第四章 研究結果與討論
第一節 一元一次方程式錯誤類型與迷思概念
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第四章 研究結果與討論
本研究是透過紙筆測驗方式，來了解學生學習一元一次方程式常見的錯誤 類型與迷思概念，並從中挑選出研究對象 7 人，根據研究對象學生的迷思概念，
設計一連串有效的教學活動進行教學，期盼能改變學生的迷思概念，建立正確 概念，以利往後課程的學習。最後，對整個補教教學的歷程進行省思，以了解 補救教學是否具有成效，並提供其他教學者教授相關課程時的參考。因此，本 章根據研究之目的及研究待答問題，將研究結果與討論分為五個部份說明。第 一節，探討學生學習一元一次方程式的錯誤類型及迷思概念。第二節，蒐集探 討接受補救學生的迷思概念。第三節，一元一次方程式補救教學之實施過程。
第四節，透過評量來探討研究對象之迷思概念改變情形。第五節一元一次方程 式補救教學綜合討論。
第一節 一元一次方程式錯誤類型與迷思概念
本節將紙筆測驗的結果作分析探討。實施一元一次方程式迷思概念的對象 為研究者服務學校的國中七年級學生，兩班共計 42 人。表 4-1 為兩班施測的結 果分析，並分別表示該題答錯的人數與答錯的比率，並根據各題目所代表的概 念來論述分析的結果，其中將施測的試題（共 23 題，滿分為 23 分）分成九個 概念，說明如下：（一）文字符號的意義；共 3 題。（二）文字符號的列式；共 2 題。（三）文字符號的簡記及運算；共 4 題。（四）一元一次方程式的意義；共 1 題。（五）列一元一次方程式；共 2 題。（六）方程式解的意義；共 2 題。（七）
求式子的值；共 2 題。（八）解一元一次方程式；共 6 題。（九）文字代數題（應 用題）；共 1 題。整體學生的答題表現如下表 9：
下表為全部學生答題的狀況，用來探討學生之迷思概念。以下就針對每個
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文字代數題 二、12 40 95 95
一、文字符號的意義
此題型主要是想了解學生是否具有文字符號的意義的概念，試題共有 3 題，
下表 10 分別說明學生在此題中的答錯人數、錯誤率，以及學生的作答情形。
題目：一、1
（ ）台東陽光鞋店舉辦促銷活動，將原價 x 元的鞋子改為(
1 10
6 x
)元出售。請問下列哪一個敘述可作為此陽光鞋店的促銷標語﹖（A）原價打三折 再加 1 元 (B)原價打三五折再加 1 元 (C)原價打四折再加 1 元(D)原價 打六折再加 1 元。
題目：二、1
購買 1 枝自動鉛筆要 20 元，小明買了 x 枝自動鉛筆，共要花多少元？
題目：二、3
計算 x＋x＋x＝？
表 10
學生在「文字符號的意義」中，各試題之統計表（n=42）
題目 答錯人數 錯誤率％
一、1 14 33
二、1 8 19
二、3 9 21
由表 10 的統計結果，學生在這三個題目之錯誤率低於 50％，顯示大多數的 學生是清楚了解文字符號的意義，這部分對學生而言是屬於較簡單、容易理解 的，只有少數學生對文字符號缺乏有意義的了解，以第二、3 題為例，少數學生 的作答寫成 x
3
， 3x
，理由是因為有 3 個 x，另有一位學生表示 x＋x＋x 還是等© 2 0 1 3 D r . T u n g C h u n g T s a i
1 題說明，有些學生會將
10
6
x 約分成5
3
x，所以10
6
x＋1 就是5
3
x＋1，也就是認定 答案為三五折加一元。可見，少數學生不了解文字符號的意義，這會影響往後 學習式子的化簡合併的能力。二、文字符號的列式
此題型主要是想了解學生是否會利用文字符號來列式的概念，試題共有 2 題，下表 11 分別說明學生在此題中的答錯人數、錯誤率，以及學生的作答情形。
題目：二、2（1）（2）
一枝原子筆比一枝鉛筆貴 7 元，（1）如果一枝鉛筆為 a 元，那麼一枝原子 筆為多少元？（2）如果一枝原子筆為 b 元，那麼一枝鉛筆為多少元？
表 11
學生在「文字符號的列式」中，各試題之統計表（n=42）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、2（1） 16 38
二、2（2） 17 40
由表 11 的統計結果，學生在這兩試題之錯誤率為 38％，40％、顯示有半數 以上的學生是了解文字符號的列式，但是也有不少學生對文字符號的列式缺乏 有意義的了解。有學生的答案為 a－7；a＋7，表示學生對於分辨原子筆及鉛筆 誰貴、誰便宜有困難。有學生的作答為 a＝7；b＝14，表示學生尚未建立以符號 代表數的概念。又如 7－a；7－b，表示學生的思考仍以數字為主，符號為輔，
也就是尚未建立用抽象思考題目的能力。又有學生將許多符號寫在同一個式 子，如 x－7＝a；b－7＝a，表示學生對以符號列式產生混淆，概念不清楚。也 有學生的答案為 7a；7b，表示學生並未將題目看清楚，直接以自已的想法寫下 答案，造成錯誤。
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三、文字符號的簡記及運算
此題型主要是想了解學生是否會運用文字符號來進行基本運算與合併的概 念。試題共有 4 題，下表 12 分別說明學生在此題中的答錯人數、錯誤率，以及 學生的作答情形。
題目：二、4、（1）（2）（3）（4）
4、化簡下列各式：
（1）8×y－4＝？ （2）5x－3＋x－5＝？
（3）（3－5b）－（2b－8）＝？ （4）2（x－3）－（－3x）（－4）＝？
表 12
學生在「文字符號的簡記及運算」中，各試題之統計表（n=42）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、4、（1） 18 43 二、4、（2） 17 40 二、4、（3） 21 50 二、4、（4） 35 83
由表 12 的統計結果，發現學生在此每一試題之錯誤率均超過 40％，顯示大 約有一半的學生不夠了解文字符號的簡記及運算的方式，以下根據學生的作答 結果，將錯誤情形列出並探討錯誤原因。
以第二、4、（1）題而言，有些學生的答案為 y＝4，y＝2，y＝
2
1
，表示學生將式子的化簡當成方程式求解，也就是不懂式子化簡的意思，只是一味的求 出數字，就以為是題目要求出的答案。也有少數學生用分配律的方式將 8 分配 給 y，也分配給－4，所以答案為 8y－32。另外有兩位同學的答案為 4y，也就是 文獻探討中所提到的，學生剛學習以符號代表數時，會受到原本數的運算規則 無法接受兩項的相加減，所以會強迫自己再合併算式，形成迷思概念，而造成
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如何教學才能建立學生的正確概念是研究者所要努力的目標。
以第二、4、（2）（3）題而言，有些學生的答案為 6x－8＝0，6x＝8，x＝
3 4
；3－5b－2b＋8＝0，b＝
7
11
，也就是將式子的化簡當成方程式求解，認為算出 數字才是答案，因此，要破除此迷思概念，研究者建議教學者教此內容時，應 多強調看清楚中文的題目（如化簡下列各式；求下列方程式的解），而不是一味 的解題，造成學生學習機械化，不加思考。另有些學生是因為先備知識的不足
（整數的四則運算；去括號法則）而造成解題錯誤。以第二、4、（3）題為例，
有學生的答案為 3－5b－2b－8＝5－7b；3－5b＋2b＋8＝11＋3b；3－5b－2b－8
＝－7b－5。
由表 8 可知，第二、4、（4）題之錯誤率高達 83％，顯示絕大多數的學生根 本無法理解題目的意思，有些學生的作答情形為 2x－6＋3x－4＝5x－10；2x－6
＋3x＋4＝5x－2；2x－6－3x＋4＝－x－2；表示學生知道第一個括號要用分配 律乘進去，接下來－（－3x）（－4）就不知其意義了。因此，產生了迷思概念。
有些學生就直接用去括號法則處理，最後得到錯誤的答案。另外有些學生使用 分配律時常常只有乘括號裡的第一位數，第二位數常常忘記乘，導致得到 2x－
3－12x＝－10x－3；2x－3＋12x＝14x－3；最後，有些學生數學解題觀念正確，
但很可惜的是粗心大意，導致答案錯誤。如 2x－6－12x＝6－10x；2x－6＋12x
＝14x－6。
四、一元一次方程式的意義
此題型主要是想了解學生是否了解一元一次方程式的意義。試題有 1 題，下 表 13 分別說明學生在此題中的答錯人數、錯誤率，以及學生的作答情形。
題目：一、2
（ ）紅豆湯圓每碗 x 元，豆花每碗比紅豆湯圓貴 5 元，曉華買了 10 碗紅豆 湯圓，8 碗豆花，共花了 400 元，則依題意可列出下列哪一個一元一次
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方程式？
（A）10x＋8（x＋5）＝ 400（B）10x＋8（x－5）＝ 400
（C）10x＋8（x－5）＝ 400（D）10（x－5）＋8x＝ 400 表 13
學生在「一元一次方程式的意義」中，各試題之統計表（n=42）
題目 答錯人數 錯誤率％
一、2 11 21
由表 13 的統計結果，可以了解學生在此試題表現的錯誤率只有 21％，顯示 大多數的學生能了解一元一次方程式的意義，只有少數學生不了解，其作答為
（B）、（C），而不了解的原因可能是豆花及紅豆湯圓哪一個比較貴，無法分辨及 列出算式。
五、列一元一次方程式
此題型主要是想了解學生是否會利用文字符號來進行列式。試題有 2 題，
下表 14 分別說明學生在此題中的答錯人數、錯誤率，以及學生的作答情形。
題目：二、6
把 x 分成三等份，每一等份是 5，列出等式。
題目：二、8
傑克在心中想了一個數字，然後加上 4，再乘以 5，最後在減掉 8，結果為 62，列出等式。
表 14
學生在「列一元一次方程式」中，各試題之統計表（n=42）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、6 30 71
二、8 33 79
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％，顯示大多數的學生無法正確列出一元一次方程式。以第二、7 題為例，有許 多學生作答為空白，可能是完全無法理解、轉譯題目。有些學生的作答結果為 5x
3
，可能對“等份”的意義不了解。另外有些學生的作答結果為3
5x
，其迷思概 念的原因可能是學生認為每一等份是 5，有 x 份，所以共有 5x，然而題目還要分 成三等份，故要除以 3。還有一些學生的作答結果為 15，他們忽略題目只是要 列出等式而已，並未要求其解，以研究者教學多年的經驗而言，其實這是多數 學生的盲點，學生只是拼命算出答案並不仔細思考題目的結果。第二、9 題為例，題目有些需要轉譯，但也因為題目淺顯易懂，所以大多數 的學生都有作答，雖然作答率高，錯誤率也高，但多數學生錯誤的地方不是因 為迷思概念所造成的，而是粗心錯誤，因為錯誤的地方就是忘記括號；或是直 接算出答案（如 x＋4×5－8＝62；10）。
六、方程式解的意義
此題型主要是想了解學生是否知道方程式解的意義，即方程式（等號）左 邊的數字會等於右邊的數字。此類型的試題有 2 題，下表 15 分別說明學生在此 題中的答錯人數、錯誤率，以及學生的作答情形。
題目：二、7
x＝－2 是否為 3x－1＝7 的解？
題目：二、9
若 x＝1 為 7a－2x＝－3 的解，則 a＝？
表 15
學生在「方程式解的意義」中，各試題之統計表（n=42）
題目 答錯人數 錯誤率％
二、7 16 38
二、9 14 33
© 2 0 1 3 D r . T u n g C h u n g T s a i
由表 15 的統計結果，學生在方程式解的意義的試題中，錯誤率均低於 50
％，顯示大多數的學生可以了解方程式解的意義，而且大多數的學生都是直接 將題目所告知的數字代入式子，來判斷是否為其解。只有少數學生作答為空白，
表示對方程式解的意義不夠清楚。另外，以第二、7 題而言，有些學生作答結果 為 3×－2－1＝7，可見學生具有方程式解的意義的概念，只因粗心而計算錯誤。
表示對方程式解的意義不夠清楚。另外，以第二、7 題而言，有些學生作答結果 為 3×－2－1＝7，可見學生具有方程式解的意義的概念，只因粗心而計算錯誤。