第二章 文獻探討
第二節 一元一次方程式錯誤類型及迷思概念
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的題目加以教學，其他的題目不列入補救教學的課程中。
第二節 一元一次方程式錯誤類型及迷思概念
本節將一元一次方程式所涉及的錯誤類型及迷思概念分成三大部分說明：
文字符號的迷思概念、一元一次方程式的迷思概念及文字代數題（應用題）的 迷思概念，分述如下：
一、文字符號的迷思概念
文字符號是學習代數數學的基礎，而代數課程在國中數學教材中占有重要 的一席之地，也就是說，代數的學習是由數的具體思考模式轉化成抽象的思維 方式而此思維方式幫助我們節省時間及加快計算速度來解決數學問題，它更是 能夠精確且深刻地表達某種概念及邏輯關係。根據 Booth（1986）研究指出學生 先前學習數的運算經驗會影響其文字符號的學習。如化簡 8×y－4＝？，有些學 生會將答案寫成 8y－4＝4y，是受到先前數的減法運算規則所產生的迷思概念。
另外 Booth 也觀察到有些學生會將 abc－ab 寫成 c。可見，學生對於文字符號不 了解其意義，而在此產生了迷思概念。
根據國內許多學者研究的研究發現(王如敏，2004；王釋緯，2012；陳盈言，
2001；馮婉萍，2012；楊榮達，2007；戴文賓，1999)學生學習一元一次方程式時 文字符號的迷思概念為：不了解文字符號的意義、同類項的意義與合併規則、
去括號的意義及乘法對加法分配律的使用方式。如：求值問題中，學生會將 3x 當成是 3+x。在式子的化簡中，學生會將 3x+2 寫成 5 或是 5x，也就是說學生剛 學習以文字符號代表數時，無法接受含有加號的式子當作答案，所以再次運算 至單項式。又如：化簡 2（x－3）的式子中，有些學生很容易會將 2 乘以 x，得 2x－3，卻忽略了 2 也要分配給 3，形成迷思概念。另外也有些學生不了解 2（x
－3）的意義，造成解題困難。其實 2（x－3）的意思就是 2 乘上（x－3）。
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王如敏也指出學生對文字符號缺乏真正理解，只會運算卻不知其意義。如 果學生對正負數的四則運算觀念不熟練或錯誤，就容易造成文字符號的簡記或 合併產生錯誤，即會造成解題錯誤。如果又遇到結構較複雜的問題時，學生往 往會因對文字符號缺乏有意義的了解，而無法正確地使用，因此，形成解題的 困難與迷思概念。又例如：化簡 2（x－3）－（x－5）＝？，有些學生會寫出 2x
－3－x－5＝x－8 的答案，有些學生的答案為 2x－11 或 x＋1，都是概念不清楚 的原因。
郭汾派（1988）參考英國 CSMS 小組所設計的題目修改成適合台灣國情的題 目，對全國國中生進行分區抽樣施測，發現學生在文字符號概念上的錯誤類 型，其常見迷思概念有：
一、受帶分數思考模式之影響。例如：國小帶分數加法運算 3＋
2 1
＝2
3 1
，所以3＋x＝3x。
二、文字係數分別處理。如：2x＋3y＝5xy，3（x－2）＝3x－2＝1x。
三、不同類項仍可進行加減運算。如：a＋a＋a＋b＝3ab。
四、不知如何使用代數運算規則。如：4（p－1）＝4p－1。
五、忽視數據資料。如：c＋d＝8，且 c＜d，求 c＝？，答案多為 8－d。
六、難以接受不同文字有相同的答案。如：k＋m＋n＝m＋p＋k，學生對 n=p 的 答案，感到相當困難，認為不同的文字沒有相等的可能。
七、將文字當特定的未知數處理。學生認為文字符號一定就是一個特定的未知 數，沒有變數及一般化公式的概念。
八、受定義影響。學生看題目在轉譯時有時會誤解其題意，或是不明白題目的 意思以致產生迷思概念。
九、對文字符號有刻板印象。如：習慣以 x，y，z 表示未知數，若轉換成 a，b，
c 或其他符號，認知就會有不同，因而產生迷惑。
十、無法辨別符號與物品。如：x 牌籃球一顆 500 元，買 x 顆 x 牌籃球，共要付
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十一、把文字符號當作有次序的特定數。如：甲＋1＝乙，則甲＋2＝？，學生 會將＋1 當成乙，＋2 理所當然就是丙，因此甲＋2 的答案為丙。
十二、認為文字符號只是正數的數字。如：c＋d＝8，且 c＜d，求 c＝？，大部 份的學生會回答 0，1，2，3 或 1，2，3。
根據上述文獻探討，發現學生對文字符號的運算存在著許多觀念上的迷 思，值得教師在教授此單元時，做為參考的依據。並期盼透過教材的設計及教 學的省思能改善學生的迷思概念，建立學生正確觀念，以利相關單元的學習。
二、方程式的迷思概念
學生剛學一元一次方程式時常會將等號視為運算的結果，而不了解其實在 方程式下，等號就是一種等價關係，也就是左邊的式子等於右邊的式子。根據 國外許多學者的研究發現（Behr,Erlwanger＆Nichols,1976；kieran,1992）學生在 學習方程式時，會受到以往數的學習經驗，認為方程式等號右邊就是運算之後 的答案。所以對學生而言，等號的意義是一種做「某一件事」（do something），
也就是表示要運算出的答案，當然對學生而言等號只是一種做出結果的符號而 已。
Benander＆Clement（1985）發現學生在解方程式時常有以下的錯誤類型：
一、對未知數係數為 1 的察覺失敗：學生不知道 1x＝x，所以常會將 3x+x 的答 案寫成 3x 或是 3x
2
。二、 的迷思（ confusion）：當學生解方程式得到 a＝a 時，可能會做 出 a=1 或 0 的結論。
三、無法分辨同類項：學生在解方程式運算中，對同類項的合併產生困難，於 是會將 5＋x 合併為 5x。
四、切換逆運算失敗：學生在解方程式 3y＝4 運算中，會將 y＝4－3＝1 的方式 解出 y＝1。
國內學者林麗雯（2001）也發現學生在解一元一次方程式時常有的迷思概 念為對「等號」的誤用，也就是說學生在解方程式時，經常將計算過程往等號
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右邊一直寫下去。例如 5x－2x＝6＝3x＝6＝x＝2，也就造成解方程式的迷思概 念。所以，學習解方程式最重要的觀念來自於等號的等價概念，也就是等號左 邊的式子等於等號右邊的式子。另外王如敏（2004）發現學生常會將未知數的 化簡運算與方程式兩大部分混淆，如化簡 8－4×y＝？，學生會將答案寫成 2，
形成迷思概念。
Kieran（1989）＆Vergnaud（1984）都強調方程式等價的重要性，認為等價 概念是學生學習代數的基礎，也是學習解方程式重要的基礎。具有等價概念方 能對方程式有結構性的認識。而解一元一次方程式的方法不外乎等量公理及移 項法則兩方式，蔡育霖（2004）研究發現雖然課本以等量公理說明解方程式的 運算規則，但大多數的學生卻習慣用移項法則來解一元一次方程式。楊榮達
（2007）也指出學生在解一元一次方程式問題時，以移項法則使用的次數最多，
偶而才會使用等量公理。廖瓊菁（2001）在教學過程中發現學生不理解移項法 則的意義，只是死背其法則，如正的數移項後要變負的數；負的數移項後要變 正的數；乘的變成除；除的變成乘，結果導致解題時出現錯誤，造成迷思概念。
如求一元一次方程式 9x＋16＝16x－40 的解為何？有些學生移項後的答案為 9x
＋16x＝－40＋16，得 25x＝56，則 x＝56－25＝31。曾映程（2006）指出學生 對於方程式的意義、等量公理及移項法則的意義混淆不清。如求方程式 36－x÷7
＝6 的解為何？大部分學生會寫出－x÷7＝6－36，－x÷7＝－30，－x＝－
7 30
，x＝
7
30
。侯靜芳（2005）研究發現學生解方程式發生錯誤的原因常是不了解方程式的意義，及等量公理的錯誤使用。
從以上的文獻，可以了解學生在解一元一次方程式的迷思概念為：1、沒有 等號等價概念。2、等量公理及移項法則的錯誤使用。3、方程式化簡時運算規 則的誤用。
三、文字代數題（應用題）
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是最無奈的單元。因為文字代數題（應用題）的特點就是使用文字來描述數學 情境，因此，文字敘述會較長。又因為許多學生遇到文字代數題，往往會因題 目冗長而直接放棄，雖然也有些學生會試著瞭解題目的意義並嘗試轉譯成數學 式子，但最終仍因語文解讀題目的能力或轉譯成數學式子的能力失敗，以致無 法解題。
Naiz(1989)研究發現，缺乏形式運思理解能力的學生在轉譯代數文字題（應 用題）時，出現較多的困難。曾映程(2006)也認為學生對於將代數文字題轉譯成 數學符號的問題感到困難。袁媛(1993)研究發現學生在解文字應用題時，將題意 轉換成數學符號來列式，很明顯的出現學習困難。因此，文字代數題對學生而 言，不僅只是計算而已，而是需要先了解題意，再將題意轉換成數學符號或數 學式子，最後再將所列式子運算求出結果。這是一種一連串複雜的心智歷程，
也是為什麼學生對文字應用題如此頭痛的原因。
Mayer(1985)代數文字題（應用題）研究指出，轉譯文字題對學生而言是相 當困難的，尤其是有包含相關性的敘述句。Lofus ＆ Suppes(1972)也發現學生感 到特別困難的問題是包含有相關性的敘述。如：傑克兩年前的年齡是約翰年齡 的兩倍，如果傑克現在是 40 歲，請問約翰現年是幾歲﹖文字應用題對缺乏形式 運算的學生而言已相當困難，若應用題中再含有包含相關性存在的題目，將使 許多學生產生挫折，數學學科是培養學生解決問題的能力，而不是要打擊學生 的學習信心。
本研究的目的是探討學生學習一元一次方程式所產生的迷思概念來進行補 救教學之研究，故文字應用題的部分只是簡易的教導學生將題意轉譯成數學式 子，並求出其解。所以，本研究不會將補救教學時間及重點放在文字代數題的 部分。
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