何?有些學生移項後的答案為 9x

+16x=-40+16,得 25x=56,則 x=56-25=31。曾映程(2006)指出學生 對於方程式的意義、等量公理及移項法則的意義混淆不清。如求方程式 36-x÷7

=6 的解為何?大部分學生會寫出-x÷7=6-36,-x÷7=-30,-x=-

7 30

,x

7

30

。侯靜芳(2005)研究發現學生解方程式發生錯誤的原因常是不了解方程

式的意義,及等量公理的錯誤使用。

從以上的文獻,可以了解學生在解一元一次方程式的迷思概念為:1、沒有 等號等價概念。2、等量公理及移項法則的錯誤使用。3、方程式化簡時運算規 則的誤用。

三、文字代數題(應用題)

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是最無奈的單元。因為文字代數題(應用題)的特點就是使用文字來描述數學 情境,因此,文字敘述會較長。又因為許多學生遇到文字代數題,往往會因題 目冗長而直接放棄,雖然也有些學生會試著瞭解題目的意義並嘗試轉譯成數學 式子,但最終仍因語文解讀題目的能力或轉譯成數學式子的能力失敗,以致無 法解題。

Naiz(1989)研究發現,缺乏形式運思理解能力的學生在轉譯代數文字題(應 用題)時,出現較多的困難。曾映程(2006)也認為學生對於將代數文字題轉譯成 數學符號的問題感到困難。袁媛(1993)研究發現學生在解文字應用題時,將題意 轉換成數學符號來列式,很明顯的出現學習困難。因此,文字代數題對學生而 言,不僅只是計算而已,而是需要先了解題意,再將題意轉換成數學符號或數 學式子,最後再將所列式子運算求出結果。這是一種一連串複雜的心智歷程,

也是為什麼學生對文字應用題如此頭痛的原因。

Mayer(1985)代數文字題(應用題)研究指出,轉譯文字題對學生而言是相 當困難的,尤其是有包含相關性的敘述句。Lofus & Suppes(1972)也發現學生感 到特別困難的問題是包含有相關性的敘述。如:傑克兩年前的年齡是約翰年齡 的兩倍,如果傑克現在是 40 歲,請問約翰現年是幾歲﹖文字應用題對缺乏形式 運算的學生而言已相當困難,若應用題中再含有包含相關性存在的題目,將使 許多學生產生挫折,數學學科是培養學生解決問題的能力,而不是要打擊學生 的學習信心。

本研究的目的是探討學生學習一元一次方程式所產生的迷思概念來進行補 救教學之研究,故文字應用題的部分只是簡易的教導學生將題意轉譯成數學式 子,並求出其解。所以,本研究不會將補救教學時間及重點放在文字代數題的 部分。

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第三節 數學補救教學與相關研究

在教育現場上,大部分老師上課方式還是以直接講述法教學為主,學生只 是被動的接受老師所傳授的知識或技能,當學生上課分心或是恍神一下,很容 易就沒有聽到老師所講述的重要概念,造成學生學習上的困擾。而補救教學的 本質是一種診斷性教學(clinical teaching,也稱為臨床教學)(張新仁,2001),

它協助教師在課堂上診斷學生在學習上發生困難時,所做的一種補救措施。郭 為藩(1989)指出補救教學的益處在於能夠及時補救學生的學習困擾,不致於使學 生的學習產生更加困難,造成學生對學習失去信心甚至產生恐懼害怕的心理。

補救教學是根據學生學習所產生的困難,進行一連串的的積極性的教學活 動,期盼能協助學生解決學習上的障礙,來達成課堂上所設定的教學目標,點 燃學生學習的熱忱,重建學生的學習信心,為往後的學習,奠定良好的基礎。

馮莉雅(2002)指出:教師若能經由學生學習時所產生的迷思概念,加以分析 了解學生學習的困難點,來作為補救教學課程設計的依據,教導學生學習策略,

對學生的問題做最有效的矯正治療,以達有效的教學目標。因此,補教教學即 教師在課堂上診斷出學生學習困難的原因,並提供有教的教學方式,協助學生 克服學習上的困難,達成課堂上所設定的教學目標(謝宜芳,2013)。

本研究目的探討學生學習一元一次方程式時所產生錯誤類型及迷思概念,

分析其迷思概念來進行補救教學,期盼能對學生的觀念有所澄清,並建立積極 的學習態度,重建學生的學習信心。茲就補救教學之實施對象、實施歷程、課 程設計原則、教學方式,分別加以探討。

一、補救教學的對象

補救教學的對象為低成就的學生。而低成就學生分成三類:一為學生的實 際學業成績表現明顯低於其能力水準,另一為學生的實際學業成績表現明顯低 於班級的平均水準,最後一類則為學生學科成績不及格且其學業成績表現遠低

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而學習的問題包含了個體本身的學習意願、學習態度、學習策略及教師教學狀 況,因此教師在進行補救教學前應先對補救教學學生的起點行為有所了解,針 對他們的學習問題,提供適合的教學策略,以期達到預期的目標。

二、補救教學的歷程

教師在教學過程中,發現學生學習困難並診斷其問題所在,針對其問題進 行一連串有效的教學活動,協助學生解決學習上的困難,達到預期的目標(洪素 敏,2008)。所以補救教學可說是一種「評量-教學-再評量」的循環歷程(張新 仁,2001)。希望透過補救教學的實施,低成就的學生能夠跟的上原來的大班的 教學進度。其歷程分為三階段(張新仁、邱上真、李素慧,1999):

(一)轉介過程:

補救教學的首要工作在篩選、診斷與轉介適當的學生,以接受補救教 學。

(二)正式評量:

評量的重點主要在了解學生學習的過程中,可能遇到的困難或概念上 的迷思以及補救的因應對策。

(三)教學:

教學的重點在於了解補救教學學生的起點行為,針對他們的學習問 題,提供有效的教學活動,讓學生有學習的機會,幫助他們克服學習上的 困難,達到有效的教學目標。

研究者參考文獻,將本研究的教學歷程做簡單的描述:經由自編的測量工 具並請專家審題,經過預試,刪去鑑別度低的試題,到正式施測找出接受補救 教學學生,根據學生的迷思概念設計一系列有效的教學,進行教學活動。另外,

規劃活動進行所需要的學習單、各單元評量、數學日記等,作為教學活動的修 正與建議之依據。

三、課程設計原理

補救教學課程的設計的原則是由簡單到複雜、容易到困難、從已學到未學

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(張新仁,2001)。也就是先了解學生的起點行為及迷思概念,根據其迷思概念 設計由簡單、容易的教材內容著手,也從學生已有舊經驗推展到要學習的課程 內容,如此,才能建立學生的學習信心與學習動機。曾柏瑜(2008)指出有效的 補救教學原則為 (一)學生的學習有高成功率。(二)明確的教學。(三)長 期密集的介入。(四)小組教學。

教師在教學的過程中應設計一些有效的問題,讓學生答對,此方式可提高 學生的學習信心,學生一但有信心之後,很自然地上課參與度隨之提高,而學 習自然提升,學業成就也跟著提升。而接受補救教學的學生本來就是班上低成 就的學生,本質上學習就屬於弱勢,因此教師教學時要主題明確且按部就班的 引導,建構其知識概念。因為學習緩慢需長期密集的介入輔導教學,曾柏瑜(2008)

研究發現每週進行二到四次的教學,每次三十分鐘到五十分鐘不等,且持續進 行八週以上,補教教學有立即成效及長期保留效果。另外也可採用小組教學的 方式讓學生有更多機會參與共同討論,學習發表及尊重對方意見,也可了解其 他同組成員對題目的解決方式。

四、教學方式

補救教學的適用教學方式有以下幾種(張新仁,2001):

(一)直接教學法:

此種教學法適用於教導學生基本概念、記憶事實,學習動作技能以及 簡單的讀、寫及算的能力。此種教學法是補救教學中常用的方式,其原因 有三:(一)結構化的課程設計。(二)注重教學技巧。(三)有組織的課程 內容。也就是教師有組織有計畫地呈現教材的內容,依序的介紹學習的概 念,且強調精熟每一個教學的步驟,讓學生可以建構組織其概念,進而反 覆的練習、測驗。所以,師生的互動是直接的,學生的主要任務是接受教 師的教學及學習,目的是希望提高學生的學業成就。

(二)精熟學習:

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教師只要列出要求學生達到精熟的標準,並給予學生充分的時間練習,幫 助學生克服困難,達成所預定的目標。

(三)個別化教學:

個別化教學主張以學生為主體,學生根據教材個別學習,且進度也由 學生自己決定。此個別教學法與精熟教學法的理念及作法有些相似,都強 調熟練,但兩者的差異為精熟教學主張由教師進行團體教學且學習進度由 教師決定。

(四)合作式學習:

此教學法強調透過同儕的互助合作的學習方式來達到精熟學習的課 程。此教學法的主要特色為:異質分組、建立相互依賴關係、及重視小組 獎勵。

(五)問題解決法:

此法強調教導學生各種數學問題的解決方式與溝通表達的技巧。如(1)

教導數學常用的詞彙用語:如貴、多、高、代表是數學符號中的"+"。(2)

教導數學列式的學習策略:讀題找出關鍵字,一句一句分析畫圖表示,列出 題意。

本研究採取的教學法為直接教學法,採具體實物操作方式搭配遊戲融入教 學,使學生在操作及遊戲的情境中學習概念,期盼藉由此方式能讓學生從具體 實物的認識到半具體的運算到抽象文字的理解應用,來澄清其迷思概念,建立 正確概念,以利後續相關單元的學習。

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第三章 研究設計

本研究目的在探究國中七年級學生學習一元一次方程式單元中出現的迷思 概念的情形,分析學生的錯誤類型及錯誤的原因,並從中找出在學習此單元具 有迷思概念的學生,並根據學生的迷思概念設計一連串的教學活動,來進行補 救教學。希望能幫助學生澄清在一元一次方程式上的迷思概念,建立正確觀念,

達成課堂上所設定的教學目標。

本研究參考相關文獻資料,了解國中七年級學生學習一元一次方程式的迷 思概念後,為了能更深入的了解學生的學習歷程和改善教師的教學品質,再利 用觀察、文件資料等方式來蒐集相關資料,並用質性的方法分析之。藉由紀錄、

評量及省思等過程,來探討補救教學對學生學習之成效。本章共分成研究設計、

研究對象、研究工具、教學規劃及研究流程共五節來做說明。

第一節 研究設計

本研究方式採用個案研究法來進行。研究時間為民國一百零五年三月至五 月,利用中午午休進行補救教學,每次 30 分鐘且每週二~四次,為期 6 週,共 計 540 分鐘。進行的課程是依據教育部頒行國中數學正式課綱翰林版七年級一 元一次方程式單元內容,教材共分四個概念,分別為以符號代表數、未知數的 基本運算、方程式的意義、方程式的運算。

研究者先利用一元一次方程式前測試題對某國中兩班進行測驗,以了解學 生在學習一元一次方程式時所產生的迷思概念,並從中找出在此單元學習困難 的七位學生進行補救教學,根據這七位接受補救學生的迷思概念,來設計課程

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實際教學後的省思來提出教學上的建議。

本研究以個案研究方式進行,但考量研究者的能力與時間,故教學歷程只 在於了解學生的迷思概念與教學後的改變情況,無法針對沒有改善的情形作反 覆循環的研究與澄清,因此本研究架構從研究者的實務教學過程中發現學生學 習的問題,並加以解決,探討此一歷程中教學與學習成效。研究架構圖見圖 3-1。

圖 3-1 研究架構圖

以下針對架構中的每一個元素做說明:

一、發現問題

研究者在教育現場上發現,學生在學習一元一次方程式時常產生迷思概 念,原因可能是因為一元一次方程式是代數的基礎。也就是從數的計算跳躍到 以符號代表數,即從具體數字的運算到抽象符號的運算。而國中的教材又以代 數居多,若此基礎沒有建立好,對學生以後的學習必定產生困難,甚至有可能 放棄。基於此原因,研究者挑選此單元作為研究主題,期盼從研究的過程當中,

發現學生學習的困難點及迷思的概念,並根據其迷思概念重新調整其教學,期 盼能澄清學生的迷思概念,建立正確概念,增加其對數學學習的自信心。

因此,研究者根據多年的教學經驗,並參考國中數學課本及習作(康軒、翰 發現問題

找出研究對象

補教教學

成效與省思

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林)、命題光碟,及參考文獻資料蒐集試題,並設計相關概念之前測試題進行施 測,以實際了解學生在此單元所產生的迷思概念,並從中找出接受補教教學學 生。

二、找出研究對象

經由前測試題了解學生的錯誤類型與迷思概念,整理匯編成補救教學行 動,並從前測試卷中找出接受補救教學的學生。

三、補救教學活動

此活動是針對七位接受補救教學的學生所做的教學活動。根據其學生的迷 思概念來設計教材內容,並用具體物實際操作加以輔佐(如畫一天平,代表方程 式,左邊等於右邊,平衡的概念)及設計各單元的學習單提供學生練習的機會,

最後發展各單元評量卷來診斷學生是否學會,達到所設定的教學目標。

四、成效評量與省思

整個教學活動結束之後,對給予接受補救教學學生進行總結性評量,也就 是後測評量,比較學生學習前、後的差別,並詳細的紀錄,做為未來教學改進 的參考。

另外透過與學生的筆記本學習心得與非正式溝通,來省思整個教學活動及 課程設計,學生的思考及解題模式,作為教學者以後上課時參考的依據。

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第二節 研究對象

本節介紹研究過程中的教學情境,包含參與學生的家庭背景及學習態度、

研究者的背景,分別介紹。

一、參與教師

研究者從民國八十四年開始從事教職工作至今已有二十年光景,研究者本 身畢業於某私立大學統計學系,修完教育學程後順利考取教師,在台東縣某國 中擔任數學科教師。除了前兩年接下行政兼導師工作之外,其餘時間均為導師,

專心致力於教學工作。

二、參與學生

(一)如何篩選出接受補救教學的對象

接受補救教學的對象為研究者所服務的學校七年級兩個班級的學生,共計 46 人,因施測時有 4 位資源班學生在資源班上課,故研究者直接扣除資源班學 生 4 人,所以施測總人數為 42 人。以一元一次方程式概念前測試卷施測(題目 共 23 題,滿分為 23 分),挑選出答錯率高於 55%的學生共計 15 人,研究者參 酌學生平時上課、學習的狀況及施測表現,扣除原本數學程度嚴重低落及施測 胡亂猜的學生,以及平時上課及考試表現不錯,但施測時亂寫成績不佳者,再 加上參考 t test 統計資料分析中的學生注意係數(cs)、判定類別為“c”,且得 分在 4~10 分之間,做為補救教學的對象。最後挑選出七位接受補救教學。

(二)學生的家庭背景及數學學習狀況

這七位學生皆為女生,其中一班為三人,另外一班為四人,七人中有五人 為單親家庭,二人為雙親家庭,七人的家庭背景及數學學習狀況,分別說明如 表 2。

表 2

七位學生的家庭背景及數學學習狀況

學生 性別 學習態度 家庭背景 前測分數

S1 女 程 度 低落認 真

學習,對自己沒

雙親家庭,父母

會關 心學生課 9 分

(38)

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自信。 業問題,母為越

南籍。

S2 女

數 學 程度尚 可 但 上 課時常 會 放空

單親家庭,與父 同住 不會關心 學生課業

5 分

S3 女 數 學 程度低 落

尚願意學習

單親 家庭與父 同住 不會關心 學生課業

8 分

S4 女 數 學 程度低 落

但學習動機強

隔代 家庭祖父 母不 關心學生 課業

5 分

S5 女

數 學 程度低 落 認真學習,對自 己沒自信。

雙親 家庭父母 不會 關心學生 課業問題

7 分

S6 女

數 學 程度低 落 認真學習,對自 己沒自信。

單親家庭母親 會關心學生課 業

6 分

S7 女

數 學 程度低 落 認真學習,對自 己沒自信。

單親家庭父親 生病家人不會 關心課業

5 分

從表 2 中發現:七位學生的共同點都是數學程度低落、對數學學習沒有信 心、但上課認真、有意願學習的學生。七位學生的數學概念全來自於學校的老 師,全數家長無法都無法指導學習學習,學生也沒有額外上課的地方。學生七 人中有五位原住民生,一位閩南生,另一位為新住民生。

(39)

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第三節 研究工具

本研究的研究工具有自編前、後測試題卷、教師觀察記錄表、各單元學習 單及評量卷、筆記本,將其使用時機說明如表 3,再分別說明如下:

表 3

研究工具總表

研究工具 使用時機 頁數

前測試題 尋找研究對象 p.100

後測試題 檢視補救教學的成效 p111

教師觀察紀錄表 教學過程中學生學習情形以及教學的

省思 p.109

各單元學習單及評 量卷

提供學生再次學習及提供學習成功的

機會 p.110

筆記本 紀錄課堂重點、練習卷的使用、考試本

的使用及學習心得 p.30

一、自編前、後測試題卷

(一)編選前測試題卷

為了瞭解國中七年級學生在一元一次方程式單元的錯誤類型及迷思 概念,研究者根據多年的教學經驗、參考國中基本學力測驗歷屆試題、會 考題目、以及參考相關文獻,以雙向細目表(如表 4)的方式編選專家試 題審閱,請見附錄 1。

(40)

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表 4

一元一次方程式基本概念測驗試題雙向細目表

教 學 內 容

概念迷思類型

教學目標 合計

基本概念 基本運算 理解與應 題數 用

文字符號的意義 (二)1 (二)3 (一)3 3 文字符號的列式 (二)2-1

(二)2-2

(一)2

(二)4

4 文字符號的簡記(合併) (二)5-1

(二)5-1

(二)5-3

(二)5-4

(二)5-5

5

求式子的值 (二)6 (二)12 2

了解一元一次方程式 的意義

(一)1 (一)4 2

列一元一次方程式 (二)7 (二)9 2

了解一元一次方程式 解的意義

(二)8 (二)10 2 解一元一次方程式 (二)11-1

(二)11-2

(二)11-3

(二)11-4

(二)11-5

(二)11-6 6

應用問題(代數文字題) (二)13 1

合計 10 10 7 27

註:(一)選擇題,如(一)1 即為選擇題的第一題;(二)填充及計算題 本試題除與指導教授討論並修正試題之外,也煩請四位教學經驗豐富的國 中數學老師專家(如表 5)幫忙審題,審核前測題目是否需要修正或刪除,以達 到前測試卷的信度、效度,審題修改對照表見表 6。最後形成前測試題,請見附 錄 2。

表 5

專家效度名單

姓名 服務學校 服務年資

李○宏 台東縣東海國中 24 年

曾○貴 台東縣新生國中 28 年

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洪○宴 台東縣長濱國中 7 年

黃○如 台東縣初鹿國中 3 年

為了詳實記錄專家所提供之意見將專家由上而下編碼為 T1、T2、T3 及 T4。

表 6

專家審題修改對照表 單元迷思概念

(題號)

修改前 修改後 專家理由

文字符號的列式

(3)

5

3

x+1)元出售 (

10

6

x+1)元出售

T3、T4:不因折數 問 題 影 響 學 生 作 答,簡化思緒。

文字符號的簡記

(3)

(4)

(3-5b)-

2 1

(2b

-8)

? 2 1

1 3 3

1    

x

x

( 3-5b)-(2b

-8)

? 2 1

3 3

2 xx  

T1、T4:了解學生 是否會去括號即可 T1、T2、T3:了解 學生會做簡單分數 的化簡即可

一元一次方程式的 列式

(1)

對每杯之概念的列 式,即除法概念

總數概念,乘法概 念。

T1:了解學生是否 會列式即可,因此 不須轉彎考學生。

從表 6 得知專家並未修改很多題目及刪除題目,只是將題目的難度降低,

因為專家認為此試卷是要找在學習上有嚴重迷思概念的學生,因此題目簡單基 本即可。

(二)編選正式試題卷

完成前測試卷後,再利用某國中九年級兩班學生(35 位)進行預試,目的 是為了使試題具有信度及效度。本試題共 27 題,分成選擇題、填充及計算兩大 部分,每小題各 1 分,總得分為 27 分。研究者利用 t test 軟體作試題分析,將試

(42)

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題鑑別度低於 0.3 的題目刪除,如表 7。

表 7

預試後刪除的題目

題號 鑑別度 難易度 刪除或修改

(一)1 0.18 0.53 刪除

(一)2 0.18 0.53 刪除

(二)4 0.25 0.13 刪除

(二)5-4 0.25 0.13 刪除

其中題目第(一)1 題是為了了解學生是否知道一元一次方程式的意義,又 因一元一次方程式的意義的題目,除了第(一)1 題之外,還有(一)4,研究 者與指導教授討論後,決定刪除此題。題目第(一)2 題是想了解學生是否會以 符號列式;又因以符號列式的題目,除了第(一)2 題之外,還有(二)2-1,

2-2,(二)4,研究者與指導教授討論後,決定刪除此題。題目(二)4 是想了 解學生是否會以符號列式;又因以符號列式的題目,除了第(二)4 題之外,還 有(二)2-1,2-2,研究者與指導教授討論後,也決定刪除此題。最後題目(二)

5-4 是為了了解學生是否會化簡一元一次式;又因一元一次式的題目,除了本題 之外,還有(二)5-1,5-2,5-3,5-5,研究者與指導教授討論後,決定刪除此 題。最後得到本研究的正式試卷,共 23 題,如附錄 3。

此試卷將正式對台東縣某國中七年級學生進行一元一次方程式試題測驗,

將從中篩選出補救教學的學生,進行本研究補教教學之研究。

(三)編選後測試題卷

本研究所採用一元一次方程式後測試卷,是以正式試卷做平行編擬設計,

只修改名詞、代名詞及數字,其他都沒改變,為了是要能與前測試卷做比較,

比較前後測結果作為檢視整體教學是否有效的依據,見附錄 6。

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二、教師觀察紀錄表

此觀察表為研究者撰寫,內容為教師教學方式、活動流程、教師教學省思、

學生學習情形及觀察建議等部分。教師觀察紀錄表請見附錄四。

三、各單元學習單、評量卷

本研究在每次補救教學過程中, 教師教完一個概念後,即會給學生學習 單練習,了解學生是否已建立正確概念,或是迷思概念仍存在,仍需要教師重 新教學,各單元學習單、評量卷請見附錄五。

而在每次補救教學單元結束後,會有一個形成性評量。一方面是為了瞭解 學生對於此單元課程內容是否有理解與吸收,且原有的迷思概念是否有所改 善,最後將進行一次總結性評量,也就是檢驗補救教學活動是否有成效。

四、學生筆記本

本研究的對象是數學低成就的學生,學生的數學學習策略很弱,因此,研 究者提供筆記本給學生,請學生在補救教學上課的課程中記下重要的學習策 略,以利後續課程的學習及查閱。同時也利用筆記本測驗評量,以及記下每堂 課的學習心得,如圖 3-2。

S2 在日期 0413 筆記中紀錄的課堂重點 S1 在日期筆記 0502 中的學習心得

(44)

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S3 練習卷、評量卷 S5 筆記本日期 0414 及 0418 的學習心得 圖 3-2 筆記本

左上角是 S2 在 0413 模仿將研究者所實際操作的物品記錄在筆記本上,也 就是記下課堂的重點。

左下角是 S3 學生在 0413 寫的練習卷及評量卷,S3 學生學習文字符號的簡 記與合併時,覺得太簡單了!學習心得不知道要寫些甚麼,真情流露。

右上角是 S1 學生在 0502 學習一元一次方程式時寫的心得,S1 學生認為研 究者一直強調等量公理,他會搞混觀念,因此在筆記本跟研究者溝通,後研究 者研究 S1 在前測試題作答情形及觀察學生寫練習卷,認為 S1 學習解方程式時 觀念上並無明顯迷思,因此決定給予學生自己選擇自己熟悉的方式解題。

右下角是 S5 學生在 0414 日的學習心得,在求式子的值的部分已經學會,

越算越有信心,在 0418 的學習心得覺得課程很好玩,但時間不夠。

從學生的筆記本發現:學生上課是認真學習的,也很喜歡研究者上課教學 的方式,更喜歡從遊戲中學數學。

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第四節 教學規劃

本節教學規劃著重在接受補救教學學生學習一元一次方程式單元時所產生 的困難及迷思概念,並針對其困難及迷思概念,設計一連串有效的教學活動,

期盼在有效的教學活動中建立正確概念,對數學學習產生興趣與信心。其研究 階段實施,規劃整理如表 8。

表 8

教學規劃摘要表

主題 教學目標 活動時間(堂)

一、文字符號的列式 1-1 認識未知數並以符號列式 2 二、一元一次方程式的列式 2-1 了解一元一次方程式的意義 3 2-2 列出一元一次方程式 三、文字符號的簡記與合併 3-1 未知數與數字的乘除法運算

3-2 未知數(如 x)前面的係數為 1 3-3 同類項合併基本計算 4 3-4 分配律及去括號法則的運用

3-5 未知數的加減乘除法基本運算

四、求式子的值 4-1 將數字代入式子中求解 2 五、解一元一次方程式 5-1 解出方程式的解 5 六、文字代數題 6- 1 以符號列出等式並求出其解 2

(註:每堂課 30 分鐘,18 堂課,共計 540 分鐘)

數據

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參考文獻

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