第四章 研究結果與討論
第二節 分析補救學生一元一次方程式的迷思概念
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第二節 分析補救學生一元一次方程式的迷思概念
本節主要呈現 7 位接受補救學生在一元一次方程式試卷前測的作答情形。
7 位補救學生的前測分數分別為 9 分、5 分、8 分、5 分 7 分、6 分、5 分，其試 題答錯率高於 60％，作答情形說明如下表 19：
平均答錯率＝
單一類別總分
分加總 位學生單一類別答錯總
7
7
×100％如以文字符號的意義的平均答錯率＝
21
10
×100％＝48％表 19
接受補救學生之前測分析表
學生答錯題數 九個概念（共 23 分） s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
文字符號的意義（3 分） 1 1 2 3 0 2 1 48 文字符號的列式（2 分） 2 2 2 2 2 0 2 86 文字符號的簡記及合併（4 分） 2 4 4 4 2 3 3 79 一元一次方程式的意義（1 分） 0 1 0 0 0 0 1 29 列一元一次方程式（2 分） 2 2 2 2 2 1 2 93 方程式解的意義（2 分） 1 0 1 0 1 2 1 43 求式子的值（2 分） 0 2 1 1 2 2 2 71 解一元一次方程式（6 分） 5 5 2 5 6 6 5 81 文字代數題（1 分） 1 1 1 1 1 1 1 100 學生答錯總題數 14 18 15 18 16 17 18
學生總分 9 5 8 5 7 6 5
從表 19 中發現：接受補救教學的學生以文字符號的列式、列一元一次方程 式、文字符號的簡記及合併、解一元一次方程式、求式子的值、及文字代數題
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的答錯率超過 70％以上，表示學生在這些類別上有迷思概念，需要重新學習，
以建立正確概念，以利往後單元的學習，故將這些概念先納入補救教學的課程。
一元一次方程式的意義、方程式解的意義的答錯率為 21％、43％，表示學生在 這兩類別上的概念相對清晰正確，故不實施補救教學課程。另文字符號的意義，
s4 三題全錯，研究者將另外找時間個別指導，故不列入補救教學時數。
二、研究對象的迷思概念分析
為探討受補救對象 7 位學生的迷思概念，研究者從前測試題中學生的作答 情形以及訪談來做分析，並簡要呈現學生的錯誤類型及迷思概念。學生試題作 答情形：答對以 ○ 表示，答對以 × 表示。
（一）文字符號的意義 題目：一、1
（ ）台東陽光鞋店舉辦促銷活動，將原價 x 元的鞋子改為(
1 10
6 x
)元出售。請問下列哪一個敘述可作為此陽光鞋店的促銷標語﹖（A）原價打三折 再加 1 元 (B)原價打三五折再加 1 元 (C)原價打四折再加 1 元(D)原價 打六折再加 1 元。
題目：二、1
購買 1 枝自動鉛筆要 20 元，小明買了 x 枝自動鉛筆，共要花多少元？
題目：二、3
計算 x＋x＋x＝？
表 20
補救教學學生在「文字符號的意義」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
一、1 × × 0 × 0 × 0 57
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二、1 0 0 × × 0 0 × 43 二、3 0 0 × × 0 × 0 43 答錯題數 1 1 2 3 0 2 1
個人錯誤率 33 33 67 100 0 67 33
由表 20 發現，在文字符號的意義的概念上，個人答對率低於或等於 50％以 下，代表該生有迷思概念，表中我們發現 s3、s4、s6，三位學生在文字符號的意 義上有迷思概念。其中第六題 s3、s4 兩位學生試卷空白，另外一位學生 s6 作答 情形為 x
3
，表示學生將文字符號的加法運算看成乘法運算，導致迷思概念。（二）文字符號的列式 題目：二、2（1）（2）
一枝原子筆比一枝鉛筆貴 7 元，（1）如果一枝鉛筆為 a 元，那麼一枝原子 筆為多少元？（2）如果一枝原子筆為 b 元，那麼一枝鉛筆為多少元？
表 21
補救教學學生在「文字符號的列式」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、2（1） × × × × × 0 × 86 二、2（2） × × × × × 0 × 86 答錯題數 2 2 2 2 2 0 2
個人錯誤率 100 100 100 100 100 0 100
由表 21 發現，在文字符號列式的概念上，除了 s6 學生概念清楚外，其他 6 人皆有迷思概念。其中 s2、s4、s7 三位學生作答情形為空白，其他學生作答如 下：
s1：7－a，7－b、s3：x－7＝a，b－7＝a、s5：a(x＋7)，b(a－7)，表示學生對於 文字符號的理解是以 x 為主的習慣，看到 a、b 的文字符號就無所適從，形成迷
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思概念。
（三）文字符號的簡記及合併 題目：二、4、（1）（2）（3）（4）
4、化簡下列各式：
（1）8×y－4＝？ （2）5x－3＋x－5＝？
（3）（3－5b）－（2b－8）＝？ （4）2（x－3）－（－3x）（－4）＝？
表 22
補救教學學生在「文字符號的簡記及合併」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、4（1） 0 × × × × × × 86 二、4（2） 0 × × × 0 × 0 57 二、4（3） × × × × 0 × × 86 二、4（4） × × × × × × × 100 答錯題數 2 4 4 4 2 4 3
個人錯誤率 50 100 100 100 50 100 75
由表 22 發現，在文字符號的簡記及合併的概念上，所有學生的個人錯誤率 均高於 50％，表示在文字符號的簡記及合併上，有明顯的迷思概念。
（四）一元一次方程式的意義 題目：一、2
（ ）紅豆湯圓每碗 x 元，豆花每碗比紅豆湯圓貴 5 元，曉華買了 10 碗紅豆 湯圓，8 碗豆花，共花了 400 元，則依題意可列出下列哪一個一元一次 方程式？
（A）10x＋8（x＋5）＝ 400（B）10x＋8（x－5）＝ 400
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表 23
補救教學學生在「一元一次方程式的意義」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
一、2 0 × 0 0 0 0 × 29 答錯題數 0 1 0 0 0 0 1
個人錯誤率 0 100 0 0 0 0 100
由表 23 發現，在一元一次方程式的意義上，其中 5 人皆答對， s2、s7 兩學 生答錯，表示兩人具有迷思概念。其中 s2 學生作答為空白，s7 學生作答為(B)，
也就是 10x＋8(x－5)＝400，也就表示學生對於豆花、紅豆湯圓，誰貴、誰便宜 弄不清楚，以至於判斷錯誤，選錯答案。
（五）列一元一次方程式 題目：二、6
把 x 分成三等份，每一等份是 5，列出等式。
題目：二、8
傑克在心中想了一個數字，然後加上 4，再乘以 5，最後在減掉 8，結果為 62，列出等式。
表 24
補救教學學生在「列一元一次方程式」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、6 × × × × × 0 × 86 二、8 × × × × × × × 86 答錯題數 2 2 2 2 2 1 2
個人錯誤率 100 100 100 100 100 50 100
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由表 24 發現，在列一元一次方程式的概念上，所有學生的個人錯誤率均高 於 50％，表示在列一元一次方程式上，有明顯的迷思概念。七位學生的作答如 下：
S1：5X＋5X＋5X；X＋4
5－8＝62 S2：空白；X＋4
5－8＝62S3：空白；X＋4
5－8＝62 S4：空白；14＋4
5－8＝62 S5：5X3
； X＋4
5－8＝62S6：正確答案(X
3＝5)；X＋4
5－8＝62 S7：5X
5X
5X＝125X3
；10＋4
5－8＝62在二、6 題目中學生對等份沒有概念，以至於有 3 位學生空白，另外其他學生亂 湊數字 5x，因此補救教學課程的設計要先建構對等份的概念。
另在二、8 題目中，有 5 位學生幾乎是列對式子，唯一可惜的是忘記數學的運算 規則，這也是數學低成就學生較無法判別的地方，應多加強講述讓學生明瞭，
才能有所改善。
（六）方程式解的意義 題目：二、7
x＝－2 是否為 3x－1＝7 的解？
題目：二、9
若 x＝1 為 7a－2x＝－3 的解，則 a＝？
表 25
補救教學學生在「方程式解的意義」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、7 × 0 0 0 0 × × 43 二、9 0 0 0 0 × × 0 29
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答錯題數 1 0 0 0 1 2 1 個人錯誤率 50 0 0 0 50 100 50
由表 25 看出，方程式解的意義對學生而言並不難理解除了 s6 學生觀念不佳 外，其餘可能是整數的四則運算錯誤導致答錯。因此，研究者只針對 s6 學生進 行個別指導，不再另行設計課程。
（七）求式子的值 題目：二、5
若 a＝－5，則 3－2a＝？
題目：二、11
若 5a＝4，則 15a＝？
表 26
補救教學學生在「求式子的值」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、5 0 × 0 0 × × × 57 二、11 0 × × × × × × 86 答錯題數 0 2 1 1 2 2 2
個人錯誤率 0 100 50 50 100 100 100
由表 26 看出，求式子的值，除了 s1 觀念清楚之外，s3、s4 兩位答對一題，
其餘皆有迷思概念，其題目二、5 部分作答如下：
S5：3－10＝－7；S6：3－2－5＝－4；S7：3－2a＝
10
3
另外題目二、11 作答如下：有 3 位學生空白，s3：15a＝1×4＝4；s7：15a
＝10＋4＝14，可見學生對求式子的值及方程式的意義有迷思概念，課程設計應 著重在方程式平衡的概念。
（八）解一元一次方程式
題目：二、10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）
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10、解下列各一元一次方程式：
（1）3x＋50＝40
（2）9x＋16＝16x－40
（3）3x＝4x
（4）4（－y＋2）＝2（3y－1）
（5）
x x
4 1 6 7 3
1
（6）36－x÷7＝6 表 27
補救教學學生在「解一元一次方程式」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、10（1） 0 0 0 0 × × 0 29 二、10（2） × × 0 × × × × 86 二、10（3） × × 0 × × × × 86 二、10（4） × × 0 × × × × 86 二、10（5） × × × × × × × 100 二、10（6） × × × × × × × 100 答錯題數 5 5 2 5 6 6 5
個人錯誤率 83 83 33 83 100 100 83
由表 27 看出，除了 s3 外，其餘學生答錯律均超過 80％，表示存有迷思概 念，其中題目二、10（2）學生作答情形如下：
S1：9x＋16＝16x－40，－7x＝－24；X＝
7 24
S2：9x＋16＝16x－40，－7x＝50；X＝7
50
S4：9x＋16－16x＋40＝0©
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從學生的作答情形發現：學生遇到有分數的運算時就會亂了手腳，空白的 情形特別多，也就表示對分數的運算有嚴重的迷思概念。另外，當解一元一次 方程式時，未知數的位置是在被除數時，學生通常會因概念不清楚，加上移項 法則也不清楚，只背誦移項時要變號（加要變減、除要變乘），造成上述的答案，
因此，研究者認為要在一元一次方程式單元解決學生的迷思概念，要先從學生 的等量公理著手。
（九）文字代數題 題目：二、12
哥哥與弟弟兩人共有 1200 元，若哥哥給弟弟 60 元後，哥哥的錢剛好是弟弟 錢的兩倍，則弟弟原有多少元﹖
表 28
補救教學學生在「文字代數題」作答情形
補救教學學生人數 題目 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 平均答錯率％
二、12 × × × × × × × 100 答錯題數 1 1 1 1 1 1 1
個人錯誤率 10 0 100 100 100 100 100 100
由表 28 發現，在列一元一次方程式的概念上，所有學生的個人錯誤率均為 100％，表示在文字代數題上，有非常明顯的迷思概念。本研究的對象為低成就 的學生本就對文字代數題（應用題）有明顯懼怕的心理因素，因此，本研究只 針對試卷中的題目進行教學，不再擴及其他題型。
綜合以上的討論，發現七位學生的基本運算能力差，再加上概念薄弱，以 致於前測試卷答錯率很高。因此，進行補救教學活動時，將補救重點放在基本 能力的運算，也就是文字符號的簡記與合併及解一元一次方程式兩單元，並且 用直接教學法加具體物實際操作協助學生建立正確概念，來澄清原有的迷思概 念。
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